半値全幅

統計学と波動理論における概念

半値全幅

分布において、半値全幅（FWHM ）とは、従属変数が最大値の半分となる独立変数の2つの値の差です。言い換えれば、スペクトル曲線において、y軸上の最大振幅の半分となる点の間で測定された幅です。 関数が対称な場合、半値全幅（HWHM ）はFWHMの半分です。独立変数が時間である場合は、半値全持続時間（FDHM）という用語が適しています。

FWHMは、パルス波形の持続時間、光通信に用いられる光源のスペクトル幅、分光計の分解能といった現象に適用される。「幅」が「最大値の半分」を意味するという慣習は、信号処理においても広く用いられており、帯域幅は「信号電力の半分未満が減衰する周波数範囲の幅」、すなわち電力が最大値の少なくとも半分である幅と 定義される。信号処理用語では、これは最大で-3 dBの減衰であり、半電力点、またはより具体的には半電力帯域幅と呼ばれる。半電力点をアンテナビーム幅に適用する場合、それは半電力ビーム幅と呼ばれる。

特定の分布

正規分布

対象とする関数が、σを標準偏差、x _0を期待値とする正規分布の 密度関数である場合、FWHM と標準偏差の関係は^[1]である。FWHMは期待値x ₀に依存せず、並進に対して不変である。このFWHM内の面積は、関数全体の面積の約76%である。 $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$$ $${\displaystyle \mathrm {FWHM} =2{\sqrt {2\ln 2}}\;\sigma \approx 2.355\;\sigma .}$$

その他のディストリビューション

分光学では、半値幅（ここではγ ）の半分、HWHMが一般的に用いられます。例えば、高さ ⁠ のローレンツ/コーシー分布は、1/πγ⁠は次のように定義できます $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\quad {\text{ and }}\quad \mathrm {FWHM} =2\gamma .}$$

光学におけるソリトンに関連するもう一つの重要な分布関数は、双曲正割です。並進要素はFWHMに影響を与えないため省略しました。このインパルスについては、以下の式が成り立ちます。ここで、arcschは逆双曲正割です。 $${\displaystyle f(x)=\operatorname {sech} \left({\frac {x}{X}}\right).}$$ $${\displaystyle \mathrm {FWHM} =2\operatorname {arcsch} \left({\tfrac {1}{2}}\right)X=2\ln(2+{\sqrt {3}})\;X\approx 2.634\;X}$$

参照

• ガウス関数
• カットオフ周波数
• 空間解像度

参考文献

•  この記事には、連邦規格1037C （一般調達局）のパブリックドメイン資料が含まれています。 2022年1月22日時点のオリジナル記事からのアーカイブ。

1. ガウス関数 – Wolfram MathWorldより

外部リンク

• Wolfram Mathworld の FWHM

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