フーリエ変換

時間の関数を周波数の関数として表す数学的変換

ハ長調 ピアノ コードの波形（水平（周波数）軸は対数）に適用されたフーリエ変換。左側の最初の3つのピークは、コードの基本周波数（C、E、G）に対応しています。残りの小さなピークは、基本音の高周波倍音です

数学において、フーリエ変換（FT）は、関数を入力として受け取り、元の関数に存在する様々な周波数の程度を表す別の関数を出力する積分変換です。変換の出力は、周波数の複素数値関数です。フーリエ変換という用語は、数学的演算とこの複素数値関数の両方を指します。区別が必要な場合、演算の出力は元の関数の周波数領域表現と呼ばれることがあります。 ^{[注 1]}フーリエ変換は、音楽の和音の音を、それを構成する音高の強度に分解することに似ています。

フーリエ変換は、赤で示した時間領域と、青で示した周波数領域の関数を関連付けます。周波数スペクトル全体に拡張された成分周波数は、周波数領域におけるピークとして示されます

時間領域に局在する関数は、周波数領域全体に広がるフーリエ変換を持ち、その逆も同様です。これは不確定性原理として知られる現象です。この原理の重要な例はガウス関数であり、確率論と統計、および正規分布を示す物理現象 （例：拡散）の研究において非常に重要です。ガウス関数のフーリエ変換は、別のガウス関数です。ジョセフ・フーリエは、熱伝達の研究において、正弦変換と余弦変換（現代のフーリエ変換の虚数成分と実数成分に対応）を導入しました。 ガウス関数は熱方程式の解として現れます

フーリエ変換は、不定 リーマン積分として正式に定義することができ、積分変換となりますが、この定義は、より洗練された積分理論を必要とする多くの応用には適していません。^{[注 2]}例えば、比較的単純な応用の多くではディラックのデルタ関数が用いられますが、これは形式的には関数であるかのように扱うことができますが、その正当性には数学的に洗練された観点が必要です。^{[注 3]}

フーリエ変換は、ユークリッド空間上の多変数関数にも一般化でき、 3次元「位置空間」関数を3次元運動量関数（または空間と時間の関数を4次元運動量関数）に変換できます。この考え方により、空間フーリエ変換は波動の研究だけでなく、波動解を位置または運動量、あるいはその両方の関数として表せることが重要となる量子力学においても非常に自然なものとなっています。一般に、フーリエ法を適用できる関数は複素数値であり、場合によってはベクトル値です。^{[注 4]さらに一般化して}群上の関数にすることもできます。群には、 RまたはR ⁿ上の元のフーリエ変換に加えて、離散時間フーリエ変換（DTFT、群 = Z）、離散フーリエ変換（DFT、群 = Z mod N）、およびフーリエ級数または円フーリエ変換（群 = S ¹、単位円 ≈ 端点が特定された閉有限区間）が含まれます。後者は周期関数を扱うために日常的に用いられます。高速フーリエ変換（FFT）は、DFTを計算するためのアルゴリズムです。

定義

実数直線上の複素関数のフーリエ変換は、積分^[1]によって定義される複素関数です。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$

フーリエ変換

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-i2\pi \xi x}\,dx,\quad \forall \xi \in \mathbb {R} .}$

式1

この場合、（ルベーグ）は実数直線全体にわたって積分可能、つまり上記の積分は連続関数に収束します（ のときにゼロに減衰します）。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi \to \infty }$

しかし、フーリエ変換は、ルベーグ積分 式1が意味をなさない（一般化）関数に対しても定義できます。^[2]積分を適切に解釈すると（例えば、局所的に積分可能な関数の不定積分として）、フーリエ変換は必ずしも実数直線全体で積分可能ではない関数に拡張されます。より一般的には、フーリエ変換はディラックのデルタ（および他のすべての緩和分布）のような一般化関数にも適用され、その場合は積分ではなく双対性によって定義されます。^[3]

フーリエの 熱の解析理論で初めて導入された[ ^{4] [5] [6] [7]、 「}十分に良い」関数に対応する逆変換式は、フーリエの逆変換定理によって与えられます。すなわち、

逆変換

${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )\ e^{i2\pi \xi x}\,d\xi ,\quad \forall \ x\in \mathbb {R} .}$

式2

関数とをフーリエ変換ペアと呼びます。^[8]  変換ペアを指定するための一般的な表記法は次のとおりです。^[9]例えば、デルタ関数のフーリエ変換は定数関数です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ $${\displaystyle f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi ).}$$ ${\displaystyle 1}$ $${\displaystyle \delta (x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ 1.}$$

角周波数 (ω)

独立変数（）が時間（多くの場合、で表される）を表す場合、変換変数（）は周波数（多くの場合、で表される）を表します。例えば、時間の単位が秒の場合、周波数の単位はヘルツです。変換変数は、単位がラジアン/秒の角周波数で表すこともできます ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega =2\pi \xi ,}$

式1への代入により、関数のラベルが変更されたこの規則が生成されます。式1の定義 とは異なり、フーリエ変換はもはやユニタリ変換ではなく、変換とその逆変換の式間の対称性が低くなります。これらの特性は、係数を変換とその逆変換の間で均等に分割することで復元され、別の規則につながります。3 つの規則すべてのバリエーションは、順変換と逆変換の両方の複素指数核を共役させることで作成できます。符号は反対である必要があります。 ${\displaystyle \xi ={\tfrac {\omega }{2\pi }}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}_{1}:}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )&\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{3}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 2\pi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )&\triangleq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{1}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{2}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}}$$

1次元フーリエ変換の一般的な形式の概要

通常周波数ξ (Hz)	ユニタリ	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{1}(\xi )\ &\triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i2\pi \xi x}\,dx={\sqrt {2\pi }}\ \ {\widehat {f}}_{2}(2\pi \xi )={\widehat {f}}_{3}(2\pi \xi )\\f(x)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{1}(\xi )\,e^{i2\pi x\xi }\,d\xi \end{aligned}}}$
角周波数ω (rad/s)	ユニタリ	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )\ &\triangleq \ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{1}\!\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{3}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{2}(\omega )\,e^{i\omega x}\,d\omega \end{aligned}}}$
	非ユニタリ	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )\ &\triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\sqrt {2\pi }}\ \ {\widehat {f}}_{2}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{3}(\omega )\,e^{i\omega x}\,d\omega \end{aligned}}}$

n次元関数への一般化

通常周波数ξ (Hz)	ユニタリ	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{1}(\xi )\ &\triangleq \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx=(2\pi )^{\frac {n}{2}}{\widehat {f}}_{2}(2\pi \xi )={\widehat {f}}_{3}(2\pi \xi )\\f(x)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}_{1}(\xi )e^{i2\pi \xi \cdot x}\,d\xi \end{aligned}}}$
角周波数ω (rad/s)	ユニタリ	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )\ &\triangleq \ {\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}{\widehat {f}}_{1}\!\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}{\widehat {f}}_{3}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}_{2}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega \end{aligned}}}$
	非ユニタリ	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )\ &\triangleq \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)=(2\pi )^{\frac {n}{2}}{\widehat {f}}_{2}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}_{3}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega \end{aligned}}}$

ルベーグ可積分関数

測定可能な関数は 、その絶対値のルベーグ積分が有限であるとき、（ルベーグ）積分可能と呼ばれる。 がルベーグ積分可能であれば、式1で与えられるフーリエ変換はすべての に対して明確に定義される。^[10]さらに、は有界かつ一様連続であり、（リーマン・ルベーグの補題により）無限大 で消失する。ここで は、x が正または負の無限大に近づくにつれて 0 に近づく連続関数の空間を表す。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \|f\|_{1}=\int _{\mathbb {R} }|f(x)|\,dx<\infty .}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{\infty }\cap C_{0}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

空間は、ほぼすべての場所での同値関係を法として、ノルムが有限である測定可能な関数の空間です。 上のフーリエ変換は1対1です。しかし、像の容易な特徴付けはなく、したがって逆変換の容易な特徴付けもありません。特に、式2はもはや有効ではありません。これは、 が「十分に良い」という仮定（例えば、すべての導関数 で が減衰する）の下でのみ述べられたためです ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \|f\|_{1}}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

式1はにおける（複素数値）関数のフーリエ変換を定義していますが、他の積分可能クラス、特に二乗可積分関数の空間では明確に定義されていません。例えば、関数 はにありますが にはないので、ルベーグ積分式1は存在しません。しかし、稠密部分空間上のフーリエ変換は、上のユニタリ作用素への一意の連続拡張を許容します。この拡張が重要な理由の1つは、 の場合とは異なり、フーリエ変換は空間 の自己同型であるためです ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f(x)=(1+x^{2})^{-1/2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}\cap L^{2}(\mathbb {R} )\subset L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

このような場合、積分を正規化し、極限まで渡すことで、フーリエ変換を明示的に得ることができます。実際には、積分は真のルベーグ積分ではなく、不定積分とみなされることがよくありますが、収束させるためには、不定積分に暗黙的に含まれる（点ごとの）極限ではなく、弱極限または主値を使用する必要がある場合があります。Titchmarsh (1986) と Dym & McKean (1985) はそれぞれ、この手順を用いてフーリエ変換を2乗可積分関数に拡張する3つの厳密な方法を示しています。フーリエ変換を扱う際の一般原則は、ガウス関数は において稠密であり、フーリエ変換のユニタリー性などのさまざまな特徴はガウス関数に対して容易に推論できることです。フーリエ変換の特性の多くは、ガウス関数に関する2つの事実から証明できます。^[11] ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}\cap L^{2}}$

• はそれ自身のフーリエ変換である。そして ${\displaystyle e^{-\pi x^{2}}}$
• ガウス積分は ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi x^{2}}\,dx=1.}$

フーリエ変換の特徴は、畳み込み演算を備えたバナッハ代数から（上限）ノルムの下で連続関数のバナッハ代数への準同型であることです。この記事で選択された規則は調和解析の規則であり、ルベーグ測度を正規化することなく、フーリエ変換がL ²上でユニタリであり、 L ^1からL ^∞への代数準同型であるという唯一の規則として特徴付けられます。^[12] ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$

背景

歴史

1822年、フーリエは（ジョセフ・フーリエ§熱の解析理論を参照）、連続関数であろうと不連続関数であろうと、任意の関数は正弦級数に展開できると主張しました。^[13]この重要な研究は、他の人々によって修正および拡張され、それ以降に使用されるさまざまな形式のフーリエ変換の基礎となりました。

複素正弦波

赤色の正弦波は、ピーク振幅（1）、ピークツーピーク（2）、RMS（3）、波長（4）で表すことができます。赤色と青色の正弦波の位相差はθです

一般に、係数は複素数であり、2つの同値な形式があります（オイラーの公式を参照）。 ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\underbrace {Ae^{i\theta }} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(\theta )+iA\sin(\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.}$$

（式2）との積は、次の形式を持ちます。これは、周波数の振幅と位相の両方を表します。同様に、式1の直感的な解釈は、を乗じることは、関数のすべての周波数成分から減算する効果を持つということです。^[注5]周波数にあった成分だけが、無限積分のゼロ以外の値を生成できます。なぜなら、（少なくとも形式的には）他のすべてのシフトされた成分は振動しており、ゼロに積分されるからです（§例を参照）。 ${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}(\xi )\cdot e^{i2\pi \xi x}&=Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi \xi x}\\[6pt]&=\underbrace {Ae^{i(2\pi \xi x+\theta )}} _{\text{polar coordinate form}}\\[6pt]&=\underbrace {A\cos(2\pi \xi x+\theta )+iA\sin(2\pi \xi x+\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \xi .}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle \xi }$

極形式を用いて積がいかに簡単に簡略化されたか、そしてオイラーの公式を適用することでいかに簡単に直交形式が導かれたかは注目に値します。

負の周波数

オイラーの公式は負の可能性を導入し  、式1は定義されています。 特定の複素数値のみが変換を持ちます （解析信号を参照。簡単な例は）。しかし、信号処理、偏微分方程式、レーダー、非線形光学、量子力学などで見られる他のすべての複素数値を特徴付けるには、負の周波数が必要です。 ${\displaystyle \xi .}$ ${\displaystyle \forall \xi \in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}=0,\ \forall \ \xi <0}$ ${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}\ (\xi _{0}>0).}$ ${\displaystyle f(x),}$

実数値の場合、式1は対称性を持ちます （以下の§共役を参照）。この冗長性により、式2はとを区別できます。  しかし、と は実数直線上では区別 できないため 、 の実際の符号を決定することはできません。 ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\widehat {f}}^{*}(\xi )}$ ${\displaystyle f(x)=\cos(2\pi \xi _{0}x)}$ ${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}.}$ ${\displaystyle \xi _{0},}$ ${\displaystyle \cos(2\pi \xi _{0}x)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi (-\xi _{0})x)}$

周期関数のフーリエ変換

周期関数のフーリエ変換は、積分式を直接使用して定義することはできません。式1の積分を定義するには、関数は絶対積分可能でなければなりません。代わりに、フーリエ級数を使用するのが一般的です。定義を拡張して、周期関数を緩和分布と見なすことで、周期関数を含めることができます

これにより、収束するフーリエ級数を持つ周期関数のフーリエ級数とフーリエ変換の関係を見ることができます。が周期 の周期関数で、収束するフーリエ級数を持つ場合、次の式が成り立ちます。ここでは のフーリエ級数係数、 はディラックのデルタ関数です。言い換えれば、フーリエ変換は、その歯にフーリエ級数係数が乗じられたディラックの櫛形関数です。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot \delta \left(\xi -{\tfrac {n}{P}}\right),}$$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$

フーリエ変換のサンプリング

積分可能な関数のフーリエ変換は、任意の長さの一定の間隔でサンプリングできます。これらのサンプルは、それらのサンプルに比例するフーリエ級数係数を持つ周期関数の1サイクルから、ポアソン和の公式によって演繹できます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}.}$ ${\displaystyle f_{P}}$ $${\displaystyle f_{P}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x+nP)={\frac {1}{P}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad \forall k\in \mathbb {Z} }$$

の積分可能性は、周期和が収束することを保証します。したがって、サンプルはフーリエ級数解析によって決定できます ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)=\int _{P}f_{P}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx.}$$

がコンパクトな台を持つ場合、積分区間内に有限個の項を持ちます。がコンパクトな台を持たない場合、の数値評価には、項の数を漸減したり切り捨てたりするなどの近似が必要です。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{P}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{P}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

単位

周波数変数は、元の関数のドメイン（通常はまたは という名前）の単位の逆単位を持つ必要があります。たとえば、が秒単位で測定される場合、 はサイクル/秒またはヘルツにする必要があります。時間のスケールが秒単位である場合は、通常、別のギリシャ文字を使用して角周波数（ ）をラジアン/秒単位で表します。 を使用する場合は、 は逆長さ、たとえば波数にする必要があります。つまり、実数直線には 2 つのバージョンがあります。1 つはの範囲で の単位で測定され、もう 1 つは の範囲で の単位の逆単位で測定されます。実数直線のこれらの 2 つの異なるバージョンは、互いに同一視できません。したがって、フーリエ変換は、1 つの関数空間から異なる関数空間（定義のドメインが異なる関数）に移動します。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega =2\pi \xi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle t.}$

一般に、は常にその定義域の空間上の線型形式とみなされなければなりません。つまり、2番目の実数直線は1番目の実数直線の双対空間です。より正式な説明と詳細については、線型代数の記事を参照してください。この視点は、フーリエ級数の場合を含む、 一般的な対称群へのフーリエ変換の一般化において重要になります。 ${\displaystyle \xi }$

フーリエ変換に関係する2つの実数直線を比較するための好ましい方法が1つもない（しばしば「標準的な方法がない」と言われる）こと、つまり一方の直線の単位を固定しても、もう一方の直線の単位のスケールは強制されないことが、フーリエ変換の定義に関する競合する慣習が多数存在する理由です。異なる単位の選択から生じる様々な定義は、さまざまな定数によって異なります

他の慣例においては、フーリエ変換の指数には− iではなくiが入り、逆変換式ではその逆になります。この慣例は現代物理学で一般的であり^[14]、Wolfram Alpha のデフォルトですが、複素波の周波数の正値に関する標準的な定義がないため、周波数が負になったことを意味するものではありません。これは単に、 が 波ではなく 波の振幅である ことを意味します(前者はマイナス符号付きで、電磁波方程式の正弦平面波解の時間依存性、または量子波動関数の時間依存性でよく見られます)。フーリエ変換に関する多くの恒等式は、明示的にi を含む項がすべて− iに置き換えられる限り、これらの慣例でも有効です。電気工学では、 i が電流に使用されるため、虚数単位にはiではなく文字jが通常使用されます。 ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$ ${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$

無次元単位を使用する場合、定数因子は変換定義に記述されない場合があります。例えば、確率論では、連続型の確率変数Xの確率密度関数fの特性関数Φは、指数関数に負の符号を付けずに定義され、 xの単位は無視されるため、 2πも存在しません $${\displaystyle \varphi (\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\lambda x}\,dx.}$$

確率論と数理統計学では、多くの確率変数が連続型ではなく密度関数を持たないため、関数ではなく分布、つまり「原子」を持つ測度を扱う必要があるため、フーリエ—スティルチェス変換の使用が好まれます。

より抽象的な群指標のより高い観点からは、これらの任意の選択はすべて消えます。これは、局所コンパクトアーベル群上の関数のフーリエ変換の概念を扱うこの記事の後半で説明します。

特性

とを、次を満たす実数直線上でルベーグ測定可能な積分可能関数とします。これらの関数のフーリエ変換をそれぞれとと表記します。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\,dx<\infty .}$$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle {\widehat {h}}(\xi )}$

基本特性

フーリエ変換には以下の基本的な性質があります。^[15]

線形性

$${\displaystyle a\ f(x)+b\ h(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ a\ {\widehat {f}}(\xi )+b\ {\widehat {h}}(\xi );\quad \ a,b\in \mathbb {C} }$$

時間シフト

$${\displaystyle f(x-x_{0})\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ e^{-i2\pi x_{0}\xi }\ {\widehat {f}}(\xi );\quad \ x_{0}\in \mathbb {R} }$$

周波数シフト

$${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}f(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(\xi -\xi _{0});\quad \ \xi _{0}\in \mathbb {R} }$$

時間スケーリング

$${\displaystyle f(ax)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right);\quad \ a\neq 0}$$この場合、時間反転特性が導かれます ${\displaystyle a=-1}$ $${\displaystyle f(-x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(-\xi )}$$

対称性

複素関数の実部と虚部を偶数部と奇数部に分解すると、4つの成分があり、以下では添え字RE、RO、IE、IOで表されます。そして、複素時間関数の4つの成分と複素周波数変換の4つの成分の間には1対1の対応関係があります。^[16]

${\displaystyle {\begin{array}{rlcccccccc}{\mathsf {Time\ domain}}&f&=&f_{_{\text{RE}}}&+&f_{_{\text{RO}}}&+&i\ f_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ f_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}&{\widehat {f}}&=&{\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}&+&\overbrace {i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IO}}}} &+&i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IE}}}&+&{\widehat {f}}\!_{_{\text{RO}}}\end{array}}}$

このことから、例えば次のようなさまざまな関係が明らかになります。

• 実数値関数の変換は共役対称関数です。 逆に、共役対称変換は実数値時間領域を意味します。 ${\displaystyle (f_{_{\text{RE}}}+f_{_{\text{RO}}})}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}+i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IO}}}.}$
• 虚数値関数の変換は共役反対称関数であり、その逆もまた真です ${\displaystyle (i\ f_{_{\text{IE}}}+i\ f_{_{\text{IO}}})}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\!_{_{\text{RO}}}+i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IE}}},}$
• 共役対称関数の変換は実数値関数であり、その逆も真です。 ${\displaystyle (f_{_{\text{RE}}}+i\ f_{_{\text{IO}}})}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}+{\widehat {f}}\!_{_{\text{RO}}},}$
• 共役反対称関数の変換は虚数値関数であり、その逆も真です。 ${\displaystyle (f_{_{\text{RO}}}+i\ f_{_{\text{IE}}})}$ ${\displaystyle i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IE}}}+i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IO}}},}$

共役

$${\displaystyle {\bigl (}f(x){\bigr )}^{*}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ \left({\widehat {f}}(-\xi )\right)^{*}}$$（注：∗ は複素共役を表します。）

特に、が実数の場合、は共役対称（別名エルミート関数）です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\bigl (}{\widehat {f}}(\xi ){\bigr )}^{*}.}$$

が純虚数の場合、は奇対称です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )=-({\widehat {f}}(\xi ))^{*}.}$$

実部と虚部

$${\displaystyle \operatorname {Re} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {f}}(\xi )+{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Im} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2i}}\left({\widehat {f}}(\xi )-{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)}$$

ゼロ周波数成分

定義に代入すると、次式が得られます。 ${\displaystyle \xi =0}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx.}$$

をその定義域で積分することは、関数の平均値またはDCバイアスとして知られています。 ${\displaystyle f}$

一様連続性とリーマン・ルベーグの補題

直交関数はルベーグ積分可能です。

直交関数のフーリエ変換であるsinc関数は、有界かつ連続ですが、ルベーグ積分可能ではありません。

フーリエ変換は、非積分関数に対して定義できる場合もありますが、積分可能関数のフーリエ変換にはいくつかの強力な性質があります。

任意の積分可能関数のフーリエ変換は一様連続であり、^{[17] [18]} ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \left\|{\widehat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}}$$

リーマン・ルベーグの補題により、^[19] $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .}$$

しかし、積分可能である必要はありません。例えば、積分可能な直交関数のフーリエ変換はsinc関数ですが、これはルベーグ積分可能ではありません。これは、その不定積分が交代調和級数と同様に振る舞い、絶対収束することなく和に収束するためです。 ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

一般に、逆変換をルベーグ積分として表すことはできません。しかし、との両方が積分可能な場合、ほぼすべてのxに対して逆等式が成り立ちます。その結果、フーリエ変換はL ¹ ( R )上で単射になります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ $${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\xi }\,d\xi }$$

プランシュレルの定理とパーセバルの定理

f ( x )とg ( x )を積分可能とし、f̂ ( ξ )とĝ ( ξ )をそれらのフーリエ変換とする。f ( x )とg ( x )も平方積分可能であれば、パーセバルの公式は^{[20]となる。ここで}、バーは複素共役を表す。 $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,}$$

上記から導かれるプランシュレルの定理は[21]を述べて^いる $${\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi .}$$

プランシュレ^ルの定理は、連続性の議論によって、フーリエ変換をL2 ( R )上の^ユニタリ作用素に拡張することを可能にするL ¹ ( R ) ∩ L ² ( R )上で、この拡張はL ¹ ( R )上で定義された元のフーリエ変換と一致し、したがってフーリエ変換の定義域がL ¹ ( R ) + L ² ( R )（したがって1 ≤ p ≤ 2の場合はL ^p ( R ) ）に拡大されます。プランシュレルの定理は、科学において、フーリエ変換が元の量のエネルギーを保存すると解釈されています。これらの式の用語は、完全に標準化されていません。パーセバルの定理はフーリエ級数に対してのみ証明され、最初にリャプノフによって証明されました。しかし、パーセバルの定理はフーリエ変換に対しても意味をなすため、フーリエ変換のコンテキストではプランシュレルによって証明されましたが、今でもパーセバルの定理、パーセバルの関係、またはパーセバルの定理と呼ばれることがよくあります。

局所コンパクトアーベル群の文脈におけるこの概念の一般的な定式化については、ポンチャギン双対性を参照してください。

畳み込み定理

フーリエ変換は、関数の畳み込みと乗算を変換します。f( x )とg(x)がそれぞれフーリエ変換f̂(ξ)とĝ(ξ)を持つ積分可能な関数である場合、畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換f̂ ( ξ )とĝ ( ξ )の積で与えられます（フーリエ変換の定義に関する他の規則では、定数係数が現れる場合があります）。

これは、次のことを意味します。ここで、 ∗は畳み込み演算を表します。 $${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,}$$ $${\displaystyle {\widehat {h}}(\xi )={\widehat {f}}(\xi )\,{\widehat {g}}(\xi ).}$$

線形時不変（LTI）システム理論では、 g ( x )を入力f ( x )と出力h ( x )を持つLTIシステムのインパルス応答として解釈するのが一般的です。これは、 f ( x )に単位インパルスを代入するとh ( x ) = g ( x )となるためです。この場合、ĝ ( ξ )はシステムの周波数応答を表します

逆に、f ( x )が2つの2乗可積分関数p ( x )とq ( x )の積として分解できる場合、 f ( x )のフーリエ変換は、それぞれのフーリエ変換p̂ ( ξ )とq̂ ( ξ )の畳み込みによって与えられます。

相互相関定理

同様に、h ( x )がf ( x )とg ( x )の相互相関である場合、 h ( x )のフーリエ変換は次のようになる ことが示されます $${\displaystyle h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}g(x+y)\,dy}$$ $${\displaystyle {\widehat {h}}(\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}\,{\widehat {g}}(\xi ).}$$

特別な場合として、関数f ( x )の自己相関は次のように 表されます。 $${\displaystyle h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy}$$ $${\displaystyle {\widehat {h}}(\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}{\widehat {f}}(\xi )=\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}.}$$

微分

f ( x )がほぼすべての点で微分可能であり、fとその導関数f′が両方とも（ において）積分可能であると仮定します。すると、導関数のフーリエ変換は次のように表されます。より一般的には 、 n次導関数f ^{( n )}のフーリエ変換は次のように表されます。 ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}'\,(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d}{dx}}f(x)\right\}=i2\pi \xi {\widehat {f}}(\xi ).}$$ $${\displaystyle {\widehat {f}}^{(n)}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)\right\}=(i2\pi \xi )^{n}{\widehat {f}}(\xi ).}$$

同様に、なので ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\widehat {f}}(\xi )\right\}=(i2\pi x)^{n}f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x^{n}f(x)\right\}=\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\widehat {f}}(\xi ).}$

フーリエ変換を適用し、これらの式を用いることで、いくつかの常微分方程式を代数方程式に変換することができ、解くのがはるかに容易になります。これらの式から、「 f ( x )が滑らかであるためには、 f̂ ( ξ )が| ξ | → ∞で急速に 0 に落ち込む必要がある」という経験則も導かれます。逆フーリエ変換についても同様の規則を用いることで、「f ( x ) が| x | → ∞で急速に 0 に落ち込む必要がある」という経験則も導き出されます。

固有関数

フーリエ変換は、次式に従う固有関数を持つ線形変換です ${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=\lambda \psi ,}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} .}$

固有関数の集合は、同次微分方程式 の形がフーリエ変換で不変である限り、同次微分方程式がフーリエ変換の 固有関数につながることに注意することによって求められます。 ^{[注 6]}言い換えれば、すべての解とそのフーリエ変換は 同じ方程式に従います。解が一意であると仮定すると、すべての解はフーリエ変換の固有関数でなければなりません。すべての項に対して、同次微分方程式をフーリエ変換する際に微分規則によって導入される因子から、いずれかの同じ因子が生じるようなべき級数に展開できる場合、方程式の形はフーリエ変換でも変化しません。なぜなら、この因子はその後打ち消される可能性があるからです。最も単純な許容可能なものは標準正規分布につながります。^[22] $${\displaystyle \left[U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+U(x)\right]\psi (x)=0}$$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle {\widehat {\psi }}(\xi )}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle U(x)}$ ${\displaystyle \pm 1,\pm i}$ ${\displaystyle i^{n}}$ ${\displaystyle U(x)=x}$

より一般的には、微分規則により、定数で非定数偶関数である常微分方程式 は、方程式の両辺にフーリエ変換を適用しても形が不変のままであることがわかるので、固有関数の集合も求められます。最も単純な例は で示され、これは量子調和振動子のシュレーディンガー方程式を考えることと同等です。^[23]対応する解は、L ² ( R )の直交基底の重要な選択を提供し、「物理学者の」エルミート関数によって与えられます。同様に、 を使うこともできます。ここで、He _n ( x )は「確率論者の」エルミート多項式で、次のように定義されます。 $${\displaystyle \left[W\left({\frac {i}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+W(x)\right]\psi (x)=C\psi (x)}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle W(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle W(x)=x^{2}}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}e^{-\pi x^{2}}\mathrm {He} _{n}\left(2x{\sqrt {\pi }}\right),}$$ $${\displaystyle \mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$$

このフーリエ変換の規則の下では、 $${\displaystyle {\widehat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}\psi _{n}(\xi ).}$$

言い換えれば、エルミート関数は、L ² ( R )上のフーリエ変換の完全な直交固有関数系を形成します。^{[15] [24]}しかし、この固有関数の選択は一意ではありません。フーリエ変換には4つの異なる固有値（1の4乗根 ±1 と ± i ）しかなく、同じ固有値を持つ固有関数の線形結合は別の固有関数を与えるからです。^{[25]この結果として、} L ² ( R )を4つの空間H ₀、H ₁、H ₂、H ₃の直和として分解することが可能です。ここで、フーリエ変換は単にi ^kを乗算することによってHe _{kに作用します} ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {id} }$

エルミート関数ψn_の完全な集合は恒等関数の解決を提供するため、フーリエ演算子を対角化します。つまり、フーリエ変換は上記の固有値で重み付けされた項の和で表すことができ、これらの和は明示的に合計できます $${\displaystyle {\mathcal {F}}[f](\xi )=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(\xi )~.}$$

フーリエ変換を定義するこのアプローチは、ノーバート・ウィーナーによって初めて提案されました。^[26]エルミート関数は、他の特性の中でも、周波数領域と時間領域の両方で指数関数的に急速に減少するため、フーリエ変換の一般化、すなわち時間周波数解析で使用される分数フーリエ変換を定義するために使用されます。 ^[27]物理学では、この変換はエドワード・コンドンによって導入されました。^[28]この基底関数の変更は、フーリエ変換が適切な規則を用いるとユニタリ変換になるために可能になります。したがって、適切な条件下では、 ^[29]を介して自己随伴生成子から生じることが期待できます。 ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=e^{-itN}\psi .}$$

演算子は、次のように記述される量子調和振動子の数演算子です。 ^{[30] [31]} ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle N\equiv {\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}-1\right).}$$

これは、任意のtの値に対する分数フーリエ変換の生成元、および特定の値に対する従来の連続フーリエ変換の生成元として解釈でき、メーラー核は対応する能動変換を実装します。の固有関数はエルミート関数であり、したがっての固有関数でもあります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle t=\pi /2,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

フーリエ変換を分布に拡張すると、ディラックコームもフーリエ変換の固有関数になります。

反転と周期性

関数 の適切な条件下では、そのフーリエ変換 から を復元できます。実際、フーリエ変換演算子を と表記すると、 となり、適切な関数に対してフーリエ変換を2回適用すると関数が反転するだけです。これは「時間の反転」と解釈できます。時間の反転は2周期なので、これを2回適用すると となり、フーリエ変換演算子は4周期となり、同様に逆フーリエ変換はフーリエ変換を3回適用することで得られます。特に、フーリエ変換は（適切な条件下では）逆変換可能です ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}f:={\widehat {f}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {F}}^{2}f\right)(x)=f(-x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}(f)=f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{3}\left({\widehat {f}}\right)=f}$

より正確には、パリティ演算子 を と定義すると、次式が得られます。これらの演算子の等式は、問題となる関数の空間を注意深く定義し、関数の等式（あらゆる点で等式？ほぼすべての点で等式？）を定義し、演算子の等式、つまり、問題となる関数空間と演算子空間上の位相を定義することを必要とします。これらはすべての関数に対して成り立つわけではありませんが、様々な条件下では成り立ち、それがフーリエ反転定理の様々な形式の内容となります。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(x)=f(-x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{0}&=\mathrm {id} ,\\{\mathcal {F}}^{1}&={\mathcal {F}},\\{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{4}&=\mathrm {id} \end{aligned}}}$$

フーリエ変換のこの4倍周期性は、平面を90°回転させることに似ています。特に2倍の反復によって反転が生じるため、この類推はより正確に行うことができます。フーリエ変換は単純に時間領域と周波数領域を切り替え、逆フーリエ変換でそれらを元に戻すと解釈できますが、より幾何学的には、時間周波数領域における90°の回転（時間をx軸、周波数をy軸とした場合）と解釈でき、フーリエ変換は他の角度の回転を伴う分数フーリエ変換に一般化できます。これはさらに線形正準変換に一般化でき、これは時間周波数平面上の特殊線形群 SL ₂ ( R )の作用として視覚化でき、保存されたシンプレクティック形式は以下に示す不確定性原理に対応します。このアプローチは、特に信号処理において時間周波数解析の下で研究されています。

ハイゼンベルク群との関連

ハイゼンベルク群は、実数直線上の平方可積分複素数値関数fのヒルベルト空間L ² ( R )上のユニタリ作用素の特定の群であり、 ( T _y f )( x ) = f ( x + y )の変換とe ^{i 2π ξx}、( M _ξ f )( x ) = e ^{i 2π ξx} f ( x )の乗算によって生成される。これらの作用素は、その (群)交換子が定数 ( xに依存しない) e ^{i 2π ξy} ∈ U (1 )（単位係数複素数の円周群）による乗算^{であるため}、交換しない。抽象群として、ハイゼンベルク群は、群則 $${\displaystyle \left(M_{\xi }^{-1}T_{y}^{-1}M_{\xi }T_{y}f\right)(x)=e^{i2\pi \xi y}f(x)}$$ $${\displaystyle \left(x_{1},\xi _{1},t_{1}\right)\cdot \left(x_{2},\xi _{2},t_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},\xi _{1}+\xi _{2},t_{1}t_{2}e^{i2\pi \left(x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{2}+x_{1}\xi _{2}\right)}\right).}$$

ハイゼンベルク群をH ₁と表記する。上記の手順は群構造だけでなく、ヒルベルト空間上のH ₁の標準的なユニタリ表現も記述し、 ρ  : H ₁ → B ( L ² ( R ))と表記する。R ²の線型自己同型をJ 2 = − I となるように定義する。^このJはH 1の唯一の自己_同型に拡張できる。 $${\displaystyle J{\begin{pmatrix}x\\\xi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\xi \\x\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle j\left(x,\xi ,t\right)=\left(-\xi ,x,te^{-i2\pi \xi x}\right).}$$

ストーン・フォン・ノイマンの定理によれば、ユニタリ表現ρとρ ∘ jはユニタリ同値であるため、唯一のインタートワイナーW ∈ U ( L ² ( R ))が存在し、次のように なる。この演算子Wはフーリエ変換である $${\displaystyle \rho \circ j=W\rho W^{*}.}$$

フーリエ変換の標準的な特性の多くは、このより一般的な枠組みから直接導かれます。^[32]例えば、フーリエ変換の2乗W ²はJ ² = − Iと関連する絡み合い関数であるため、( W ² f )( x ) = f (− x )は元の関数fの反射です。

複素領域

フーリエ変換の積分は、その偏角ξの複素値 について研究することができます。f の特性に応じて、実軸から外れても全く収束しない場合もあれば、 ξ = σ + iτのすべての値に対して複素解析関数に収束する場合もあります。あるいは、その中間の値になる場合もあります。^[33] $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \xi t}f(t)\,dt}$$

ペイリー・ウィーナーの定理は、 fが滑らか（すなわち、すべての正の整数nに対してn回微分可能）であり、コンパクトに支持されている場合、かつその場合と同値であると述べています。これは、 f̂ ( σ + iτ )が正則関数であり、任意の整数n ≥ 0に対して、ある定数Cに対して、定数a > 0が存在する場合です。（この場合、fは[− a , a ]で支持されています。）これは、f̂ が σ で急速に減少し（τ は固定）、τ で指数関数的に増加する（σ で一様）整関数であると表現できます。 [ 34 ] $${\displaystyle \left\vert \xi ^{n}{\widehat {f}}(\xi )\right\vert \leq Ce^{a\vert \tau \vert }}$$

(If f is not smooth, but only L², the statement still holds provided n = 0.^[35]) The space of such functions of a complex variable is called the Paley—Wiener space. This theorem has been generalised to semisimple Lie groups.^[36]

f が半直線t ≥ 0上で支持されている場合、fは「因果的」であると言われます。これは、物理的に実現可能なフィルタのインパルス応答関数は、その原因に先行する結果が存在しないため、この性質を持たなければならないためです。Paleyと Wiener は、f̂が複素下半平面τ < 0上の正則関数に拡張され、 τ が無限大に近づくにつれてゼロに近づくことを示しました。^[37]逆は偽であり、因果関数のフーリエ変換をどのように特徴付けるかは分かっていません。^[38]

ラプラス変換

フーリエ変換f̂ ( ξ )は、微分方程式の解法やフィルタの解析にも使用されるラプラス変換 F ( s )と関連しています

フーリエ積分が実軸上で全く収束しない関数fであっても、複素平面のある領域で複素フーリエ変換が定義される場合があります。

例えば、f ( t )が指数関数的に増加する場合、つまり定数C、a ≥ 0に対して、すべての2π τ < − aに対して収束する場合、^[39]はfの両側ラプラス変換です。 $${\displaystyle \vert f(t)\vert <Ce^{a\vert t\vert }}$$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(i\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi \tau t}f(t)\,dt,}$$

ラプラス変換のより一般的なバージョン（「片側」）は $${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}$$

f が因果関数で解析的である場合、次のようになります。したがって、フーリエ変換を複素領域に拡張することは、因果関数の場合の特別なケースとしてラプラス変換を含めることを意味しますが、変数s = i 2π ξの変更を伴います ${\displaystyle {\widehat {f}}(i\tau )=F(-2\pi \tau ).}$

別の、おそらくより古典的な観点から見ると、ラプラス変換はその形式上、追加の指数関数的な調整項を含み、フーリエ変換が定義される虚数直線の外側でも収束を可能にします。そのため、ラプラス変換は最大でも指数的に発散する級数と積分に対して収束しますが、元のフーリエ分解では収束しません。これにより、発散要素や臨界要素を持つシステムの解析が可能になります。線形信号処理における具体的な例としては、臨界コムフィルタからオールパスフィルタネットワークを構築することと、単位円上で正確な極零点キャンセルを介した緩和フィルタが挙げられます。このような設計は、リバーブのように高度な非線形位相応答が求められるオーディオ処理でよく見られます。

さらに、信号処理作業のために拡張されたパルス状のインパルス応答が求められる場合、それを生成する最も簡単な方法は、発散する時間応答を生成する回路を1つ用意し、遅延された反対の補償応答によってその発散を打ち消すことです。ここでは、中間の遅延回路のみが古典的なフーリエ記述を許容し、これは重要です。両側の回路は両方とも不安定であり、収束フーリエ分解を許容しません。しかし、複素平面（または離散の場合はZ平面）に同一の収束半平面を持つラプラス領域記述を許容し、そこではそれらの効果が打ち消されます。

現代数学では、ラプラス変換は慣例的にイージス・フーリエ法に包含されます。どちらも、はるかに一般的で抽象的な調和解析の概念に包含されます。

反転

それでも 、 a ≤ τ ≤ bに対して が複素解析的である場合、 ${\displaystyle \xi =\sigma +i\tau }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\sigma +ia)e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma =\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\sigma +ib)e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma }$$コーシーの積分定理により。したがって、フーリエ逆変換公式は、実軸に平行な異なる線に沿った積分を使用することができる。^[40]

定理：t < 0に対してf ( t ) = 0であり、ある定数C、a > 0に対して| f ( t ) | < Ce ^{a | t |}である場合、任意のτ < − ⁠ $${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\sigma +i\tau )e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma ,}$$a/2π⁠

この定理は、任意のb > aに対してラプラス変換のメリン逆変換公式^[39]を意味する。ここでF ( s )はf ( t )のラプラス変換である。 $${\displaystyle f(t)={\frac {1}{i2\pi }}\int _{b-i\infty }^{b+i\infty }F(s)e^{st}\,ds}$$

カールソンとハントの結果のように、仮説は、f ( t ) e ^{− が}L ¹である^ときに弱めることができる。ただし、f はtの閉近傍内で有界な変化を持ち（ディニテスト参照）、 tにおけるfの値は左極限と右極限の算術平均とみなされ、積分はコーシー主値の意味でとられるものとする。^[41]

これらの逆変換式のL ²バージョンも利用可能である。 ^[42]

ユークリッド空間上のフーリエ変換

フーリエ変換は、任意の次元数nで定義できます。1次元の場合と同様に、多くの慣例があります。積分可能な関数f ( x )の場合、この記事では次のように定義します。ここで、xとξはn次元ベクトルであり、x · ξはベクトルのドット積です。あるいは、 ξ は双対ベクトル空間に属すると見なすことができ、その場合、ドット積はxとξの縮約となり、通常は⟨ x , ξ ⟩と書きます。 $${\displaystyle {\widehat {f}}({\boldsymbol {\xi }})={\mathcal {F}}(f)({\boldsymbol {\xi }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i2\pi {\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\star }}$

上記の基本的な性質はすべて、プランシュレルの定理とパーセバルの定理と同様に、n次元フーリエ変換に当てはまります関数が積分可能である場合、フーリエ変換は依然として一様連続であり、リーマン・ルベーグの補題が成り立ちます。^[19]

不確定性原理

一般的に言えば、 f ( x )が集中しているほど、そのフーリエ変換f̂ ( ξ )はより広がる必要があります。特に、フーリエ変換のスケーリング特性は、関数をx方向に圧縮すると、そのフーリエ変換はξ方向に広がると解釈できます。関数とそのフーリエ変換の両方を任意に集中させることは不可能です

関数の圧縮とそのフーリエ変換との間のトレードオフは、関数とそのフーリエ変換を時間周波数領域におけるシンプレクティック形式に関する共役変数と見なすことによって、不確定性原理の形で定式化することができます。線形正準変換の観点から見ると、フーリエ変換は時間周波数領域で90°回転し、シンプレクティック形式を保存します。

f ( x )が積分可能かつ2乗積分可能な関数であると仮定します。一般性を失うことなく、f ( x ) が正規化されていると仮定します。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=1.}$$

定理から、f̂ ( ξ )も正規化されていることがわかります。

x = 0の周りの広がりは、^[43]で定義されるゼロの周りの分散によって測定できます $${\displaystyle D_{0}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx.}$$

確率論的に言えば、これは| f ( x ) | ^{2 の}ゼロの周りの2次モーメントです

不確定性原理は、f ( x )が絶対連続で、関数x · f ( x )とf ′ ( x )が2乗積分可能である場合、 $${\displaystyle D_{0}(f)D_{0}({\widehat {f}})\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}.}$$

この等式は 、 σ > 0が任意でC ₁ = ⁠ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}}\\\therefore {\widehat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\xi ^{2}}\end{aligned}}}$$⁴ √ 2/√ σ⁠となる場合にのみ成立し、 fはL ²正規化されます。言い換えれば、 fは分散σ ² /2 π 、中心がゼロの（正規化された）ガウス関数であり、そのフーリエ変換は分散σ ⁻² /2 πのガウス関数です。ガウス関数はシュワルツ関数の例です（以下の緩和分布に関する説明を参照）。

実際、この不等式は次を意味します。量子力学において、運動量波動関数と位置波動関数は、プランク定数の係数までフーリエ変換の対となります。この定数を適切に考慮すると、上記の不等式はハイゼンベルクの不確定性原理の記述となります。^[44] $${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }(\xi -\xi _{0})^{2}\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}},\quad \forall x_{0},\xi _{0}\in \mathbb {R} .}$$

より強力な不確定性原理はヒルシュマンの不確定性原理であり、次のように表されます。ここで、H ( p )は確率密度関数p ( x )の微分エントロピーです。ここで、対数は矛盾のない任意の底をとることができます。等式は、前の場合と同様に、ガウス分布に対して達成されます。 $${\displaystyle H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\widehat {f}}\right|^{2}\right)\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle H(p)=-\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\log {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx}$$

正弦変換と余弦変換

フーリエによるこの変換の元の定式化では、複素数ではなく、正弦と余弦が使用されていました。統計学者などは今でもこの形式を使用しています。フーリエ逆変換が成立する絶対積分可能な関数fは、真の周波数（物理的に解釈が難しいと考えられることがある負の周波数^[45]を避ける）λで 展開できます。 $${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}a(\lambda )\cos(2\pi \lambda t)+b(\lambda )\sin(2\pi \lambda t){\bigr )}\,d\lambda .}$$

これは三角積分としての展開、またはフーリエ積分展開と呼ばれます。係数関数aとbは、フーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換の変形を使用して求めることができます（正規化は、やはり標準化されていません）。そして $${\displaystyle a(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \lambda t)\,dt}$$ $${\displaystyle b(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \lambda t)\,dt.}$$

古い文献では、2つの変換関数、フーリエ余弦変換aとフーリエ正弦変換bについて言及しています。

関数fは、三角関数の恒等式と組み合わせることで、サイン変換とコサイン変換から復元できます。これはフーリエの積分公式と呼ばれます。^{[39] [46] [47] [48]} $${\displaystyle f(t)=2\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cos {\bigl (}2\pi \lambda (\tau -t){\bigr )}\,d\tau \,d\lambda .}$$

球面調和関数

R ⁿ上のk次同次 調和 多項式の集合をA _kと表記する。集合A _kはk次立体球面調和関数から構成される。立体球面調和関数は高次元において、次元 1 におけるエルミート多項式と同様の役割を果たす。具体的には、A _k内のあるP ( x )に対してf ( x ) = e ^{−π| x | 2} P ( x )とすると、f̂ ( ξ ) = i ^{− k} f ( ξ )となる。集合H _{k を}、A _k内に存在する関数f (| x |) P ( x )の線形結合のL 2 ( ^R n )^における閉包とする。すると空間L 2 ( R ⁿ )は空間H _kの直和となり、フーリエ変換は各空間 H k をそれ自身に写像し^、各空間H _kにおけるフーリエ変換の作用を特徴付けることができる。[ ¹⁹ _]

f ( x ) = f ₀ (| x |) P ( x )（P ( x )はA _kに定義）とすると、 $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=F_{0}(|\xi |)P(\xi )}$$ $${\displaystyle F_{0}(r)=2\pi i^{-k}r^{-{\frac {n+2k-2}{2}}}\int _{0}^{\infty }f_{0}(s)J_{\frac {n+2k-2}{2}}(2\pi rs)s^{\frac {n+2k}{2}}\,ds.}$$

でJ _{( n + 2 k − 2)/2 は}、 ⁠次数の第一種ベッセル関数を表す。n + 2 k − 2/2k = 0のとき、これはラジアル関数のフーリエ変換のための便利な式を与えます。 ^[49]これは本質的にハンケル変換です。さらに、 n + 2とnの場合を関連付ける単純な再帰式があり^[50]、例えば、1次元のラジアル関数のフーリエ変換から3次元のラジアル関数のフーリエ変換を計算することができます。

制限問題

高次元では、フーリエ変換の制限問題を研究することが興味深いものになります。可積分関数のフーリエ変換は連続であり、この関数の任意の集合への制限が定義されています。しかし、2乗可積分関数の場合、フーリエ変換は2乗可積分関数の一般的なクラスになり得ます。そのため、L ² ( R ⁿ )関数のフーリエ変換の制限は、測度0の集合上では定義できません。1 < p < 2に対するL ^pの制限問題を理解することは、依然として活発な研究分野です。Sが非ゼロの曲率を持つ場合、フーリエ変換の集合Sへの制限を定義できる場合があります。SがR ⁿの単位球面である場合は特に興味深いです。この場合、トーマス・スタインの制限定理は、 1 ≤ p ≤ ⁠の条件下で、 R ⁿの単位球面へのフーリエ変換の制限は、L ^p上の有界作用素であると述べています。2 n + 2/n + 3⁠

1次元と高次元のフーリエ変換の顕著な違いの1つは、部分和演算子に関するものです。R ∈ (0,∞) で添え字付けされた測定可能な集合 E R の増加集合を考えます。例えば、原点_を中心とする半径Rの球や、辺が2 Rの立方体などです。与えられた積分可能な関数fに対して、次のように定義される関数f _{Rを考えます} $${\displaystyle f_{R}(x)=\int _{E_{R}}{\widehat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\cdot \xi }\,d\xi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.}$$

さらに、f ∈ L ^p ( R ⁿ )と仮定します。n = 1および1 < p < ∞の場合、 E _R = (− R、R )とすると、ヒルベルト変換の有界性により、 R が無限大に近づくにつれて、f Rは_L p^でfに収束します。単純に、 n > 1の場合にも同じことが当てはまると期待できます。E _{R を}辺の長さがRの立方体とすると、収束は依然として成り立ちます。もう 1 つの自然な候補は、ユークリッド球体E _R = { ξ  : | ξ | < R }です。この部分和演算子が収束するためには、単位球体の乗数がL ^p ( R ⁿ )で有界であることが必要です。n ≥ 2の場合、単位球体の乗数はp = 2でない限り有界にならないというのがCharles Feffermanの有名な定理です。^[51]実際、p ≠ 2の場合、これはf _{R が}L ^pでfに収束しない可能性があるだけでなく、一部の関数 f ∈ L p ( R n ) に対しては f R が L p の元でさえないことを示しています。

関数空間上のフーリエ変換

自然に拡張されます。つまり、の場合、フーリエ変換は で与えられます。この演算子はとして有界であり 、その演算子ノルムは1で有界であることを示しています。リーマン・ルベーグの補題は、の場合、そのフーリエ変換は実際には無限大 で消失する連続関数の空間、すなわちに属することを示しています。^{[52] [53]}さらに、の下でのの像は の厳密な部分集合です。^[54] ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle f(x)\mapsto {\widehat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx,\quad \forall \xi \in \mathbb {R} ^{n}.}$$ $${\displaystyle \sup _{\xi \in \mathbb {R} ^{n}}\left\vert {\widehat {f}}(\xi )\right\vert \leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert f(x)\vert \,dx,}$$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\in C_{0}(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$

1変数の場合と同様に、フーリエ変換は 上で定義できます。 におけるフーリエ変換は、通常のルベーグ積分ではもはや与えられませんが、不定積分、つまりL ²の意味 で極限をとったによって計算できます。^{[55] [56]} ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\lim _{R\to \infty }\int _{|x|\leq R}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx}$$

さらに、はユニタリ演算子です。^[57]演算子がユニタリであるためには、それが全単射であり、内積を保存することを示すだけで十分です。したがって、この場合、これらはフーリエ反転定理と、任意のf , g ∈ L ² ( R ⁿ )に対して次の式が成り立つという事実とを組み合わせることで得られます 。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}:L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\mathcal {F}}g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {F}}f(x)g(x)\,dx.}$$

特に、L ² ( R ⁿ )の像は、それ自体がフーリエ変換を受けます。

他のL^p

に対して、フーリエ変換はマルチンキエヴィチ補間によって定義できます。これは、そのような関数をL ²の太い尾部とL ¹の太い胴体部に分解することに相当します。これらの空間のそれぞれにおいて、 L ^p ( R ⁿ )の関数のフーリエ変換はL ^q ( R ⁿ )にあります。ここで、q = ⁠ ${\displaystyle 1<p<2}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$p/p − 1⁠はpのヘルダー共役です（ハウスドルフ・ヤング不等式により）。しかし、 p = 2を除いて、この像は簡単には特徴付けられません。さらなる拡張はより技術的になります。2 < p < ∞の範囲でのL ^pの関数のフーリエ変換には、超関数の研究が必要です。 ^{[58]実際、} L ^pにはp > 2の関数が存在することが示され、フーリエ変換は関数として定義されません。 ^[19]

緩和超関数

一般化された関数や超関数を考えることによって、からのフーリエ変換の定義域を拡大することが考えられる。 上の超関数 は、適切な位相を備えた、コンパクトに支えられた滑らかな関数（すなわち、バンプ関数）の空間上の連続線型関数である。は で稠密であるため、プランシュレルの定理により、連続性の議論によっての一般関数へのフーリエ変換の定義を拡張することができる。次に、 へのフーリエ変換の作用を考え、双対性によって の超関数に移行するという戦略を立てる。これを行う際の障害は、フーリエ変換が に写像されないことである。実際、 の元のフーリエ変換は開集合上ではゼロにはならない。不確定性原理に関する上記の議論を参照のこと。^{[59] [60]} ${\displaystyle L^{1}+L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

フーリエ変換は、シュワルツ関数の空間と双対な、緩和分布 に対しても定義できます。シュワルツ関数は、そのすべての導関数とともに無限大で減衰する滑らかな関数であるため、次のように定義されます。 フーリエ変換はシュワルツ空間の自己同型であり、双対性により、緩和分布の空間の自己同型でもあります。^{[19] [61]}緩和分布には、多項式増加の行儀の良い関数、コンパクトな台の分布、および上記のすべての積分可能関数が含まれます。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\subset {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}:C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow S(\mathbb {R} ^{n})\setminus C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$$

緩和分布のフーリエ変換の定義については、とを積分可能関数とし、とをそれぞれそれらのフーリエ変換とします。すると、フーリエ変換は次の乗法公式に従います。^[19] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle {\widehat {g}}}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}(x)g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\widehat {g}}(x)\,dx.}$$

すべての積分可能関数は、関係によって分布を定義（誘導）します。したがって、緩和分布のフーリエ変換を双対性によって定義することは理にかなっています。これをすべての緩和分布に拡張すると、フーリエ変換の一般的な定義が得られます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T_{f}}$ $${\displaystyle T_{f}(\varphi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx,\quad \forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).}$$ ${\displaystyle T_{f}\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle \langle {\widehat {T}}_{f},\varphi \rangle =\langle T_{f},{\widehat {\varphi }}\rangle ,\quad \forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).}$$ ${\displaystyle T}$

分布は微分可能であり、前述のフーリエ変換と微分および畳み込みの互換性は、緩和分布に対しても当てはまります。

一般化

可測空間上のフーリエ–スティルチェス変換

R ⁿ上の有限 ボレル測度 μのフーリエ変換は、有界で一様連続な関数^{[62] [63]で与えられ、これは}(ラドン) 測度のリーマン-スティルチェス積分表現との関連から、フーリエ-スティルチェス変換と呼ばれます。^[64]がランダム変数の確率分布である場合、そのフーリエ-スティルチェス変換は、定義により、特性関数です。^[65]さらに、確率分布が確率密度関数を持つ場合、この定義は通常のフーリエ変換に従います。^[66]より一般的に言えば、がルベーグ測度に関して 絶対連続である場合、すなわち となり、フーリエ-スティルチェス変換はフーリエ変換の通常の定義に簡約されます。つまり、積分可能な関数のフーリエ変換との顕著な違いは、フーリエ-スティルチェス変換は無限大でゼロになる必要がないこと、つまり、リーマン-ルベーグの補題が測度 については成立しないことです。^[67] $${\displaystyle {\widehat {\mu }}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i2\pi x\cdot \xi }\,d\mu ,}$$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle d\mu =f(x)\,dx,}$$ $${\displaystyle {\widehat {\mu }}(\xi )={\widehat {f}}(\xi ),}$$

ボッホナーの定理は、円周上の正測度のフーリエ＝スティルチェス変換としてどのような関数が生じるかを特徴付ける。

関数ではない有限ボレル測度の一例として、ディラック測度が挙げられる。^[68]そのフーリエ変換は定数関数である（その値は使用されるフーリエ変換の形式に依存する）。

局所コンパクトアーベル群

フーリエ変換は任意の局所コンパクトアーベル群、すなわち、群演算が連続となるような局所コンパクトハウスドルフ空間でもあるアーベル群に一般化できる。 G が局所コンパクトアーベル群である場合、それはハール測度と呼ばれる並進不変測度μを持つ。局所コンパクトアーベル群Gに対して、既約な、すなわち 1 次元のユニタリ表現の集合はその指標と呼ばれる。その自然な群構造とコンパクト集合上の一様収束の位相（すなわち、から円群へのすべての連続関数の空間上のコンパクト開位相によって誘導される位相）により、指標の集合Ĝ自体は局所コンパクトアーベル群であり、Gのポンチャギン双対と呼ばれる。 L ¹ ( G )の関数fに対して、そのフーリエ変換は^[58]で定義される。 ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\int _{G}\xi (x)f(x)\,d\mu \quad {\text{for any }}\xi \in {\widehat {G}}.}$$

この場合、リーマン・ルベーグの補題が成り立ちます。f̂ ( ξ )はĜ上の無限遠で零となる関数です。

T = R/Z上のフーリエ変換はその一例です。ここでTは局所コンパクトアーベル群であり、T上のハール測度μは[0,1]上のルベーグ測度と考えることができます。1次元複素ベクトル空間である複素平面C上のTの表現を考えてみましょう。Cが1次元であるため既約な表現群があり、に対して となります ${\displaystyle \{e_{k}:T\rightarrow GL_{1}(C)=C^{*}\mid k\in Z\}}$ ${\displaystyle e_{k}(x)=e^{i2\pi kx}}$ ${\displaystyle x\in T}$

そのような表現の指標、つまり各 および についての跡は、それ自身です。有限群の表現の場合、群Gの指標表は、各行がGの1つの既約表現の指標となるようなベクトルの行であり、これらのベクトルは、シュアーの補題によってGからCに写像される類関数の空間の正規直交基底を形成します。これで群Tは有限ではなくなりますが、依然としてコンパクトであり、指標表の正規直交性を保存します。表の各行は の関数であり、2つの類関数（Tはアーベル関数であるため、すべての関数は類関数です）間の内積は、正規化因子 を用いてのように定義されます。この数列は、類関数の空間の正規直交基底です。 ${\displaystyle e_{k}(x)}$ ${\displaystyle x\in T}$ ${\displaystyle k\in Z}$ ${\displaystyle e^{i2\pi kx}}$ ${\displaystyle e_{k}(x)}$ ${\displaystyle x\in T,}$ ${\displaystyle f,g\in L^{2}(T,d\mu )}$ ${\textstyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y){\overline {g}}(y)d\mu (y)}$ ${\displaystyle |T|=1}$ ${\displaystyle \{e_{k}\mid k\in Z\}}$ ${\displaystyle L^{2}(T,d\mu )}$

有限群Gの任意の表現Vについて、は となるような範囲（はGの不変表現）として表すことができます。同様に、およびについて、です。ポントリアギン双対は について、 であり、について、はそのフーリエ変換です。 ${\displaystyle \chi _{v}}$ ${\textstyle \sum _{i}\left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle \chi _{v_{i}}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\textstyle \left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{v}(g){\overline {\chi }}_{v_{i}}(g)}$ ${\displaystyle G=T}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(T,d\mu )}$ ${\textstyle f(x)=\sum _{k\in Z}{\widehat {f}}(k)e_{k}}$ ${\displaystyle {\widehat {T}}}$ ${\displaystyle \{e_{k}\}(k\in Z)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(T,d\mu )}$ ${\textstyle {\widehat {f}}(k)={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y)e^{-i2\pi ky}dy}$ ${\displaystyle e_{k}\in {\widehat {T}}}$

ゲルファント変換

フーリエ変換もまた、ゲルファント変換の特殊な場合です。この特定の文脈では、上で定義したポンチャギン双対写像と密接に関連しています。

アーベル局所コンパクト・ ハウスドルフ 位相群 Gが与えられた場合、前述と同様に、ハール測度を用いて定義された空間L ¹ ( G )を考えます。畳み込みを乗算とすると、L ¹ ( G )はアーベルバナッハ代数です。また、次式で与えられる畳み込み*も持ちます。 $${\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}}.}$$

可能な限り最大のC *ノルムに関して完備化を取ると、その包絡C *代数が得られ、これはGの群C *代数C *( G )と呼ばれます。( L ¹ ( G )上の任意のC *ノルムはL ¹ノルムによって有界となるため、それらの上限が存在します。)

任意のアーベルC *代数Aが与えられたとき、ゲルファント変換はAとC ₀ ( A ^)の間に同型写像を与える。ここでA ^はA上の弱 * 位相を持つ乗法線型関数、すなわち1次元表現である。写像は単に次のように与えられる。適切な同定の後、 C *( G )の乗法線型関数はGの指標とまったく同じであり、ゲルファント変換は稠密部分集合L ¹ ( G )に制限するとフーリエ・ポンチャギン変換となる。 $${\displaystyle a\mapsto {\bigl (}\varphi \mapsto \varphi (a){\bigr )}}$$

コンパクト非アーベル群

非アーベル群上の関数に対しても、その群がコンパクトであればフーリエ変換を定義することができます。基礎群がアーベル群であるという仮定を外すと、既約ユニタリ表現は必ずしも1次元である必要はありません。これは、非アーベル群上のフーリエ変換がヒルベルト空間作用素として値を取ることを意味します。^{[69]コンパクト群上のフーリエ変換は、}表現論^[70]と非可換調和解析における主要なツールです

Gをコンパクトなハウスドルフ 位相群とする。Σ で有限次元既約ユニタリ表現のすべての同型類の集合と、各σ ∈ Σに対して有限次元d _σのヒルベルト空間H _σ上の表現U ^{( σ )}を明確に選ぶものとする。μがG上の有限ボレル測度であれば、 μのフーリエ・スティルチェス変換はH _σ上の演算子で定義され、 U ^{( σ )}はH _σに作用するU ^{( σ )}の複素共役表現である。μがG上の左不変確率測度λに関して絶対連続で、あるf ∈ L ¹ ( λ )に対してと表される場合、 fのフーリエ変換はμのフーリエ・スティルチェス変換と同一視される。 $${\displaystyle \left\langle {\widehat {\mu }}\xi ,\eta \right\rangle _{H_{\sigma }}=\int _{G}\left\langle {\overline {U}}_{g}^{(\sigma )}\xi ,\eta \right\rangle \,d\mu (g)}$$ $${\displaystyle d\mu =f\,d\lambda }$$

この写像は、有限ボレル測度（RCA空間を参照）のバナッハ空間M ( G )と、 ノルムが有限である（有界）線型作用素_Eσ  : Hσ → _HσのΣで添え字付けされたすべての列E = ( _Eσ )からなるバナッハ空間C∞ (Σ)の閉部分空間との間の同型を定義します 。さらに、「畳み込み定理」_{は、このバナッハ空間の同型は、}実際にはC∞(Σ)の部分空間へのC*-代数の等長同型であると主張しています。M ( G )上の乗算は測度の畳み込みによって与えられ、 C∞ (Σ)によって定義される畳み込み*_は、ヒルベルト空間作用素として自然なC * -代数構造 を持ちます $${\displaystyle \mu \mapsto {\widehat {\mu }}}$$ $${\displaystyle \|E\|=\sup _{\sigma \in \Sigma }\left\|E_{\sigma }\right\|}$$ $${\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}},}$$

ピーター・ワイルの定理が成り立ち、フーリエ変換公式（プランシュレルの定理）の一種が成り立つ。f ∈ L ² ( G )ならば、 となる。ここで、和はL ^{2 の}意味で収束すると理解される。 $${\displaystyle f(g)=\sum _{\sigma \in \Sigma }d_{\sigma }\operatorname {tr} \left({\widehat {f}}(\sigma )U_{g}^{(\sigma )}\right)}$$

フーリエ変換の非可換な状況への一般化は、非可換幾何学の発展にも部分的に貢献してきた。^[要出典]この文脈において、フーリエ変換の非可換群への圏論的一般化はタナカ・クライン双対性であり、指標群を表現の圏に置き換える。しかし、これは調和関数との関連を失う。

代替案

信号処理用語では、（時間の）関数は完全な時間分解能を持つ信号の表現ですが、周波数情報はありません。一方、フーリエ変換は完全な周波数分解能を持ちますが、時間情報はありません。ある点におけるフーリエ変換の振幅は、周波数成分の量を表しますが、位置は位相（ある点におけるフーリエ変換の偏角）によってのみ与えられ、定在波は時間的に局所化されていません。正弦波は減衰することなく無限に続きます。そのため、時間的に局所化された信号、特に過渡信号や有限範囲の信号を解析する場合、フーリエ変換の有用性は制限されます

時間周波数解析では、フーリエ変換の代替として、時間周波数変換または時間周波数分布を用いて、時間情報と周波数情報を持つ形式で信号を表現します。不確定性原理により、これらの間にはトレードオフがあります。これらは、短時間フーリエ変換、分数フーリエ変換、シンクロスクイージングフーリエ変換^[71]などのフーリエ変換の一般化、またはウェーブレット変換やチャープレット変換などの信号を表現する他の関数であり、（連続）フーリエ変換のウェーブレットアナログは連続ウェーブレット変換です^[27]。

例

以下の図は、フーリエ変換の積分が特定の関数に周波数が存在するかどうかを測定する方法を視覚的に示しています。最初の画像は、波のオン/オフを滑らかにするガウスエンベロープ関数(第 2項) によって形成された3 Hz のコサイン波 (第 1 項)で ある関数を示しています。次の 2 つの画像は、+3 Hz でのフーリエ変換を計算するために積分する必要がある積を示しています。との交互の符号は同じ速度および位相で振動するのに対し、と は同じ速度で直交位相で振動するため、積分関数の実部は平均値が負ではありません。+3 Hz でのフーリエ変換の絶対値は 0.5 で、比較的大きいです。-3 Hz でのフーリエ変換 (実信号から開始したため同一) に追加すると、3 Hz 周波数成分の振幅は 1 であることがわかります。 ${\displaystyle f(t)=\cos(2\pi \ 3t)\ e^{-\pi t^{2}},}$ ${\displaystyle f(t)e^{-i2\pi 3t},}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (e^{-i2\pi 3t})}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (e^{-i2\pi 3t})}$

強い3Hz成分を持つ元の関数。+3Hzにおけるフーリエ変換の被積分関数の実部と虚部。

しかし、存在しない周波数を測定しようとすると、積分の実部と虚部の両方が正と負の値の間を急速に変化します。たとえば、赤い曲線は5Hzを探しています。積分の絶対値はほぼゼロであり、信号に5Hz成分がほとんどなかったことを示しています。一般的な状況は通常これよりも複雑ですが、経験的に、フーリエ変換は関数に個々の周波数がどれだけ存在するかを測定する方法です。 ${\displaystyle f(t).}$

• 
  +5Hzにおけるフーリエ変換の被積分関数の実部と虚部。
• 
  +3Hzと+5Hzがラベル付けされた、フーリエ変換の振幅。

前の点を強調すると、   Hzでの応答の理由は、とが区別できないためです    。    の変換は    1つの応答だけを持ち、その振幅は滑らかな包絡線の積分です。  一方、  は   ${\displaystyle \xi =-3}$ ${\displaystyle \cos(2\pi 3t)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi (-3)t)}$ ${\displaystyle e^{i2\pi 3t}\cdot e^{-\pi t^{2}}}$ ${\displaystyle e^{-\pi t^{2}},}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (f(t)\cdot e^{-i2\pi 3t})}$ ${\displaystyle e^{-\pi t^{2}}(1+\cos(2\pi 6t))/2.}$

応用

特定の微分方程式など、いくつかの問題はフーリエ変換を適用すると解きやすくなります。その場合、元の問題の解は逆フーリエ変換を用いて復元されます

一方の領域（時間または周波数）で実行される線形演算は、もう一方の領域でも対応する演算があり、それらの演算の方が実行しやすい場合があります。時間領域における微分演算は周波数による乗算に対応するため、^[注7]、一部の微分方程式は周波数領域で解析する方が簡単です。また、時間領域における畳み込みは、周波数領域における通常の乗算​​に対応します（畳み込み定理を参照）。必要な演算を実行した後、結果を時間領域に戻すことができます。調和解析は、周波数領域と時間領域の関係を体系的に研究するものであり、どちらか一方において「より単純」な関数や演算の種類も含み、現代数学の多くの分野と深いつながりがあります。

微分方程式の解析

フーリエ変換の最も重要な用途は、おそらく偏微分方程式を解くことです。19世紀の数理物理学の多くの方程式は、このように扱うことができます。フーリエは、1次元および無次元単位での熱方程式を研究しました。ここで示す例は、もう少し難しいものですが、1次元の波動方程式です。 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial y(x,t)}{\partial t}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}t}}.}$$

いつものように、問題は解を見つけることではありません。解は無限にあります。問題は、いわゆる「境界問題」の問題です。「境界条件」を満たす解を見つけることです。 $${\displaystyle y(x,0)=f(x),\qquad {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=g(x).}$$

ここで、fとgは与えられた関数です。熱方程式の場合、境界条件は1つだけ（通常は最初の条件）必要です。しかし、波動方程式の場合、最初の境界条件を満たす解yは依然として無限にあります。しかし、両方の条件を課すと、可能な解は1つだけです

解を直接求めるよりも、解のフーリエ変換ŷ を求める方が簡単です。これは、フーリエ変換が微分をフーリエ双対変数による乗算に変換するため、元の関数に適用された偏微分方程式は、変換された関数に適用された双対変数の多項式関数による乗算に変換されるからです。ŷが決定された後、逆フーリエ変換を適用してy を求めることができます。

フーリエ法は次のとおりです。まず、任意の形式の関数は波動方程式を満たすことに注意してください。これらは基本解と呼ばれます $${\displaystyle \cos {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}{\text{ or }}\sin {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}}$$

次に、任意の積分は 任意のa ₊、a ₋、b ₊、b ₋に対して波動方程式を満たすことに注意してください。この積分は、線形方程式の解の連続した線形結合として解釈できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}y(x,t)=\int _{0}^{\infty }d\xi {\Bigl [}&a_{+}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+a_{-}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x-t){\bigr )}+{}\\&b_{+}(\xi )\sin {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+b_{-}(\xi )\sin \left(2\pi \xi (x-t)\right){\Bigr ]}\end{aligned}}}$$

これは関数のフーリエ合成の式に似ています。実際、これは変数xにおけるa _±とb _±の実逆フーリエ変換です。

3番目のステップは、境界条件を満たすyにつながる特定の未知の係数関数a _±とb _±をどのように見つけるかを調べることです。t = 0におけるこれらの解の値に興味があります。したがって、t = 0と設定します。フーリエ逆変換に必要な条件が満たされていると仮定すると、両辺の （変数xにおける）フーリエ正弦変換とフーリエ余弦変換を見つけて、次の式を得ることができます。 $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\cos(2\pi \xi x)\,dx=a_{+}+a_{-}}$$ $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\sin(2\pi \xi x)\,dx=b_{+}+b_{-}.}$$

同様に、yをtで微分し、フーリエ正弦変換とフーリエ余弦変換を適用すると、次の式が得られます $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\sin(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(-a_{+}+a_{-}\right)}$$ $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\cos(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(b_{+}-b_{-}\right).}$$

これらは、境界条件のフーリエ正弦変換とフーリエ余弦変換を用いた、 4つの未知数a _±とb _{±に関する4つの線形方程式です。これらの変換が見つかれば、初等代数学で簡単に解くことができます。}

要約すると、 ξによってパラメータ化された基本解の集合を選択しました。その一般解は、パラメータξ上の積分の形の（連続）線形結合となります。しかし、この積分はフーリエ積分の形でした。次のステップは、境界条件をこれらの積分で表し、与えられた関数fとgに等しく設定することでした。しかし、微分のフーリエ変換の性質のため、これらの式もフーリエ積分の形をとりました。最後のステップは、両辺にフーリエ変換を適用することでフーリエ反転を利用し、与えられた境界条件fとgを用いた係数関数a _±とb _±の 式を得ることでした

より高度な観点から、フーリエの手順は、より概念的に再定式化することができます。変数が 2 つあるため、フーリエが空間変数のみを変換したように操作するのではなく、xとtの両方でフーリエ変換を使用します。 y ( x、t )はL ¹にならないため、 ŷ は分布の意味で考慮する必要があることに注意してください。波であるため、時間の経過とともに持続するため、一時的な現象ではありません。ただし、境界が設定されるため、フーリエ変換は分布として定義できます。この方程式に関連するフーリエ変換の操作上の特性は、xでの微分はi 2π ξを乗算し、tでの微分はi 2π fを乗算することです。ここで、fは周波数です。すると、波動方程式はŷの代数方程式になります。 これは、 ξ = ± fでない限り、ŷ ( ξ、f ) = 0を要求することと同等です。これは、先ほど選択した基本解がなぜうまく機能したかを説明します。明らかにf̂ = δ ( ξ ± f )が解になります。これらのデルタ関数にフーリエ変換を適用すると、先ほど選択した基本解が得られます。しかし、より高度な観点から見ると、基本解を選ぶのではなく、（退化した）円錐曲線ξ ² − f ² = 0上でサポートされるすべての分布の空間を考慮します。 $${\displaystyle \xi ^{2}{\widehat {y}}(\xi ,f)=f^{2}{\widehat {y}}(\xi ,f).}$$

次のように、直線ξ = f上の1変数の分布と直線ξ = − f上の分布によって与えられる円錐曲線上でサポートされる分布を考慮することもできます。Φは任意のテスト関数であり、 s + _、およびs ₋は1変数の分布です $${\displaystyle \iint {\widehat {y}}\varphi (\xi ,f)\,d\xi \,df=\int s_{+}\varphi (\xi ,\xi )\,d\xi +\int s_{-}\varphi (\xi ,-\xi )\,d\xi ,}$$

そして、フーリエ逆変換は、境界条件について、上でより具体的に示したものと非常によく似たものを与えます（Φ ( ξ , f ) = e ^{i 2π ( xξ + tf )}と置くと、これは明らかに多項式増加です）。そして $${\displaystyle y(x,0)=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )+s_{-}(\xi ){\bigr \}}e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi }$$ $${\displaystyle {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )-s_{-}(\xi ){\bigr \}}i2\pi \xi e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi .}$$

さて、前と同様に、変数xの1変数フーリエ変換をこれらのxの関数に適用すると、2つの未知分布s _{±に関する2つの方程式が得られます（境界条件が}L ¹またはL ²の場合、これらは通常の関数と見なすことができます）。

計算の観点から見ると、もちろん欠点は、まず境界条件のフーリエ変換を計算し、次にそれらから解を組み立て、最後に逆フーリエ変換を計算しなければならないことです。閉じた形式の式は、利用できる幾何学的対称性がある場合を除いてまれであり、積分の振動性のために数値計算は困難であり、収束が遅く、推定が困難になります。実際の計算では、他の方法がしばしば使用されます。

非線形フーリエ変換

20世紀には、これらの手法が多項式係数を持つすべての線形偏微分方程式に適用され、特定のクラスの非線形偏微分方程式にも拡張されました。具体的には、非線形発展方程式（つまり、特定の量が指定された初期状態から時間とともにどのように発展するかを記述する方程式）は、その固有値が非線形方程式の積分である線形固有値問題に関連付けられます。^{[72] [73]}これはフーリエ解析の非線形問題への拡張と考えられるため、この解法は非線形フーリエ変換法（または逆散乱変換法）と呼ばれます。^[74]

フーリエ変換分光法

フーリエ変換は、核磁気共鳴（NMR）や赤外線（FTIR ）などの他の種類の分光法でも使用されます。NMRでは、指数関数形状の自由誘導減衰（FID）信号が時間領域で取得され、周波​​数領域でローレンツ線形にフーリエ変換されます。フーリエ変換は、磁気共鳴画像法（MRI）や質量分析法でも使用されます。

量子力学

フーリエ変換は、量子力学において少なくとも2つの異なる方法で有用である。まず、量子力学の基本的な概念構造は、ハイゼンベルクの不確定性原理によって結び付けられた相補変数のペアの存在を前提としている。例えば、1次元では、例えば粒子の空間変数q は、粒子の運動量pに関する情報を失うことを犠牲にして、量子力学の「位置演算子」によってのみ測定できる。したがって、粒子の物理的状態は、 qの「波動関数」と呼ばれる関数、またはpの関数によって記述できるが、両方の変数の関数によって記述することはできない。変数pはqの共役変数と呼ばれる。

古典力学では、粒子の物理的状態（説明を簡単にするために1次元に存在する）は、pとqの両方に同時に明確な値を割り当てることによって与えられます。したがって、すべての可能な物理的状態の集合は、p軸とq軸を持つ2次元の実ベクトル空間であり、位相空間と呼ばれます。対照的に、量子力学では、次元の半分の部分空間、例えばq軸のみを選択するという意味で、この空間の分極を選択しますが、点のみを考慮するのではなく、この軸上のすべての複素数値「波動関数」の集合を取ります。それでも、p軸を選択することは同様に有効な分極であり、粒子の可能な物理的状態の集合の異なる表現をもたらします。波動関数の両方の表現は、フーリエ変換によって関連付けられており、 または同等に、 $${\displaystyle \varphi (p)=\int dq\,\psi (q)e^{-ipq/h},}$$ $${\displaystyle \psi (q)=\int dp\,\varphi (p)e^{ipq/h}.}$$

物理的に実現可能な状態はL2^であり、プランシュレルの定理により、それらのフーリエ変換もL2です^。（qは距離の単位、pは運動量の単位であるため、指数にプランク定数が存在すると、当然のことながら指数は無次元になります。）

したがって、フーリエ変換は、粒子の状態を表す一つの方法（位置の波動関数）から、粒子の状態を表す別の方法（運動量の波動関数）へと変換するために使用することができます。無限に多くの異なる偏光が可能であり、それらはすべて等しく有効です。フーリエ変換によって状態をある表現から別の表現に変換できることは、単に便利なだけでなく、ハイゼンベルクの不確定性原理の根底にある理由でもあります。

量子力学と量子場の理論の両方におけるフーリエ変換のもう1つの用途は、適用可能な波動方程式を解くことです。非相対論的量子力学では、外力を受けない1次元の時間変動波動関数のシュレーディンガー方程式は $${\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).}$$

これは、虚数単位iが存在することを除けば熱方程式と同じです。この方程式を解くにはフーリエ法を使用できます。

ポテンシャルエネルギー関数V ( x )によって与えられるポテンシャルがある場合、方程式は次のようになります $${\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).}$$

上で述べた「素解」とは、粒子のいわゆる「定常状態」であり、前述のフーリエのアルゴリズムは、t = 0におけるψの値が与えられた場合の将来の発展の境界値問題を解くために依然として使用できます。これらのアプローチはどちらも量子力学ではあまり実用的ではありません。境界値問題と波動関数の時間発展は実用上あまり重要ではありません。最も重要なのは定常状態です。

相対論的量子力学では、シュレーディンガー方程式は、複素数値の波動が考慮されることを除いて、古典物理学で通常であったように波動方程式になります。他の粒子や場との相互作用がない場合の簡単な例として、今回は無次元単位での自由1次元クライン・ゴードン・シュレーディンガー・フォック方程式があります $${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+1\right)\psi (x,t)={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t).}$$

これは数学的な観点から見ると、上で解いた古典物理学の波動方程式と同じです（ただし、複素数値の波動であるため、手法に違いはありません）。これは量子場の理論で非常に役立ちます。波の各フーリエ成分は、それぞれ独立した調和振動子として扱い、量子化することができます。この手順は「第二量子化」として知られています。フーリエ法は、非自明な相互作用にも適応されています

最後に、量子調和振動子の数演算子は、例えばメーラー核を介して、フーリエ変換の生成子として解釈できます。^[30] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

信号処理

フーリエ変換は時系列のスペクトル解析に使用されます。しかし、統計信号処理の分野では、通常、信号自体にフーリエ変換を適用することはありません。実際の信号が実際に過渡的であっても、実際には、その特性が全時間にわたって一定であるという意味で定常な関数（または確率過程）で信号をモデル化することが望ましいことが分かっています。このような関数のフーリエ変換は通常の意味では存在せず、信号解析には代わりにその自己相関関数のフーリエ変換を行う方が有用であることが分かっています。

関数fの自己相関関数Rは次のように定義されます 。 $${\displaystyle R_{f}(\tau )=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f(t)f(t+\tau )\,dt.}$$

この関数は、相関されるfの値間の時間差τの関数です。

実際に発生するほとんどの関数fでは、 R は時間差τの有界偶関数であり、典型的なノイズの多い信号では、 τ = 0で最大値をとる一様連続であることがわかります

自己相関関数（適切な方法で正規化されない限り、より正確には自己共分散関数と呼ばれる）は、時間差で隔てられたfの値間の相関の強さを測定します。これは、 fとその過去の相関関係を探す方法です。信号解析以外の統計タスクにも役立ちます。例えば、f ( t )が時刻tの温度を表す場合、24時間後の温度との強い相関が期待されます。

自己相関関数はフーリエ変換を持ちます。 $${\displaystyle P_{f}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }R_{f}(\tau )e^{-i2\pi \xi \tau }\,d\tau .}$$

このフーリエ変換は、 fのパワースペクトル密度関数と呼ばれます。（ fからすべての周期成分を最初に除去しない限り、この積分は発散しますが、そのような周期性を除去するのは簡単です。）

この密度関数Pで示されるパワースペクトルは、周波数ξによってデータに寄与する分散の量を測定します。電気信号では、分散は平均電力（単位時間あたりのエネルギー）に比例するため、パワースペクトルは異なる周波数が信号の平均電力にどれだけ寄与するかを表します。このプロセスは時系列のスペクトル分析と呼ばれ、時系列ではないデータの通常の分散分析（ANOVA） に類似しています

この意味でどの周波数が「重要」であるかを知ることは、フィルタの適切な設計と測定装置の適切な評価に不可欠です。また、データを生成する原因となる現象の科学的分析にも役立ちます。

信号のパワースペクトルは、狭帯域外のすべての周波数がフィルタリングされた後に信号に残る平均電力を測定することで、近似的に直接測定することもできます。

スペクトル解析は視覚信号に対しても行われます。パワースペクトルはすべての位相関係を無視しますが、これは多くの目的には十分ですが、ビデオ信号の場合は、フーリエ変換をツールとして使用して、他の種類のスペクトル解析も使用する必要があります。

その他の表記法

の他の一般的な表記法には以下が含まれます。 ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$ $${\displaystyle {\tilde {f}}(\xi ),\ F(\xi ),\ {\mathcal {F}}\left(f\right)(\xi ),\ \left({\mathcal {F}}f\right)(\xi ),\ {\mathcal {F}}(f),\ {\mathcal {F}}\{f\},\ {\mathcal {F}}{\bigl (}f(t){\bigr )},\ {\mathcal {F}}{\bigl \{}f(t){\bigr \}}.}$$

科学と工学では、次のような置き換えを行うことも一般 $${\displaystyle \xi \rightarrow f,\quad x\rightarrow t,\quad f\rightarrow x,\quad {\widehat {f}}\rightarrow X.}$$

そのため、変換ペアは ${\displaystyle f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle x(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ X(f)}$

大文字表記の欠点は、またはなどの変換を表現する場合、より扱いにくくなることです ${\displaystyle {\widehat {f}}\cdot g}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}',}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\cdot g\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f'\}.}$

素粒子物理学などの文脈では、関数とそのフーリエ変換の両方に同じ記号が使用されることがあります。この2つは引数によってのみ区別されます。つまり、運動量引数のため、 はフーリエ変換を指し、位置引数のため、は元の関数を指します。チルダはフーリエ変換を示すためにのように使用されることもありますが、チルダは、のように、よりローレンツ不変な形を持つ量の修正を示すために使用される場合もあるため、注意が必要です。同様に、はしばしばヒルベルト変換を表します。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(k_{1}+k_{2})}$ ${\displaystyle f(x_{0}+\pi {\vec {r}})}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {dk}{(2\pi )^{3}2\omega }}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle f}$

複素関数f̂ ( ξ )の解釈は、2つの実関数A ( ξ )とφ ( ξ )を用いて極座標形式で表すことで助けられます。ここで、は振幅、は位相です（引数関数 を参照）。 $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=A(\xi )e^{i\varphi (\xi )}}$$ $${\displaystyle A(\xi )=\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|,}$$ $${\displaystyle \varphi (\xi )=\arg \left({\widehat {f}}(\xi )\right),}$$

逆変換は次のように書けます。 これはf ( x )のすべての周波数成分の組み換えです。各成分はe ^{2π ixξ}の形をとる複素正弦波で、その振幅はA ( ξ )、初期位相角（x = 0）はφ ( ξ )です。 $${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }A(\xi )\ e^{i{\bigl (}2\pi \xi x+\varphi (\xi ){\bigr )}}\,d\xi ,}$$

The Fourier transform may be thought of as a mapping on function spaces. This mapping is here denoted F and F(f) is used to denote the Fourier transform of the function f. This mapping is linear, which means that F can also be seen as a linear transformation on the function space and implies that the standard notation in linear algebra of applying a linear transformation to a vector (here the function f) can be used to write F f instead of F(f). Since the result of applying the Fourier transform is again a function, we can be interested in the value of this function evaluated at the value ξ for its variable, and this is denoted either as F f(ξ) or as (F f)(ξ). Notice that in the former case, it is implicitly understood that F is applied first to f and then the resulting function is evaluated at ξ, not the other way around.

数学や様々な応用科学において、関数fと、その変数がxに等しいときのfの値（f ( x )と表記）を区別することがしばしば必要になります。これは、 F ( f ( x ))のような表記は、形式的にはxにおけるfの値のフーリエ変換として解釈できることを意味します。この欠陥にもかかわらず、この表記は頻繁に使用され、特定の関数または特定の変数の関数を変換する必要がある場合によく使用されます。例えば、 は直交関数 のフーリエ変換がsinc関数であることを表現するために時々使用され、またははフーリエ変換のシフト特性を表現するために使用されます $${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {rect} (x){\bigr )}=\operatorname {sinc} (\xi )}$$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}f(x+x_{0}){\bigr )}={\mathcal {F}}{\bigl (}f(x){\bigr )}\,e^{i2\pi x_{0}\xi }}$$

最後の例は、変換された関数がx ₀の関数ではなくxの関数であるという仮定の下でのみ正しいことに注意してください。

上で議論したように、確率変数の特性関数はその分布測度のフーリエ・スティルチェス変換と同じですが、この文脈では定数については異なる規則を採用するのが一般的です。通常、特性関数は次のように定義されます。 $${\displaystyle E\left(e^{it\cdot X}\right)=\int e^{it\cdot x}\,d\mu _{X}(x).}$$

上記の「非ユニタリ角周波数」規則の場合と同様に、2πの係数は正規化定数にも指数にも現れません。上記のどの規則とも異なり、この規則では指数の符号が反対になります。

計算方法

適切な計算方法は、元の数学関数の表現方法と出力関数の望ましい形式に大きく依存します。このセクションでは、連続変数の関数と離散変数の関数（つまり、値の順序付きペア）の両方を検討します。離散値の場合、変換積分は正弦波の和になりますが、これは依然として周波数（または）の連続関数です。正弦波が調和的に関係している場合（つまり、値が間隔の整数倍の間隔で配置されている場合）、この変換は離散時間フーリエ変換（DTFT）と呼ばれます。 ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$

離散フーリエ変換と高速フーリエ変換

等間隔の周波数値でDTFTをサンプリングすることは、最も一般的な現代の計算方法です。必要な周波数分解能に応じた効率的な手順は、「離散時間フーリエ変換 § DTFTのサンプリング」で説明されています。そこで使用される離散フーリエ変換（DFT）は、通常、高速フーリエ変換（FFT）アルゴリズムによって計算されます。

閉形式関数の解析積分

§ 2乗積分可能関数、1次元、§ 離散時間フーリエ変換表などの閉形式フーリエ変換の表は、フーリエ解析積分（または和）を別の周波数閉形式関数（または）に数学的に評価することによって作成されます。^[75] 数学的に可能な場合、これは周波数値の連続体に対する変換を提供します。 ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \omega }$

MatlabやMathematicaなど、記号積分が可能な多くのコンピュータ代数システムは、フーリエ変換を解析的に計算できます。たとえば、 cos(6π t ) e ^{−π t 2}のフーリエ変換を計算するには、Wolfram Alphaintegrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(-i*2*pi*f*t) from -inf to infにコマンドを入力します。^{[注 8]}

閉形式連続関数の数値積分

フーリエ変換の離散サンプリングは、変換が必要な周波数の各値における定義の数値積分によっても行うことができます。 ^{[76] [77] [78]} 数値積分アプローチは、解析的アプローチよりもはるかに広範な関数のクラスに作用します。

順序付きペアの級数の数値積分

入力関数が順序付きペアの系列である場合、数値積分はデータペアの集合全体の和に簡約されます。^[79] DTFTは、このより一般的な状況の一般的なサブケースです。

重要なフーリエ変換の表

以下の表は、いくつかの閉形式フーリエ変換を記録しています。関数f ( x )とg ( x )については、フーリエ変換をf̂とĝで表します。最も一般的な3つの規則のみが含まれています。項目105は、関数のフーリエ変換と元の関数の関係を示しており、これはフーリエ変換とその逆関数の関係と見ることができることに注意してください。

関数関係、1次元

この表のフーリエ変換は、Erdélyi (1954) または Kammler (2000、付録) に記載されています。

	関数	ユニタリーフーリエ変換 、常周波数	ユニタリーフーリエ変換 、角周波数	非ユニタリーフーリエ変換、角周波数	備考
	${\displaystyle f(x)\,}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\xi )\triangleq {\widehat {f}}_{1}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi \xi x}\,dx\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{2}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{3}(\omega )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}}$	定義
101	${\displaystyle a\,f(x)+b\,g(x)\,}$	${\displaystyle a\,{\widehat {f}}(\xi )+b\,{\widehat {g}}(\xi )\,}$	${\displaystyle a\,{\widehat {f}}(\omega )+b\,{\widehat {g}}(\omega )\,}$	${\displaystyle a\,{\widehat {f}}(\omega )+b\,{\widehat {g}}(\omega )\,}$	線形性
102	${\displaystyle f(x-a)\,}$	${\displaystyle e^{-i2\pi \xi a}{\widehat {f}}(\xi )\,}$	${\displaystyle e^{-ia\omega }{\widehat {f}}(\omega )\,}$	${\displaystyle e^{-ia\omega }{\widehat {f}}(\omega )\,}$	時間領域におけるシフト
103	${\displaystyle f(x)e^{iax}\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}(\omega -a)\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}(\omega -a)\,}$	周波数領域におけるシフト、102の双対
104	${\displaystyle f(ax)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,}$	時間領域におけるスケーリング。| a |が大きい場合、f ( ax )は0の周囲に集中し、広がって平坦になります。 ${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,}$
105	${\displaystyle {\widehat {f}}_{n}(x)\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}_{1}(x)\ {\stackrel {{\mathcal {F}}_{1}}{\longleftrightarrow }}\ f(-\xi )\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}_{2}(x)\ {\stackrel {{\mathcal {F}}_{2}}{\longleftrightarrow }}\ f(-\omega )\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}_{3}(x)\ {\stackrel {{\mathcal {F}}_{3}}{\longleftrightarrow }}\ 2\pi f(-\omega )\,}$	同じ変換が2回適用されますが、最初の変換の後、周波数変数（ξまたはω ）がxに置き換えられます。
106	${\displaystyle {\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}\,}$	${\displaystyle (i2\pi \xi )^{n}{\widehat {f}}(\xi )\,}$	${\displaystyle (i\omega )^{n}{\widehat {f}}(\omega )\,}$	${\displaystyle (i\omega )^{n}{\widehat {f}}(\omega )\,}$	n次微分 fはシュワルツ関数なので
106.5	${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}f(\tau )d\tau }$	${\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\xi )}{i2\pi \xi }}+C\,\delta (\xi )}$	${\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\omega )}{i\omega }}+{\sqrt {2\pi }}C\delta (\omega )}$	${\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\omega )}{i\omega }}+2\pi C\delta (\omega )}$	積分。[80]注：はディラックのデルタ関数であり、はとなる平均（DC）値です。 ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(f(x)-C)\,dx=0}$
107	${\displaystyle x^{n}f(x)\,}$	${\displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\widehat {f}}(\xi )}{d\xi ^{n}}}\,}$	${\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\widehat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}}$	${\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\widehat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}}$	これは106の双対である。
108	${\displaystyle (f*g)(x)\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi ){\widehat {g}}(\xi )\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\ {\widehat {f}}(\omega ){\widehat {g}}(\omega )\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}(\omega ){\widehat {g}}(\omega )\,}$	表記f ∗ gはfとgの畳み込みを表す。この規則は畳み込み定理である。
109	${\displaystyle f(x)g(x)\,}$	${\displaystyle \left({\widehat {f}}*{\widehat {g}}\right)(\xi )\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left({\widehat {f}}*{\widehat {g}}\right)(\omega )\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\left({\widehat {f}}*{\widehat {g}}\right)(\omega )\,}$	これは108の双対である。
110	f ( x )が純実数の場合	${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}(-\omega )={\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}(-\omega )={\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}\,}$	エルミート対称性。z は複素共役を示す。
113	f ( x )が純虚数の場合	${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )=-{\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}(-\omega )=-{\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}(-\omega )=-{\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}\,}$	zは複素共役を示す。
114	${\displaystyle {\overline {f(x)}}}$	${\displaystyle {\overline {{\widehat {f}}(-\xi )}}}$	${\displaystyle {\overline {{\widehat {f}}(-\omega )}}}$	${\displaystyle {\overline {{\widehat {f}}(-\omega )}}}$	複素共役、110と113の一般化
115	${\displaystyle f(x)\cos(ax)}$	${\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+{\widehat {f}}\left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)+{\widehat {f}}(\omega +a)}{2}}\,}$	${\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)+{\widehat {f}}(\omega +a)}{2}}}$	これは、オイラーの公式を用いた規則101と103から導かれる。 ${\displaystyle \cos(ax)={\frac {e^{iax}+e^{-iax}}{2}}.}$
116	${\displaystyle f(x)\sin(ax)}$	${\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)-{\widehat {f}}\left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2i}}}$	${\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)-{\widehat {f}}(\omega +a)}{2i}}}$	${\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)-{\widehat {f}}(\omega +a)}{2i}}}$	これは、オイラーの公式を用いて101と103から導かれる。 ${\displaystyle \sin(ax)={\frac {e^{iax}-e^{-iax}}{2i}}.}$

1次元の2乗可積分関数

この表のフーリエ変換は、Campbell & Foster (1948)、Erdélyi (1954)、または Kammler (2000、付録) に記載されています

	関数	ユニタリーフーリエ変換 、常周波数	ユニタリーフーリエ変換 、角周波数	非ユニタリーフーリエ変換、角周波数	備考
	${\displaystyle f(x)\,}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\xi )\triangleq {\widehat {f}}_{1}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi \xi x}\,dx\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{2}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{3}(\omega )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}}$	定義
201	${\displaystyle \operatorname {rect} (ax)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	矩形パルスと正規化 sinc関数。ここではsinc( x ) = ⁠sin(π x )/π x⁠
202	${\displaystyle \operatorname {sinc} (ax)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {\xi }{a}}\right)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	規則201の双対。矩形関数は理想的なローパスフィルタであり、sinc関数はそのようなフィルタの非因果的インパルス応答である。sinc関数はここでsinc( x ) = ⁠と定義される。sin(π x )/π x⁠
203	${\displaystyle \operatorname {sinc} ^{2}(ax)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {tri} \left({\frac {\xi }{a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	関数tri( x )は三角関数である。
204	${\displaystyle \operatorname {tri} (ax)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	規則203の双対。
205	${\displaystyle e^{-ax}u(x)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{a+i2\pi \xi }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(a+i\omega )}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{a+i\omega }}}$	関数u ( x )はヘビサイド単位ステップ関数であり、a > 0である。
206	${\displaystyle e^{-\alpha x^{2}}\,}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\,e^{-{\frac {(\pi \xi )^{2}}{\alpha }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\alpha }}}\,e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\,e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}}$	これは、ユニタリフーリエ変換において、ガウス関数 e − αx 2は、 αのある選択に対して、それ自身のフーリエ変換であることを示しています。これが積分可能であるためには、Re( α ) > 0でなければなりません。
208	${\displaystyle e^{-a|x|}\,}$	${\displaystyle {\frac {2a}{a^{2}+4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {a}{a^{2}+\omega ^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {2a}{a^{2}+\omega ^{2}}}}$	Re( a ) > 0の場合。つまり、両側減衰指数関数のフーリエ変換はローレンツ関数です。
209	${\displaystyle \operatorname {sech} (ax)\,}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi ^{2}}{a}}\xi \right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)}$	双曲正割はそれ自身のフーリエ変換です 。
210	${\displaystyle e^{-{\frac {a^{2}x^{2}}{2}}}H_{n}(ax)\,}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2\pi }}(-i)^{n}}{a}}e^{-{\frac {2\pi ^{2}\xi ^{2}}{a^{2}}}}H_{n}\left({\frac {2\pi \xi }{a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {(-i)^{n}}{a}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{2a^{2}}}}H_{n}\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {(-i)^{n}{\sqrt {2\pi }}}{a}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{2a^{2}}}}H_{n}\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$	H nはn次エルミート多項式です。a = 1 の場合、ガウス・エルミート関数はフーリエ変換演算子の固有関数です。導出については、エルミート多項式を参照してください。n = 0の場合、式は206に簡約されます。

1次元超関数

この表のフーリエ変換は、Erdélyi (1954) または Kammler (2000、付録) に記載されています。

	関数	ユニタリーフーリエ変換 、常周波数	ユニタリーフーリエ変換 、角周波数	非ユニタリーフーリエ変換、角周波数	備考
	${\displaystyle f(x)\,}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\xi )\triangleq {\widehat {f}}_{1}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi \xi x}\,dx\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{2}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{3}(\omega )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}}$	定義
301	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \delta (\xi )}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\,\delta (\omega )}$	${\displaystyle 2\pi \delta (\omega )}$	分布δ ( ξ )はディラックのデルタ関数を表します。
302	${\displaystyle \delta (x)\,}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,}$	${\displaystyle 1}$	規則 301 の双対です。
303	${\displaystyle e^{iax}}$	${\displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\,\delta (\omega -a)}$	${\displaystyle 2\pi \delta (\omega -a)}$	これは規則 103 と 301 から従います。
304	${\displaystyle \cos(ax)}$	${\displaystyle {\frac {\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\,{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}}$	${\displaystyle \pi \left(\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)\right)}$	これはオイラーの公式を用いて規則 101 と 303 から従います。 ${\displaystyle \cos(ax)={\frac {e^{iax}+e^{-iax}}{2}}.}$
305	${\displaystyle \sin(ax)}$	${\displaystyle {\frac {\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)-\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2i}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\,{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}}$	${\displaystyle -i\pi {\bigl (}\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a){\bigr )}}$	これは規則 101 と 303 から、以下を用いて従います。 ${\displaystyle \sin(ax)={\frac {e^{iax}-e^{-iax}}{2i}}.}$
306	${\displaystyle \cos \left(ax^{2}\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$	これは規則 101 と 207 から、以下を用いて従います。 ${\displaystyle \cos(ax^{2})={\frac {e^{iax^{2}}+e^{-iax^{2}}}{2}}.}$
307	${\displaystyle \sin \left(ax^{2}\right)}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {2a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$	これは規則 101 と 207 から、以下を用いて従います。 ${\displaystyle \sin(ax^{2})={\frac {e^{iax^{2}}-e^{-iax^{2}}}{2i}}.}$
308	${\displaystyle e^{-\pi i\alpha x^{2}}\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}\,e^{-i{\frac {\pi }{4}}}e^{i{\frac {\pi \xi ^{2}}{\alpha }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \alpha }}}\,e^{-i{\frac {\pi }{4}}}e^{i{\frac {\omega ^{2}}{4\pi \alpha }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}\,e^{-i{\frac {\pi }{4}}}e^{i{\frac {\omega ^{2}}{4\pi \alpha }}}}$	ここでは実数であると仮定しています。α が複素数の場合は、上記の表 206 を参照してください。 ${\displaystyle \alpha }$
309	${\displaystyle x^{n}\,}$	${\displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(\xi )}$	${\displaystyle i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )}$	${\displaystyle 2\pi i^{n}\delta ^{(n)}(\omega )}$	ここで、nは自然数であり、δ ( n ) ( ξ )はディラックのデルタ関数のn次の分布微分です。この規則は規則107と301から導かれます。この規則を規則101と組み合わせることで、すべての多項式を変換できます。
310	${\displaystyle \delta ^{(n)}(x)}$	${\displaystyle (i2\pi \xi )^{n}}$	${\displaystyle {\frac {(i\omega )^{n}}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle (i\omega )^{n}}$	規則309の双対。δ ( n ) ( ξ )はディラックのデルタ関数のn次の分布微分です。この規則は規則106と302から導かれます。
311	${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\xi )}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )}$	${\displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\omega )}$	ここで、sgn( ξ )は符号関数です。⁠ 1/x⁠は分布ではありません。シュワルツ関数と比較する際には、コーシー主値を使用する必要があります。この規則はヒルベルト変換の研究に役立ちます。
312	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{x^{n}}}\\&:={\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\log |x|\end{aligned}}}$	${\displaystyle -i\pi {\frac {(-i2\pi \xi )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\xi )}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )}$	${\displaystyle -i\pi {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )}$	⁠ 1/x n⁠は分布微分によって定義される同次分布です。 ${\displaystyle {\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\log |x|}$
313	${\displaystyle |x|^{\alpha }}$	${\displaystyle -{\frac {2\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\Gamma (\alpha +1)}{|2\pi \xi |^{\alpha +1}}}}$	${\displaystyle {\frac {-2}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\Gamma (\alpha +1)}{|\omega |^{\alpha +1}}}}$	${\displaystyle -{\frac {2\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\Gamma (\alpha +1)}{|\omega |^{\alpha +1}}}}$	この式は、 -1 < α < 0のときに有効です。α > 0の場合、原点に320を微分することで見つけられる特異項がいくつか生じます。Re α > -1の場合、| x | αは局所的に積分可能な関数であり、したがって緩和分布です。関数α ↦ | x | αは、右半平面から緩和分布の空間への正則関数です。これは、緩和分布への唯一の有理型拡張を許容し、α ≠ -1, -3, ...の場合に| x | αとも表記されます（同次分布を参照）。
	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|x|}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|\xi |}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|\omega |}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{\sqrt {|\omega |}}}}$	313 の特殊ケース
314	${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{i\pi \xi }}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {1}{i\omega }}}$	${\displaystyle {\frac {2}{i\omega }}}$	規則311の双対です。今回はフーリエ変換をコーシー主値として考える必要があります。
315	${\displaystyle u(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi \xi }}+\delta (\xi )\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)}$	${\displaystyle \pi \left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)}$	関数u ( x )はヘビサイド単位ステップ関数です。これは規則101、301、および314から従います。
316	${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)}$	${\displaystyle {\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\xi -{\frac {k}{T}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)}$	この関数はディラックの櫛形関数として知られています。この結果は、規則302と102、および超関数としてであるという事実から導き出すことができます。 ${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}\\={}&2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (x+2\pi k)\end{aligned}}}$
317	${\displaystyle J_{0}(x)}$	${\displaystyle {\frac {2\,\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {2\,\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}$	関数J0 ( x )は、第一種0次ベッセル関数です。
318	${\displaystyle J_{n}(x)}$	${\displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi \xi )\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}$	これは規則317の一般化です。関数Jn ( x )は、第一種n次ベッセル関数です。関数Tn ( x )は、第一種チェビシェフ多項式です。
319	${\displaystyle \log \left|x\right|}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\left|\xi \right|}}-\gamma \delta \left(\xi \right)}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\left|\omega \right|}}-{\sqrt {2\pi }}\gamma \delta \left(\omega \right)}$	${\displaystyle -{\frac {\pi }{\left|\omega \right|}}-2\pi \gamma \delta \left(\omega \right)}$	γはオイラー・マスケローニ定数です。検定する際には有限部分積分を使用する必要があります 1/| ξ |⁠または⁠ 1/| ω |⁠シュワルツ関数に対して。この詳細によってデルタ関数の係数が変わる可能性があります。
320	${\displaystyle \left(\mp ix\right)^{-\alpha }}$	${\displaystyle {\frac {\left(2\pi \right)^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \xi \right)\left(\pm \xi \right)^{\alpha -1}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \omega \right)\left(\pm \omega \right)^{\alpha -1}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \omega \right)\left(\pm \omega \right)^{\alpha -1}}$	この式は0 < α < 1の場合に有効です。より高い指数の式を導くには微分を用います。uはヘビサイド関数です。

2次元関数

	関数	ユニタリーフーリエ変換 、常周波数	ユニタリーフーリエ変換 、角周波数	非ユニタリーフーリエ変換、角周波数	備考
400	${\displaystyle f(x,y)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\xi _{x},\xi _{y})\triangleq \\&\iint f(x,y)e^{-i2\pi (\xi _{x}x+\xi _{y}y)}\,dx\,dy\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega _{x},\omega _{y})\triangleq \\&{\frac {1}{2\pi }}\iint f(x,y)e^{-i(\omega _{x}x+\omega _{y}y)}\,dx\,dy\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega _{x},\omega _{y})\triangleq \\&\iint f(x,y)e^{-i(\omega _{x}x+\omega _{y}y)}\,dx\,dy\end{aligned}}}$	変数ξ x、ξ y、ω x、ω yは実数です。積分は平面全体にわたって行われます。
401	${\displaystyle e^{-\pi \left(a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}\right)}}$	${\displaystyle {\frac {1}{|ab|}}e^{-\pi \left({\frac {\xi _{x}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\xi _{y}^{2}}{b^{2}}}\right)}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi \,|ab|}}e^{-{\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {\omega _{x}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\omega _{y}^{2}}{b^{2}}}\right)}}$	${\displaystyle {\frac {1}{|ab|}}e^{-{\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {\omega _{x}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\omega _{y}^{2}}{b^{2}}}\right)}}$	どちらの関数もガウス関数であり、単位体積を持たない場合があります。
402	${\displaystyle \operatorname {circ} \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {J_{1}\left(2\pi {\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {J_{1}\left({\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi J_{1}\left({\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}}$	この関数は、0 ≤ r ≤ 1の場合にcirc( r ) = 1と定義され、それ以外の場合は 0 です。結果はエアリーディスクの振幅分布であり、J 1（第一種1次ベッセル関数）を使用して表されます。[81]
403	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}}$	これはr −1のハンケル変換であり、2次元フーリエ「自己変換」です。[82]
404	${\displaystyle {\frac {i}{x+iy}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\xi _{x}+i\xi _{y}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{x}+i\omega _{y}}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{\omega _{x}+i\omega _{y}}}}$

一般的なn次元関数の公式

	関数	ユニタリーフーリエ変換 、常周波数	ユニタリーフーリエ変換 、角周波数	非ユニタリーフーリエ変換、角周波数	備考
500	${\displaystyle f(\mathbf {x} )\,}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}_{1}({\boldsymbol {\xi }})\triangleq \\&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i2\pi {\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}_{2}({\boldsymbol {\omega }})\triangleq \\&{\frac {1}{{(2\pi )}^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}_{3}({\boldsymbol {\omega }})\triangleq \\&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} \end{aligned}}}$
501	${\displaystyle \chi _{[0,1]}(|\mathbf {x} |)\left(1-|\mathbf {x} |^{2}\right)^{\delta }}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\delta +1)}{\pi ^{\delta }\,|{\boldsymbol {\xi }}|^{{\frac {n}{2}}+\delta }}}J_{{\frac {n}{2}}+\delta }(2\pi |{\boldsymbol {\xi }}|)}$	${\displaystyle 2^{\delta }\,{\frac {\Gamma (\delta +1)}{\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|^{{\frac {n}{2}}+\delta }}}J_{{\frac {n}{2}}+\delta }(|{\boldsymbol {\omega }}|)}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\delta +1)}{\pi ^{\delta }}}\left|{\frac {\boldsymbol {\omega }}{2\pi }}\right|^{-{\frac {n}{2}}-\delta }J_{{\frac {n}{2}}+\delta }(\!|{\boldsymbol {\omega }}|\!)}$	関数χ [0, 1]は区間[0, 1]の指示関数です。関数Γ( x )はガンマ関数です。関数J ⁠n/2⁠ + δは、 ⁠n/2⁠ + δ 。n = 2、 δ = 0とすると402となる。 [83]
502	${\displaystyle |\mathbf {x} |^{-\alpha },\quad 0<\operatorname {Re} \alpha <n.}$	${\displaystyle {\frac {(2\pi )^{\alpha }}{c_{n,\alpha }}}|{\boldsymbol {\xi }}|^{-(n-\alpha )}}$	${\displaystyle {\frac {(2\pi )^{\frac {n}{2}}}{c_{n,\alpha }}}|{\boldsymbol {\omega }}|^{-(n-\alpha )}}$	${\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n}}{c_{n,\alpha }}}|{\boldsymbol {\omega }}|^{-(n-\alpha )}}$	リースポテンシャルを参照。定数は次のように与えられる。この式は解析接続によりすべてのα ≠ n、n + 2、…に対しても成立するが、その場合、関数とそのフーリエ変換は適切に正則化された焼き戻し分布として理解する必要がある。同次分布を参照。[注9] ${\displaystyle c_{n,\alpha }=\pi ^{\frac {n}{2}}2^{\alpha }{\frac {\Gamma \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n-\alpha }{2}}\right)}}.}$
503	${\displaystyle {\frac {1}{\left|{\boldsymbol {\sigma }}\right|\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}^{-\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}^{-1}\mathbf {x} }}$	${\displaystyle e^{-2\pi ^{2}{\boldsymbol {\xi }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\xi }}}}$	${\displaystyle (2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\omega }}}}$	${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\omega }}}}$	これは、平均が0で1に正規化された多変量正規分布の式です。太字の変数はベクトルまたは行列です。前述のページの表記法に従うと、Σ = σ σ TおよびΣ −1 = σ −T σ −1となります。
504	${\displaystyle e^{-2\pi \alpha |\mathbf {x} |}}$	${\displaystyle {\frac {c_{n}\alpha }{\left(\alpha ^{2}+|{\boldsymbol {\xi }}|^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {c_{n}(2\pi )^{\frac {n+2}{2}}\alpha }{\left(4\pi ^{2}\alpha ^{2}+|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {c_{n}(2\pi )^{n+1}\alpha }{\left(4\pi ^{2}\alpha ^{2}+|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}}$	ここで[84] Re( α ) > 0 ${\displaystyle c_{n}={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\pi ^{\frac {n+1}{2}}}},}$

参照

• アナログ信号処理
• ビーバーズ・リプソンストリップ
• 定Q変換
• 離散フーリエ変換
• DFT行列
• 高速フーリエ変換
• フーリエ積分演算子
• フーリエ逆定理
• フーリエ乗算器
• フーリエ級数
• フーリエ正弦変換
• フーリエ・ドリーニュ変換
• フーリエ・向井変換
• 分数フーリエ変換
• 間接フーリエ変換
• 積分変換
  • ハンケル変換
  • ハートレー変換
• ラプラス変換
• 最小二乗スペクトル解析
• 線形正準変換
• フーリエ関連変換の一覧
• メリン変換
• 多次元変換
• NGC 4622、特にNGC 4622の画像フーリエ変換m = 2
• 非局所演算子
• 量子フーリエ変換
• 二次フーリエ変換
• 短時間フーリエ変換
• スペクトル密度
  • スペクトル密度推定
• 記号積分
• 時間伸縮分散フーリエ変換
• 変換（数学）

注釈

1. 文の構造は、意図された意味を区別するのに十分な場合が多い。例えば、「[入力]にフーリエ変換を適用する」は演算を指し、「[入力]のフーリエ変換」はその出力を指す。
2. 用途に応じて、ルベーグ積分、分布関数、またはその他のアプローチが最も適切な場合がある。
3. 関数解析や超関数論に深く立ち入ることなく、これらの形式的な手順の確固たる正当性を示している。
4. 相対論的量子力学では、多成分波動関数のベクトル値フーリエ変換に遭遇する。量子場の理論では、時空の演算子値関数の演算子値フーリエ変換が頻繁に使用される。例えば、Greiner & Reinhardt (1996)を参照
5. 混乱の原因となり得るのは、周波数シフト特性です。つまり、関数の変換はです。  この関数の における値は、  周波数がゼロにシフトされたことを意味します（負の周波数 も参照  ）。 ${\displaystyle f(x)e^{-i2\pi \xi _{0}x}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi +\xi _{0}).}$ ${\displaystyle \xi =0}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{0}),}$ ${\displaystyle \xi _{0}}$
6. 演算子は、 のテイラー展開においてを に置き換えることで定義されます。 ${\displaystyle U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle U(x).}$
7. 虚数定数倍までで、その大きさは使用されるフーリエ変換規則に依存します。
8. 直接コマンドはfourier transform of cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2)Wolfram Alphaでも機能しますが、 規約のオプション（フーリエ変換 § その他の規約を参照）をデフォルトのオプションから変更する必要があります。これは実際には と同等ですintegrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(i*omega*t) /sqrt(2*pi) from -inf to inf。
9. Gelfand & Shilov 1964, p. 363では、この表の非ユニタリ規約を用いると、 の変換はと与えられ、 を用いてこれが成り立ちます。 ${\displaystyle |\mathbf {x} |^{\lambda }}$
   ${\displaystyle 2^{\lambda +n}\pi ^{{\tfrac {1}{2}}n}{\frac {\Gamma \left({\frac {\lambda +n}{2}}\right)}{\Gamma \left(-{\frac {\lambda }{2}}\right)}}|{\boldsymbol {\omega }}|^{-\lambda -n}}$
   ${\displaystyle \lambda =-\alpha }$

引用文献

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55. L ¹とL ²の交点にあり、 L ²ノルムでfに収束する関数の列を取り、 fのフーリエ変換をこれらの関数のフーリエ変換のL ²極限として定義することができます。
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外部リンク

• ウィキメディア・コモンズにおけるフーリエ変換関連メディア
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• Weisstein, Eric W.「フーリエ変換」. MathWorld .
• 結晶学におけるフーリエ変換

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