Special function defined by an integral
積分学 において 、 楕円積分は 、特定の積分の値として定義されるいくつかの関連関数の一つであり、 ジュリオ・ファニャーノ と レオンハルト・オイラー （ 1750 年頃）によって初めて研究されました。その名称は、 楕円 の 弧長を 求める問題との関連性に由来しています 。
現代数学では、「楕円積分」を、 次の式で表される 関数 fと定義しています。
f ( x ) = ∫ c x R ( t , P ( t ) ) d t , {\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R{\left({\textstyle t,{\sqrt {P(t)}}}\right)}\,dt,}
ここで、 R は 2 つの引数の 有理関数、 P は 重根を持たない 3 次または 4 次 多項式、 c は定数です。
一般に、この形式の積分は初等関数 で表現することはできない 。この一般規則の例外は、 P が 重根を持つ場合、 R ( x , y )が y の奇数乗を含まない場合 、および積分が擬楕円型である場合である。しかし、適切な 簡約公式を用いることで、すべての楕円積分は、有理関数上の積分と、第一種、第二種、第三種の楕円積分とも呼ばれる三つ のルジャンドル標準形 を含む形式に変換することができる 。
楕円積分は、以下に示すルジャンドル形式に加えて、カールソン対称形式 でも表すことができます。楕円積分の理論へのさらなる理解は 、シュワルツ・クリストッフェル写像 の研究を通して得られます 。歴史的に、 楕円関数は 楕円積分の逆関数として発見されました。
引数表記 不完全楕円積分は 2つの引数を持つ関数であり、 完全楕円積分は 1つの引数を持つ関数です。これらの引数は同じ楕円積分を与えるため、様々な異なる方法で表現されますが、いずれも等価です。ほとんどの教科書では、以下の命名規則を用いた標準的な命名規則が採用されています。
1つの引数を表す場合:
α 、 モジュラー角 k = sin α 、 楕円率 または 離心率 m = k 2 = sin 2 α 、 パラメータ 上記の3つの量は、それぞれ他の量によって完全に決定されます（ただし、それらが非負値である場合）。したがって、これらは互換的に使用できます。
他の引数も同様に φ （振幅） 、 または x または u （ x = sin φ = sn u 、 sn は ヤコビ楕円関数 の 1 つ）として表すことができます 。
これらの量のいずれかの値を指定すると、他の値も決定されます。u は m にも依存することに注意してください。u に 関連するその他の関係には以下 が含まれます
。 cos φ = cn u , and 1 − m sin 2 φ = dn u . {\displaystyle \cos \varphi =\operatorname {cn} u,\quad {\textrm {and}}\quad {\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatorname {dn} u.}
後者は デルタ振幅と呼ばれることもあり、 Δ( φ ) = dn u と記されます 。文献によっては、 相補パラメータ 、 相補モジュラス、 または 相補モジュラー角と呼ばれることもあります。これらは、 四分の一周期 に関する記事でさらに定義されています 。
この表記法では、縦棒を区切り記号として使用すると、それに続く引数が（上記で定義した）「パラメータ」であることを示し、バックスラッシュはモジュラー角であることを示します。セミコロンの使用は、それに続く引数が振幅の正弦であることを意味します。 このように異なる引数区切り記号を使用するのは混乱を招く可能性があり、楕円積分では伝統的であり、表記法の多くは、 AbramowitzとStegunの参考書や GradshteynとRyzhik の積分表で使用されている表記法と互換性があります 。 F ( φ , sin α ) = F ( φ ∣ sin 2 α ) = F ( φ ∖ α ) = F ( sin φ ; sin α ) . {\displaystyle F(\varphi ,\sin \alpha )=F\left(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha \right)=F(\varphi \setminus \alpha )=F(\sin \varphi ;\sin \alpha ).}
文献では、楕円積分の表記法として他の慣例も用いられています。引数を交換した表記法 F ( k , φ ) がよく用いられ、同様に 第二種積分については E ( k , φ ) が用いられます。Abramowitz と Stegun は 第二種と第三種の積分の定義において、引数 φ の後に縦棒が続かない限り、第一種積分 F ( φ , k ) を引数 φの代わりに用いています。つまり、 E ( φ | k 2 )ではなく E ( F ( φ , k ) | k 2 ) としています。さらに、彼らの完全積分では係数 k の代わりに引数として パラメータ k 2 を用いています。 つまり K ( k ) ではなく K ( k 2 ) としています。また 、 GradshteynとRyzhik によって定義された第3種の積分 Π( φ , n , k ) では、振幅 φ が優先され、「特性」 n は優先されません。
したがって、これらの関数を使用する際には表記法に注意する必要があります。なぜなら、様々な信頼できる参考文献やソフトウェアパッケージでは、楕円関数の定義において異なる表記法が用いられているからです。例えば、 Wolfram 社の Mathematica ソフトウェアと Wolfram Alphaは 、第一種完全楕円積分を楕円係数 k ではなく、パラメータ m で定義しています。
第一種不完全楕円積分 第一種不完全楕円積分 F は 次のように定義される。
F ( φ , k ) = F ( φ ∣ k 2 ) = F ( sin φ ; k ) = ∫ 0 φ d θ 1 − k 2 sin 2 θ . {\displaystyle F(\varphi ,k)=F\left(\varphi \mid k^{2}\right)=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}
これはルジャンドルの楕円積分の三角関数形式である。 t = sin θ および x = sin φ を代入すると、ヤコビの代数形式が得られる。
F ( x ; k ) = ∫ 0 x d t ( 1 − t 2 ) ( 1 − k 2 t 2 ) . {\displaystyle F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}.}
同様に、振幅とモジュラー角に関しては次のようになります。 F ( φ ∖ α ) = F ( φ , sin α ) = ∫ 0 φ d θ 1 − ( sin θ sin α ) 2 . {\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}.}
x = sn( u , k ) の場合 、次の式が得られます。 この ヤコビ楕円関数は 、第一種不完全楕円積分の単純な逆関数であることが証明されます。 F ( x ; k ) = u ; {\displaystyle F(x;k)=u;}
第一種不完全楕円積分には次の加法定理がある [ 要出典 ] ： F [ arctan ( x ) , k ] + F [ arctan ( y ) , k ] = F [ arctan ( x k ′ 2 y 2 + 1 y 2 + 1 ) + arctan ( y k ′ 2 x 2 + 1 x 2 + 1 ) , k ] {\displaystyle F{\bigl [}\arctan(x),k{\bigr ]}+F{\bigl [}\arctan(y),k{\bigr ]}=F\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}
楕円係数は次のように変換できます。 F [ arcsin ( x ) , k ] = 2 1 + 1 − k 2 F [ arcsin ( ( 1 + 1 − k 2 ) x 1 + 1 − k 2 x 2 ) , 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 ] {\displaystyle F{\bigl [}\arcsin(x),k{\bigr ]}={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}
第二種不完全楕円積分 ルジャンドルの三角関数形式における 第二種不完全楕円積分 E は
E ( φ , k ) = E ( φ | k 2 ) = E ( sin φ ; k ) = ∫ 0 φ 1 − k 2 sin 2 θ d θ . {\displaystyle E(\varphi ,k)=E\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .}
t = sin θ および x = sin φ を代入すると 、ヤコビの代数形式が得られます。
E ( x ; k ) = ∫ 0 x 1 − k 2 t 2 1 − t 2 d t . {\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt.}
同様に、振幅とモジュラー角の観点からは、次のようになります。 E ( φ ∖ α ) = E ( φ , sin α ) = ∫ 0 φ 1 − ( sin θ sin α ) 2 d θ . {\displaystyle E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}\,d\theta .}
ヤコビ楕円関数 との関係 としては、 E ( sn ( u ; k ) ; k ) = ∫ 0 u dn 2 ( w ; k ) d w = u − k 2 ∫ 0 u sn 2 ( w ; k ) d w = ( 1 − k 2 ) u + k 2 ∫ 0 u cn 2 ( w ; k ) d w . {\displaystyle {\begin{aligned}E{\left(\operatorname {sn} (u;k);k\right)}=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(w;k)\,dw&=u-k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {sn} ^{2}(w;k)\,dw\\[1ex]&=\left(1-k^{2}\right)u+k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {cn} ^{2}(w;k)\,dw.\end{aligned}}}
赤道から 緯度 φ までの 子午線 弧の 長さは、 E で表されます 。 ここで、 a は 長半径 、 e は離心率 です 。 m ( φ ) = a ( E ( φ , e ) + d 2 d φ 2 E ( φ , e ) ) , {\displaystyle m(\varphi )=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right),}
第二種不完全楕円積分には次の加法定理がある [ 要出典 ] ： E [ arctan ( x ) , k ] + E [ arctan ( y ) , k ] = E [ arctan ( x k ′ 2 y 2 + 1 y 2 + 1 ) + arctan ( y k ′ 2 x 2 + 1 x 2 + 1 ) , k ] + k 2 x y k ′ 2 x 2 y 2 + x 2 + y 2 + 1 ( x k ′ 2 y 2 + 1 y 2 + 1 + y k ′ 2 x 2 + 1 x 2 + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&E{\left[\arctan(x),k\right]}+E{\left[\arctan(y),k\right]}\\[.5ex]&\quad =E{\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}\\[1ex]&\qquad +{\frac {k^{2}xy}{k'^{2}x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}}\left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}+{\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)\end{aligned}}}
楕円係数は次のように変換できます。 E [ arcsin ( x ) , k ] = ( 1 + 1 − k 2 ) E [ arcsin ( ( 1 + 1 − k 2 ) x 1 + 1 − k 2 x 2 ) , 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 ] − 1 − k 2 F [ arcsin ( x ) , k ] + k 2 x 1 − x 2 1 + 1 − k 2 x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}E{\left[\arcsin(x),k\right]}&=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)E{\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}\\[.5ex]&\quad -{\sqrt {1-k^{2}}}F{\left[\arcsin(x),k\right]}+{\frac {k^{2}x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\end{aligned}}}
第三種不完全楕円積分 第三種不完全楕円 積分 Π は Π ( n ; φ ∖ α ) = ∫ 0 φ 1 1 − n sin 2 θ d θ 1 − ( sin θ sin α ) 2 {\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}}
または
Π ( n ; φ | m ) = ∫ 0 sin φ 1 1 − n t 2 d t ( 1 − m t 2 ) ( 1 − t 2 ) . {\displaystyle \Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-mt^{2}\right)\left(1-t^{2}\right)}}}.}
数 n は特性 値と呼ばれ 、他の引数とは独立して任意の値を取ることができます。ただし、 Π(1; π / 2 | m )は、任意の m に対して無限大です 。
ヤコビ楕円関数との関係は Π ( n ; am ( u ; k ) ; k ) = ∫ 0 u d w 1 − n sn 2 ( w ; k ) . {\displaystyle \Pi {\bigl (}n;\,\operatorname {am} (u;k);\,k{\bigr )}=\int _{0}^{u}{\frac {dw}{1-n\,\operatorname {sn} ^{2}(w;k)}}.}
赤道から緯度 φ までの子午線弧の長さもΠ の特殊なケースと関連しています 。
m ( φ ) = a ( 1 − e 2 ) Π ( e 2 ; φ | e 2 ) . {\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\Pi \left(e^{2};\varphi \,|\,e^{2}\right).}
第一種完全楕円積分 第一種完全楕円積分 K ( k )のプロット 楕円積分は、振幅 φ = のとき「完全」であると言われる。 π / 2 であり、したがって x = 1 で ある。 第一種完全楕円積分 K は 、このように定義される。あるいは、 第一種不完全積分を用いてより簡潔に K ( k ) = ∫ 0 π 2 d θ 1 − k 2 sin 2 θ = ∫ 0 1 d t ( 1 − t 2 ) ( 1 − k 2 t 2 ) , {\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}},} K ( k ) = F ( π 2 , k ) = F ( π 2 | k 2 ) = F ( 1 ; k ) . {\displaystyle K(k)=F\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=F\left({\tfrac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)=F(1;k).}
これはべき級数 として表すことができる K ( k ) = π 2 ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) 2 k 2 n = π 2 ∑ n = 0 ∞ ( P 2 n ( 0 ) ) 2 k 2 n , {\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right)^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\bigl (}P_{2n}(0){\bigr )}^{2}k^{2n},}
ここで P n はルジャンドル多項式 であり 、これは次式と等価である。
K ( k ) = π 2 ( 1 + ( 1 2 ) 2 k 2 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) 2 k 4 + ⋯ + ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 k 2 n + ⋯ ) , {\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left({\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\cdots \right),}
ここで n !!は 二重階乗 を表す 。ガウスの 超幾何関数 を用いると、第一種完全楕円積分は次のように表される。
K ( k ) = π 2 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; k 2 ) . {\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}
第一種完全楕円積分は、 四分の一周期と呼ばれることもある。これは 算術幾何平均 を用いて非常に効率的に計算することができる 。 K ( k ) = π 2 agm ( 1 , 1 − k 2 ) . {\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}.}
したがって、係数は次のように変換できます。
K ( k ) = π 2 agm ( 1 , 1 − k 2 ) = π 2 agm ( 1 2 + 1 − k 2 2 , 1 − k 2 4 ) = π ( 1 + 1 − k 2 ) agm ( 1 , 2 1 − k 2 4 ( 1 + 1 − k 2 ) ) = 2 1 + 1 − k 2 K ( 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {1-k^{2}}}{2}},{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\operatorname {agm} \left(1,{\frac {2{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}K\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}
この式は0 ≤ k ≤ 1 のすべて に対して有効です 。 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
K ( k ) = n [ ∑ a = 1 n dn ( 2 a n K ( k ) ; k ) ] − 1 K [ k n ∏ a = 1 n sn ( 2 a − 1 n K ( k ) ; k ) 2 ] {\displaystyle K(k)=n\left[\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left({\frac {2a}{n}}K(k);k\right)\right]^{-1}K\left[k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left({\frac {2a-1}{n}}K(k);k\right)^{2}\right]}
ガンマ関数との関係 k 2 = λ ( i √ r ) かつ （ λ は モジュラーラムダ関数 ） ならば、 K ( k )は ガンマ関数 を用いて閉じた形で表現できる 。 [2] 例えば、 r = 2 、 r = 3 、 r = 7 の場合には、それぞれ [3]となる。 r ∈ Q + {\displaystyle r\in \mathbb {Q} ^{+}}
K ( 2 − 1 ) = Γ ( 1 8 ) Γ ( 3 8 ) 2 + 1 8 2 4 π , {\displaystyle K\left({\sqrt {2}}-1\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right){\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}{8{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\pi }}}},}
そして
K ( 3 − 1 2 2 ) = 1 8 π 3 4 4 3 Γ ( 1 3 ) 3 {\displaystyle K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{8\pi }}{\sqrt[{4}]{3}}\,{\sqrt[{3}]{4}}\,\Gamma {\biggl (}{\frac {1}{3}}{\biggr )}^{3}}
そして
K ( 3 − 7 4 2 ) = Γ ( 1 7 ) Γ ( 2 7 ) Γ ( 4 7 ) 4 7 4 π . {\displaystyle K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {4}{7}}\right)}{4{\sqrt[{4}]{7}}\pi }}.}
より一般的には、虚二次体 [注1] に含まれる という条件で 十分である。 [4] [5] 例えば、 k = e 5 πi /6 のとき、 i K ′ K = i K ( 1 − k 2 ) K ( k ) {\displaystyle {\frac {iK'}{K}}={\frac {iK\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{K(k)}}} iK ′ / K = e 2 πi /3 および [6]
K ( e 5 π i / 6 ) = e − π i / 12 Γ 3 ( 1 3 ) 3 4 4 2 3 π . {\displaystyle K\left(e^{5\pi i/6}\right)={\frac {e^{-\pi i/12}\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right){\sqrt[{4}]{3}}}{4{\sqrt[{3}]{2}}\pi }}.}
漸近表現 K ( k ) ≈ π 2 + π 8 k 2 1 − k 2 − π 16 k 4 1 − k 2 {\displaystyle K\left(k\right)\approx {\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{8}}{\frac {k^{2}}{1-k^{2}}}-{\frac {\pi }{16}}{\frac {k^{4}}{1-k^{2}}}} この近似値は、 3 × 10 −4 （ k < ） 1 / 2 最初の2項のみを保持すると、 k < の場合には0.01の精度で正しい 。 1 / 2 . [ 要出典 ]
微分方程式 第一種楕円積分の微分方程式は d d k ( k ( 1 − k 2 ) d K ( k ) d k ) = k K ( k ) {\displaystyle {\frac {d}{dk}}\left(k\left(1-k^{2}\right){\frac {dK(k)}{dk}}\right)=k\,K(k)}
この方程式の2番目の解は である 。この解は次の関係を満たす。 K ( 1 − k 2 ) {\displaystyle K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)} d d k K ( k ) = E ( k ) k ( 1 − k 2 ) − K ( k ) k . {\displaystyle {\frac {d}{dk}}K(k)={\frac {E(k)}{k\left(1-k^{2}\right)}}-{\frac {K(k)}{k}}.}
連分数 連分数展開は次の通り で ある: [7] ここで nome はその定義の中にある 。 K ( k ) 2 π = − 1 4 + ∑ n = 0 ∞ q n 1 + q 2 n = − 1 4 + 1 1 − q + ( 1 − q ) 2 1 − q 3 + q ( 1 − q 2 ) 2 1 − q 5 + q 2 ( 1 − q 3 ) 2 1 − q 7 + q 3 ( 1 − q 4 ) 2 1 − q 9 + ⋯ , {\displaystyle {\frac {K(k)}{2\pi }}=-{\frac {1}{4}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}=-{\frac {1}{4}}+{\cfrac {1}{1-q+{\cfrac {\left(1-q\right)^{2}}{1-q^{3}+{\cfrac {q\left(1-q^{2}\right)^{2}}{1-q^{5}+{\cfrac {q^{2}\left(1-q^{3}\right)^{2}}{1-q^{7}+{\cfrac {q^{3}\left(1-q^{4}\right)^{2}}{1-q^{9}+\cdots }}}}}}}}}},} q = q ( k ) = exp [ − π K ′ ( k ) / K ( k ) ] {\displaystyle q=q(k)=\exp[-\pi K'(k)/K(k)]}
期間比の反転 ここでは、代わりにパラメータ を 用いた第一種完全楕円積分を用いる。これは、 複素平面上で逆関数を求める際に平方関数が問題を引き起こすためである。そこで、 m {\displaystyle m}
K [ m ] = ∫ 0 π / 2 d θ 1 − m sin 2 θ {\displaystyle K[m]=\int _{0}^{\pi /2}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}} そして
θ 2 ( τ ) = 2 e π i τ / 4 ∑ n = 0 ∞ q n ( n + 1 ) , q = e π i τ , Im τ > 0 , {\displaystyle \theta _{2}(\tau )=2e^{\pi i\tau /4}\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)},\quad q=e^{\pi i\tau },\,\operatorname {Im} \tau >0,} θ 3 ( τ ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ q n 2 , q = e π i τ , Im τ > 0 {\displaystyle \theta _{3}(\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}},\quad q=e^{\pi i\tau },\,\operatorname {Im} \tau >0} シータ関数 となります 。
方程式
τ = i K [ 1 − m ] K [ m ] {\displaystyle \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}} （解が 存在すると仮定して）
次のように解くことができる。 m {\displaystyle m}
m = θ 2 ( τ ) 4 θ 3 ( τ ) 4 {\displaystyle m={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}} これは実際には モジュラーラムダ関数 です。
計算の目的のために、誤差解析は [8]で与えられる。
| e − π i τ / 4 θ 2 ( τ ) − 2 ∑ n = 0 N − 1 q n ( n + 1 ) | ≤ { 2 | q | N ( N + 1 ) 1 − | q | 2 N + 1 , | q | 2 N + 1 < 1 ∞ , otherwise {\displaystyle \left|{e}^{-\pi i\tau /4}\theta _{2}\!\left(\tau \right)-2\sum _{n=0}^{N-1}{q}^{n\left(n+1\right)}\right|\leq {\begin{cases}{\frac {2{\left|q\right|}^{N\left(N+1\right)}}{1-\left|q\right|^{2N+1}}},&\left|q\right|^{2N+1}<1\\\infty ,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\;} | θ 3 ( τ ) − ( 1 + 2 ∑ n = 1 N − 1 q n 2 ) | ≤ { 2 | q | N 2 1 − | q | 2 N + 1 , | q | 2 N + 1 < 1 ∞ , otherwise {\displaystyle \left|\theta _{3}\!\left(\tau \right)-\left(1+2\sum _{n=1}^{N-1}{q}^{n^{2}}\right)\right|\leq {\begin{cases}{\frac {2{\left|q\right|}^{N^{2}}}{1-\left|q\right|^{2N+1}}},&\left|q\right|^{2N+1}<1\\\infty ,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\;} ここで 、および 。 N ∈ Z ≥ 1 {\displaystyle N\in \mathbb {Z} _{\geq 1}} Im τ > 0 {\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}
また
K [ m ] = π 2 θ 3 ( τ ) 2 , τ = i K [ 1 − m ] K [ m ] {\displaystyle K[m]={\frac {\pi }{2}}\theta _{3}(\tau )^{2},\quad \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}} どこ 。 m ∈ C ∖ { 0 , 1 } {\displaystyle m\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}
第二種完全楕円積分 第二種完全楕円積分 E ( k )のプロット 第二種完全楕円積分 E は 次のように定義される。
E ( k ) = ∫ 0 π 2 1 − k 2 sin 2 θ d θ = ∫ 0 1 1 − k 2 t 2 1 − t 2 d t , {\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt,}
あるいは、第二種不完全積分 E ( φ , k ) を用いてより簡潔に表すと、
E ( k ) = E ( π 2 , k ) = E ( 1 ; k ) . {\displaystyle E(k)=E\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=E(1;k).}
長半径 a と短半径 b を持ち、離心率 e = √ 1 − b 2 / a 2 である楕円の場合、第二種完全楕円積分 E ( e ) は、長半径 a を単位として測った楕円の円周 C の4分の1に等しい 。言い換えれば、
C = 4 a E ( e ) . {\displaystyle C=4aE(e).}
第二種完全楕円積分は 冪級数として表すことができる [9]
E ( k ) = π 2 ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) 2 k 2 n 1 − 2 n , {\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}},}
これは次の式と同等である。
E ( k ) = π 2 ( 1 − ( 1 2 ) 2 k 2 1 − ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) 2 k 4 3 − ⋯ − ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 k 2 n 2 n − 1 − ⋯ ) . {\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right).}
ガウスの超幾何関数 を用いると 、第二種完全楕円積分は次のように表される。
E ( k ) = π 2 2 F 1 ( 1 2 , − 1 2 ; 1 ; k 2 ) . {\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}
係数は次のように変換できます。 E ( k ) = ( 1 + 1 − k 2 ) E ( 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 ) − 1 − k 2 K ( k ) {\displaystyle E(k)=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\,E\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)-{\sqrt {1-k^{2}}}\,K(k)}
計算 第一種積分と同様に、第二種完全楕円積分は 算術幾何平均 を用いて非常に効率的に計算することができる。
数列 a n と g n を定義する。ここで a 0 = 1 、 g 0 = √ 1 − k 2 = k ′ であり、再帰関係 a n + 1 = a n + g n / 2 , g n + 1 = √ a n g n が成り立つ。さらに、定義する。 c n = | a n 2 − g n 2 | . {\displaystyle c_{n}={\sqrt {\left|a_{n}^{2}-g_{n}^{2}\right|}}.}
定義上、
a ∞ = lim n → ∞ a n = lim n → ∞ g n = agm ( 1 , 1 − k 2 ) . {\displaystyle a_{\infty }=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }g_{n}=\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right).}
また
lim n → ∞ c n = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=0.}
それから
E ( k ) = π 2 a ∞ ( 1 − ∑ n = 0 ∞ 2 n − 1 c n 2 ) . {\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2a_{\infty }}}\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n-1}c_{n}^{2}\right).}
実際には、算術幾何平均はある限界まで単純に計算されます。この式は、 | k | ≤ 1 のすべてにおいて二次収束します。計算をさらに高速化するために、 c n + 1 = という関係式が用いられます。 c n 2 / 4 a n + 1 使えます。
さらに、 k 2 = λ ( i √ r ) かつ （ λ は モジュラーラムダ関数 ）とすれば、 E ( k ) は を用いて閉じた形で表現できるため 、無限和項を必要とせずに計算できる。例えば、 r = 1 、 r = 3 、 r = 7 の場合には、それぞれ次式が得られる [10] 。 r ∈ Q + {\displaystyle r\in \mathbb {Q} ^{+}} K ( k ) = π 2 agm ( 1 , 1 − k 2 ) {\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}}
E ( 1 2 ) = 1 2 K ( 1 2 ) + π 4 K ( 1 2 ) , {\displaystyle E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\pi }{4K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}},}
そして
E ( 3 − 1 2 2 ) = 3 + 3 6 K ( 3 − 1 2 2 ) + π 3 12 K ( 3 − 1 2 2 ) , {\displaystyle E\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{12K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}},}
そして
E ( 3 − 7 4 2 ) = 7 + 2 7 14 K ( 3 − 7 4 2 ) + π 7 28 K ( 3 − 7 4 2 ) . {\displaystyle E\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {7+2{\sqrt {7}}}{14}}K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)+{\frac {\pi {\sqrt {7}}}{28K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)}}.}
微分方程式と微分方程式 d E ( k ) d k = E ( k ) − K ( k ) k {\displaystyle {\frac {dE(k)}{dk}}={\frac {E(k)-K(k)}{k}}} ( k 2 − 1 ) d d k ( k d E ( k ) d k ) = k E ( k ) {\displaystyle \left(k^{2}-1\right){\frac {d}{dk}}\left(k\;{\frac {dE(k)}{dk}}\right)=kE(k)}
この方程式の 2番目の解は E ( √1 − k2 ) −K ( √1 − k2 ) です 。
第三種完全楕円積分 第三種完全楕円積分 Π( n , k ) のプロット。nの値はいくつか固定されている 。 第三種完全楕円積分 Π は 次のように定義される。
Π ( n , k ) = ∫ 0 π 2 d θ ( 1 − n sin 2 θ ) 1 − k 2 sin 2 θ . {\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1-n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}
第三種楕円積分は、 特性 n の符号が逆になる形で定義されることもあるので注意が必要である。 Π ′ ( n , k ) = ∫ 0 π 2 d θ ( 1 + n sin 2 θ ) 1 − k 2 sin 2 θ . {\displaystyle \Pi '(n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1+n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}
第一種および第二種の完全楕円積分と同様に、第三種の完全楕円積分は算術幾何平均を用いて非常に効率的に計算することができる。
偏微分 ∂ Π ( n , k ) ∂ n = 1 2 ( k 2 − n ) ( n − 1 ) ( E ( k ) + 1 n ( k 2 − n ) K ( k ) + 1 n ( n 2 − k 2 ) Π ( n , k ) ) ∂ Π ( n , k ) ∂ k = k n − k 2 ( E ( k ) k 2 − 1 + Π ( n , k ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial n}}&={\frac {1}{2\left(k^{2}-n\right)(n-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{n}}\left(k^{2}-n\right)K(k)+{\frac {1}{n}}\left(n^{2}-k^{2}\right)\Pi (n,k)\right)\\[8pt]{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial k}}&={\frac {k}{n-k^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n,k)\right)\end{aligned}}}
ヤコビゼータ関数 1829年、ヤコビは ヤコビゼータ関数 を定義しました。 これは において周期的であり、 最小周期です 。これは ヤコビzn関数 との関係にあります 。文献（例えばWhittaker and Watson (1927)）では、 は Wikipediaの を意味する場合があります。また、一部の著者（例えばKing (1924)）はWikipediaの と の 両方に を 使用しています 。 Z ( φ , k ) = E ( φ , k ) − E ( k ) K ( k ) F ( φ , k ) . {\displaystyle Z(\varphi ,k)=E(\varphi ,k)-{\frac {E(k)}{K(k)}}F(\varphi ,k).} φ {\displaystyle \varphi } π {\displaystyle \pi } Z ( φ , k ) = zn ( F ( φ , k ) , k ) {\displaystyle Z(\varphi ,k)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,k),k)} Z {\displaystyle Z} zn {\displaystyle \operatorname {zn} } Z {\displaystyle Z} Z {\displaystyle Z} zn {\displaystyle \operatorname {zn} }
ルジャンドルの関係 ルジャンドル の関係式 または ルジャンドル恒等式は 、楕円係数の積分KとEとその反関係積分 [11] [12] の関係を2次積分方程式で表したものである。
互いにピタゴラス対応である 2 つのモジュールの場合、次の関係は有効です。
K ( ε ) E ( 1 − ε 2 ) + E ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) − K ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) = π 2 {\displaystyle K(\varepsilon )E\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)+E(\varepsilon )K\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)-K(\varepsilon )K\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}}
例えば：
K ( 3 5 ) E ( 4 5 ) + E ( 3 5 ) K ( 4 5 ) − K ( 3 5 ) K ( 4 5 ) = 1 2 π {\displaystyle K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})E({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})+E({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})-K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})={\tfrac {1}{2}}\pi } また、互いに接線方向に対応する 2 つのモジュールの場合、次の関係が有効です。
( 1 + ε ) K ( ε ) E ( 1 − ε 1 + ε ) + 2 1 + ε E ( ε ) K ( 1 − ε 1 + ε ) − 2 K ( ε ) K ( 1 − ε 1 + ε ) = 1 2 π {\displaystyle (1+\varepsilon )K(\varepsilon )E({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})+{\tfrac {2}{1+\varepsilon }}E(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})-2K(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})={\tfrac {1}{2}}\pi } 例えば：
4 3 K ( 1 3 ) E ( 1 2 ) + 3 2 E ( 1 3 ) K ( 1 2 ) − 2 K ( 1 3 ) K ( 1 2 ) = 1 2 π {\displaystyle {\tfrac {4}{3}}K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})E({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})+{\tfrac {3}{2}}E({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})-2K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi } 接線モジュラー対応物に対するルジャンドルの関係は、 ピタゴラス対応モジュラー上の ランデンモジュラー変換を使用することにより、ピタゴラス対応物に対するルジャンドルの恒等式から直接得られます。
レムニスカティックケースの特別な恒等式 レムニスカティックの場合、楕円係数または比離心率 ε は2の平方根の半分に等しい。レムニスカティックの場合のルジャンドルの恒等式は次のように証明できる。
連鎖律 によれば、 これらの導関数は次のようになります。
d d y K ( 1 2 2 ) − F [ arccos ( x y ) ; 1 2 2 ] = 2 x 1 − x 4 y 4 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}} d d y 2 E ( 1 2 2 ) − K ( 1 2 2 ) − 2 E [ arccos ( x y ) ; 1 2 2 ] + F [ arccos ( x y ) ; 1 2 2 ] = 2 x 3 y 2 1 − x 4 y 4 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}} 微積分学の基本定理 を使用すると、 次の式を生成できます。
K ( 1 2 2 ) − F [ arccos ( x ) ; 1 2 2 ] = ∫ 0 1 2 x 1 − x 4 y 4 d y {\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y} 2 E ( 1 2 2 ) − K ( 1 2 2 ) − 2 E [ arccos ( x ) ; 1 2 2 ] + F [ arccos ( x ) ; 1 2 2 ] = ∫ 0 1 2 x 3 y 2 1 − x 4 y 4 d y {\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y} 今述べた 2 つの積分の線形結合により、次の式が得られ ます 。
2 1 − x 4 { 2 E ( 1 2 2 ) − K ( 1 2 2 ) − 2 E [ arccos ( x ) ; 1 2 2 ] + F [ arccos ( x ) ; 1 2 2 ] } + {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}\,+} + 2 x 2 1 − x 4 { K ( 1 2 2 ) − F [ arccos ( x ) ; 1 2 2 ] } = ∫ 0 1 2 x 3 ( y 2 + 1 ) ( 1 − x 4 ) ( 1 − x 4 y 4 ) d y {\displaystyle +\,{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}\,y^{4})}}}\,\mathrm {d} y} 積の法則 を使用して、ここに示した関数から x に関連する元の不定積分を形成すると、 次の式が得られます。
{ K ( 1 2 2 ) − F [ arccos ( x ) ; 1 2 2 ] } { 2 E ( 1 2 2 ) − K ( 1 2 2 ) − 2 E [ arccos ( x ) ; 1 2 2 ] + F [ arccos ( x ) ; 1 2 2 ] } = {\displaystyle {\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=} = ∫ 0 1 1 y 2 ( y 2 + 1 ) [ artanh ( y 2 ) − artanh ( 1 − x 4 y 2 1 − x 4 y 4 ) ] d y {\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1){\biggl [}{\text{artanh}}(y^{2})-{\text{artanh}}{\bigl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\bigr )}{\biggr ]}\mathrm {d} y} この整数恒等式に値を 挿入すると、次の恒等式が出現します。 x = 1 {\displaystyle x=1}
K ( 1 2 2 ) [ 2 E ( 1 2 2 ) − K ( 1 2 2 ) ] = ∫ 0 1 1 y 2 ( y 2 + 1 ) artanh ( y 2 ) d y = {\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggl [}2\,E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\,{\text{artanh}}(y^{2})\,\mathrm {d} y=} = [ 2 arctan ( y ) − 1 y ( 1 − y 2 ) artanh ( y 2 ) ] y = 0 y = 1 = 2 arctan ( 1 ) = π 2 {\displaystyle ={\biggl [}2\arctan(y)-{\frac {1}{y}}(1-y^{2})\,{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=2\arctan(1)={\frac {\pi }{2}}} ルジャンドルの等式からのこのレムニスカティックな抜粋は次のようになります。
2 E ( 1 2 2 ) K ( 1 2 2 ) − K ( 1 2 2 ) 2 = π 2 {\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}
全体的なケースの一般化 ここで、モジュラー一般の場合 [13] [14] が解明される。この目的のために、完全楕円積分の導関数はモジュラスの後に導出され 、それらを結合する。そして、ルジャンドルの恒等式バランスが決定される。 ε {\displaystyle \varepsilon }
円関数 の導関数は、 同一の写像関数 と円関数の逆数の 負の積であるため、
d d ε 1 − ε 2 = − ε 1 − ε 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}=-\,{\frac {\varepsilon }{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}} これらは、この記事の上のセクションで示した K と E の導関数です。
d d ε K ( ε ) = 1 ε ( 1 − ε 2 ) [ E ( ε ) − ( 1 − ε 2 ) K ( ε ) ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}} d d ε E ( ε ) = − 1 ε [ K ( ε ) − E ( ε ) ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )=-\,{\frac {1}{\varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )-E(\varepsilon ){\bigr ]}} 円関数の導関数と組み合わせると、これらの導関数は有効になります。
d d ε K ( 1 − ε 2 ) = 1 ε ( 1 − ε 2 ) [ ε 2 K ( 1 − ε 2 ) − E ( 1 − ε 2 ) ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}} d d ε E ( 1 − ε 2 ) = ε 1 − ε 2 [ K ( 1 − ε 2 ) − E ( 1 − ε 2 ) ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}{\bigl [}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}} ルジャンドルの恒等式は、任意の2つの完全楕円積分の積を含む。ルジャンドルの恒等式の等式スケールから関数の辺を導出するために、 積の法則を 以下のように適用する。
d d ε K ( ε ) E ( 1 − ε 2 ) = 1 ε ( 1 − ε 2 ) [ E ( ε ) E ( 1 − ε 2 ) − K ( ε ) E ( 1 − ε 2 ) + ε 2 K ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}} d d ε E ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) = 1 ε ( 1 − ε 2 ) [ − E ( ε ) E ( 1 − ε 2 ) + E ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) − ( 1 − ε 2 ) K ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}} d d ε K ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) = 1 ε ( 1 − ε 2 ) [ E ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) − K ( ε ) E ( 1 − ε 2 ) − ( 1 − 2 ε 2 ) K ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}} これら 3 つの方程式のうち、上の 2 つの方程式を加算し、下の方程式を引くと、次の結果が得られます。
d d ε [ K ( ε ) E ( 1 − ε 2 ) + E ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) − K ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) ] = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}=0} 方程式のバランスに関しては、 常に値ゼロが返されます。 ε {\displaystyle \varepsilon }
以前に決定された結果は、前のセクションで計算された 係数のルジャンドル方程式と組み合わせる必要があります。 ε = 1 / 2 {\displaystyle \varepsilon =1/{\sqrt {2}}}
2 E ( 1 2 2 ) K ( 1 2 2 ) − K ( 1 2 2 ) 2 = π 2 {\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}} 最後の 2 つの式を組み合わせると、次の結果が得られます。
K ( ε ) E ( 1 − ε 2 ) + E ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) − K ( ε ) K ( 1 − ε 2 ) = 1 2 π {\displaystyle K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi } 連続関数の微分が常にゼロの値を取る場合、その関数は定数関数です。つまり、この関数は各横軸の値に対して同じ関数値を持ち 、したがって関数グラフは水平な直線になります。 ε {\displaystyle \varepsilon }
参照
参考文献
注記
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外部リンク ウィキメディア コモンズには、楕円積分 に関連するメディアがあります 。
「楕円積分」 数学百科事典 、 EMSプレス 、2001 [1994] Eric W. Weisstein、「楕円積分」（Mathworld） 楕円積分評価のためのMATLABコード（楕円プロジェクト） 完全楕円積分の有理近似（Exstrom Laboratories） 楕円積分の加法定理の簡単な歴史
![{\displaystyle F{\bigl [}\arctan(x),k{\bigr ]}+F{\bigl [}\arctan(y),k{\bigr ]}=F\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57910fd4c508794e391acf88c5a0773167da8c3a)
![{\displaystyle F{\bigl [}\arcsin(x),k{\bigr ]}={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76eea8fbafa5746e507a2b9aa62ba30683aa47ad)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E{\left(\operatorname {sn} (u;k);k\right)}=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(w;k)\,dw&=uk^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {sn} ^{2}(w;k)\,dw\\[1ex]&=\left(1-k^{2}\right)u+k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {cn} ^{2}(w;k)\,dw.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3daa5ea5ba73b833fb145588e70b71f71415c222)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&E{\left[\arctan(x),k\right]}+E{\left[\arctan(y),k\right]}\\[.5ex]&\quad =E{\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}\\[1ex]&\qquad +{\frac {k^{2}xy}{k'^{2}x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}}\left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}+{\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4623434407e9ffa9f529ff9092a8e2a951a5a5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E{\left[\arcsin(x),k\right]}&=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)E{\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}\\[.5ex]&\quad -{\sqrt {1-k^{2}}}F{\left[\arcsin(x),k\right]}+{\frac {k^{2}x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab1e825380f6de03abc6d12a96c936d580b1598)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {1-k^{2}}}{2}},{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\operatorname {agm} \left(1,{\frac {2{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}K\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6746059c2ef65a4af7d2856a18b5c5ebe7d179fb)
![{\displaystyle K(k)=n\left[\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left({\frac {2a}{n}}K(k);k\right)\right]^{-1}K\left[k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left({\frac {2a-1}{n}}K(k);k\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e4dd3df58277155b3c0a3a472621affaaedad5)
![{\displaystyle K\left({\sqrt {2}}-1\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right){\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}{8{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\pi }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af68e2bb757bf83cb31b8c621daba7d08d25233)
![{\displaystyle K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{8\pi }}{\sqrt[{4}]{3}}\,{\sqrt[{3}]{4}}\,\Gamma {\biggl (}{\frac {1}{3}}{\biggr )}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91fa028e9c294b1850c7a3ed45260a6ecfcf0cee)
![{\displaystyle K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {4}{7}}\right)}{4{\sqrt[{4}]{7}}\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71967f390fee21bad3fb4f6a4422fb095cd6c06d)
![{\displaystyle K\left(e^{5\pi i/6}\right)={\frac {e^{-\pi i/12}\Gamma ^{3}\left({\frac {1}{3}}\right){\sqrt[{4}]{3}}}{4{\sqrt[{3}]{2}}\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9aeeb4847d98060f6d067a35f0d07b04e7f308)
![{\displaystyle q=q(k)=\exp[-\pi K'(k)/K(k)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb86726110efea04f613a63fbdb98f397fa30d15)
![{\displaystyle K[m]=\int _{0}^{\pi /2}{\dfrac {d\theta}{\sqrt {1-m\sin^{2}\theta}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3007fef4e342b267f123e7b3e8a9c93f119d8a5)
![{\displaystyle \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e80a5226937cb73c0699926d4cfa3e10d4aca09d)
![{\displaystyle K[m]={\frac {\pi }{2}}\theta _{3}(\tau )^{2},\quad \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee3b2fe5e7899ee67a5c9f8d6364a9c7cb92b9d2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial n}}&={\frac {1}{2\left(k^{2}-n\right)(n-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{n}}\left(k^{2}-n\right)K(k)+{\frac {1}{n}}\left(n^{2}-k^{2}\right)\Pi (n,k)\right)\\[8pt]{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial k}}&={\frac {k}{nk^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n,k)\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ebce786ea35739a3664eb489c14c514a1c4d602)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc1718190eb8439c5553637893ee9656401692e)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51fd6c63925cf33e09dd212d2f2855ee54c35a9e)
![{\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58282761c03c55c3f20388ee7bf290e4dbc1df6a)
![{\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199cf8df44d0d8a8724c407a1bc765265fa06832)
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}\,+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2728dee1248dd6d671e14e2a97c8ba1ea1f9dc7)
![{\displaystyle +\,{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}\,y^{4})}}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57d166320807a046a01e07b470de52bfd40a80e)
![{\displaystyle {\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e9f11c1f6b542a1f472fb7b974897d33203df1)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1){\biggl [}{\text{artanh}}(y^{2})-{\text{artanh}}{\bigl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\bigr )}{\biggr ]}\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2503c8ea3948bd57fb32a6a33e02c60afcac539)
![{\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggl [}2\,E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\,{\text{artanh}}(y^{2})\,\mathrm {d} y=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6222e15184d9633c7d6c2406698e6e018464ee)
![{\displaystyle ={\biggl [}2\arctan(y)-{\frac {1}{y}}(1-y^{2})\,{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=2\arctan(1)={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec66a7530dc2aacf368477e7fe3ee49ddc4c3273)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8257c714bf0c36a8da6b69b079fb6aa68ca8779)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )=-\,{\frac {1}{\varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )-E(\varepsilon ){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9f0f2fa512b0426ff239625f6651b4cd519591)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb0a0cfe27981a29e18422cdd2fabf9f4fe241ee)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}{\bigl [}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165f349634d534b3da323035a60dd50f249e26c1)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f346b9a656f98160dcbf47164685c470bf227ca1)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/442ae2b56db1b68bee1c2b44535a248527fc2e32)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0981cb098ac4b82cb503bffa8964b0d92030ae8d)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a6abc97b33945523271bd18bd396c52280c64a)
