平方積分可能な関数

Function whose squared absolute value has finite integral

数学において、二乗可積分関数（にゅうかくかくかくりつ、英: square-integrable function ）は、二乗可積分関数、あるいは二乗和可積分関数とも呼ばれ、^[1]実数値または複素数値の測定可能な関数であり、その絶対値の二乗の積分が有限である。したがって、実数直線上の二乗可積分性は以下のように定義される。 ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} {\text{ square integrable}}\quad \iff \quad \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty }$

のような有界区間上の二次積分可能性についても言及することができる。^[2] ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a\leq b}$

${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {C} {\text{ square integrable on }}[a,b]\quad \iff \quad \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty }$

同等の定義は、関数自体の平方（絶対値の平方ではなく）がルベーグ積分可能であるというものです。これが成り立つためには、実部の正の部分と負の部分の積分が有限であり、虚部の積分も有限である必要があります。

ルベーグ測度に関する（同値類の）二乗可積分関数のベクトル空間は、となる空間を形成する。これらの空間の中で、二乗可積分関数の類は内積と両立するという点で独特であり、これにより角度や直交性といった概念を定義できる。この内積とともに、二乗可積分関数はヒルベルト空間を形成する。なぜなら、すべての空間はそれぞれの-ノルムに関して完備だからである。 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p=2.}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$

多くの場合、この用語は特定の関数を指すのではなく、ほぼすべての点で等しい関数の同値クラスを指すために使用されます。

プロパティ

平方積分可能関数（前述の意味での「関数」は実際にはほぼどこでも等しい関数の同値類を意味する）は、内積が次 式で与えられる内積空間を形成する。 $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x,}$$

• ${\displaystyle f}$およびは平方積分可能な関数であり、 ${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle {\overline {f(x)}}}$は複素共役である ${\displaystyle f(x),}$
• ${\displaystyle A}$は積分する集合です。最初の定義（上記の導入部で示した）では 、2番目の定義では です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [a,b]}$

なので、平方積分可能性は、 ${\displaystyle |a|^{2}=a\cdot {\overline {a}}}$ $${\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty .\,}$$

二乗可積分関数は、上で定義した内積によって誘導される計量の下で完全な計量空間を形成することが示されます。完全な計量空間はコーシー空間とも呼ばれます。これは、そのような計量空間内の列が収束する場合、それらがコーシーである場合に限るからです。ノルムによって誘導される計量の下で完全な空間はバナッハ空間です。したがって、二乗可積分関数の空間は、内積によって誘導されるノルムによって誘導される計量の下でのバナッハ空間です。内積の追加特性があるため、これは特にヒルベルト空間です。なぜなら、空間は内積によって誘導される計量の下で完全だからです。

この内積空間は慣例的に と表記され、多くの場合 と略記される。は平方可積分関数の集合を表すが、この表記法では計量、ノルム、内積の選択は指定されないことに注意されたい。この集合と特定の内積は、内積空間を規定する。 ${\displaystyle \left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)}$ ${\displaystyle L_{2}.}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}}$

平方可積分関数の空間とは、 ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p=2.}$

例

で定義された関数はに対してはであるが に対しては ではない^[1]で定義された 関数は平方積分可能である^{[3] 。} ${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{n}}},}$ ${\displaystyle (0,1),}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle n<{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$ ${\displaystyle [1,\infty ),}$

で定義される有界関数は平方積分可能である。これらの関数は^[3]の任意の値に対しても ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle L^{p},}$ ${\displaystyle p.}$

非例

で定義される関数で、 の値は任意である。さらに、この関数はの任意の値に対して にはならない^[3]。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [1,\infty ).}$

参照

• 内積空間
• ${\displaystyle L^{p}}$空間 – 有限次元pノルム空間を一般化する関数空間

参考文献

1. Todd, Rowland. 「L^2関数」. MathWorld - Wolfram Webリソース.
2. ジョヴァンニ・サンソーネ(1991).直交関数. ドーバー出版. pp.  1– 2. ISBN 978-0-486-66730-0。
3. 「Lp Functions」（PDF） . 2020年10月24日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2020年1月16日閲覧。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Square-integrable_function&oldid=1295700507"