正確な関数

数学、特にホモロジー代数において、完全関手とは、短い完全列を保存する関手である。完全関手は、オブジェクトの表現に直接適用できるため、代数計算に便利である。ホモロジー代数における多くの研究は、完全ではないものの、制御可能な方法で 関手に対処することを目的としている。

定義

PとQをアーベル圏とし、F : P → Qを共変加法関手（特にF (0)=0）とする。Fが完全関手であるとは、

${\displaystyle 0\to A\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\to 0}$

がPの短完全列である場合、

${\displaystyle 0\to F(A)\ {\stackrel {F(f)}{\longrightarrow }}\ F(B)\ {\stackrel {F(g)}{\longrightarrow }}\ F(C)\to 0}$

はQの短い完全列である。（写像はしばしば省略され、暗黙的に表され、「0→ A → B → C →0が完全ならば、0→ F ( A )→ F ( B )→ F ( C )→0も完全である」と言われる。）

さらに、Fは

• 0→ A → B → C →0 が正確な場合は常に 0→ F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) も正確であれば左正確。
• 0→ A → B → C →0 が正確な場合は常にF ( A )→ F ( B )→ F ( C )→0 も正確であれば右正確である。
• 半正確とは、0→ A → B → C →0 が正確であるとき、 F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) が正確であることを意味する。これは位相的半正確関手の概念とは異なる。

GがPからQへの反変加法関手である場合、同様にG を次の ように定義する。

• 0→ A → B → C →0 が正確であれば、0→ G ( C ) → G ( B )→ G ( A )→0 も正確であれば正確です。
• 0→ A → B → C →0 が正確な場合は常に 0→ G ( C )→ G ( B )→ G ( A ) も正確であれば左正確。
• 0→ A → B → C →0 が正確であればG ( C )→ G ( B )→ G ( A )→0 も正確であれば右正確である。
• 0→ A → B → C →0 が正確な場合は常にG ( C )→ G ( B )→ G ( A ) が正確であれば半正確です。

ある程度の正確性を保つために、必ずしも0→ A → B → C → 0という完全な短完全列から始める必要はありません。以下の定義は上記の定義と同等です。

• Fが正確であるのは、 A → B → Cが正確であればF ( A )→ F ( B )→ F ( C ) が正確になる場合のみである。
• Fが左正確である場合、かつその場合のみ、0→ A → B → C正確であれば 0→ F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) 正確である（つまり、「Fはカーネルをカーネルに変換する」）；
• Fが右正確である場合、かつA → B → C →0 正確であればF ( A )→ F ( B )→ F ( C )→0 正確である（つまり、「F はコカーネルをコカーネルに変換する」場合）に限ります。
• Gが左正確である場合、かつA → B → C →0 正確であれば 0→ G ( C )→ G ( B )→ G ( A ) 正確である（つまり、「G はコカーネルをカーネルに変換する」場合）に限ります。
• Gが右正確である場合、0→ A → B → C正確であればG ( C )→ G ( B )→ G ( A )→0 正確であることを意味します (つまり、「G がカーネルをコカーネルに変換する」場合)。

例

アーベル範疇の同値性や双対性はすべて正確です。

左完全関数の最も基本的な例はHom 関数です。A がアーベル圏で A が A のオブジェクトである場合、 F A ( X ) = _Hom A ( A _, X )はAからアーベル群の圏Abへの共変左完全関数を定義します。^{[ 1 ]}関数F _Aが完全である場合、かつその場合のみ、Aが射影的です。^{[ 2 ]}関数G _A ( X ) = Hom _A ( X , A ) は反変左完全関数です。^{[ 3 ]} Aが単射である場合、かつその場合のみ、完全です。^{[ 4 ]}

kが体でVがk上のベクトル空間である場合、 V * = Hom _k ( V , k )と書きます（これは一般に双対空間と呼ばれます）。これにより、 kベクトル空間のカテゴリからそれ自身への反変完全関数が得られます。（正確性は上記から導かれます。つまり、 kはk加群の単射です。あるいは、 kベクトル空間のすべての短完全列 はを分割し、任意の加法関数は分割列を分割列に変換すると も言えます。）

X が位相空間であるとき、 X上のアーベル群のすべての層のアーベル圏を考えることができる。各層Fに大域切断群F ( X )を関連付ける共変関数は左完全である。

Rが環でTが右R加群である場合、R上のテンソル積を用いて、すべての左R加群のアーベル圏からAbへの関数H _Tを定義できます: H _T ( X ) = T ⊗ X。これは共変右完全関数です。言い換えれば、左R加群の完全列A → B → C →0が与えられたとき、アーベル群の列T ⊗ A → T ⊗ B → T ⊗ C → 0 は完全です。

関数H _{T が}完全である場合、かつその場合Tは平坦です。たとえば、は平坦- 加群です。したがって、 を- 加群としてテンソル化することは完全関数です。証明: iが -加群の入射写像である場合、対応するテンソル積間の写像は入射的であることを示すだけで十分です。 が捩れ元または である場合に限り、 であることを示すことができます。与えられたテンソル積は純粋テンソルのみを持ちます。したがって、純粋テンソルが核内にある場合、それはゼロであることを示すだけで十分です。 が核の要素であると仮定します。このとき、は捩れです。は入射的であるため、は捩れです。したがって、 です。したがって、も入射的です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle i:M\to N}$ ${\displaystyle M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle m\otimes q=0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle m\otimes q}$ ${\displaystyle m\otimes q}$ ${\displaystyle i(m)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\otimes q=0}$ ${\displaystyle M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q} }$

一般に、Tが平坦でない場合、テンソル積は左完全ではありません。例えば、-加群の短完全列を考えてみましょう。を でテンソル化すると、もはや完全ではない列が得られます。これは、 が捩れ自由でないため平坦ではないためです。 ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle 5\mathbf {Z} \hookrightarrow \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$

Aがアーベル圏であり、C が任意の小さな圏である場合、 CからAへのすべての関手からなる関手圏A ^Cを考えることができる。これはアーベル的である。XがCの与えられた対象である場合、 Xにおける関手を評価することにより、 A ^CからAへの関手E _Xが得られる。この関手E _Xは正確である。

テンソル化は左正確ではないかもしれないが、テンソル化は右正確関数であることが示される。

定理：A、B、C、Pを、乗法単位元を持つ可換環RのR加群とする。R加群の 短完全列とする。すると、 ${\displaystyle A\ {\stackrel {f}{\to }}\ B\ {\stackrel {g}{\to }}\ C\to 0}$

${\displaystyle A\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}B\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}C\otimes _{R}P\to 0}$

もR加群の短完全列である。（Rは可換なので、この列はR加群の列であり、単なるアーベル群の列ではない。）ここで、

${\displaystyle f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p}$。

これには便利な帰結があります。IがRのイデアルであり、P が上記の通りであれば、次のようになります。 ${\displaystyle P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP}$

証明: （fは包含、gは射影）はR加群の正確な列である。上記より、 :もR加群の短正確な列であることがわかる。正確には、 fは包含なので である。ここで、純粋テンソル上に定義された写像をR線形に拡張することによって得られるからのR加群準同型を考えてみよう。は を意味する。したがって、この写像の核にはゼロでない純粋テンソルは含まれない。 は純粋テンソルのみで構成される： の場合 。したがって、この写像は単射である。明らかに上に存在する。したがって、。同様に、。これは系を証明している。 ${\displaystyle I{\stackrel {f}{\to }}R{\stackrel {g}{\to }}R/I\to 0}$ ${\displaystyle I\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}R\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}R/I\otimes _{R}P\to 0}$ ${\displaystyle R/I\otimes _{R}P\cong (R\otimes _{R}P)/Image(f\otimes P)=(R\otimes _{R}P)/(I\otimes _{R}P)}$ ${\displaystyle R\otimes _{R}P\rightarrow P}$ ${\displaystyle r\otimes p\mapsto rp.rp=0}$ ${\displaystyle 0=rp\otimes 1=r\otimes p}$ ${\displaystyle R\otimes _{R}P}$ ${\displaystyle x_{i}\in R,\sum _{i}x_{i}(r_{i}\otimes p_{i})=\sum _{i}1\otimes (r_{i}x_{i}p_{i})=1\otimes (\sum _{i}r_{i}x_{i}p_{i})}$ ${\displaystyle R\otimes _{R}P\cong P}$ ${\displaystyle I\otimes _{R}P\cong IP}$

別の応用として、 に対して であることを示します。ここで、n はmを割り切れる最大の2のべき乗です。特別な場合として、m =12 であることを証明します。 ${\displaystyle P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P}$ ${\displaystyle k=m/2^{n}}$

証明：純粋テンソル を考える。また、 に対して が成り立つ。これは が成り立つことを示す。 とすると、 A、B、C、Pは通常の乗算​​作用によりR = Z加群となり、主定理の条件を満たす。定理によって示される正確さと上記の注釈により、 が成り立つ 。最後の合同性は、 を示す系の証明と同様の議論から導かれる。 ${\displaystyle (12z)\otimes (a/2^{k})\in (12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P).(12z)\otimes (a/2^{k})=(3z)\otimes (a/2^{k-2})}$ ${\displaystyle (3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})}$ ${\displaystyle (12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)}$ ${\displaystyle P=\mathbf {Z} [1/2],A=12\mathbf {Z} ,B=\mathbf {Z} ,C=\mathbf {Z} /12\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle :\mathbf {Z} /12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P\cong (\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)\cong \mathbf {Z} P/3\mathbf {Z} P}$ ${\displaystyle I\otimes _{R}P\cong IP}$

性質と定理

関数が正確であるのは、左正確かつ右正確である場合のみです。

共変関数（必ずしも加法的ではない）は、有限の極限を極限に変換する場合のみ左正確です。共変関数は、有限の余極限を余極限に変換する場合のみ右正確です。反変関数は、有限の余極限を極限に変換する場合のみ左正確です。反変関数は、有限の極限を余極限に変換する場合のみ右正確です。

左完全関数が完全でなくなる程度は、その右導関数で測定できます。また、右完全関数が完全でなくなる程度は、その左導関数で測定できます。

左完全関数と右完全関数が広く普及しているのは、主に次の事実によるものです: 関数FがGの左随伴関数である場合、Fは右完全関数であり、Gは左完全関数です。

一般化

SGA4の第1巻第1節では、アーベル圏だけでなく一般圏に対しても左（右）完全関手の概念が定義されています。定義は以下のとおりです。

C を有限射影極限（または帰納極限）を持つ圏とする。C から別の圏 C′ への関手が有限射影極限（または帰納極限）と可換であるとき、それらは左完全（または右完全）である。

この一般的な定義は抽象的であるにもかかわらず、有用な帰結をもたらす。例えば、1.8節では、グロタンディークは、ある関数がプロ表現可能であることと、それがカテゴリC上のいくつかの緩い条件の下で、正確のままである場合に限ることを証明している。

Quillen の正確なカテゴリ間の正確な関数は、ここで説明するアーベル カテゴリ間の正確な関数を一般化します。

正則カテゴリ間の正則関数は、正確な関数と呼ばれることもあり、ここで説明する正確な関数を一般化します。

注記

1. Jacobson (2009)、p.98、定理3.1。
2. Jacobson (2009)、149ページ、提案3.9。
3. Jacobson (2009)、p.99、定理3.1。
4. ジェイコブソン（2009）、156頁。

参考文献

• ジェイコブソン、ネイサン(2009). 『基礎代数学』 第2巻（第2版）. ドーバー. ISBN 978-0-486-47187-7。

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