双代数

数学において、体K上の双代数は、 K上のベクトル空間であり、単位結合代数と共単位共結合余代数の両方である。^[1]^{: 46} 代数構造と余代数構造は、さらにいくつかの公理と互換性がある。具体的には、余乗法と余単位はどちらも単位代数準同型であり、または同値として、代数の乗法と単位はどちらも余代数射である。^[1]^{: 46} （これらのステートメントは同じ可換図式で表されるため、同値である。）^[1]^{: 46}

類似の双代数は双代数準同型によって関連付けられる。双代数準同型とは、代数と余代数準同型の両方である線型写像である。 ^[2]^{: 45}

可換図の対称性に反映されているように、双代数の定義は自己双対なので、 Bの双対を定義できる場合( Bが有限次元の場合は常に可能)、それは自動的に双代数になります。

正式な定義

( B ,∇,η,Δ,ε)がK上の双代数であるとは、以下の性質を持つ場合である

BはK上のベクトル空間である。
K -線型写像（乗法）∇：B ⊗ B → B（K -多重線型写像∇：B × B → Bと同等）と（単位）η：K → Bがあり、（B 、∇、η）は単位結合代数である。
K線型写像（共乗） Δ: B → B ⊗ Bと（共単位） ε: B → Kがあり、（B、Δ、ε）は（共単位共結合）余代数である。
互換性条件は次の交換図によって表現されます。

乗法∇と乗法Δ ^[3]^：147
ここでτ: B ⊗ B → B ⊗ Bは、 B内のすべてのxとyに対してτ( x ⊗ y ) = y ⊗ xで定義される線型写像である。
乗法∇と余弦ε ^[4]^{: 148}
共乗Δと単位η ^[4]^{: 148}
単位ηおよび単位ε ^[4]^{: 148}

共結合性と共単位

K線型写像Δ : B → B ⊗ Bは、次の条件を満たす場合共結合的である $(\mathrm {id} _{B}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta$

K線型写像 ε: B → Kがコユニットとなるのは、次の場合である。 $(\mathrm {id} _{B}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{B}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta$

共結合性と共単位性は、次の 2 つの図の可換性によって表現されます (これらは代数の共結合性と単位性を表現する図の双対です)。

適合条件

4つの可換図式は、「余乗法と余単位元は代数の準同型である」、あるいは「乗法と単位元は余代数の準同型である」と読むことができます

これらの記述は、B以外のすべてのベクトル空間における代数と余代数の自然な構造を説明すれば意味を成す。( K ,∇0 _, η0 ₎は明らかに単位結合代数であり、( B⊗B ,∇2 _, η2 ₎は単位と乗算を持つ単位結合代数である。

\eta _{2}:=(\eta \otimes \eta ):K\otimes K\equiv K\to (B\otimes B)

\nabla _{2}:=(\nabla \otimes \nabla )\circ (id\otimes \tau \otimes id):(B\otimes B)\otimes (B\otimes B)\to (B\otimes B)

、

となるように、または、∇を省略して、掛け算を並置として書きます $\nabla _{2}((x_{1}\otimes x_{2})\otimes (y_{1}\otimes y_{2}))=\nabla (x_{1}\otimes y_{1})\otimes \nabla (x_{2}\otimes y_{2})$ $(x_{1}\otimes x_{2})(y_{1}\otimes y_{2})=x_{1}y_{1}\otimes x_{2}y_{2}$

同様に、( K , Δ ₀ , ε ₀ )は明らかに余剰代数であり、B ⊗ Bは余単位元と余乗法を持つ余剰代数である。

\epsilon _{2}:=(\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K\otimes K\equiv K

\Delta _{2}:=(id\otimes \tau \otimes id)\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)\otimes (B\otimes B)

。

そして、図1と図3は、Δ: B → B ⊗ Bが単位（結合）代数 ( B , ∇, η ) と ( B ⊗ B , ∇ ₂ , η ₂ )の準同型であることを示しています

\Delta \circ \nabla =\nabla _{2}\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)

、または単にΔ( xy ) = Δ( x ) Δ( y )、

\Delta \circ \eta =\eta _{2}:K\to (B\otimes B)

、または単に Δ(1 _B ) = 1 _{B ⊗ B} ;

図2と図4は、ε: B → Kが単位（結合）代数（B、∇、η）と（K、∇0 _、 η0 _）の準同型であることを示しています。

\epsilon \circ \nabla =\nabla _{0}\circ (\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K

、または単に ε( xy ) = ε( x ) ε( y )

\epsilon \circ \eta =\eta _{0}:K\to K

、あるいは単に ε(1 _B ) = 1 _K。

同様に、図1と図2は、∇: B ⊗ B → Bが（共役共結合的）余代数（ B ⊗ B、Δ ₂、ε ₂）と（B 、Δ、ε）の準同型であることを示しています。

\nabla \otimes \nabla \circ \Delta _{2}=\Delta \circ \nabla :(B\otimes B)\to (B\otimes B),

\nabla _{0}\circ \epsilon _{2}=\epsilon \circ \nabla :(B\otimes B)\to K

;

図3と図4は、η: K → Bが（共役共結合的）余代数（ K ,Δ0 _, ε0 _）と（B ,Δ,ε）の準同型であることを示しています

\eta _{2}\circ \Delta _{0}=\Delta \circ \eta :K\to (B\otimes B),

\eta _{0}\circ \epsilon _{0}=\epsilon \circ \eta :K\to K

、

ここで

\epsilon _{0}=id_{K}=\eta _{0}

。

例

群双代数

双代数の例としては、有限群 G (またはより一般的には任意の有限モノイド) からへの関数の集合が挙げられます。これは、各g ∈ Gについて標準基底ベクトルe _gの線形結合からなるベクトル空間として表すことができます。これは、係数がすべて非負で合計が 1 になるベクトルの場合、 G上の確率分布を表すことができます。共単位余代数を生成する適切な共乗演算子と共単位の例としては、 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{G}$

\Delta (\mathbf {e} _{g})=\mathbf {e} _{g}\otimes \mathbf {e} _{g}\,,

これはランダム変数のコピーを作成することを表し（線形性によってこれをすべてに拡張します）、 $\mathbb {R} ^{G}$

\varepsilon (\mathbf {e} _{g})=1\,,

（これもまたの全体に線形拡張される）は、確率変数の「トレースアウト」、すなわち、 （単一のテンソル因子で表される）確率変数の値を忘れて、残りの変数（残りのテンソル因子）の周辺分布を得ることを表す。上記のように確率分布の観点から（Δ,ε）を解釈すると、双代数整合性条件は（∇,η）に対する以下の制約条件となる。 $\mathbb {R} ^{G}$

ηは他のすべての確率変数から独立した正規化された確率分布を作成する演算子です。
積∇は、2つの変数の確率分布を1つの変数の確率分布にマッピングします。
η によって与えられた分布内のランダム変数をコピーすることは、分布 η 内に 2 つの独立したランダム変数を持つことと同じです。
2 つのランダム変数の積を取り、結果として得られるランダム変数のコピーを準備すると、各ランダム変数のコピーを互いに独立して準備し、それらをペアで乗算した場合と同じ分布になります。

これらの制約を満たすペア（∇,η）は畳み込み演算子である

\nabla {\bigl (}\mathbf {e} _{g}\otimes \mathbf {e} _{h}{\bigr )}=\mathbf {e} _{gh}\,,

これを再び線形性によってすべてに拡張すると、2つのランダム変数の分布から正規化された確率分布が生成され、デルタ分布を単位として持ちます。ここで、i∈Gはグループ G の単位元を表します。 $\mathbb {R} ^{G}\otimes \mathbb {R} ^{G}$ $\eta =\mathbf {e} _{i}\;,$

その他の例

双代数のその他の例としては、テンソル代数があります。テンソル代数は、適切な余乗法と余単位法を追加することで双代数にすることができます。これらについては、その記事で詳細に説明されています

双代数は、適切な対掌体が見つかればホップ代数へと拡張できることが多いため、すべてのホップ代数は双代数の例となる。 ^[5]^{: 151} 積と余乗法の互換性が異なる、あるいは乗法と余乗法の種類が異なる類似の構造としては、リー双代数とフロベニウス代数が挙げられる。その他の例は、余代数に関する記事に示されている。

参照

準双代数

注釈

^ abc Kassel 2012, p. 46
^ カッセル 2012年、45ページ。
^ ダスカレスク、ナスタセスク、ライアヌ、2001、p. 147.
^ abc ダスカレスク、ナスタセスク、ライアヌ 2001、p. 148.
^ ダスカレスク、ナスタセスク、ライアヌ、2001、p. 151.

参考文献

Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001)、「4. 双代数とホップ代数」、ホップ代数：入門、純粋・応用数学、第235巻、Marcel Dekker、ISBN 0-8247-0481-9。
ヘイズウィンケル、ミヒール、グバレニ、ナディア、キリチェンコ、V. (2010). 「双代数とホップ代数。動機、定義、および例」。代数、環、加群リー代数とホップ代数。アメリカ数学会。131 ～ 173ページ。ISBN 978-0-8218-5262-0。全文PDFをダウンロード
カッセル、クリスチャン (2012). 「ホップ代数の言語」. 量子群. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. ISBN 978-1-4612-0783-2。
アンダーウッド、ロバート・G.（2011年8月28日）ホップ代数入門。シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア。ISBN 978-0-387-72766-0。オンラインブック

[FOOTNOTEKassel2012[httpsbooksgooglecombooksid0pHfBwAAQBAJpgPA46_46]-1] Kassel 2012, p. 46

[FOOTNOTEKassel2012[httpsbooksgooglecombooksid0pHfBwAAQBAJpgPA45_45]-2] カッセル 2012年、45ページ。

[FOOTNOTEDăscălescuNăstăsescuRaianu2001[httpsbooksgooglecombooksidpBJ6sbPHA0ICpgPA147dq22isamorphismofcoalgebras22_147]-3] ダスカレスク、ナスタセスク、ライアヌ、2001、p. 147.

[FOOTNOTEDăscălescuNăstăsescuRaianu2001[httpsbooksgooglecombooksidpBJ6sbPHA0ICpgPA148dq22isamorphismofcoalgebras22_148]-4] ダスカレスク、ナスタセスク、ライアヌ 2001、p. 148.

[FOOTNOTEDăscălescuNăstăsescuRaianu2001[httpsbooksgooglecombooksidpBJ6sbPHA0ICpgPA151dq22havinganantipodeiscalled22_151]-5] ダスカレスク、ナスタセスク、ライアヌ、2001、p. 151.