空格子近似

空格子近似は、ポテンシャルが周期的かつ弱い（ほぼ一定）場合の理論的な電子バンド構造モデルである。また、ポテンシャルが周期的ではない、空格子^（[^{説明が必要}^{]）も考えられる。}^{[1]空格子近似は、}結晶格子中を移動する相互作用しない自由電子のエネルギー分散関係の多くの特性を記述する。「空格子」内の電子のエネルギーは、自由電子のエネルギーと同じである。このモデルは、固体におけるエネルギー分散関係の、時には非常に複雑な特徴のいくつかを明確に示すため有用であり、これらの特徴はすべての電子バンド構造の基礎となる。

散乱と周期性

この自由電子モデルにおける格子の周期的ポテンシャルは弱くなければならない。そうでなければ電子は自由にならないからである。散乱の強さは主にシステムの形状と位相に依存する。散乱断面積のような位相的に定義されたパラメータはポテンシャルの大きさとポテンシャル井戸の大きさに依存する。1次元、2次元、3次元空間では、ポテンシャルがどれだけ小さくても、その符号が何であっても、またはそのサイズがどれだけ限られていようと、ポテンシャル井戸は常に波を散乱させる。クローニッヒ・ペニーモデルのような1次元格子内の粒子の場合、ポテンシャル、格子間隔、ポテンシャル井戸の大きさの値を代入することによってバンド構造を解析的に計算することができる。^{[2] 2次元および3次元の問題では、少数のパラメータを持つ類似のモデルに基づいてバンド構造を正確に計算することはより困難である。それでも、バンド構造の特性はほとんどの領域で}摂動法によって容易に近似することができる。

理論上、格子は無限に大きいため、弱い周期的散乱ポテンシャルは最終的には波を反射するのに十分な強さになります。散乱過程は、結晶構造の周期ポテンシャルによる電子のブラッグ反射というよく知られた現象をもたらします。これが、分散関係の周期性とブリルアンゾーンにおける k空間の分割の起源です。周期的なエネルギー分散関係は次のように表されます。

E_{n}(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} +\mathbf {G} _{n})^{2}}{2m}}

これらはバンド^[^{説明が必要}^{]が属する}逆格子ベクトルです。 $\mathbf {G} _{n}$ $E_{n}(\mathbf {k} )$

右の図は、長さaの格子セルを持つ 1 次元格子の逆格子空間における 3 つの周期の分散関係を示しています。

エネルギーバンドと状態密度

1次元格子では、エネルギーが上昇すると、エネルギー区間内のバンドを決定する逆格子ベクトルの数は2つに制限されます。2次元および3次元格子では、波数ベクトルの長さが増加しエネルギーが上昇すると、自由電子バンドを決定する逆格子ベクトルの数はより急速に増加します。これは、区間内に存在する逆格子ベクトルの数が増加するためです。エネルギー区間内の状態密度は、逆格子空間内の区間内の状態数と分散関係の傾きに依存します。 $\mathbf {G} _{n}$ $E_{n}(\mathbf {k} )$ $\mathbf {G} _{n}$ $[\mathbf {k} ,\mathbf {k} +d\mathbf {k} ]$ $[E,E+dE]$ $[\mathbf {k} ,\mathbf {k} +d\mathbf {k} ]$ $E_{n}(\mathbf {k} )$

格子セルは球対称ではないが、分散関係を中心ブリルアンゾーンの外側に拡張した場合、逆格子セル内の固定された中心点の観点からは、分散関係は依然として球対称性を持つ。3次元格子内の状態密度は、格子がない場合と同じになる。3次元の場合、状態密度は以下の通りである。 $D_{3}\left(E\right)$

D_{3}\left(E\right)=2\pi {\sqrt {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{3}}}}\ .

3次元空間において、ブリルアンゾーン境界は平面です。分散関係は、あらゆる逆格子ベクトルに対して、自由電子エネルギー分散放物線の円錐曲線を示します。評価軌道、一次および高次のブリルアンゾーン境界、分散放物線交差円錐の間には多数の角度が考えられるため、分散関係を計算すると、非常に複雑な曲線の交差集合が生じます。

第二、第三、さらに高次のブリルアンゾーン

第一ブリルアンゾーンの遥か外側の波数ベクトルを持つ固体格子中を移動する「自由電子」は、依然として第一ブリルアンゾーンに反射されます。例や図のあるサイトについては、外部リンクセクションをご覧ください。 $\mathbf {k}$

ほぼ自由電子モデル

アルミニウムのようなほとんどの単純金属では、遮蔽効果により固体中のイオンの電界は大きく減少します。静電ポテンシャルは次のように表されます。

V(r)={\frac {Ze}{r}}e^{-qr}

ここで、Zは原子番号、eは基本単位電荷、rは埋め込まれたイオンの核までの距離、qはポテンシャルの範囲を決定する遮蔽パラメータである。格子ポテンシャルのフーリエ変換は、次のように表される。 $U_{\mathbf {G} }$ $V(\mathbf {r} )$

U_{\mathbf {G} }={\frac {4\pi Ze}{q^{2}+G^{2}}}

ハミルトニアンにおける逆格子ベクトル間の非対角要素の値がほぼゼロになると、バンドギャップの大きさは減少し、空格子近似が得られる。 $U_{\mathbf {G} }$ $2|U_{\mathbf {G} }|$

一般的な金属結晶の電子バンド

いくつかの特殊な例外を除けば、金属は、BCC および FCC立方結晶構造と、六方最密充填HCP結晶構造の 3 種類の結晶構造で結晶化します。

体心立方格子（I）
面心立方格子（F）
六方最密充填

参考文献

^ 物理学講義ノート. P.Dirac, Feynman, R., 1968. インターネット, Amazon, 2014年3月25日.
^ C. Kittel (1953–1976).固体物理学入門. Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-49024-1。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

外部リンク

ブリルアンゾーンの単純格子図（Thayer Watkins著） 2006年9月14日アーカイブ - Wayback Machine
ブリルアンゾーンの3次元格子図（テクニオン）。2006年12月5日、 Wayback Machineにアーカイブ。
DoITPoMS 教育学習パッケージ - 「ブリルアンゾーン」

[1] 物理学講義ノート. P.Dirac, Feynman, R., 1968. インターネット, Amazon, 2014年3月25日.

[Kittel-2] C. Kittel (1953–1976).固体物理学入門. Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-49024-1。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)