強制（数学）

集合論という数学の分野において、フォーシングとは、一貫性と独立性の結果を証明するための手法です。直感的には、フォーシングは、新たな「一般」な対象を導入することで、集合論的宇宙をより広い宇宙へと拡張する手法と考えることができます。 $V$ $V[G]$ $G$

強制法は1963年にポール・コーエンによって初めて用いられ、選択公理と連続体仮説がツェルメロ＝フランケル集合論から独立していることを証明するために用いられた。その後、強制法は大幅に改訂・簡略化され、集合論のみならず、再帰理論などの数理論理学の分野においても強力な手法として用いられてきた。記述集合論では、再帰理論と集合論の両方から強制法の概念が用いられている。強制法はモデル理論でも用いられているが、モデル理論では強制法に言及することなく一般性を直接定義することが一般的である。

直感

強制は通常、何らかの望ましい性質を満たす拡張宇宙を構築するために用いられる。例えば、拡張宇宙には、自然数の集合の部分集合と同一視される、古い宇宙には存在しなかった多くの新しい実数（少なくともその一部）が含まれる可能性があり、それによって連続体仮説に反する。 $\aleph _{2}$ $\mathbb {N}$

このような拡張を直感的に正当化するには、「古い宇宙」を集合論のモデルとして考えるのが一番です。集合論自体は「現実の宇宙」内の集合です。レーヴェンハイム・スコーレムの定理により、は外部的に可算な「必要最低限の」モデルとして選ぶことができ、これによりに含まれないの多くの部分集合 ( 内)が存在することが保証されます。具体的には、において「基数の役割を果たす」順序数が存在しますが、これは実際にはにおいて可算です。で作業する場合、の各要素につきの個別の部分集合を 1 つ見つけるのは簡単なはずです。(簡単にするために、この部分集合の族は単一の部分集合で特徴付けることができます。) $M$ $V$ $M$ $V$ $\mathbb {N}$ $M$ $\aleph _{2}^{M}$ $\aleph _{2}$ $M$ $V$ $V$ $\mathbb {N}$ $\aleph _{2}^{M}$ $X\subseteq \aleph _{2}^{M}\times \mathbb {N}$

しかし、ある意味では、「内で拡張モデルを構築する」ことが望ましいかもしれません。これにより、がと同じである（より一般的には、基数崩壊は発生しない）など、特定の側面で「類似」していることが保証され、の特性を細かく制御できるようになります。より正確には、のすべてのメンバーに内で（一意でない）名前が与えられるべきです。名前はに関する式と考えることができます。これは、単純な体拡大においてのすべての要素がで表現できるのと同じです。強制の主要な要素は内でこれらの名前を操作することです。そのため、強制の理論によってが実際のモデルに対応することが保証されていることを理解した上で、を「宇宙」として直接考えることが役立つ場合があります。 $M[X]$ $M$ $M[X]$ $M$ $\aleph _{2}^{M[X]}$ $\aleph _{2}^{M}$ $M[X]$ $M[X]$ $M$ $X$ $L=K(\theta )$ $L$ $\theta$ $M$ $M$ $M[X]$

強制の微妙な点は、を内の任意の「欠落部分集合」とみなした場合、内の構築された「内」はモデルではない可能性があるということです。これは、が内では見えないに関する「特別な」情報（例えばの可算性）をエンコードし、それによって「では記述できないほど複雑」な集合の存在を証明する可能性があるためです。^[1]^[2] $X$ $M$ $M[X]$ $M$ $X$ $M$ $M$ $M$ $M$

強制法は、新たに導入された集合がに対してジェネリック集合であることを要求することで、このような問題を回避します。^[1]いくつかの命題は、任意のジェネリックに対して「強制的に」成立します。例えば、ジェネリックは「強制的に」無限になります。さらに、ジェネリック集合の（で記述可能な）任意の特性は、何らかの強制条件の下で「強制的に」成立します。「強制」の概念はの範囲内で定義でき、が実際に望ましい特性を満たすモデルであることを証明するのに十分な推論力を与えます。 $X$ $M$ $X$ $X$ $M$ $M$ $M$ $M[X]$

コーエンのオリジナルの手法は、現在では分岐強制法と呼ばれていますが、ここで解説する非分岐強制法とは若干異なります。また、この強制法はブール値モデルの手法と同等であり、概念的にはより自然で直感的であると考える人もいますが、適用は通常はるかに困難です。^[3]

モデルの役割

上記のアプローチがスムーズに機能するためには、は実際にはにおける標準推移モデルでなければなりません。これにより、との両方において、所属やその他の基本概念を直感的に扱うことができます。標準推移モデルは、モストフスキーの崩壊補題を介して任意の標準モデルから得ることができますが、の標準モデル（またはその変形）の存在は、それ自体がの一貫性よりも強い仮定です。 $M$ $V$ $M$ $V$ ${\mathsf {ZFC}}$ ${\mathsf {ZFC}}$

この問題を回避するための標準的な手法は、をの任意の有限部分集合の標準的な推移モデルとすることです（の任意の公理化は少なくとも1つの公理スキームを持ち、したがって公理の数は無限です）。この公理の存在は反射原理によって保証されています。強制論証の目的は一貫性の結果を証明することであるため、理論におけるいかなる矛盾も有限長の導出によって明らかになり、したがって有限個の公理のみを伴うため、これで十分です。 $M$ ${\mathsf {ZFC}}$ ${\mathsf {ZFC}}$

強制条件と強制ポセット

それぞれの強制条件は、モデルに付随するオブジェクトに関する有限の情報とみなすことができます。オブジェクトに関する情報を提供する方法は多様であり、それぞれ異なる強制概念が生まれます。強制概念を形式化する一般的なアプローチは、強制条件を半集合構造を持つ抽象オブジェクトとみなすことです。 $X$

強制的順序集合は、の順序付き3つ組であり、はの事前順序、は最大元です。の要素は、強制条件（または単に条件）です。順序関係は、「がよりも強い」ことを意味します。（直感的に言えば、「より小さい」条件は「より多くの」情報を提供します。これは、より小さい区間が区間よりも数 $π$ に関するより多くの情報を提供するのと同じです。）さらに、事前順序はアトムレスである必要があり、つまり、分割条件を満たす必要があります。 $(\mathbb {P} ,\leq ,\mathbf {1} )$ $\leq$ $\mathbb {P}$ $\mathbf {1}$ $\mathbb {P}$ $p\leq q$ $p$ $q$ $[3.1415926,3.1415927]$ $[3.1,3.2]$ $\leq$

各に対して、となるようなが存在し、となるようなは存在しません。 $p\in \mathbb {P}$ $q,r\in \mathbb {P}$ $q,r\leq p$ $s\in \mathbb {P}$ $s\leq q,r$

言い換えれば、いかなる強制条件も、少なくとも2つの相容れない方向に強化することが可能でなければならない。直感的に言えば、これはが有限の情報であるのに対し、を決定するには無限の情報が必要であるためである。 $p$ $p$ $X$

様々な慣習が用いられています。著者の中には、関係が半順序となるように、反対称であることも要求する人もいます。標準的な用語と矛盾するにもかかわらず、それでも半順序という用語を使用する人もいます。また、前順序という用語を使用する人もいます。最大要素は省略可能です。逆順序も用いられており、特にSaharon Shelahと共著者によって顕著です。 $\leq$

例

を任意の無限集合（など）とし、問題の一般対象を新たな部分集合とする。コーエンによる強制の本来の定式化では、各強制条件はまたはの形式をとる文の有限集合であり、自己矛盾がない（すなわち、の同じ値に対してとが同じ条件に現れない）ものとされている。この強制の概念は、通常、コーエン強制と呼ばれる。 $S$ $\mathbb {N}$ $X\subseteq S$ $a\in X$ $a\notin X$ $a\in X$ $a\notin X$ $a$

コーエン強制の強制的半集合は、逆包含の下でからへの有限部分関数と正式に記述できます。コーエン強制は分割条件を満たします。なぜなら、任意の条件が与えられた場合、に記述されていない要素が常に見つかるため、文またはのいずれかをに追加することで、互いに矛盾する2つの新しい強制条件が得られるからです。 $(\operatorname {Fin} (S,2),\supseteq ,0)$ $S$ $2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}$ $p$ $a\in S$ $p$ $a\in X$ $a\notin X$ $p$

強制的半集合のもう一つの分かりやすい例はであり、ここでとは、非ゼロのルベーグ測度を持つのボレル部分集合の集合である。この強制的半集合に関連付けられたジェネリックオブジェクトは、ランダムな実数である。ボレル部分集合が元の拡張されていない宇宙で「記述」されている限り（これはボレルコードの概念で形式化できる）、は測度1を持つのあらゆるボレル部分集合に含まれることが示される。各強制条件は、その測度に等しい確率を持つランダムイベントと見なすことができる。この例から容易に直感的に理解できるため、確率論的言語は他の発散的強制的半集合でも使用されることがある。 $(\operatorname {Bor} (I),\subseteq ,I)$ $I=[0,1]$ $\operatorname {Bor} (I)$ $I$ $r\in [0,1]$ $r$ $[0,1]$

汎用フィルター

個々の強制条件は一般対象を完全に決定することはできませんが、すべての真の強制条件の集合はを決定します。実際、一般性を失うことなく、はに付随する一般対象であると一般的に考えられており、そのため、拡張モデルはと呼ばれます。本来望まれていた対象が実際にモデルに存在することを示すのは通常、容易です。 $p$ $X$ $G\subseteq \mathbb {P}$ $X$ $G$ $M$ $M[G]$ $X$ $M[G]$

この規則によれば、「一般オブジェクト」の概念は一般的な方法で記述できます。具体的には、集合はに対するの一般フィルタである必要があります。「フィルタ」条件は、がすべての真の強制条件の集合であることが意味を成すことを意味します。 $G$ $\mathbb {P}$ $M$ $G$

$G\subseteq \mathbb {P} ;$
$\mathbf {1} \in G;$
もし、 $p\geq q\in G$ $p\in G;$
ならば、 $p,q\in G$ $r\in G$ $r\leq p,q.$

「～に対して一般的」であるとは、次のことを意味します。 $G$ $M$

がの「稠密」な部分集合である場合（つまり、各に対して、となるが存在する場合）、となります。 $D\in M$ $\mathbb {P}$ $p\in \mathbb {P}$ $q\in D$ $q\leq p$ $G\cap D\neq \varnothing$

が可算モデルであるとすれば、 Rasiowa–Sikorskiの補題から汎用フィルタの存在が導かれます。実際、それ以上のことが言えます。条件が与えられれば、となる汎用フィルタを見つけることができます。の分割条件により、がフィルタであれば、は稠密です。であれば、はのモデルであるため、となります。このため、汎用フィルタはには決して含まれません。 $M$ $G$ $p\in \mathbb {P}$ $G$ $p\in G$ $\mathbb {P}$ $G$ $\mathbb {P} \setminus G$ $G\in M$ $\mathbb {P} \setminus G\in M$ $M$ ${\mathsf {ZFC}}$ $M$

P名とその解釈

強制的半集合には-名のクラスが関連付けられる。 - 名は次の形式の集合である。 $\mathbb {P}$ $V^{(\mathbb {P} )}$ $\mathbb {P}$ $\mathbb {P}$ $A$

A\subseteq \{(u,p)\mid u~{\text{is a}}~\mathbb {P} {\text{-name and}}~p\in \mathbb {P} \}.

上の任意のフィルタが与えられた場合、-names からの解釈または評価マップは次のように与えられる。 $G$ $\mathbb {P}$ $\mathbb {P}$

\operatorname {val} (u,G)=\{\operatorname {val} (v,G)\mid \exists p\in G:~(v,p)\in u\}.

-namesは、実際には宇宙の拡張である。が与えられたとき、は-namesであると定義される。 $\mathbb {P}$ $x\in V$ ${\check {x}}$ $\mathbb {P}$

{\check {x}}=\{({\check {y}},\mathbf {1} )\mid y\in x\}.

なので、が成り立ちます。ある意味では、はの特定の選択に依存しない「の名前」です。 $\mathbf {1} \in G$ $\operatorname {val} ({\check {x}},G)=x$ ${\check {x}}$ $x$ $G$

これにより、を明示的に参照せずに「の名前」を定義することもできます。 $G$ $G$

{\underline {G}}=\{({\check {p}},p)\mid p\in \mathbb {P} \}

となることによって。 $\operatorname {val} ({\underline {G}},G)=\{\operatorname {val} ({\check {p}},G)\mid p\in G\}=G$

厳密な定義

-名、解釈、およびの概念は、超限再帰によって定義できます。空集合、順序数の後継順序数、べき集合演算子、および極限順序数を用いて、次の階層が定義されます。 $\mathbb {P}$ ${\check {x}}$ $\varnothing$ $\alpha +1$ $\alpha$ ${\mathcal {P}}$ $\lambda$

{\begin{aligned}\operatorname {Name} (\varnothing )&=\varnothing ,\\\operatorname {Name} (\alpha +1)&={\mathcal {P}}(\operatorname {Name} (\alpha )\times \mathbb {P} ),\\\operatorname {Name} (\lambda )&=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )\mid \alpha <\lambda \}.\end{aligned}}

そして、-名のクラスは次のように定義される。 $\mathbb {P}$

V^{(\mathbb {P} )}=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )~|~\alpha ~{\text{is an ordinal}}\}.

解釈マップとマップも同様に階層構造で定義できます。 $x\mapsto {\check {x}}$

強制

汎用フィルタが与えられた場合、以下のように処理を進める。における -nameのサブクラスはと表記される。 $G\subseteq \mathbb {P}$ $\mathbb {P}$ $M$ $M^{(\mathbb {P} )}$

M[G]=\left\{\operatorname {val} (u,G)~{\Big |}~u\in M^{(\mathbb {P} )}\right\}.

の集合論の研究をの研究に還元するために、メンバーシップを二項関係、すべての-name を定数として、通常の一階述語論理のように構築される「強制言語」を使います。 $M[G]$ $M$ $\mathbb {P}$

（「 poset を持つモデルにおける力」と読み替えてください）を定義します。ここでは条件、は強制言語における式、のは-名であり、がを含む汎用フィルタである場合、となることを意味します。この特殊なケースは、しばしば「」または単に「」と表記されます。このような記述は、が何であってもにおいて真です。 $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})$ $p$ $\varphi$ $M$ $\mathbb {P}$ $p$ $\varphi$ $u_{i}$ $\mathbb {P}$ $G$ $p$ $M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))$ $\mathbf {1} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi$ $\mathbb {P} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi$ $\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi$ $M[G]$ $G$

重要なのは、この強制関係の外部定義が、とのインスタンス上の -名に対する超限帰納法（具体的には-帰納法）によって定義され、さらに式の複雑さに対する通常の帰納法によって定義されるの内部定義と等価であるということです。これにより、のすべての特性は実際にはの特性となり、におけるの検証は容易になります。これは通常、次の3つの重要な特性として要約されます。 $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi$ $M$ $\in$ $\mathbb {P}$ $u\in v$ $u=v$ $M[G]$ $M$ ${\mathsf {ZFC}}$ $M[G]$

真理:によって強制される場合、つまり何らかの条件に対して、が成り立つ場合に限ります。 $M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))$ $G$ $p\in G$ $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})$
定義可能性: ステートメント " " はで定義可能です。 $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})$ $M$
一貫性: 。 $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})\land q\leq p\implies q\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})$

内部定義

における強制関係を定義する方法は多種多様であるが、それらはどれも等価である。^[4]定義を簡略化する一つの方法は、まずよりも厳密に強い修正された強制関係を定義することである。修正された関係は依然として強制関係の3つの主要な特性を満たしているが、一次式とが等価であっても、とは必ずしも等価ではない。修正されていない強制関係は次のように定義できる。実際、コーエンの元々の強制関係の概念は、ではなくである。^[3] $\Vdash _{M,\mathbb {P} }$ $M$ $\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}$ $\Vdash _{M,\mathbb {P} }$ $\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}$ $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi$ $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi '$ $\varphi$ $\varphi '$ $p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi \iff p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\neg \neg \varphi .$ $\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}$ $\Vdash _{M,\mathbb {P} }$

修正された強制関係は次のように再帰的に定義できます。 $\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}$

$p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}u\in v$ 手段 $(\exists (w,q)\in v)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w=u).$
$p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}u\neq v$ 手段 $(\exists (w,q)\in v)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w\notin u)\vee (\exists (w,q)\in u)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w\notin v).$
$p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\neg \varphi$ 手段 $\neg (\exists q\leq p)(q\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi ).$
$p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}(\varphi \vee \psi )$ 手段 $(p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi )\vee (p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\psi ).$
$p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\exists x\,\varphi (x)$ 手段 $(\exists u\in M^{(\mathbb {P} )})(p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi (u)).$

強制言語の他のシンボルは、これらのシンボルを使用して定義できます。たとえば、は、などを意味します。ケース 1 と 2 は互いに依存し、ケース 3 に依存しますが、再帰では常にランクが低い -name が参照されるため、超限帰納法によって定義が実行されます。 $u=v$ $\neg (u\neq v)$ $\forall x\,\varphi (x)$ $\neg \exists x\,\neg \varphi (x)$ $\mathbb {P}$

構成上、（したがって）は自動的に定義可能性を満たします。真理性と一貫性も満たす証明は、上記の5つのケースそれぞれを帰納的に検証することによって得られます。ケース4と5は（とを基本記号として選択したため^[5]）、ケース1と2はがフィルタであるという仮定のみに依存し、ケース3のみが汎用フィルタであることを必要とします^[3]。 $\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}$ $\Vdash _{M,\mathbb {P} }$ $\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}$ $\vee$ $\exists$ $G$ $G$

形式的には、強制関係の内部定義（上記で示したものなど）は、実際には任意の式を別の式（およびが追加変数）に変換することです。モデルは変換に明示的には現れません（内では、は単に「は-名である」という意味であることに注意してください）。実際、この変換は、可算推移モデルに関係なく、すべての集合の集合体における強制関係の「構文的」定義と見なすことができます。ただし、何らかの可算推移モデルに対して強制関係を強制したい場合は、後者の式はの下で（つまり、すべての量指定子がのみの範囲にある状態で）解釈する必要があります。この場合、それはこのセクションの冒頭で説明したの外部的な「意味的」定義と同等になります。 $\varphi (x_{1},\dots ,x_{n})$ $p\Vdash _{\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\dots ,u_{n})$ $p$ $\mathbb {P}$ $M$ $M$ $u\in M^{(\mathbb {P} )}$ $u$ $\mathbb {P}$ $V$ $M$ $M$ $M$ $\Vdash _{M,\mathbb {P} }$

任意の式に対して、理論の定理（例えば、有限個の公理の連言）が存在し、任意の可算推移モデルに対して、任意の原子なし半順序と任意の -ジェネリックフィルタに対して、

\varphi (x_{1},\dots ,x_{n})

T

{\mathsf {ZFC}}

M

M\models T

\mathbb {P} \in M

\mathbb {P}

G

M

(\forall a_{1},\ldots ,a_{n}\in M^{\mathbb {P} })(\forall p\in \mathbb {P} )(p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (a_{1},\dots ,a_{n})\,\Leftrightarrow \,M\models p\Vdash _{\mathbb {P} }\varphi (a_{1},\dots ,a_{n})).

これは、強制関係が実際に「で定義可能」であるという意味です。 $M$

一貫性

以上の議論は、強制的半集合が与えられた場合、宇宙に属さない一般的なフィルタが存在すると仮定できるという基本的な整合性の結果によって要約できる。この場合、は再びをモデル化する集合論的宇宙となる。さらに、のすべての真理は、強制関係を含むの真理に還元できる。 $\mathbb {P}$ $G$ $V$ $V[G]$ ${\mathsf {ZFC}}$ $V[G]$ $V$

可算推移モデルまたは全宇宙モデルのいずれかに付随する両方のスタイルが一般的に用いられています。あまり一般的ではないのは、集合モデルやクラスモデルに言及しない「内部」強制定義を用いるアプローチです。これはコーエンのオリジナルの手法であり、ある発展形ではブール値解析の手法となります。 $G$ $M$ $V$

コーエン強制

最も単純で非自明な強制的半集合はであり、有限部分関数は逆包含の下でからへである。つまり、条件は本質的にの2つの互いに素な有限部分集合とであり、はの「はい」と「いいえ」の部分とみなされ、の領域外の値に関する情報は提供されない。「がよりも強い」は、言い換えればの「はい」と「いいえ」の部分がの「はい」と「いいえ」の部分のスーパーセットであり、その意味でがより多くの情報を提供することを意味する。 $(\operatorname {Fin} (\omega ,2),\supseteq ,0)$ $\omega$ $2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}$ $p$ ${p^{-1}}[1]$ ${p^{-1}}[0]$ $\omega$ $p$ $p$ $q$ $p$ $q\supseteq p$ $q$ $p$

をこの半集合の汎用フィルタとします。とが両方ともに属する場合、はフィルタであるため条件となります。これは、の任意の2つの条件が共通の定義域で一致するため、がからまで明確に定義された部分関数であることを意味します。 $G$ $p$ $q$ $G$ $p\cup q$ $G$ $g=\bigcup G$ $\omega$ $2$ $G$

実際、は全関数です。が与えられている場合、とします。するとは稠密になります。（任意のが与えられ、がの定義域にない場合は、の値を付加します。結果はになります。）条件はの定義域にを持ち、であるため、が定義されることがわかります。 $g$ $n\in \omega$ $D_{n}=\{p\mid p(n)~{\text{is defined}}\}$ $D_{n}$ $p$ $n$ $p$ $n$ $D_{n}$ $p\in G\cap D_{n}$ $n$ $p\subseteq g$ $g(n)$

を、ジェネリック条件の「はい」の要素すべての集合とします。を直接命名することも可能です。 $X={g^{-1}}[1]$ $X$

{\underline {X}}=\left\{\left({\check {n}},p\right)\mid p(n)=1\right\}.

次に、がであると仮定します。を主張します。 $\operatorname {val} ({\underline {X}},G)=X.$ $A\subseteq \omega$ $V$ $X\neq A$

D_{A}=\{p\mid (\exists n)(n\in \operatorname {Dom} (p)\land (p(n)=1\iff n\notin A))\}.

すると、は稠密になります。(任意のが与えられたとき、がその定義域にないことを見つけ、の状態とは逆にの値を付加します。) すると、任意のはを証明します。まとめると、はの「新しい」部分集合であり、必然的に無限です。 $D_{A}$ $p$ $n$ $n$ $n\in A$ $p\in G\cap D_{A}$ $X\neq A$ $X$ $\omega$

をに置き換えると、つまりを入力とし、ととし、出力がまたはである有限部分関数を考えることで、の新しい部分集合が得られる。これらはすべて、密度の議論によって区別できる。が与えられたとき、 $\omega$ $\omega \times \omega _{2}$ $(n,\alpha )$ $n<\omega$ $\alpha <\omega _{2}$ $0$ $1$ $\omega _{2}$ $\omega$ $\alpha <\beta <\omega _{2}$

D_{\alpha ,\beta }=\{p\mid (\exists n)(p(n,\alpha )\neq p(n,\beta ))\},

すると、それぞれは稠密であり、その中の一般的な条件により、α 番目の新しいセットが番目の新しいセットとどこかで一致しないことが証明されます。 $D_{\alpha ,\beta }$ $\beta$

これはまだ連続体仮説の反証ではありません。、またはに写像する新しい写像が導入されていないことを証明する必要があります。例えば、の代わりに、からへの有限部分関数、つまり最初の非可算順序数を考えると、からへの一対一写像が得られます。言い換えれば、はを崩壊させ、強制拡大においては可算順序数です。 $\omega$ $\omega _{1}$ $\omega _{1}$ $\omega _{2}$ $\operatorname {Fin} (\omega ,\omega _{1})$ $\omega$ $\omega _{1}$ $V[G]$ $\omega$ $\omega _{1}$ $\omega _{1}$

連続体仮説の独立性を示す最後のステップは、コーエン強制が基数を崩壊させないことを示すことである。そのためには、強制ポセットのすべての反鎖が可算であるという組み合わせ論的性質が十分である。

可算連鎖条件

の（強い）反連鎖とは、およびならばとは両立しない（と表記される）ような部分集合であり、つまりおよびとなるようながに存在しないことを意味します。ボレル集合の例では、両立しないということはの測度がゼロであることを意味します。有限部分関数の例では、両立しないということはが関数ではないことを意味します。言い換えれば、とは、ある定義域入力に異なる値を割り当てることを意味します。 $A$ $\mathbb {P}$ $p,q\in A$ $p\neq q$ $p$ $q$ $p\perp q$ $r$ $\mathbb {P}$ $r\leq p$ $r\leq q$ $p\cap q$ $p\cup q$ $p$ $q$

$\mathbb {P}$ は可算連鎖条件(ccc)を満たすため、かつその条件を満たす反連鎖はすべて可算である。(明らかに不適切であるこの名称は、古い用語から引き継がれたものである。数学者の中には「可算反連鎖条件」を「cac」と書く人もいる。) $\mathbb {P}$

がcccを満たすことは容易に分かります。なぜなら、測度を合計すると最大でになるからです。また、もcccを満たしますが、証明はより困難です。 $\operatorname {Bor} (I)$ $1$ $\operatorname {Fin} (E,2)$

非可算なサブファミリーが与えられた場合、いくつかのに対して、最大のサイズの集合の非可算なサブファミリーに縮小します(いくつかのに対してこれは非可算です。そうでなければは可算集合の可算な和集合となり、したがって可算になります)。が非可算な数であるに対して、これを非可算なサブファミリーに縮小してこれを繰り返し、有限集合と、最大で可算な数のに対してすべてのがとなるようなサイズの非可算な条件のファミリーを取得します。次に、任意のを選び、と共通の定義域メンバーを持つ可算な数のメンバーの 1 つではない任意のからを選びます。すると、とは互換であるため、は反連鎖ではありません。言い換えると、-反連鎖は可算です。^[6] $W\subseteq \operatorname {Fin} (E,2)$ $W$ $W_{0}$ $n$ $n<\omega$ $n$ $W=\bigcup _{n<\omega }\{w\in W:|w|<n\}$ $p(e_{1})=b_{1}$ $p\in W_{0}$ $W_{1}$ $\{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}\in W_{0}$ $W_{k}$ $n-k$ $e$ $\operatorname {Dom} (p)$ $p\in W_{k}$ $p\in W_{k}$ $W_{k}$ $q$ $p$ $p\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}$ $q\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}$ $W$ $\operatorname {Fin} (E,2)$

強制における反鎖の重要性は、ほとんどの目的において、稠密集合と最大反鎖は等価であるという点にある。最大反鎖とは、より大きな反鎖に拡張できないものである。これは、すべての要素がの何らかの要素と両立することを意味する。最大反鎖の存在は、ゾルンの補題から導かれる。最大反鎖が与えられているとして、 $A$ $p\in \mathbb {P}$ $A$ $A$

D=\left\{p\in \mathbb {P} \mid (\exists q\in A)(p\leq q)\right\}.

するとは稠密であり、の場合に限ります。逆に、稠密集合が与えられた場合、ツォルンの補題により、最大反鎖が存在し、の場合に限ります。 $D$ $G\cap D\neq \varnothing$ $G\cap A\neq \varnothing$ $D$ $A\subseteq D$ $G\cap D\neq \varnothing$ $G\cap A\neq \varnothing$

がcccを満たすと仮定する。が与えられ、内の関数が与えられている場合、の内部を次のように近似できる。をの名前とし（の定義により）、をからへの関数となるように強制する条件とする。を次のように定義する。 $\mathbb {P}$ $x,y\in V$ $f:x\to y$ $V[G]$ $f$ $V$ $u$ $f$ $V[G]$ $p$ $u$ $x$ $y$ $F:x\to {\mathcal {P}}(y)$

F(a){\stackrel {\text{df}}{=}}\left\{b\left|(\exists q\in \mathbb {P} )\left[(q\leq p)\land \left(q\Vdash ~u\left({\check {a}}\right)={\check {b}}\right)\right]\right\}.\right.

強制の定義可能性により、この定義はの範囲内で意味を成します。強制の一貫性により、異なるは両立しないから必ず生じます。ccc により、は可算です。 $V$ $b$ $p$ $F(a)$

要約すると、はに依存するためでは未知ですが、ccc-forcing ではそれほど未知ではありません。の値はに依存しないため、任意の入力に対して推定値の可算な集合を特定できます。 $f$ $V$ $G$ $f$ $G$

このことから、次のような非常に重要な帰結が得られます。において、がある無限順序数から別の無限順序数への全射であるならば、にも全射が存在し、したがってにも全射が存在します。特に、基数は崩壊しません。結論として、においてはとなります。 $V[G]$ $f:\alpha \to \beta$ $g:\omega \times \alpha \to \beta$ $V$ $h:\alpha \to \beta$ $V$ $2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{2}$ $V[G]$

イーストン強制

上記のコーエン模型における連続体の正確な値、および一般の基数に対するような変種は、ロバート・M・ソロベイによって解明されました。ソロベイはまた、（一般化連続体仮説）を正規基数に対してのみ有限回破る方法も解明しました。例えば、上記のコーエン模型において、でが成り立つ場合、でが成り立ちます。 $\operatorname {Fin} (\omega \times \kappa ,2)$ $\kappa$ ${\mathsf {GCH}}$ ${\mathsf {CH}}$ $V$ $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}$ $V[G]$

ウィリアム・B・イーストンは、正則基数に対してに違反する適切なクラスバージョンを解明し、基本的に既知の制約 (単調性、カントールの定理、ケーニッヒの定理) のみが-証明可能な制約であることを示しました (イーストンの定理を参照)。 ${\mathsf {GCH}}$ ${\mathsf {ZFC}}$

イーストンの研究は、適切な条件のクラスを強制するという点で注目に値する。一般に、適切な条件のクラスを強制する方法では、のモデルを得ることができない。例えば、（ここではすべての順序数の適切なクラスである）をで強制すると、連続体は適切なクラスになる。一方、をで強制すると、順序数の可算な列挙が導入される。どちらの場合も、結果として得られるは明らかにのモデルではない。 ${\mathsf {ZFC}}$ $\operatorname {Fin} (\omega \times \mathbf {On} ,2)$ $\mathbf {On}$ $\operatorname {Fin} (\omega ,\mathbf {On} )$ $V[G]$ ${\mathsf {ZFC}}$

かつては、より洗練された強制法を用いることで、特異基数の冪を任意に変化させることも可能になると考えられていました。しかし、これは困難で、微妙で、驚くべき問題であることが判明しました。強制法モデルにおいて、また強制法モデルを用いて、様々な大きな基数の性質の整合性に応じて、さらにいくつかの制約が証明可能となるからです。多くの未解決問題が残されています。 ${\mathsf {ZFC}}$

ランダム実数

ランダム強制は、関係によって順序付けられた、正測度ののすべてのコンパクト部分集合の集合に対する強制として定義できます（包含の文脈におけるより小さな集合は順序付けにおいてもより小さな集合であり、より多くの情報を持つ条件を表します）。重要な稠密集合には2つの種類があります。 $P$ $[0,1]$ $\subseteq$

任意の正の整数に対して、集合は稠密であり、は集合の直径です。 $n$ $D_{n}=\left\{p\in P:\operatorname {diam} (p)<{\frac {1}{n}}\right\}$ $\operatorname {diam} (p)$ $p$
測度 1 の任意のボレル部分集合の場合、その集合は稠密です。 $B\subseteq [0,1]$ $D_{B}=\{p\in P:p\subseteq B\}$

任意のフィルタと任意の要素のペアに対して、が成り立つ。この順序付けでは、任意のフィルタは有限交差の下で閉じていることを意味する。したがって、カントールの交差定理により、任意のフィルタのすべての要素の交差は空ではない。が任意の正の整数に対して稠密集合と交差するフィルタである場合、フィルタには任意に小さい正の直径を持つ条件が含まれる。したがって、からのすべての条件の交差の直径は 0 である。しかし、直径 0 の空でない集合はシングルトンのみである。したがって、となる実数は 1 つだけ存在する。 $G$ $p_{1},p_{2}\in G$ $q\in G$ $q\leq p_{1},p_{2}$ $G$ $D_{n}$ $n$ $G$ $G$ $r_{G}$ $r_{G}\in \bigcap G$

を測度 1 の任意のボレル集合とします。がと交差する場合はとなります。 $B\subseteq [0,1]$ $G$ $D_{B}$ $r_{G}\in B$

しかし、可算推移モデル上の汎用フィルタはには存在しません。によって定義される実数はの元ではないことが証明できます。この構成に関する 1 つの問題は、の場合、「はコンパクト」ですが、より大きな宇宙の観点からすると、はコンパクトでない可能性があり、汎用フィルタからのすべての条件の交差が空になる可能性があることです。この問題を解決するために、からの条件の位相閉包の集合を考えます。であり、は有限交差で閉じているため、カントールの交差定理が適用され、集合の交差は空ではありません。であり、基底モデルは宇宙から測定基準を継承するため、集合には任意に小さい直径の要素が含まれます。最後に、集合のすべてのメンバーに属する実数が 1 つだけ存在します。汎用フィルタはからとして再構築できます。 $M$ $M$ $r_{G}$ $G$ $M$ $p\in P$ $M\models$ $p$ $V\supset M$ $p$ $G$ $C=\{{\bar {p}}:p\in G\}$ $G$ ${\bar {p}}\supseteq p$ $G$ $C$ $\operatorname {diam} ({\bar {p}})=\operatorname {diam} (p)$ $M$ $V$ $C$ $C$ $G$ $r_{G}$ $G=\{p\in P:r_{G}\in {\bar {p}}\}$

が（つまり）の名前であり、が「測度1のボレル集合である」とすると、強制の真理値により $a\in M^{(\mathbb {P} )}$ $r_{G}$ $M[G]\models val(a,G)=r_{G}$ $B\in M$ $M\models$ $B$

p\Vdash _{M,\mathbb {P} }a\in {\check {B}}

いくつかは、 $p\in G$ $a$

\operatorname {val} (a,G)\in \bigcup _{p\in G}{\bar {p}}

一般的なフィルターの場合。そのためには、 $G$ $a$

p\Vdash _{M,\mathbb {P} }a\in {\check {B}}

任意の条件に当てはまります。 $p$

あらゆるボレル集合は、有理数の端点を持つ区間から始めて、補集合と可算和集合の演算を可算回適用することにより、（一意ではない形で）構築できる。このような構築の記録はボレル符号と呼ばれる。におけるボレル集合が与えられた場合、ボレル符号を復元し、次ににおいて同じ構築シーケンスを適用してボレル集合を得る。に選択した符号に依存せずに同じ集合が得られ、基本的な特性が保持されることが証明できる。例えば、の場合、となる。の測度がゼロの場合、の測度はゼロである。この写像は単射である。 $B$ $V$ $M[G]$ $B^{*}$ $B$ $B\subseteq C$ $B^{*}\subseteq C^{*}$ $B$ $B^{*}$ $B\mapsto B^{*}$

および「は測度 1 のボレル集合である」ような任意の集合に対して、が成り立ちます。 $B\subseteq [0,1]$ $B\in M$ $M\models$ $B$ $r_{G}\in B^{*}$

これは、の観点からはが「0 と 1 の無限のランダムなシーケンス」であることを意味し、これは基底モデルからのすべての統計的テストを満たすことを意味します。^[^{説明が必要}^] $r_{G}$ $M$ $M$

したがって、ランダムな実数が与えられたとき、次のことが示される。 $r_{G}$

G=\left\{B~({\text{in }}M)\mid r\in B^{*}~({\text{in }}M[G])\right\}.

との間には相互に定義可能な関係があるため、一般にについてはと書きます。 $r$ $G$ $M[r]$ $M[G]$

における実数の異なる解釈は、ダナ・スコットによって提示された。における有理数は、ボレル集合の最大反鎖に割り当てられる可算個の異なる有理値、つまりにおける特定の有理値関数に対応する名前を持つ。したがって、における実数は、そのような関数のデデキント切断、つまり測定可能な関数に対応する。 $M[G]$ $M[G]$ $I=[0,1]$ $M[G]$

ブール値モデル

おそらくより明確には、この手法はブール値モデルを用いて説明できるでしょう。ブール値モデルでは、任意のステートメントに、単なる真偽値ではなく、完全なアトムレスブール代数から真理値が割り当てられます。次に、このブール代数から超フィルタが選択され、理論のステートメントに真偽の値が割り当てられます。重要なのは、結果として得られる理論がこの超フィルタを含むモデルを持つということです。これは、この超フィルタを用いて古いモデルを拡張することで得られる新しいモデルと理解できます。ブール値モデルを適切に選択することで、目的の特性を持つモデルが得られます。このモデルでは、真でなければならない（真であることが「強制される」）ステートメントのみが、ある意味で真になります（この拡張/最小性特性を持つため）。

メタ数学的説明

強制において、私たちは通常、ある文が（または任意での拡張）と整合していることを証明しようとします。この議論を解釈する一つの方法は、が整合していると仮定し、その新しい文とを組み合わせた場合も整合していることを証明することです。 ${\mathsf {ZFC}}$ ${\mathsf {ZFC}}$ ${\mathsf {ZFC}}$ ${\mathsf {ZFC}}$

それぞれの「条件」は有限の情報です。コンパクト性定理によれば、理論が充足可能であるためには、その公理のすべての有限部分集合が充足可能であることが必要条件であり、かつその場合に限るため、有限の情報のみが整合性に関係するという考え方です。そして、整合性のある条件の無限集合を選び、モデルを拡張することができます。したがって、の整合性を仮定すると、この無限集合によって拡張されたの整合性を証明できます。 ${\mathsf {ZFC}}$ ${\mathsf {ZFC}}$

論理的な説明

ゲーデルの第二不完全性定理によれば、理論が矛盾しない限り、理論の公理のみを用いてのような十分に強い形式理論の無矛盾性を証明することはできない。したがって、数学者はの公理のみを用いての無矛盾性を証明しようとしたり、のみを用いて任意の仮説に対してが無矛盾であることを証明しようとしたりしない。このため、無矛盾性証明の目的は、の無矛盾性をの無矛盾性に対して相対的にの無矛盾性を証明することである。このような問題は相対無矛盾性の問題として知られており、そのうちの1つは以下を証明する。 ${\mathsf {ZFC}}$ ${\mathsf {ZFC}}$ ${\mathsf {ZFC}}$ ${\mathsf {ZFC}}+H$ $H$ ${\mathsf {ZFC}}+H$ ${\mathsf {ZFC}}+H$ ${\mathsf {ZFC}}$

{\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}})\rightarrow \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H).

⁎

相対的無矛盾性証明の一般的な図式は以下のとおりです。証明は有限であるため、有限個の公理のみを使用します。

{\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land (T\vdash \lnot H)).

任意の証明に対して、その証明の妥当性を検証できる。これは証明の長さに関する帰納法によって証明可能である。 ${\mathsf {ZFC}}$

{\mathsf {ZFC}}\vdash (\forall T)((T\vdash \lnot H)\rightarrow ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))).

そして解決する

{\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))).

以下のことを証明することによって

{\mathsf {ZFC}}\vdash (\forall T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\rightarrow ({\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} (T+H))),

⁎⁎

結論として、

{\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} (T+H))),

これは次の式と同等である。

{\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash \lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}),

となり、(*) となる。相対的無矛盾性証明の核心は (**) を証明することである。公理の任意の有限部分集合に対して、の証明を構築することができる（もちろん、道具的証明によって）。（もちろん、の普遍的証明は存在しない。） ${\mathsf {ZFC}}$ $\operatorname {Con} (T+H)$ $T$ ${\mathsf {ZFC}}$ ${\mathsf {ZFC}}$ $\operatorname {Con} (T+H)$

において、任意の条件に対して、によって強制される（名前によって評価される）式の集合は演繹的に閉じていることが証明可能である。さらに、任意の公理に対して、は、この公理がによって強制されることを証明している。したがって、を強制する条件が少なくとも1つ存在することを証明すれば十分である。 ${\mathsf {ZFC}}$ $p$ $p$ ${\mathsf {ZFC}}$ ${\mathsf {ZFC}}$ $\mathbf {1}$ $H$

ブール値の強制の場合、手順は同様で、のブール値がではないことを証明します。 $H$ $\mathbf {0}$

別のアプローチでは、反射定理を用います。任意の有限公理集合に対して、この公理集合が可算推移モデルを持つことが証明されます。任意の有限公理集合に対して、可算推移モデルがを満たす場合、がを満たすことを証明するような有限公理集合が存在します。可算推移モデルがを満たす場合、が仮説を満たすような有限公理集合が存在することを証明することにより、任意の有限公理集合に対して、が証明されます。 ${\mathsf {ZFC}}$ ${\mathsf {ZFC}}$ $T$ ${\mathsf {ZFC}}$ $T'$ ${\mathsf {ZFC}}$ ${\mathsf {ZFC}}$ $M$ $T'$ $M[G]$ $T$ $T''$ ${\mathsf {ZFC}}$ $M$ $T''$ $M[G]$ $H$ $T$ ${\mathsf {ZFC}}$ ${\mathsf {ZFC}}$ $\operatorname {Con} (T+H)$

(**) では、よりも強い理論がの証明に用いられることがあります。この場合、の無矛盾性に対するの無矛盾性の証明が得られます。であることに注意してください。ただし、は（構成可能性公理）です。 $S$ ${\mathsf {ZFC}}$ $\operatorname {Con} (T+H)$ ${\mathsf {ZFC}}+H$ $S$ ${\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}})\leftrightarrow \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFL}})$ ${\mathsf {ZFL}}$ ${\mathsf {ZF}}+V=L$

参照

注記

^ abc Cohen 2008、111ページ。
^ 具体的な例として、のすべての順序数の順序型であるは、には含まれない可算順序数（において）であることに注目してください。をの整列順序付け（上の関係、つまりのサブセットとして）とすると、を含む任意の宇宙はも必ず含まなければなりません（置換公理により）。^{[1] （このような宇宙はの}すべての無限基数を縮約するという意味でに似てもいないでしょう。） $\alpha _{0}$ $M$ $V$ $M$ $X$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ ${\mathsf {ZFC}}$ $X$ $\alpha _{0}$ $M$ $M$
^ abc ショーンフィールド 1971年。
^ クネン 1980.
^ 特に、の代わりにを直接定義する場合、ケース4ではをに、ケース5ではをに置き換えて、この内部定義を外部定義と一致させる必要があります（ケース1と2はより複雑になります）。しかし、その場合、真理を帰納的に証明しようとすると、ケース4ではがフィルタとして下向きであるという事実が必要となり、ケース5は完全に破綻します。 $\Vdash _{M,\mathbb {P} }$ $\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}$ $\vee$ $\wedge$ $\exists$ $\forall$ $G$
^ Cohen 2008、セクションIV.8、補題2。

参考文献

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ギュンター、エマニュエル。パガーノ、ミゲル。サンチェス・テラフ、ペドロ。スタインバーグ、マティアス（2020年5月）。「Isabelle/ZF における強制の形式化」。正式な証拠のアーカイブ。arXiv : 2001.09715 。2023 年8 月 20 日に取得。
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ワイスタイン、エリック・W.「強制」。MathWorld。

[FOOTNOTECohen2008111-1] Cohen 2008、111ページ。

[2] 具体的な例として、のすべての順序数の順序型であるは、には含まれない可算順序数（において）であることに注目してください。をの整列順序付け（上の関係、つまりのサブセットとして）とすると、を含む任意の宇宙はも必ず含まなければなりません（置換公理により）。^{[1] （このような宇宙はの}すべての無限基数を縮約するという意味でに似てもいないでしょう。） $\alpha _{0}$ $M$ $V$ $M$ $X$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ ${\mathsf {ZFC}}$ $X$ $\alpha _{0}$ $M$ $M$

[FOOTNOTEShoenfield1971-3] ショーンフィールド 1971年。

[FOOTNOTEKunen1980-4] クネン 1980.

[5] 特に、の代わりにを直接定義する場合、ケース4ではをに、ケース5ではをに置き換えて、この内部定義を外部定義と一致させる必要があります（ケース1と2はより複雑になります）。しかし、その場合、真理を帰納的に証明しようとすると、ケース4ではがフィルタとして下向きであるという事実が必要となり、ケース5は完全に破綻します。 $\Vdash _{M,\mathbb {P} }$ $\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}$ $\vee$ $\wedge$ $\exists$ $\forall$ $G$

[FOOTNOTECohen2008Section_IV.8,_Lemma_2-6] Cohen 2008、セクションIV.8、補題2。

v t e 集合論
概要	集合（数学）
公理	補助選択可算な依存グローバル構築可能性（V=L）決定性射影的拡張性無限サイズの制限ペアリングパワーセット規則性連合マーティンの公理公理スキーマ交換仕様
オペレーション	デカルト積補集合（すなわち差集合）ド・モルガンの法則分離和集合アイデンティティ交差点パワーセット対称差連合
概念方法	ほとんど基数基数（大きい）クラス構築可能な宇宙連続体仮説対角線上の議論要素順序付きペアタプル家族強制一対一対応序数集合構築記法超限帰納法ベン図
セットタイプ	アモルファス可算空の有限（遺伝的）フィルターベース路盤ウルトラフィルターファジー無限(デデキント無限) 再帰的シングルトンサブセット ·スーパーセット推移的数えられないユニバーサル
理論	代替公理的ナイーブカントールの定理ツェルメロ一般的なプリンキピア・マテマティカ新しい基盤ツェルメロ・フランケルフォン・ノイマン＝ベルネイス＝ゲーデルモース・ケリークリプキ・プラテックタルスキ・グロタンディーク
パラドックス問題	ラッセルのパラドックスサスリンの問題ブラリ・フォルティのパラドックス
集合論者	ポール・バーネイズゲオルク・カントルポール・コーエンリチャード・デデキントアブラハム・フランケルクルト・ゲーデルトーマス・ジェックジョン・フォン・ノイマンウィラード・クワインバートランド・ラッセルトラルフ・スコーレムエルンスト・ツェルメロ