交換マトリックス

数学、特に線型代数学において、交換行列（反転行列、後方恒等行列、標準的逆順列とも呼ばれる）は、順列行列の特殊なケースであり、1の要素が対角線上にあり、その他の要素はすべて0である。言い換えれば、交換行列は恒等行列の「行反転」または「列反転」バージョンである。^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{2}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\[4pt]J_{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\\&\quad \vdots \\[2pt]J_{n}&={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&1\\0&0&\cdots &1&0\\\vdots &\vdots &\,{}_{_{\displaystyle \cdot }}\!\,{}^{_{_{\displaystyle \cdot }}}\!{\dot {\phantom {j}}}&\vdots &\vdots \\0&1&\cdots &0&0\\1&0&\cdots &0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

意味

Jがn × nの交換行列である場合、 Jの要素は $${\displaystyle J_{i,j}={\begin{cases}1,&i+j=n+1\\0,&i+j\neq n+1\\\end{cases}}}$$

プロパティ

• 交換行列を前置乗算すると、前者の行の位置が垂直方向に反転します。つまり、 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&8&9\\4&5&6\\1&2&3\end{pmatrix}}.}$$
• 行列を交換行列で後置乗算すると、前者の列の位置が水平に反転します。つまり、 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&2&1\\6&5&4\\9&8&7\end{pmatrix}}.}$$
• 交換行列は対称的です。つまり、 $${\displaystyle J_{n}^{\mathsf {T}}=J_{n}.}$$
• 任意の整数kに対して、特にJ _nは逆行列である。つまり、 $${\displaystyle J_{n}^{k}={\begin{cases}I&{\text{ if }}k{\text{ is even,}}\\[2pt]J_{n}&{\text{ if }}k{\text{ is odd.}}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle J_{n}^{-1}=J_{n}.}$$
• J _nのトレースは、nが奇数の場合は1、偶数の場合は0です。言い換えると、 $${\displaystyle \operatorname {tr} (J_{n})={\frac {1-(-1)^{n}}{2}}=n{\bmod {2}}.}$$
• J _nの行列式は次のとおりです。nの関数として周期は 4 で、n が4 を法として0、1、2、3 と合同な場合、それぞれ 1、1、-1、-1 になります。 $${\displaystyle \det(J_{n})=(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}}$$
• J _nの特性多項式は次のようになります。 $${\displaystyle \det(\lambda I-J_{n})=(\lambda -1)^{\lceil n/2\rceil }(\lambda +1)^{\lfloor n/2\rfloor }={\begin{cases}{\big [}(\lambda +1)(\lambda -1){\big ]}^{\frac {n}{2}}&{\text{ if }}n{\text{ is even,}}\\[4pt](\lambda -1)^{\frac {n+1}{2}}(\lambda +1)^{\frac {n-1}{2}}&{\text{ if }}n{\text{ is odd,}}\end{cases}}}$$

その固有値は 1 (重複度) と -1 (重複度) です。 ${\displaystyle \lceil n/2\rceil }$ ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$

• J _nの随伴行列は次のようになります(ここで、sgnはk個の要素の順列π _kの符号です)。 $${\displaystyle \operatorname {adj} (J_{n})=\operatorname {sgn}(\pi _{n})J_{n}.}$$

人間関係

• 交換行列は最も単純な対角行列です。
• 条件AJ = JAを満たす任意の行列Aは中心対称であるといわれます。
• 条件AJ = JA ^Tを満たす任意の行列Aは、非対称行列であると言われています。
• AJ = JA という条件を満たす対称行列Aは、双対称行列と呼ばれます。双対称行列は、中心対称行列と非対称行列の両方です。

参照

• パウリ行列（最初のパウリ行列は2×2の交換行列である）

参考文献

1. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012)、「§0.9.5.1 n行n列反転行列」、Matrix Analysis（第2版）、Cambridge University Press、p. 33、ISBN 978-1-139-78888-5。

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