フーリエ変換

Mathematical transform that expresses a function of time as a function of frequency

ハ長調 ピアノ コードの波形にフーリエ変換を適用した図（水平軸（周波数軸）は対数）。左側の最初の3つのピークは、コードの基本周波数（C、E、G）に対応しています。残りの小さなピークは、基本音の高周波数倍音です。

数学において、フーリエ変換（FT）は、関数を入力として受け取り、元の関数に存在する様々な周波数の程度を表す別の関数を出力する積分変換です。変換の出力は、周波数の複素数値関数です。フーリエ変換という用語は、数学的演算とこの複素数値関数の両方を指します。区別が必要な場合、演算の出力は元の関数の周波数領域表現と呼ばれることがあります。 ^{[注 1]}フーリエ変換は、音楽の和音の音を、それを構成する音高の強度に分解することに似ています。

フーリエ変換は、赤色で示される時間領域と青色で示される周波数領域の関数を関連付けます。周波数スペクトル全体に拡張された成分周波数は、周波数領域においてピークとして示されます。

時間領域に局在する関数のフーリエ変換は周波数領域に広がり、その逆もまた同様です。この現象は不確定性原理として知られています。この原理の重要な例はガウス関数であり、確率論や統計学、および正規分布を示す物理現象 （拡散など）の研究において非常に重要です。ガウス関数のフーリエ変換は、別のガウス関数です。ジョセフ・フーリエは熱伝達の研究において、正弦変換と余弦変換（現代のフーリエ変換の虚数部と実数部に対応）を導入しました。この研究では、ガウス関数が熱方程式の解として現れます。

フーリエ変換は、不完全な リーマン積分として正式に定義することができ、積分変換になりますが、この定義は、より高度な積分理論を必要とする多くの用途には適していません。^{[注 2]}たとえば、比較的単純な用途の多くではディラックのデルタ関数が使用され、これは関数であるかのように正式に扱うことができますが、その正当性には数学的に高度な観点が必要です。^{[注 3]}

フーリエ変換は、ユークリッド空間上の多変数関数にも一般化でき、 3次元「位置空間」関数を3次元運動量関数（または空間と時間の関数を4次元運動量関数）に変換できます。この考え方により、空間フーリエ変換は波動の研究だけでなく、波動解を位置または運動量、あるいはその両方の関数として表せることが重要となる量子力学においても非常に自然なものとなっています。一般に、フーリエ法を適用できる関数は複素数値であり、場合によってはベクトル値です。^{[注 4]さらに一般化して}群上の関数にすることもできます。群には、 RまたはR ⁿ上の元のフーリエ変換に加えて、離散時間フーリエ変換（DTFT、群 = Z）、離散フーリエ変換（DFT、群 = Z mod N）、およびフーリエ級数または円フーリエ変換（群 = S ¹、単位円 ≈ 端点が特定された閉有限区間）が含まれます。後者は周期関数を扱うために日常的に用いられます。高速フーリエ変換（FFT）はDFTを計算するためのアルゴリズムです。

意味

実数直線上の複素関数のフーリエ変換は、積分^[1]によって定義される複素関数である。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$

フーリエ変換

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-i2\pi \xi x}\,dx,\quad \forall \xi \in \mathbb {R} .}$

式1

この場合、 は（ルベーグ）実数直線全体にわたって積分可能、すなわち、上記の積分は連続関数に収束します（ のときにゼロに減少します）。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi \to \infty }$

しかし、フーリエ変換は、ルベーグ積分 式1が意味をなさない（一般化された）関数に対しても定義できる。 ^[2]積分を適切に解釈する（例えば、局所積分可能な関数に対する不定積分として解釈する）ことで、フーリエ変換は必ずしも実数直線全体にわたって積分可能ではない関数にも拡張される。より一般的には、フーリエ変換はディラックデルタ（およびその他のすべての緩和分布）のような一般化された関数にも適用でき、その場合、フーリエ変換は積分ではなく双対性によって定義される。^[3]

フーリエの 解析的熱理論で初めて導入された[ ^{4] [5] [6] [7] 「}十分に良い」関数に対応する逆公式はフーリエ逆定理によって与えられ、

逆変換

${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )\ e^{i2\pi \xi x}\,d\xi ,\quad \forall \ x\in \mathbb {R} .}$

式2

関数と関数はフーリエ変換ペアと呼ばれます。^[8]  変換ペアを指定するための一般的な表記法は次のとおりです。^[9]たとえば、デルタ関数のフーリエ変換は定数関数です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ $${\displaystyle f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi ).}$$ ${\displaystyle 1}$ $${\displaystyle \delta (x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ 1.}$$

角周波数（ω）

独立変数（）が時間（多くの場合 と表記される）を表す場合、変換変数（）は周波数（多くの場合 と表記される）を表します。例えば、時間の単位が秒である場合、周波数の単位はヘルツです。変換変数は、ラジアン/秒を単位とする角周波数で表すこともできます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega =2\pi \xi ,}$

式1への代入により、関数のラベルが変更された規則が成立します。式1の定義 とは異なり、フーリエ変換はもはやユニタリ変換ではなく、変換とその逆変換の式間の対称性は低下しています。これらの特性は、係数を変換とその逆変換に均等に分割することで回復され、別の規則が導き出されます。これら3つの規則のバリエーションは、順変換と逆変換の両方の複素指数核を共役させることで作成できます。符号は反対である必要があります。 ${\displaystyle \xi ={\tfrac {\omega }{2\pi }}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}_{1}:}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )&\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{3}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 2\pi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )&\triangleq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{1}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{2}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}}$$

1次元フーリエ変換の一般的な形式の概要

常用周波数ξ（Hz）	単一	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{1}(\xi )\ &\triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i2\pi \xi x}\,dx={\sqrt {2\pi }}\ \ {\widehat {f}}_{2}(2\pi \xi )={\widehat {f}}_{3}(2\pi \xi )\\f(x)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{1}(\xi )\,e^{i2\pi x\xi }\,d\xi \end{aligned}}}$
角周波数ω (rad/s)	単一	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )\ &\triangleq \ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{1}\!\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{3}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{2}(\omega )\,e^{i\omega x}\,d\omega \end{aligned}}}$
	非ユニタリー	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )\ &\triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\sqrt {2\pi }}\ \ {\widehat {f}}_{2}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{3}(\omega )\,e^{i\omega x}\,d\omega \end{aligned}}}$

n次元関数の一般化

常用周波数ξ（Hz）	単一	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{1}(\xi )\ &\triangleq \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx=(2\pi )^{\frac {n}{2}}{\widehat {f}}_{2}(2\pi \xi )={\widehat {f}}_{3}(2\pi \xi )\\f(x)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}_{1}(\xi )e^{i2\pi \xi \cdot x}\,d\xi \end{aligned}}}$
角周波数ω (rad/s)	単一	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )\ &\triangleq \ {\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}{\widehat {f}}_{1}\!\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}{\widehat {f}}_{3}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}_{2}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega \end{aligned}}}$
	非ユニタリー	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )\ &\triangleq \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)=(2\pi )^{\frac {n}{2}}{\widehat {f}}_{2}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}_{3}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega \end{aligned}}}$

ルベーグ可積分関数

測定可能な関数は 、その絶対値のルベーグ積分が有限であるとき、（ルベーグ）積分可能と呼ばれる。 がルベーグ積分可能であれば、式1で与えられるフーリエ変換はすべての に対して明確に定義される。^[10]さらに、は有界かつ一様連続であり、（リーマン・ルベーグの補題により）無限大 で消失する。ここで は、x が正または負の無限大に近づくにつれて 0 に近づく連続関数の空間を表す。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \|f\|_{1}=\int _{\mathbb {R} }|f(x)|\,dx<\infty .}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{\infty }\cap C_{0}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

空間は、ほぼすべての点で等式関係を法としてノルムが有限となる測定可能な関数の空間である。 上のフーリエ変換は対 1 である。しかし、 の像を容易に特徴付けることはできず、したがって逆変換を容易に特徴付けることもできない。特に、式2はもはや有効ではない。これは、 が「十分に良い」という仮定（例えば、すべての導関数 で が減衰する）の下でのみ述べられたためである。 ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \|f\|_{1}}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

式1はにおける（複素数値）関数のフーリエ変換を定義しているが、他の積分可能クラス、特に平方積分可能関数の空間 については明確に定義されていない。例えば、関数 はには含まれるが には含まれないため、ルベーグ積分式1は存在しない。しかし、稠密部分空間上のフーリエ変換は、上のユニタリ演算子への一意の連続拡張を許容する。この拡張が重要な理由の一つとして、 の場合とは異なり、フーリエ変換は空間 の自己同型となる点が挙げられる。 ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f(x)=(1+x^{2})^{-1/2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}\cap L^{2}(\mathbb {R} )\subset L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

このような場合、積分を正規化し、極限まで渡すことで、フーリエ変換を明示的に得ることができます。実際には、積分は適切なルベーグ積分ではなく、不適正積分とみなされることが多いですが、収束させるためには、不適正積分に暗黙的に含まれる（点ごとの）極限ではなく、弱極限または主値を使用する必要がある場合もあります。Titchmarsh (1986) と Dym & McKean (1985) はそれぞれ、この手順を用いてフーリエ変換を2乗可積分関数に拡張する3つの厳密な方法を示しています。フーリエ変換を扱う際の一般原則は、ガウス関数は において稠密であり、フーリエ変換のユニタリー性などのさまざまな特徴はガウス関数に対して容易に推論できるということです。フーリエ変換の特性の多くは、ガウス関数に関する2つの事実から証明できます。^[11] ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}\cap L^{2}}$

• それはそれ自身のフーリエ変換であり、 ${\displaystyle e^{-\pi x^{2}}}$
• ガウス積分は ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi x^{2}}\,dx=1.}$

フーリエ変換の特徴は、畳み込み演算を備えたバナッハ代数から（上限）ノルムの下で連続関数のバナッハ代数への準同型であることである。本稿で採用されている規則は調和解析の規則であり、ルベーグ測度を正規化することなく、フーリエ変換がL ²上でユニタリかつL ^1からL ^∞への代数準同型となるという唯一の規則として特徴付けられる。^[12] ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$

背景

歴史

1822年、フーリエは、連続関数か不連続関数かを問わず、あらゆる関数は正弦関数の級数に展開できると主張しました（ジョセフ・フーリエ§熱の解析理論を参照）。 ^[13]この重要な研究は他の人々によって修正され、拡張され、それ以来使用されるさまざまな形式のフーリエ変換の基礎となりました。

複素正弦波

赤色の正弦波は、ピーク振幅(1)、ピークツーピーク(2)、RMS (3)、波長(4)で表すことができます。赤色と青色の正弦波の位相差はθです。

一般に、係数は複素数であり、2つの同値な形式があります（オイラーの公式を参照）。 ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\underbrace {Ae^{i\theta }} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(\theta )+iA\sin(\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.}$$

(式 2 )との積は、次の形式を持ちます。これは、周波数の振幅と位相の両方を伝えます。同様に、式 1の直感的な解釈は、を乗算すると、関数のすべての周波数成分から減算される効果があるということです^{[注 5]}周波数にあった成分のみが、無限積分のゼロ以外の値を生成できます。これは、(少なくとも形式的には) その他のシフトされた成分はすべて振動しており、ゼロに積分されるためです (§ 例を参照)。 ${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}(\xi )\cdot e^{i2\pi \xi x}&=Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi \xi x}\\[6pt]&=\underbrace {Ae^{i(2\pi \xi x+\theta )}} _{\text{polar coordinate form}}\\[6pt]&=\underbrace {A\cos(2\pi \xi x+\theta )+iA\sin(2\pi \xi x+\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \xi .}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle \xi }$

極形式を使用することで積がいかに簡単に簡略化されたか、またオイラーの公式を適用することで直交形式がいかに簡単に導き出されたかは注目に値します。

負の頻度

オイラーの公式は、負の の可能性を導入し  、Eq.1は定義されます。 特定の複素数値のみが変換を持ちます ( 「解析信号」を参照してください。簡単な例は です)。ただし、負の周波数は、信号処理、偏微分方程式、レーダー、非線形光学、量子力学、その他で見つかる他のすべての複素数値を特徴付けるために必要です。 ${\displaystyle \xi .}$ ${\displaystyle \forall \xi \in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}=0,\ \forall \ \xi <0}$ ${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}\ (\xi _{0}>0).}$ ${\displaystyle f(x),}$

実数値の場合、式1は対称性を持ちます （後述の§ 共役を参照）。この冗長性により、式2はと を区別することができます。しかし、と は実数直線上では区別 できないため 、  の実際の符号を決定することはできません。 ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\widehat {f}}^{*}(\xi )}$ ${\displaystyle f(x)=\cos(2\pi \xi _{0}x)}$ ${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}.}$ ${\displaystyle \xi _{0},}$ ${\displaystyle \cos(2\pi \xi _{0}x)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi (-\xi _{0})x)}$

周期関数のフーリエ変換

周期関数のフーリエ変換は、積分公式を用いて直接定義することはできません。式1の積分を定義するには、関数が絶対積分可能でなければなりません。代わりに、フーリエ級数を用いるのが一般的です。周期関数を緩和分布と見なすことで、定義を拡張して周期関数を含めることが可能です。

これにより、収束するフーリエ級数を持つ周期関数におけるフーリエ級数とフーリエ変換の関係を見ることができます。が周期 を持つ周期関数で、収束するフーリエ級数を持つ場合、次の式が成り立ちます。は のフーリエ級数係数、はディラックのデルタ関数です。言い換えれば、フーリエ変換は、その歯にフーリエ級数係数が乗じられたディラックの櫛形関数です。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot \delta \left(\xi -{\tfrac {n}{P}}\right),}$$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$

フーリエ変換のサンプリング

積分可能な関数のフーリエ変換は、任意の長さの一定の間隔でサンプリングすることができます。これらのサンプルは、ポアソン総和公式によってそれらのサンプルに比例するフーリエ級数係数を持つ周期関数の1サイクルから推定できます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}.}$ ${\displaystyle f_{P}}$ $${\displaystyle f_{P}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x+nP)={\frac {1}{P}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad \forall k\in \mathbb {Z} }$$

の積分可能性は周期和が収束することを保証する。したがって、サンプルはフーリエ級数解析によって決定できる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)=\int _{P}f_{P}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx.}$$

がコンパクトな台を持つ場合、積分区間内に有限個の項を持つ。がコンパクトな台を持たない場合、 の数値評価には、項数を漸減したり切り捨てたりするなどの近似が必要となる。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{P}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{P}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

ユニット

周波数変数は、元の関数のドメイン（通常はまたは という名前）の単位の逆単位を持つ必要があります。たとえば、が秒単位で測定される場合、 はサイクル/秒またはヘルツにする必要があります。時間のスケールが秒単位である場合は、通常、別のギリシャ文字を使用して角周波数（ ）をラジアン/秒単位で表します。 を使用する場合は、 は逆長さ、たとえば波数にする必要があります。つまり、実数直線には 2 つのバージョンがあります。1 つはの範囲で の単位で測定され、もう 1 つは の範囲で の単位の逆単位で測定されます。実数直線のこれらの 2 つの異なるバージョンは、互いに同一視できません。したがって、フーリエ変換は、1 つの関数空間から異なる関数空間（定義のドメインが異なる関数）に移動します。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega =2\pi \xi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle t.}$

一般に、は常にその定義域の空間上の線型形式とみなされなければならない。つまり、第二実数直線は第一実数直線の双対空間である。より正式な説明と詳細については、線型代数の記事を参照のこと。この観点は、フーリエ変換を一般対称群、特にフーリエ級数の場合に一般化する際に不可欠となる。 ${\displaystyle \xi }$

フーリエ変換に関係する実数直線の2つのバージョンを比較するための好ましい方法（しばしば「標準的な方法」は存在しない）が存在しない（一方の直線の単位を固定しても、もう一方の直線の単位のスケールは強制されない）ことが、フーリエ変換の定義に関して多くの競合する慣習が存在する理由である。単位の選択の違いによって生じる様々な定義は、様々な定数によって異なる。

他の慣例においては、フーリエ変換の指数には− iではなくiが入り、逆変換式ではその逆になります。この慣例は現代物理学で一般的であり^[14]、Wolfram Alpha のデフォルトですが、複素波の周波数の正値に関する標準的な定義がないため、周波数が負になったことを意味するものではありません。これは単に、 が 波ではなく 波の振幅である ことを意味します(前者はマイナス符号付きで、電磁波方程式の正弦平面波解の時間依存性、または量子波動関数の時間依存性でよく見られます)。フーリエ変換に関する多くの恒等式は、明示的にi を含む項がすべて− iに置き換えられる限り、これらの慣例でも有効です。電気工学では、 i が電流に使用されるため、虚数単位にはiではなく文字jが通常使用されます。 ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$ ${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$

無次元単位系を使用する場合、定数因子は変換定義に記述されない場合があります。例えば、確率論では、連続型確率変数Xの確率密度関数fの特性関数Φは、指数関数において負の符号なしで定義されます。また、xの単位系は無視されるため、 2πも存在しません。 $${\displaystyle \varphi (\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\lambda x}\,dx.}$$

確率論と数理統計学では、多くの確率変数が連続型ではなく密度関数を持たず、関数ではなく分布、つまり「原子」を持つ尺度を扱う必要があるため、フーリエ—スティルチェス変換の使用が好まれます。

より抽象的な群特性のより高い観点から見ると、これらすべての任意の選択は消えます。これについては、局所コンパクトアーベル群上の関数のフーリエ変換の概念を扱うこの記事の後半で説明します。

プロパティ

およびは、次を満たす実数直線上でルベーグ測定可能な積分可能関数を表します。これらの関数のフーリエ変換をそれぞれ およびと表します。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\,dx<\infty .}$$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle {\widehat {h}}(\xi )}$

基本的なプロパティ

フーリエ変換には以下の基本的な性質がある: ^[15]

直線性

$${\displaystyle a\ f(x)+b\ h(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ a\ {\widehat {f}}(\xi )+b\ {\widehat {h}}(\xi );\quad \ a,b\in \mathbb {C} }$$

タイムシフト

$${\displaystyle f(x-x_{0})\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ e^{-i2\pi x_{0}\xi }\ {\widehat {f}}(\xi );\quad \ x_{0}\in \mathbb {R} }$$

周波数シフト

$${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}f(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(\xi -\xi _{0});\quad \ \xi _{0}\in \mathbb {R} }$$

時間スケーリング

$${\displaystyle f(ax)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right);\quad \ a\neq 0}$$このケースは時間反転特性につながります。 ${\displaystyle a=-1}$ $${\displaystyle f(-x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(-\xi )}$$

対称

複素関数の実部と虚部を偶数部と奇数部に分解すると、4つの成分が存在します。これらは以下で添え字RE、RO、IE、IOで表されます。そして、複素時間関数の4つの成分と複素周波数変換の4つの成分の間には、1対1の対応関係があります。^[16]

${\displaystyle {\begin{array}{rlcccccccc}{\mathsf {Time\ domain}}&f&=&f_{_{\text{RE}}}&+&f_{_{\text{RO}}}&+&i\ f_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ f_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}&{\widehat {f}}&=&{\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}&+&\overbrace {i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IO}}}} &+&i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IE}}}&+&{\widehat {f}}\!_{_{\text{RO}}}\end{array}}}$

このことから、次のようなさまざまな関係が明らかになります。

• 実数値関数の変換は共役対称関数です。 逆に、共役対称変換は実数値の時間領域を意味します。 ${\displaystyle (f_{_{\text{RE}}}+f_{_{\text{RO}}})}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}+i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IO}}}.}$
• 虚数値関数の変換は共役反対称関数であり、その逆もまた真である。 ${\displaystyle (i\ f_{_{\text{IE}}}+i\ f_{_{\text{IO}}})}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\!_{_{\text{RO}}}+i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IE}}},}$
• 共役対称関数の変換は実数値関数であり、その逆もまた真である。 ${\displaystyle (f_{_{\text{RE}}}+i\ f_{_{\text{IO}}})}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}+{\widehat {f}}\!_{_{\text{RO}}},}$
• 共役反対称関数の変換は虚数値関数であり、その逆もまた真である。 ${\displaystyle (f_{_{\text{RO}}}+i\ f_{_{\text{IE}}})}$ ${\displaystyle i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IE}}}+i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IO}}},}$

活用

$${\displaystyle {\bigl (}f(x){\bigr )}^{*}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ \left({\widehat {f}}(-\xi )\right)^{*}}$$（注：∗ は複素共役を表します。）

特に、が実数の場合、 は共役対称関数（エルミート関数とも呼ばれます）です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\bigl (}{\widehat {f}}(\xi ){\bigr )}^{*}.}$$

が純虚数の場合、 は奇対称です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )=-({\widehat {f}}(\xi ))^{*}.}$$

実部と虚部

$${\displaystyle \operatorname {Re} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {f}}(\xi )+{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Im} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2i}}\left({\widehat {f}}(\xi )-{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)}$$

ゼロ周波数成分

定義を代入すると次のようになります。 ${\displaystyle \xi =0}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx.}$$

関数の定義域での積分は、関数の平均値またはDC バイアスとして知られています。 ${\displaystyle f}$

一様連続性とリーマン・ルベーグの補題

長方形関数はルベーグ積分可能である。

sinc関数は、長方形関数のフーリエ変換であり、有界かつ連続ですが、ルベーグ積分可能ではありません。

フーリエ変換は、場合によっては積分不可能な関数に対して定義されることもありますが、積分可能な関数のフーリエ変換にはいくつかの強力な特性があります。

任意の積分可能な関数のフーリエ変換は一様連続であり、^{[17] [18]} ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \left\|{\widehat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}}$$

リーマン・ルベーグの補題により、^[19] $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .}$$

しかし、 は積分可能である必要はありません。例えば、積分可能な直角関数のフーリエ変換はsinc 関数ですが、これはルベーグ積分可能ではありません。これは、その不定積分が交代調和級数と同様に振る舞い、絶対収束することなく和に収束するためです。 ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

逆変換をルベーグ積分として表すことは一般に不可能である。しかし、 とが積分可能な場合、ほぼすべてのxに対して逆等式 が成立する。結果として、フーリエ変換はL ¹ ( R )上で単射となる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ $${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\xi }\,d\xi }$$

プランシュレルの定理とパーセヴァルの定理

f ( x )とg ( x )を積分可能とし、それらのフーリエ変換をf̂ ( ξ )とĝ ( ξ )とする。f ( x )とg ( x )が平方積分可能である場合、パーセバルの公式は次式に従う：^{[20]ここで}、バーは複素共役を表す。 $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,}$$

上記から導かれるプランシュレル定理は、[ 21 ^] $${\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi .}$$

プランシュレルの定理は、連続性の議論により、フーリエ変換をL ² ( R )上のユニタリ演算子に拡張することを可能にする。L ¹ ( R ) ∩ L ² ( R )上で、この拡張はL ¹ ( R )上で定義された元のフーリエ変換と一致し、したがってフーリエ変換の定義域がL ¹ ( R ) + L ² ( R )（したがって1 ≤ p ≤ 2の場合はL ^p ( R )）に拡大される。プランシュレルの定理は、科学では、フーリエ変換が元の量のエネルギーを保存すると解釈されている。これらの式の用語は、完全に標準化されているわけではない。パーセヴァルの定理はフーリエ級数に対してのみ証明されており、最初に証明したのはリャプノフである。しかし、パーセバルの公式はフーリエ変換にも意味を成すため、フーリエ変換の文脈ではプランシュレルによって証明されたにもかかわらず、今でもパーセバルの公式、パーセバルの関係、あるいはパーセバルの定理と呼ばれることがよくあります。

局所コンパクトアーベル群のコンテキストにおけるこの概念の一般的な定式化については、ポンチャギン双対性を参照してください。

畳み込み定理

フーリエ変換は、関数の畳み込みと乗算を相互に変換するものです。f( x )とg(x)がそれぞれフーリエ変換f̂(ξ)とĝ(ξ)を持つ積分可能な関数である場合、畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換f̂ ( ξ )とĝ ( ξ )の積で与えられます（フーリエ変換の定義に関する他の規則では、定数項が現れる場合があります）。

これは、次のことを意味します:ここで、∗ は畳み込み演算を表します。 $${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,}$$ $${\displaystyle {\widehat {h}}(\xi )={\widehat {f}}(\xi )\,{\widehat {g}}(\xi ).}$$

線形時不変（LTI）システム理論では、g ( x )を入力f ( x )、出力h ( x )を持つLTIシステムのインパルス応答として解釈するのが一般的です。これは、 f ( x )に単位インパルスを代入するとh ( x ) = g ( x )となるためです。この場合、ĝ ( ξ )はシステムの周波数応答を表します。

逆に、f ( x ) が2つの平方積分関数p ( x )とq ( x )の積として分解できる場合、 f ( x )のフーリエ変換は、それぞれのフーリエ変換p̂ ( ξ )とq̂ ( ξ )の畳み込みによって与えられます。

相互相関定理

同様に、h ( x )がf ( x )とg ( x )の相互相関である場合、 h ( x )のフーリエ変換は次のようになる。 $${\displaystyle h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}g(x+y)\,dy}$$ $${\displaystyle {\widehat {h}}(\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}\,{\widehat {g}}(\xi ).}$$

特別な場合として、関数f ( x )の自己相関は次のようになる。 $${\displaystyle h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy}$$ $${\displaystyle {\widehat {h}}(\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}{\widehat {f}}(\xi )=\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}.}$$

差別化

f ( x )がほぼ全域で微分可能であり、fとその導関数f′が（ において）積分可能であると仮定する。このとき、導関数のフーリエ変換は次のように与えられる。 より一般的には、 n次導関数f ^{( n )}のフーリエ変換は次のように与えられる。 ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}'\,(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d}{dx}}f(x)\right\}=i2\pi \xi {\widehat {f}}(\xi ).}$$ $${\displaystyle {\widehat {f}}^{(n)}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)\right\}=(i2\pi \xi )^{n}{\widehat {f}}(\xi ).}$$

同様に、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\widehat {f}}(\xi )\right\}=(i2\pi x)^{n}f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x^{n}f(x)\right\}=\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\widehat {f}}(\xi ).}$

フーリエ変換とこれらの公式を用いることで、一部の常微分方程式は代数方程式に変換することができ、解くのがはるかに容易になります。これらの公式から、「 f ( x )が滑らかであるためには、 | ξ |→∞においてf̂ ( ξ )が急速に0に落ち込む必要がある」という経験則も導き出されます。逆フーリエ変換についても同様の規則を用いると、「f ( x )が滑らかであるためには、 | x |→ ∞においてf̂ ( ξ )が急速に0に落ち込む必要がある」という経験則も成り立ちます。

固有関数

フーリエ変換は、次の式に従う固有関数を持つ線形変換である。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=\lambda \psi ,}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} .}$

固有関数の集合は、同次微分方程式 の形がフーリエ変換で不変である限り、同次微分方程式がフーリエ変換の 固有関数につながることに注意することによって求められる。 ^{[注 6]}言い換えれば、すべての解とそのフーリエ変換は 同じ方程式に従う。したがって、解が一意であると仮定すると、すべての解はフーリエ変換の固有関数でなければならない。 をべき級数に展開できる場合、すべての項に対してのいずれかの同じ因子が同次微分方程式のフーリエ変換時に微分規則によって導入される因子から生じる。なぜなら、この因子はその後キャンセルされる可能性があるからである。最も単純な許容されるものは標準正規分布につながる。^[22] $${\displaystyle \left[U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+U(x)\right]\psi (x)=0}$$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle {\widehat {\psi }}(\xi )}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle U(x)}$ ${\displaystyle \pm 1,\pm i}$ ${\displaystyle i^{n}}$ ${\displaystyle U(x)=x}$

より一般的には、微分則から、定数で非定数偶関数である常微分方程式 は、方程式の両辺にフーリエ変換を適用しても形が不変であることが分かるので、固有関数の集合も求められる。最も単純な例は で与えられ、これは量子調和振動子に対するシュレーディンガー方程式を考えることと等価である。^{[23]対応する解は、} L ² ( R )の直交基底の重要な選択を提供し、「物理学者の」エルミート関数によって与えられる。同様に、 を使うこともできる。ここで、He _n ( x )は「確率論者の」エルミート多項式であり、次のように定義される。 $${\displaystyle \left[W\left({\frac {i}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+W(x)\right]\psi (x)=C\psi (x)}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle W(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle W(x)=x^{2}}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}e^{-\pi x^{2}}\mathrm {He} _{n}\left(2x{\sqrt {\pi }}\right),}$$ $${\displaystyle \mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$$

このフーリエ変換の慣例によれば、 $${\displaystyle {\widehat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}\psi _{n}(\xi ).}$$

言い換えれば、エルミート関数は、L ² ( R )上のフーリエ変換の完全な直交固有関数系を形成する。^{[15] [24]}しかし、この固有関数の選択は一意ではない。なぜなら、フーリエ変換の異なる固有値は4つ（1の4乗根 ±1 と ± i ）しかなく、同じ固有値を持つ固有関数の線形結合は、別の固有関数を与えるからである。^[25]この結果、L ² ( R )を4つの空間H ₀、H ₁、H ₂、H ₃の直和として分解することが可能であり、フーリエ変換は単にi ^kを乗算することによってHe _kに作用する。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {id} }$

エルミート関数ψ _nの完全なセットは恒等式の解決を提供するので、それらはフーリエ演算子を対角化します。つまり、フーリエ変換は上記の固有値で重み付けされた項の合計で表すことができ、これらの合計は明示的に合計できます。 $${\displaystyle {\mathcal {F}}[f](\xi )=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(\xi )~.}$$

フーリエ変換を定義するこのアプローチは、ノーバート・ウィーナーによって初めて提案された。^[26]エルミート関数は、周波数領域と時間領域の両方で指数関数的に急速に減少する特性を持つため、フーリエ変換の一般化、すなわち時間周波数解析で使用される分数フーリエ変換を定義するために使用される。 ^[27]物理学において、この変換はエドワード・コンドンによって導入された。^[28]この基底関数の変更は、適切な規則を用いるとフーリエ変換がユニタリ変換になるため可能である。したがって、適切な条件下では、自己随伴生成器から次の式が得られると予想される。[ ^29] ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=e^{-itN}\psi .}$$

演算子は量子調和振動子の数演算子であり、 ^{[30] [31]と表記される。} ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle N\equiv {\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}-1\right).}$$

これは、任意のtの値に対する分数フーリエ変換の生成器、および対応する能動変換を実装するメーラー核を持つ特定の値に対する従来の連続フーリエ変換の生成器として解釈できる。の固有関数はエルミート関数であり、したがって、の固有関数でもある。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle t=\pi /2,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

フーリエ変換を分布に拡張すると、ディラックコームもフーリエ変換の固有関数になります。

反転と周期性

関数 が適切な条件下では、そのフーリエ変換 から を復元できます。実際、フーリエ変換演算子を と表記すると となり、適切な関数に対してフーリエ変換を2回適用すると関数が反転します。これは「時間の反転」と解釈できます。時間の反転は2周期であるため、これを2回適用すると となり、フーリエ変換演算子は4周期となり、同様に逆フーリエ変換はフーリエ変換を3回適用することで得られます。特に、フーリエ変換は（適切な条件下では）逆変換可能です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}f:={\widehat {f}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {F}}^{2}f\right)(x)=f(-x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}(f)=f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{3}\left({\widehat {f}}\right)=f}$

より正確には、パリティ演算子 を と定義すると、次式が得られます。これらの演算子の等式は、問題となる関数の空間を注意深く定義し、関数の等式（あらゆる点で等式？ほぼすべての点で等式？）を定義し、演算子の等式、つまり、問題となる関数空間と演算子空間上の位相を定義することを必要とします。これらはすべての関数に対して成り立つわけではありませんが、様々な条件下では成り立ち、それがフーリエ反転定理の様々な形式の内容となります。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(x)=f(-x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{0}&=\mathrm {id} ,\\{\mathcal {F}}^{1}&={\mathcal {F}},\\{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{4}&=\mathrm {id} \end{aligned}}}$$

フーリエ変換のこの 4 倍の周期性は、平面を 90° 回転させることに似ており、特に 2 倍の反復によって反転が生じるため、実際にこの類推は正確なものになります。 フーリエ変換は単純に時間領域と周波数領域を入れ替えるものと解釈でき、逆フーリエ変換ではそれらを元に戻しますが、より幾何学的には、時間周波数領域で 90° 回転する(時間をx軸、周波数をy軸とする) と解釈でき、フーリエ変換は他の角度による回転を伴う分数フーリエ変換に一般化できます。 これはさらに線型正準変換に一般化でき、これは時間周波数平面上での特殊線型群 SL ₂ ( R )の作用として視覚化でき、保存されたシンプレクティック形式は下記の不確定性原理に対応します。 このアプローチは、特に信号処理の分野で時間周波数解析の下で研究されています。

ハイゼンベルクグループとのつながり

ハイゼンベルク群は、実数直線上の平方可積分複素数値関数fのヒルベルト空間L ² ( R )上のユニタリ作用素の特定の群であり、 ( T _y f )( x ) = f ( x + y )の変換とe ^{i 2π ξx}、( M _ξ f )( x ) = e ^{i 2π ξx} f ( x )の乗算によって生成される。これらの作用素は、その (群) 交換子が定数 ( xに依存しない) e ^{i 2π ξy} ∈ U (1 )（単位係数複素数の円周群）による乗算^{であるため}、交換しない。抽象群として、ハイゼンベルク群は、群則 $${\displaystyle \left(M_{\xi }^{-1}T_{y}^{-1}M_{\xi }T_{y}f\right)(x)=e^{i2\pi \xi y}f(x)}$$ $${\displaystyle \left(x_{1},\xi _{1},t_{1}\right)\cdot \left(x_{2},\xi _{2},t_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},\xi _{1}+\xi _{2},t_{1}t_{2}e^{-2i\pi x_{1}\xi _{2}}\right).}$$

ハイゼンベルク群をH ₁で表す。上記の手順は群構造だけでなく、ヒルベルト空間上のH ₁の標準的なユニタリ表現も記述する。これはρ  : H ₁ → B ( L ² ( R ))と表記する。R 2^の線型自己同型をJ ² = − Iとなるように 定義する。このJはH ₁の一意な自己同型に拡張できる。 $${\displaystyle J{\begin{pmatrix}x\\\xi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\xi \\x\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle j\left(x,\xi ,t\right)=\left(-\xi ,x,te^{-i2\pi \xi x}\right).}$$

ストーン・フォン・ノイマンの定理によれば、ユニタリ表現ρとρ∘jはユニタリ同値なので、 W∈U ( L2 ( ^R ) )という唯一 のインタートワイナーが存在し、この演算子Wはフーリエ変換です。 $${\displaystyle \rho \circ j=W\rho W^{*}.}$$

フーリエ変換の標準的な特性の多くは、このより一般的な枠組みから直接導かれるものである。^[32]例えば、フーリエ変換の2乗W ²はJ ² = − Iと関連した絡み合い関係にあるので、( W ² f )( x ) = f (− x )は元の関数fの反射となる。

複雑なドメイン

フーリエ変換の積分は、その引数ξの複素値について研究することができる。 fの性質によっては、実軸から外れても全く収束しない可能性もあれば、ξ = σ + iτのあらゆる値に対して複素解析関数に収束する、あるいはその中間の値をとる可能性もある。^[33] $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \xi t}f(t)\,dt}$$

ペイリー・ウィーナーの定理によれば、fは滑らか（すなわち、すべての正の整数nに対してn回微分可能）でコンパクトに支持されるための必要十分条件は、f̂ ( σ + iτ )が正則関数であり、定数a > 0が存在し、任意の整数n ≥ 0に対して、ある定数Cに対して成り立つことである。（この場合、fは[− a , a ]で支持される。）これは、f̂がσ（固定のτに対して）で急速に減少し、τ（σで一様）で指数関数的に増加する整関数であると表現できる。^[34] $${\displaystyle \left\vert \xi ^{n}{\widehat {f}}(\xi )\right\vert \leq Ce^{a\vert \tau \vert }}$$

（fが滑らかでなくL ^{2のみの場合でも、} n = 0であればこの命題は成立する。^{[35] ）このような}複素変数関数の空間はペイリー・ウィーナー空間と呼ばれる。この定理は半単純リー群にも一般化されている。^[36]

f が半直線t ≥ 0上で支持される場合、fは「因果的」であると言われる。これは、物理的に実現可能なフィルタのインパルス応答関数は、いかなる結果もその原因に先行できないため、この性質を持たなければならないためである。ペイリーとウィーナーは、f̂ が複素下半平面τ < 0上の正則関数に拡張され、 τ が無限大に近づくにつれてゼロに近づくことを示した。^[37]逆は偽であり、因果関数のフーリエ変換をどのように特徴付けるかは知られていない。^[38]

ラプラス変換

フーリエ変換f̂ ( ξ )はラプラス変換 F ( s )と関連しており、微分方程式の解法やフィルタの解析にも使用されます。

フーリエ積分が実軸上でまったく収束しない関数fが、複素平面のある領域で定義された複素フーリエ変換を持つ場合があります。

例えば、f ( t )が指数関数的に増加する場合、つまり、ある定数C、a ≥ 0の場合、すべての2πτ < −aに対して収束する^[39]は、fの両側ラプラス変換です。 $${\displaystyle \vert f(t)\vert <Ce^{a\vert t\vert }}$$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(i\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi \tau t}f(t)\,dt,}$$

ラプラス変換のより一般的なバージョン（「片側」）は $${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}$$

fも因果的かつ解析的である場合、次のようになります。したがって、フーリエ変換を複素領域に拡張することは、因果関数の場合の特別なケースとしてラプラス変換が含まれることを意味しますが、変数s = i 2π ξの変更を伴います。 ${\displaystyle {\widehat {f}}(i\tau )=F(-2\pi \tau ).}$

別の、おそらくより古典的な観点から見ると、ラプラス変換はその形式上、追加の指数関数的な調整項を含み、フーリエ変換が定義される虚数直線の外側でも収束を可能にします。そのため、ラプラス変換は最大でも指数的に発散する級数と積分に対して収束しますが、元のフーリエ分解では収束しません。これにより、発散要素や臨界要素を持つシステムの解析が可能になります。線形信号処理における具体的な例としては、臨界コムフィルタからオールパスフィルタネットワークを構築することと、単位円上で正確な極零点キャンセルを介した緩和フィルタが挙げられます。このような設計は、リバーブのように高度な非線形位相応答が求められるオーディオ処理でよく見られます。

さらに、信号処理のために拡張されたパルス状のインパルス応答が求められる場合、最も簡単な方法は、発散的な時間応答を生成する回路を1つ用意し、その発散を遅延された逆位相の補償応答によって打ち消すことです。この場合、中間の遅延回路のみが古典的なフーリエ記述を許容しますが、これは非常に重要です。両側の回路はどちらも不安定であり、収束的なフーリエ分解は許容しません。しかし、複素平面（離散的な場合はZ平面）において同一の収束半平面を持つラプラス領域記述は許容し、そこではそれぞれの効果が打ち消されます。

現代数学において、ラプラス変換は慣例的にフーリエ法の枠組みに包含されています。そして、両者は、より一般的で抽象的な調和解析の概念に包含されています。

反転

がa ≤ τ ≤ bに対して複素解析的である場合、 ${\displaystyle \xi =\sigma +i\tau }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\sigma +ia)e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma =\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\sigma +ib)e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma }$$コーシーの積分定理により、フーリエ逆変換公式は実軸に平行な異なる線に沿った積分を用いることができる。^[40]

定理: t < 0に対してf ( t ) = 0であり、定数C、a > 0に対して| f ( t ) | < Ce ^{a | t |}である場合、任意のτ < − ⁠ $${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\sigma +i\tau )e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma ,}$$1つの/2π⁠。

この定理は、任意のb > aに対してラプラス変換のメリン逆変換公式^[39]を意味する。ここでF ( s )はf ( t )のラプラス変換である。 $${\displaystyle f(t)={\frac {1}{i2\pi }}\int _{b-i\infty }^{b+i\infty }F(s)e^{st}\,ds}$$

この仮説は、カールソンとハントの結果のように、L 1^におけるf ( t ) e ^{−に弱めることができる。}ただし、f はtの閉近傍内で有界に変化するものとし（ディニテスト参照）、 tにおけるfの値は左極限と右極限の算術平均とし、積分はコーシー主値の意味でとるものとする。^[41]

これらの反転公式のL2バージョンも利用可能です。 ^[ 42 ^]

ユークリッド空間上のフーリエ変換

フーリエ変換は、任意の次元数nにおいて定義できます。1次元の場合と同様に、多くの慣例があります。積分可能な関数f ( x )については、この記事では次のように定義します。ここで、xとξはn次元ベクトルであり、x · ξはベクトルの内積です。あるいは、 ξ は双対ベクトル空間に属すると見なすこともできます。この場合、内積はxとξの縮約となり、通常は⟨ x , ξ ⟩と表記されます。 $${\displaystyle {\widehat {f}}({\boldsymbol {\xi }})={\mathcal {F}}(f)({\boldsymbol {\xi }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i2\pi {\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\star }}$

上記の基本的な性質はすべて、プランシュレルの定理とパーセヴァルの定理と同様に、 n次元フーリエ変換にも当てはまります。関数が積分可能である場合、フーリエ変換は依然として一様連続であり、リーマン・ルベーグの補題が成り立ちます。^[19]

不確定性原理

一般的に言えば、 f ( x )が集中するほど、そのフーリエ変換f̂ ( ξ )はより広がる必要があります。特に、フーリエ変換のスケーリング特性は、「関数をx 方向に圧縮すると、そのフーリエ変換はξ 方向に広がる」と解釈できます。関数とそのフーリエ変換の両方を任意に集中させることは不可能です。

関数の圧縮とそのフーリエ変換とのトレードオフは、関数とそのフーリエ変換を時間周波数領域上のシンプレクティック形式に関する共役変数として見ることによって、不確定性原理の形で形式化することができます。線形正準変換の観点から見ると、フーリエ変換は時間周波数領域で90°回転し、シンプレクティック形式を保存します。

f ( x )が積分可能かつ二乗積分可能な関数であるとする。一般性を失うことなく、f ( x )が正規化されていると仮定する。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=1.}$$

プランシュレルの定理によれば、f̂ ( ξ )も正規化されることがわかる。

x = 0の周りの広がりは、次のように定義されるゼロの周りの分散によって測定できる。^[43] $${\displaystyle D_{0}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx.}$$

確率論的に言えば、これはゼロについての| f ( x ) | ²の 2 番目のモーメントです。

不確定性原理は、f ( x )が絶対連続であり、関数x · f ( x )とf ′ ( x )が2乗積分可能である場合、 $${\displaystyle D_{0}(f)D_{0}({\widehat {f}})\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}.}$$

等式は、 σ > 0が任意でC ₁ = ⁠の場合にのみ達成される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}}\\\therefore {\widehat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\xi ^{2}}\end{aligned}}}$$^4√2​​/√σ​⁠となるため、 fはL ²正規化されます。言い換えれば、 fは分散σ ² /2 πを持つ（正規化された）ガウス関数で、中心はゼロであり、そのフーリエ変換は分散σ ⁻² /2 πを持つガウス関数です。ガウス関数はシュワルツ関数の例です（以下の緩和分布に関する議論を参照）。

実際、この不等式は次を意味します。量子力学において、運動量波動関数と位置波動関数は、プランク定数の係数までフーリエ変換の対となります。この定数を適切に考慮すると、上記の不等式はハイゼンベルクの不確定性原理の記述となります。^[44] $${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }(\xi -\xi _{0})^{2}\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}},\quad \forall x_{0},\xi _{0}\in \mathbb {R} .}$$

より強力な不確定性原理はヒルシュマンの不確定性原理であり、以下のように表される：ここで、H ( p )は確率密度関数p ( x )の微分エントロピーである。ここで、対数は整合する任意の底で表すことができる。等式は、前の場合と同様に、ガウス分布に対しても達成される。 $${\displaystyle H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\widehat {f}}\right|^{2}\right)\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle H(p)=-\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\log {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx}$$

正弦変換と余弦変換

フーリエ変換の元々の定式化では複素数は用いられず、正弦と余弦が用いられた。統計学者などは今でもこの形式を用いている。フーリエ逆変換が成立する絶対積分可能な関数fは、真の周波数（物理的に解釈が難しいと考えられる負の周波数^[45]は避ける）λによって展開することができる。 $${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}a(\lambda )\cos(2\pi \lambda t)+b(\lambda )\sin(2\pi \lambda t){\bigr )}\,d\lambda .}$$

これは三角積分展開、あるいはフーリエ積分展開と呼ばれます。係数関数aとbは、フーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換の変形を用いて求めることができます（ここでも正規化は標準化されていません） 。 $${\displaystyle a(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \lambda t)\,dt}$$ $${\displaystyle b(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \lambda t)\,dt.}$$

古い文献では、フーリエ余弦変換aとフーリエ正弦変換bという 2 つの変換関数が言及されています。

関数fは、正弦変換と余弦変換を三角関数の恒等式と組み合わせることで復元できます。これはフーリエの積分公式と呼ばれます。^{[39] [46] [47] [48]} $${\displaystyle f(t)=2\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cos {\bigl (}2\pi \lambda (\tau -t){\bigr )}\,d\tau \,d\lambda .}$$

球面調和関数

R ⁿ上のk次同次 調和 多項式の集合をA _kと表記する。集合A _kはk次立体球面調和関数から構成される。立体球面調和関数は、高次元において次元 1 のエルミート多項式と同様の役割を果たす。具体的には、A _k内のあるP ( x )に対してf ( x ) = e ^{−π| x | 2} P ( x )とすれば、 ⁠ ⁠ となる。集合H _{k を}、A k内に存在するf (| _x | ) P ( x )という形式の関数の線形結合のL ² ( R ⁿ )における閉包とする。すると、空間L ² ( R ⁿ )は空間H _kの直和となり、フーリエ変換は各空間H _kをそれ自身に写像し、各空間H _kにおけるフーリエ変換の作用を特徴付けることができる。^[19] ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=i^{-k}f(\xi )}$

f ( x ) = f ₀ (| x |) P ( x )（P ( x )はA _k） とすると、 $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=F_{0}(|\xi |)P(\xi )}$$ $${\displaystyle F_{0}(r)=2\pi i^{-k}r^{-{\frac {n+2k-2}{2}}}\int _{0}^{\infty }f_{0}(s)J_{\frac {n+2k-2}{2}}(2\pi rs)s^{\frac {n+2k}{2}}\,ds.}$$

ここでJ _{( n + 2 k − 2)/2 は、} ⁠ の位数を持つ第一種ベッセル関数を表す。n + 2 k − 2/2⁠ 。k = 0のとき、これはラジアル関数のフーリエ変換のための有用な式を与える。 ^[49]これは本質的にハンケル変換である。さらに、 n + 2とnの場合を関連付ける単純な再帰式があり^[50]、例えば、1次元のラジアル関数のフーリエ変換から3次元のラジアル関数のフーリエ変換を計算することができる。

制限の問題

高次元では、フーリエ変換の制限問題を研究することが興味深いものとなる。積分可能関数のフーリエ変換は連続であり、この関数の任意の集合への制限が定義されている。しかし、二乗可積分関数の場合、フーリエ変換は二乗可積分関数の一般クラスになり得る。そのため、測度 0 の集合ではL ² ( R ⁿ )関数のフーリエ変換の制限を定義することはできない。1 < p < 2に対するL ^pの制限問題を理解することは、現在でも活発な研究分野である。場合によっては、 S が非ゼロの曲率を持つという条件で、フーリエ変換の集合Sへの制限を定義できる。 SがR ⁿの単位球面である場合は特に興味深い。この場合、トーマス・シュタインの制限定理によれば、 R ⁿの単位球面へのフーリエ変換の制限は、1 ≤ p ≤ ⁠の条件でL ^p上の有界作用素となる。2n + 2/n + 3⁠。

1次元と高次元のフーリエ変換における顕著な違いの一つは、部分和演算子に関するものです。R ∈ (0,∞) で添字付けされた測定可能な集合 E R の増加集合を考えます。例えば、原点_を中心とする半径Rの球や、辺が2 Rの立方体などです。与えられた積分可能な関数fに対して、次式で定義される関数f _{Rを考えます。} $${\displaystyle f_{R}(x)=\int _{E_{R}}{\widehat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\cdot \xi }\,d\xi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.}$$

さらに、f ∈ L ^p ( R ⁿ )と仮定します。n = 1および1 < p < ∞の場合、 E _R = (− R、R )とすると、ヒルベルト変換の有界性により、 R が無限大に近づくにつれて、f Rは_L p^でfに収束します。単純に、 n > 1の場合にも同じことが当てはまると期待できます。E _{R を}辺の長さがRの立方体とすると、収束は依然として成り立ちます。もう 1 つの自然な候補は、ユークリッド球体E _R = { ξ  : | ξ | < R }です。この部分和演算子が収束するためには、単位球体の乗数がL ^p ( R ⁿ )で有界であることが必要です。n ≥ 2の場合、単位球体の乗数はp = 2でない限り有界にならないというのがCharles Feffermanの有名な定理です。^[51]実際、p ≠2の_とき、これはfR_がLpでfに収束しない可能性があるだけでなく、いくつかの関数f∈Lp ( Rn )に対して^fRはLp^の要素ですらないことを示し^ています。

関数空間上のフーリエ変換

フーリエ変換の定義は、自然に から に拡張されます。つまり、の場合、フーリエ変換は で与えられます。この演算子はとして有界であり 、その演算子ノルムが1で有界であることを示しています。リーマン・ルベーグの補題は、 の場合、そのフーリエ変換が実際には無限大 で消える連続関数の空間、すなわちに属することを示しています。^{[52] [53]}さらに、におけるの像は の厳密な部分集合です。^[54] ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle f(x)\mapsto {\widehat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx,\quad \forall \xi \in \mathbb {R} ^{n}.}$$ $${\displaystyle \sup _{\xi \in \mathbb {R} ^{n}}\left\vert {\widehat {f}}(\xi )\right\vert \leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert f(x)\vert \,dx,}$$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\in C_{0}(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$

1変数の場合と同様に、フーリエ変換は 上で定義できます。 におけるフーリエ変換は、通常のルベーグ積分ではもはや与えられませんが、不定積分、すなわちL ^{2 の}意味 で極限をとるによって計算できます。^{[55] [56]} ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\lim _{R\to \infty }\int _{|x|\leq R}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx}$$

さらに、はユニタリ演算子である。^[57]演算子がユニタリであるためには、それが全単射であり、内積を保存することを示せば十分である。したがって、この場合、これらはフーリエ反転定理と任意のf、g∈L2（Rn ）に対して次の^式が成り立つ^という事実と組み合わせることから導かれる。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}:L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\mathcal {F}}g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {F}}f(x)g(x)\,dx.}$$

特に、L ² ( R ⁿ )の像自体がフーリエ変換の対象となります。

その他L^p

に対して、フーリエ変換はマルチンキエヴィチ補間によって定義することができ、これはそのような関数をL ²の太い尾部とL ¹の太い胴体部に分解することに相当する。これらの空間のそれぞれにおいて、 L ^p ( R ⁿ )の関数のフーリエ変換はL ^q ( R ⁿ )に存在し、ここでq = ⁠ ${\displaystyle 1<p<2}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$p/p − 1⁠はpのホルダー共役である（ハウスドルフ・ヤング不等式による）。しかし、 p = 2を除いて、この像は簡単には特徴づけられない。さらなる拡張はより技術的になる。 2 < p < ∞の範囲におけるL ^p内の関数のフーリエ変換には超関数の研究が必要である。 ^{[58]実際、} p > 2となるL ^p内の関数が存在することが示され、そのためフーリエ変換は関数として定義されない。 ^[19]

緩和分布

一般化された関数や超関数を考えることによって、からのフーリエ変換の定義域を拡大することが考えられる。 上の超関数 は、適切な位相を備えた、コンパクトに支えられた滑らかな関数（すなわち、バンプ関数）の空間上の連続線型関数である。は で稠密であるため、プランシュレルの定理により、連続性の議論によっての一般関数へのフーリエ変換の定義を拡張することができる。次に、 へのフーリエ変換の作用を考え、双対性によって の超関数に移行するという戦略を立てる。これを行う際の障害は、フーリエ変換が に写像されないことである。実際、 の元のフーリエ変換は開集合上ではゼロにはならない。不確定性原理に関する上記の議論を参照のこと。^{[59] [60]} ${\displaystyle L^{1}+L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

フーリエ変換は、シュワルツ関数の空間と双対な緩和超関数 に対しても定義できます。シュワルツ関数は、そのすべての導関数とともに無限大で減衰する滑らかな関数であるため、次式が成り立ちます。フーリエ変換はシュワルツ空間の自己同型であり、双対性により、緩和超関数の空間の自己同型でもあります。^{[19] [61]}緩和超関数には、上記のすべての積分可能関数に加えて、多項式成長の行儀の良い関数、コンパクトな台の超関数が含まれます。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\subset {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}:C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow S(\mathbb {R} ^{n})\setminus C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$$

緩和分布のフーリエ変換の定義として、積分可能な関数と、それらのフーリエ変換とをそれぞれ定義する。すると、フーリエ変換は次の乗法公式に従う。^[19] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle {\widehat {g}}}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}(x)g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\widehat {g}}(x)\,dx.}$$

すべての積分可能な関数は、関係によって分布を定義（誘導）します。したがって、緩和分布のフーリエ変換を双対性によって定義することは理にかなっています。これをすべての緩和分布に拡張すると、フーリエ変換の一般的な定義が得られます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T_{f}}$ $${\displaystyle T_{f}(\varphi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx,\quad \forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).}$$ ${\displaystyle T_{f}\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle \langle {\widehat {T}}_{f},\varphi \rangle =\langle T_{f},{\widehat {\varphi }}\rangle ,\quad \forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).}$$ ${\displaystyle T}$

分布は微分化することができ、前述のフーリエ変換と微分および畳み込みの互換性は、緩和分布に対しても当てはまります。

一般化

測定空間上のフーリエ・スティルチェス変換

R ⁿ上の有限 ボレル測度 μのフーリエ変換は、有界で一様連続な関数^{[62] [63]で与えられ、これは}(ラドン) 測度のリーマン-スティルチェス積分表現との関連から、フーリエ-スティルチェス変換と呼ばれます。^[64]がランダム変数の確率分布である場合、そのフーリエ-スティルチェス変換は、定義により、特性関数です。^[65]さらに、確率分布が確率密度関数を持つ場合、この定義は通常のフーリエ変換に従います。^[66]より一般的に言えば、がルベーグ測度に関して 絶対連続である場合、すなわち となり、フーリエ-スティルチェス変換はフーリエ変換の通常の定義に簡約されます。つまり、積分可能な関数のフーリエ変換との顕著な違いは、フーリエ-スティルチェス変換は無限大でゼロになる必要がないこと、つまり、リーマン-ルベーグの補題が測度 については成立しないことです。^[67] $${\displaystyle {\widehat {\mu }}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i2\pi x\cdot \xi }\,d\mu ,}$$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle d\mu =f(x)\,dx,}$$ $${\displaystyle {\widehat {\mu }}(\xi )={\widehat {f}}(\xi ),}$$

ボホナーの定理は、円上の正の測度のフーリエ-スティルチェス変換としてどのような関数が生じるかを特徴づけます。

関数ではない有限ボレル測度の一例としてはディラック測度がある。^[68]そのフーリエ変換は定数関数である（その値は使用されるフーリエ変換の形式に依存する）。

局所コンパクトアーベル群

フーリエ変換は任意の局所コンパクトアーベル群、すなわち、群演算が連続となるような局所コンパクトハウスドルフ空間でもあるアーベル群に一般化できる。 G が局所コンパクトアーベル群である場合、それはハール測度と呼ばれる並進不変測度μを持つ。局所コンパクトアーベル群Gに対して、既約な、すなわち 1 次元のユニタリ表現の集合はその指標と呼ばれる。その自然な群構造とコンパクト集合上の一様収束の位相（すなわち、から円群へのすべての連続関数の空間上のコンパクト開位相によって誘導される位相）により、指標の集合Ĝ自体は局所コンパクトアーベル群であり、Gのポンチャギン双対と呼ばれる。 L ¹ ( G )の関数fに対して、そのフーリエ変換は^[58]で定義される。 ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\int _{G}\xi (x)f(x)\,d\mu \quad {\text{for any }}\xi \in {\widehat {G}}.}$$

この場合、リーマン・ルベーグの補題が成り立ち、f̂ ( ξ )はĜ上の無限遠で消滅する関数である。

T = R/Z上のフーリエ変換はその一例です。ここでTは局所コンパクトアーベル群であり、T上のハール測度μは[0,1) 上のルベーグ測度と考えることができます。1次元複素ベクトル空間である複素平面C上のTの表現を考えてみましょう。に対してとなる表現群（ Cは1次元なので既約）が存在します。 ${\displaystyle \{e_{k}:T\rightarrow GL_{1}(C)=C^{*}\mid k\in Z\}}$ ${\displaystyle e_{k}(x)=e^{i2\pi kx}}$ ${\displaystyle x\in T}$

このような表現の指標、つまり各 および についての跡は、それ自身です。有限群の表現の場合、群Gの指標表は、各行がGの既約表現の 1 つの指標となるようなベクトルの行であり、これらのベクトルは、シュアーの補題によりGからCに写像される類関数の空間の正規直交基底を形成します。これで群Tは有限ではなくなりましたが、コンパクトであり、指標表の正規直交性を保存します。表の各行は の関数であり、2 つの類関数 ( Tはアーベル関数なのですべての関数は類関数です)間の内積は、正規化因子 とともにとして定義されます。この数列は、類関数の空間の正規直交基底です。 ${\displaystyle e_{k}(x)}$ ${\displaystyle x\in T}$ ${\displaystyle k\in Z}$ ${\displaystyle e^{i2\pi kx}}$ ${\displaystyle e_{k}(x)}$ ${\displaystyle x\in T,}$ ${\displaystyle f,g\in L^{2}(T,d\mu )}$ ${\textstyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y){\overline {g}}(y)d\mu (y)}$ ${\displaystyle |T|=1}$ ${\displaystyle \{e_{k}\mid k\in Z\}}$ ${\displaystyle L^{2}(T,d\mu )}$

有限群Gの任意の表現Vに対して、は（はGの不変表現）として表すことができ、 となります。 および に対しても同様です。ポントリアギン双対はに対してであり、に対しては であり、に対するそのフーリエ変換です。 ${\displaystyle \chi _{v}}$ ${\textstyle \sum _{i}\left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle \chi _{v_{i}}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\textstyle \left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{v}(g){\overline {\chi }}_{v_{i}}(g)}$ ${\displaystyle G=T}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(T,d\mu )}$ ${\textstyle f(x)=\sum _{k\in Z}{\widehat {f}}(k)e_{k}}$ ${\displaystyle {\widehat {T}}}$ ${\displaystyle \{e_{k}\}(k\in Z)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(T,d\mu )}$ ${\textstyle {\widehat {f}}(k)={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y)e^{-i2\pi ky}dy}$ ${\displaystyle e_{k}\in {\widehat {T}}}$

ゲルファンド変換

フーリエ変換もまたゲルファント変換の特殊なケースである。この特定の文脈では、フーリエ変換は上で定義したポンチャギン双対写像と密接に関連している。

可換局所コンパクト ハウスドルフ 位相群 Gが与えられたとき、前述と同様に、ハール測度を用いて定義された空間L ¹ ( G )を考える。畳み込みを乗算とみなすと、L ¹ ( G )は可換バナッハ代数となる。また、以下の畳み込み* も持つ。 $${\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}}.}$$

最大の可能性のあるC * -ノルムに関する完備化をとると、その包絡C * -代数が得られ、これはGの群C * -代数C *( G )と呼ばれます。( L ¹ ( G )上の任意のC * -ノルムはL ^{1 -}ノルムによって有界となるため、それらの上限値が存在する。)

任意のアーベルC *代数Aが与えられたとき、ゲルファント変換はAとC ₀ ( A ^)の間に同型写像を与える。ここでA ^はA上の弱*位相を持つ乗法線形関数、すなわち1次元表現である。写像は単純に次のように与えられる。C * ( G )の乗法線形関数は、適切な同定の後、まさにGの指標となり、ゲルファント変換は稠密部分集合L ¹ ( G )に制限するとフーリエ・ポンチャギン変換となる。 $${\displaystyle a\mapsto {\bigl (}\varphi \mapsto \varphi (a){\bigr )}}$$

コンパクト非可換群

フーリエ変換は、非可換群上の関数に対しても、その群がコンパクトであれば定義できる。基底群が可換群であるという仮定を外すと、既約ユニタリ表現は必ずしも1次元である必要はない。これは、非可換群上のフーリエ変換がヒルベルト空間作用素として値を取ることを意味する。^[69]コンパクト群上のフーリエ変換は、表現論^[70]および非可換調和解析における主要なツールである。

Gをコンパクトなハウスドルフ 位相群とする。Σ で有限次元既約ユニタリ表現のすべての同型類の集合と、各σ ∈ Σに対して有限次元d _σのヒルベルト空間H _σ上の表現U ^{( σ )}を明確に選ぶものとする。μがG上の有限ボレル測度であれば、 μのフーリエ・スティルチェス変換はH _σ上の演算子で定義され、 U ^{( σ )}はH _σに作用するU ^{( σ )}の複素共役表現である。μがG上の左不変確率測度λに関して絶対連続で、あるf ∈ L ¹ ( λ )に対してと表される場合、 fのフーリエ変換はμのフーリエ・スティルチェス変換と同一視される。 $${\displaystyle \left\langle {\widehat {\mu }}\xi ,\eta \right\rangle _{H_{\sigma }}=\int _{G}\left\langle {\overline {U}}_{g}^{(\sigma )}\xi ,\eta \right\rangle \,d\mu (g)}$$ $${\displaystyle d\mu =f\,d\lambda }$$

この写像は、有限ボレル測度（RCA空間を参照）のバナッハ空間M（G）と、 ノルムが有限である（有界）線型作用素E _σ  : H _σ → H _σのΣで添え字付けされたすべてのシーケンスE =（E _σ）から構成されるバナッハ空間C _∞（Σ）の閉部分空間との間の同型を定義し ます。「畳み込み定理」はさらに、バナッハ空間のこの同型は、実際にはC _∞（Σ）の部分空間へのC*-代数の等長同型であると主張しています。M （G）上の乗算は測度の畳み込みによって与えられ、によって定義される畳み込み*とC _∞（Σ）は、ヒルベルト空間作用素として自然なC * -代数構造を持ちます。 $${\displaystyle \mu \mapsto {\widehat {\mu }}}$$ $${\displaystyle \|E\|=\sup _{\sigma \in \Sigma }\left\|E_{\sigma }\right\|}$$ $${\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}},}$$

ピーター・ワイルの定理が成り立ち、フーリエ変換公式（プランシュレルの定理）のバージョンが成り立ちます。 f ∈ L ² ( G )の場合、ここで和はL ^{2 の}意味で収束すると理解されます。 $${\displaystyle f(g)=\sum _{\sigma \in \Sigma }d_{\sigma }\operatorname {tr} \left({\widehat {f}}(\sigma )U_{g}^{(\sigma )}\right)}$$

フーリエ変換の非可換な状況への一般化は、非可換幾何学の発展にも部分的に貢献した。^[要出典]この文脈において、フーリエ変換の非可換群への圏論的一般化はタナカ・クライン双対性であり、これは指標群を表現圏に置き換えるものである。しかし、これは調和関数との関連を失う。

代替案

信号処理用語では、（時間の）関数は完全な時間分解能を持つ信号表現ですが、周波数情報は持ちません。一方、フーリエ変換は完全な周波数分解能を持ちますが、時間情報は持ちません。ある点におけるフーリエ変換の振幅は周波数成分の量を表しますが、位置は位相（ある点におけるフーリエ変換の偏角）によってのみ与えられ、定在波は時間的に局所化されていません。つまり、正弦波は減衰することなく無限に続きます。このため、時間的に局所化された信号、特に過渡信号や有限範囲の信号を解析する場合、フーリエ変換の有用性は限定されます。

時間周波数解析では、フーリエ変換の代替として、時間周波数変換または時間周波数分布を用いて、時間情報と周波数情報を持つ形式で信号を表現します。不確定性原理により、これらの間にはトレードオフが存在します。これらは、短時間フーリエ変換、分数フーリエ変換、シンクロスクイージングフーリエ変換などのフーリエ変換の一般化、またはウェーブレット変換やチャープレット変換などの信号表現のための他の関数である可能性があります^。ウェーブレットにおける（連続）フーリエ変換の類似物は連続ウェーブレット変換です。^[27]

例

以下の図は、フーリエ変換の積分が特定の関数に周波数が存在するかどうかを測定する方法を視覚的に示しています。最初の画像は、波のオン/オフを滑らかにするガウスエンベロープ関数(第 2項) によって形成された3 Hz のコサイン波 (第 1 項)で ある関数を示しています。次の 2 つの画像は、+3 Hz でのフーリエ変換を計算するために積分する必要がある積を示しています。との交互の符号は同じ速度および位相で振動するのに対し、と は同じ速度で直交位相で振動するため、積分関数の実部は平均値が負ではありません。+3 Hz でのフーリエ変換の絶対値は 0.5 で、比較的大きいです。-3 Hz でのフーリエ変換 (実信号から開始したため同一) に追加すると、3 Hz 周波数成分の振幅は 1 であることがわかります。 ${\displaystyle f(t)=\cos(2\pi \ 3t)\ e^{-\pi t^{2}},}$ ${\displaystyle f(t)e^{-i2\pi 3t},}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (e^{-i2\pi 3t})}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (e^{-i2\pi 3t})}$

強い3 Hz成分を持つ元の関数。+3 Hzにおけるフーリエ変換の積分関数の実部と虚部。

しかし、存在しない周波数を測定しようとすると、積分の実数部と虚数部の両方が正と負の値の間を急速に変化します。例えば、赤い曲線は5Hzを探しています。積分の絶対値はほぼゼロであり、信号に5Hz成分がほとんど含まれていないことを示しています。一般的な状況は通常これよりも複雑ですが、フーリエ変換は経験的にこのようにして、関数に個々の周波数がどれだけ含まれているかを測定します。 ${\displaystyle f(t).}$

• 
  +5 Hz でのフーリエ変換の積分関数の実数部と虚数部。
• 
  フーリエ変換の振幅。+3 Hz と +5 Hz のラベルが付いています。

先ほどの点を強調すると、   Hz  での応答の理由は  、 と    が区別できないためです。 の変換は    1つの応答のみを持ち、その振幅は滑らかな包絡線の積分となります。  一方、  は   ${\displaystyle \xi =-3}$ ${\displaystyle \cos(2\pi 3t)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi (-3)t)}$ ${\displaystyle e^{i2\pi 3t}\cdot e^{-\pi t^{2}}}$ ${\displaystyle e^{-\pi t^{2}},}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (f(t)\cdot e^{-i2\pi 3t})}$ ${\displaystyle e^{-\pi t^{2}}(1+\cos(2\pi 6t))/2.}$

アプリケーション

特定の微分方程式など、いくつかの問題はフーリエ変換を適用すると解くのが容易になります。その場合、元の問題の解は逆フーリエ変換によって復元されます。

一方の領域（時間領域または周波数領域）で実行される線形演算は、他方の領域でも対応する演算を持ち、それらの演算の方が実行しやすい場合があります。時間領域における微分演算は周波数による乗算に対応するため、 ^{[注 7]}、一部の微分方程式は周波数領域で解析する方が容易です。また、時間領域における畳み込みは、周波数領域における通常の乗算​​に対応します（畳み込み定理を参照）。必要な演算を実行した後、結果を時間領域に戻すことができます。調和解析は、周波数領域と時間領域の関係を体系的に研究するものであり、どちらか一方において「より単純」な関数や演算の種類も研究対象としており、現代数学の多くの分野と深い関連があります。

微分方程式の解析

フーリエ変換の最も重要な用途は、おそらく偏微分方程式を解くことである。19世紀の数理物理学の多くの方程式は、この方法で扱うことができる。フーリエは、1次元かつ無次元単位では、熱方程式を研究した。ここで示す例は、少し難しいが、1次元の波動方程式である。 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial y(x,t)}{\partial t}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}t}}.}$$

いつものように、問題は解を見つけることではない。解は無限に存在する。問題はいわゆる「境界問題」、つまり「境界条件」を満たす解を見つけることである。 $${\displaystyle y(x,0)=f(x),\qquad {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=g(x).}$$

ここで、fとg は与えられた関数です。熱方程式の場合、境界条件は1つだけ（通常は最初の条件）要求されます。しかし、波動方程式の場合、最初の境界条件を満たす解yは無限に存在します。しかし、両方の条件を課すと、可能な解は1つしか存在しません。

解を直接求めるよりも、解のフーリエ変換ŷ を求める方が簡単です。これは、フーリエ変換では微分がフーリエ双対変数による乗算に変換されるためです。つまり、元の関数に適用された偏微分方程式は、変換された関数に適用された双対変数の多項式関数による乗算に変換されます。ŷが決定したら、逆フーリエ変換を適用してyを求めます。

フーリエ法は以下の通りである。まず、任意の形の関数は波動方程式を満たすことに注意する。これらは基本解と呼ばれる。 $${\displaystyle \cos {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}{\text{ or }}\sin {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}}$$

第二に、任意の積分は 任意のa ₊、a ₋、b ₊、b ₋に対して波動方程式を満たすことに注意する。この積分は、線型方程式の解の連続した線型結合として解釈できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}y(x,t)=\int _{0}^{\infty }d\xi {\Bigl [}&a_{+}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+a_{-}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x-t){\bigr )}+{}\\&b_{+}(\xi )\sin {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+b_{-}(\xi )\sin \left(2\pi \xi (x-t)\right){\Bigr ]}\end{aligned}}}$$

これは関数のフーリエ合成の式に似ています。実際、これは変数xにおけるa _±とb _±の実逆フーリエ変換です。

3つ目のステップは、境界条件を満たすyを導く特定の未知の係数関数a _±とb _{±をどのように見つけるかを検討することです。ここで注目するのは、} t = 0におけるこれらの解の値です。そこでt = 0と設定します。フーリエ逆変換に必要な条件が満たされていると仮定すると、両辺のフーリエ正弦変換とフーリエ余弦変換（変数xについて）を求めることができ、 次 式が得られます。 $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\cos(2\pi \xi x)\,dx=a_{+}+a_{-}}$$ $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\sin(2\pi \xi x)\,dx=b_{+}+b_{-}.}$$

同様に、 yをtに関して微分し、フーリエ正弦変換とフーリエ余弦変換を適用すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\sin(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(-a_{+}+a_{-}\right)}$$ $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\cos(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(b_{+}-b_{-}\right).}$$

これらは、境界条件のフーリエ正弦変換とフーリエ余弦変換に関する、4 つの未知数a _±とb _±に関する 4 つの線形方程式です。これらの変換が見つかれば、初等代数で簡単に解くことができます。

まとめると、我々はξによってパラメータ化された基本解のセットを選択しました。その一般解は、パラメータξ上の積分の形の（連続的な）線形結合になります。しかし、この積分はフーリエ積分の形です。次のステップは、境界条件をこれらの積分で表し、それらを与えられた関数fとgに等しく設定することでした。しかし、微分に対するフーリエ変換の特性のため、これらの表現もフーリエ積分の形を取りました。最後のステップは、両辺にフーリエ変換を適用することでフーリエ反転を利用し、与えられた境界条件fとgに関して係数関数a _±とb _±の表現を取得することでした。

より高度な観点から、フーリエの手順は、より概念的に再定式化することができます。変数が 2 つあるため、フーリエが空間変数のみを変換したように操作するのではなく、xとtの両方でフーリエ変換を使用します。 y ( x、t )はL ¹にならないため、 ŷ は分布の意味で考慮する必要があることに注意してください。波であるため、時間の経過とともに持続するため、一時的な現象ではありません。ただし、境界が設定されるため、フーリエ変換は分布として定義できます。この方程式に関連するフーリエ変換の操作上の特性は、xでの微分はi 2π ξを乗算し、tでの微分はi 2π fを乗算することです。ここで、fは周波数です。すると、波動方程式はŷの代数方程式になります。 これは、 ξ = ± fでない限り、ŷ ( ξ、f ) = 0を要求することと同等です。これは、先ほど選択した基本解がなぜうまく機能したかを説明するものです。明らかにf̂ = δ ( ξ ± f )が解となります。これらのデルタ関数にフーリエ変換を適用すると、先ほど選択した基本解が得られます。しかし、より高度な視点から見ると、基本解を選択するのではなく、（退化した）円錐ξ ² − f ² = 0上でサポートされるすべての超関数の空間を考慮します。 $${\displaystyle \xi ^{2}{\widehat {y}}(\xi ,f)=f^{2}{\widehat {y}}(\xi ,f).}$$

同様に、直線ξ = f上の 1 変数の分布と直線ξ = − f上の分布によって与えられる円錐曲線上でサポートされる分布を次のように考えることができます。Φは任意のテスト関数で あり、 s ₊、およびs ₋は 1 変数の分布です。 $${\displaystyle \iint {\widehat {y}}\varphi (\xi ,f)\,d\xi \,df=\int s_{+}\varphi (\xi ,\xi )\,d\xi +\int s_{-}\varphi (\xi ,-\xi )\,d\xi ,}$$

すると、フーリエ反転は境界条件について、上でより具体的に述べたものと非常によく似たものを与える（Φ ( ξ , f ) = e ^{i 2π( xξ + tf )}と置くと、明らかに多項式増加となる） 。 $${\displaystyle y(x,0)=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )+s_{-}(\xi ){\bigr \}}e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi }$$ $${\displaystyle {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )-s_{-}(\xi ){\bigr \}}i2\pi \xi e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi .}$$

ここで、前と同様に、変数xの 1 変数フーリエ変換をこれらのxの関数に適用すると、 2 つの未知の分布s _{±に関する 2 つの方程式が生成されます (境界条件が}L ¹またはL ²の場合は、通常の関数として考えることができます)。

計算の観点から見ると、もちろん欠点は、まず境界条件のフーリエ変換を計算し、それからそれらから解を組み立て、最後に逆フーリエ変換を計算しなければならないことです。閉じた形式の公式は、利用できる幾何学的対称性がある場合を除いてほとんど存在せず、積分の振動的な性質のために数値計算は困難で、収束が遅く、予測も困難です。実用的な計算では、他の方法がしばしば用いられます。

非線形フーリエ変換

20世紀には、これらの手法が多項式係数を持つすべての線形偏微分方程式に適用され、さらに特定のクラスの非線形偏微分方程式にも拡張されました。具体的には、非線形発展方程式（つまり、特定の量が指定された初期状態から時間とともにどのように発展するかを記述する方程式）は、その固有値が非線形方程式の積分である線形固有値問題と関連付けることができます。^{[72] [73]}これはフーリエ解析の非線形問題への拡張と考えられるため、その解法は非線形フーリエ変換法（または逆散乱変換法）と呼ばれます。^[74]

フーリエ変換分光法

フーリエ変換は、核磁気共鳴（NMR）や、赤外線（FTIR ）などの他の分光法にも用いられています。NMRでは、時間領域で指数関数的な形状の自由誘導減衰（FID）信号を取得し、フーリエ変換によって周波数領域でロレンツ線形に変換します。フーリエ変換は、磁気共鳴画像（MRI）や質量分析にも用いられています。

量子力学

フーリエ変換は、量子力学において少なくとも2つの異なる方法で有用である。まず、量子力学の基本的な概念構造は、ハイゼンベルクの不確定性原理によって結び付けられた相補変数のペアの存在を前提としている。例えば、1次元では、例えば粒子の空間変数q は、粒子の運動量pに関する情報を失うことを犠牲にして、量子力学の「位置演算子」によってのみ測定できる。したがって、粒子の物理的状態は、 qの「波動関数」と呼ばれる関数、またはpの関数によって記述できるが、両方の変数の関数によって記述することはできない。変数pはqの共役変数と呼ばれる。

古典力学では、粒子の物理的状態（説明を簡略化するために1次元に存在する）は、pとqの両方に同時に明確な値を割り当てることによって与えられる。したがって、すべての可能な物理的状態の集合は、p軸とq軸を持つ2次元の実ベクトル空間であり、位相空間と呼ばれる。対照的に、量子力学では、この空間の分極を選択する。つまり、次元の半分の部分空間、例えばq軸のみを選択するが、点のみを考慮するのではなく、この軸上のすべての複素数値「波動関数」の集合をとる。しかしながら、p軸を選択することは同様に有効な分極であり、粒子の可能な物理的状態の集合の異なる表現をもたらす。波動関数の両方の表現は、フーリエ変換によって関連付けられており、すなわち 、または等価的に、 $${\displaystyle \varphi (p)=\int dq\,\psi (q)e^{-ipq/h},}$$ $${\displaystyle \psi (q)=\int dp\,\varphi (p)e^{ipq/h}.}$$

物理的に実現可能な状態はL ²であり、したがってプランシュレルの定理により、そのフーリエ変換もL ²です。（qは距離の単位、pは運動量の単位であるため、指数にプランク定数が存在すると、当然のことながら指数は無次元になります。）

したがって、フーリエ変換は、粒子の状態を表す一つの方法（位置の波動関数）から、粒子の状態を表す別の方法（運動量の波動関数）へと変換するために使用することができます。無限に多くの異なる偏光が可能であり、それらはすべて等しく有効です。フーリエ変換によって状態をある表現から別の表現に変換できることは、単に便利なだけでなく、ハイゼンベルクの不確定性原理の根底にある理由でもあります。

量子力学と量子場の理論の両方において、フーリエ変換のもう一つの用途は、適用可能な波動方程式を解くことである。非相対論的量子力学において、外力を受けない1次元の時間変動波動関数に対するシュレーディンガー方程式は、 $${\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).}$$

これは虚数単位iが存在する点を除けば熱方程式と同じです。この方程式を解くにはフーリエ法を使用することができます。

ポテンシャルエネルギー関数V ( x )によって与えられるポテンシャルが存在する場合、方程式は次のようになる。 $${\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).}$$

上で述べた「素解」は、粒子のいわゆる「定常状態」であり、上述のフーリエのアルゴリズムは、t = 0におけるψの値が与えられた場合の将来の発展に関する境界値問題を解くために依然として使用できます。これらのアプローチはどちらも量子力学においてはあまり実用的ではありません。境界値問題と波動関数の時間発展は実用上あまり重要ではありません。最も重要なのは定常状態です。

相対論的量子力学では、シュレーディンガー方程式は古典物理学で一般的であった波動方程式となるが、複素数値の波動が考慮される点が異なる。他の粒子や場との相互作用がない場合の簡単な例として、無次元単位系における自由一次元クライン＝ゴードン＝シュレーディンガー＝フォック方程式が挙げられる。 $${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+1\right)\psi (x,t)={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t).}$$

これは数学的な観点から見ると、上で述べた古典物理学の波動方程式と同じです（ただし、複素数値の波動を扱うため、手法に違いはありません）。これは量子場の理論において非常に有用です。波の各フーリエ成分を個別の調和振動子として扱い、量子化することができます。この手順は「第二量子化」と呼ばれます。フーリエ法は、非自明な相互作用を扱うためにも応用されています。

最後に、量子調和振動子の数演算子は、例えばメーラー核を介してフーリエ変換の生成子として解釈することができる。^[30] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

信号処理

フーリエ変換は時系列のスペクトル解析に用いられます。しかしながら、統計信号処理の分野では、信号自体にフーリエ変換を適用することは通常ありません。実際の信号が過渡的であったとしても、実用上は、その特性が時間経過に関わらず一定であるという意味で定常な関数（あるいは確率過程）で信号をモデル化することが望ましいことが分かっています。このような関数のフーリエ変換は通常の意味では存在せず、信号解析においては、代わりにその自己相関関数のフーリエ変換を用いる方がより有用であることが分かっています。

関数fの自己相関関数Rは次のように定義される。 $${\displaystyle R_{f}(\tau )=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f(t)f(t+\tau )\,dt.}$$

この関数は、相関されるfの値間で経過する時間差τの関数です。

実際に発生するほとんどの関数fでは、 Rは時間遅れτの有界偶関数であり、一般的なノイズ信号ではτ = 0で最大値をとる均一連続であることがわかります。

自己相関関数（適切な方法で正規化されていない場合は自己共分散関数と呼ばれる）は、時間差で隔てられたfの値間の相関の強さを測定します。これは、 fとそれ自身の過去との相関関係を探す方法です。これは、信号解析以外の統計タスクにも有用です。例えば、f ( t ) が時刻tにおける気温を表す場合、24時間後の気温との強い相関が期待されます。

フーリエ変換を持ち、 $${\displaystyle P_{f}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }R_{f}(\tau )e^{-i2\pi \xi \tau }\,d\tau .}$$

このフーリエ変換はfのパワースペクトル密度関数と呼ばれます。（ fからすべての周期成分を事前に除去しない限り、この積分は発散しますが、そのような周期性は簡単に除去できます。）

この密度関数Pで示されるパワースペクトルは、周波数ξがデータに寄与する分散の量を測定します。電気信号では、分散は平均電力（単位時間あたりのエネルギー）に比例するため、パワースペクトルは異なる周波数が信号の平均電力にどの程度寄与するかを表します。このプロセスは時系列のスペクトル分析と呼ばれ、時系列ではないデータの通常の分散分析（ANOVA）に類似しています。

この意味で「重要」な周波数を知ることは、フィルターの適切な設計や測定装置の適切な評価に不可欠です。また、データ生成の原因となる現象の科学的分析にも役立ちます。

信号のパワースペクトルは、狭帯域外のすべての周波数が除去された後に信号に残る平均パワーを測定することによって、直接近似的に測定することもできます。

スペクトル解析は映像信号にも行われます。パワースペクトルは位相関係を一切考慮しないため、多くの用途には十分ですが、ビデオ信号の場合は、フーリエ変換をツールとして用いながら、他の種類のスペクトル解析も併用する必要があります。

その他の表記

その他の一般的な表記は次のとおりです。 ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$ $${\displaystyle {\tilde {f}}(\xi ),\ F(\xi ),\ {\mathcal {F}}\left(f\right)(\xi ),\ \left({\mathcal {F}}f\right)(\xi ),\ {\mathcal {F}}(f),\ {\mathcal {F}}\{f\},\ {\mathcal {F}}{\bigl (}f(t){\bigr )},\ {\mathcal {F}}{\bigl \{}f(t){\bigr \}}.}$$

科学や工学では、次のような置き換えも一般的です。 $${\displaystyle \xi \rightarrow f,\quad x\rightarrow t,\quad f\rightarrow x,\quad {\widehat {f}}\rightarrow X.}$$

変換ペアは ${\displaystyle f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle x(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ X(f)}$

大文字表記の欠点は、またはのような変換を表現するときに、より扱いにくくなり、 ${\displaystyle {\widehat {f}}\cdot g}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}',}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\cdot g\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f'\}.}$

素粒子物理学などの文脈では、関数とそのフーリエ変換の両方に同じ記号が使用されることがあります。この2つは引数によってのみ区別されます。つまり 、 は運動量引数のためフーリエ変換を指し、 は位置引数のため元の関数を指します。チルダは のようにフーリエ変換を示すために使用されることもありますが、のようにローレンツ不変な形を持つ量の変形を示すために使用される場合もあるため、注意が必要です。同様に、は のヒルベルト変換を表すことがよくあります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(k_{1}+k_{2})}$ ${\displaystyle f(x_{0}+\pi {\vec {r}})}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {dk}{(2\pi )^{3}2\omega }}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle f}$

複素関数f̂ ( ξ )の解釈は、2 つの実関数A ( ξ )とφ ( ξ )を使って極座標形式で表現することで容易になります。ここで、は振幅、 は位相です( arg 関数を参照)。 $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=A(\xi )e^{i\varphi (\xi )}}$$ $${\displaystyle A(\xi )=\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|,}$$ $${\displaystyle \varphi (\xi )=\arg \left({\widehat {f}}(\xi )\right),}$$

逆変換は次のように書けます。 これはf ( x )のすべての周波数成分の組み換えです。各成分はe ^{2π ixξ}の形をとる複素正弦波で、その振幅はA ( ξ )、初期位相角（x = 0）はφ ( ξ )です。 $${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }A(\xi )\ e^{i{\bigl (}2\pi \xi x+\varphi (\xi ){\bigr )}}\,d\xi ,}$$

フーリエ変換は、関数空間への写像と考えることができます。この写像はここではFと表記され、 F ( f )は関数fのフーリエ変換を表すために使用されます。この写像は線形であるため、F は関数空間上の線形変換と見なすこともでき、線形代数の標準的な表記法を使用して、F ( f )ではなくF fと記述できます。フーリエ変換を適用した結果も関数であるため、この関数の値をその変数のξで評価することが目的となり、これはF f ( ξ )または( F f )( ξ )と表記されます。前者の場合、最初にFがfに適用され、次に結果の関数が ξ で評価されることが暗黙的に理解されており、その逆ではないことに注意してください。

数学や様々な応用科学において、関数fと、その変数がxに等しいときのfの値（f ( x )と表記）を区別することがしばしば必要になります。つまり、F ( f ( x ))のような表記は、形式的にはxにおけるfの値のフーリエ変換として解釈できます。この欠点にもかかわらず、この表記法は、特定の関数または特定の変数の関数を変換する必要がある場合によく使用されます。たとえば、 は、直交関数のフーリエ変換がsinc関数 であることを表現するために時々使用されます。また、 は、フーリエ変換のシフト特性を表現するために使用されます。 $${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {rect} (x){\bigr )}=\operatorname {sinc} (\xi )}$$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}f(x+x_{0}){\bigr )}={\mathcal {F}}{\bigl (}f(x){\bigr )}\,e^{i2\pi x_{0}\xi }}$$

最後の例は、変換された関数がx ₀の関数ではなくxの関数であるという仮定のもとでのみ正しいことに注意してください。

上で述べたように、確率変数の特性関数はその分布測度のフーリエ・スティルチェス変換と同じであるが、この文脈では定数については異なる慣例をとるのが一般的である。通常、特性関数は次のように定義される。 $${\displaystyle E\left(e^{it\cdot X}\right)=\int e^{it\cdot x}\,d\mu _{X}(x).}$$

上記の「非ユニタリ角周波数」の慣例と同様に、2π の係数は正規化定数にも指数にも現れません。上記の慣例とは異なり、この慣例では指数の符号が逆になります。

計算方法

適切な計算方法は、元の数学関数の表現方法と、出力関数の目的の形式に大きく依存します。このセクションでは、連続変数の関数と離散変数の関数（つまり、との順序付きペア）の両方を検討します。離散値の場合、変換積分は正弦波の和になりますが、これは依然として周波数（または）の連続関数です。正弦波が調和関係にある場合（つまり、 値が間隔の整数倍の間隔で配置されている場合）、この変換は離散時間フーリエ変換（DTFT）と呼ばれます。 ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x}$

離散フーリエ変換と高速フーリエ変換

DTFTを等間隔の周波数値でサンプリングすることは、現代の最も一般的な計算方法です。必要な周波数分解能に応じた効率的な手順については、「離散時間フーリエ変換」§「DTFTのサンプリング」で説明しています。ここで使用される離散フーリエ変換（DFT）は、通常、高速フーリエ変換（FFT）アルゴリズムによって計算されます。

閉形式関数の解析積分

§ 二乗積分可能関数、1次元、§ 離散時間フーリエ変換表などの閉形式フーリエ変換の表は、フーリエ解析積分（または和）を別の周波数の閉形式関数（または）に数学的に評価することによって作成されます。^[75] 数学的に可能な場合、これは連続した周波数値の変換を提供します。 ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \omega }$

MatlabやMathematicaなど、記号積分が可能な多くのコンピュータ代数システムは、フーリエ変換を解析的に計算することができます。例えば、cos(6π t ) e ^{−π t 2}のフーリエ変換を計算するには、 Wolfram Alphaintegrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(-i*2*pi*f*t) from -inf to infに以下のコマンドを入力します。^{[注 8]}

閉形式連続関数の数値積分

フーリエ変換の離散サンプリングは、変換が必要な周波数の各値での定義の数値積分によっても実行できます。 ^{[76] [77] [78]} 数値積分アプローチは、解析的アプローチよりもはるかに広いクラスの関数で機能します。

順序対列の数値積分

入力関数が一連の順序付きペアである場合、数値積分はデータペアの集合全体にわたる単なる合計に簡約されます。^[79] DTFTは、このより一般的な状況の一般的なサブケースです。

重要なフーリエ変換の表

以下の表は、いくつかの閉形式フーリエ変換を記載しています。関数f ( x )とg ( x )のフーリエ変換は、それぞれf̂とĝで表します。ここでは、最も一般的な3つの表記法のみを示します。項105は、関数のフーリエ変換と元の関数の関係を示しており、これはフーリエ変換とその逆関数の関係と見なすことができます。

機能的関係、一次元

この表のフーリエ変換は、Erdélyi (1954) または Kammler (2000、付録) に記載されています。

	関数	フーリエ変換 ユニタリー、通常周波数	フーリエ変換 ユニタリー、角周波数	フーリエ変換 非ユニタリー、角周波数	備考
	${\displaystyle f(x)\,}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\xi )\triangleq {\widehat {f}}_{1}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi \xi x}\,dx\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{2}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{3}(\omega )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}}$	定義
101	${\displaystyle a\,f(x)+b\,g(x)\,}$	${\displaystyle a\,{\widehat {f}}(\xi )+b\,{\widehat {g}}(\xi )\,}$	${\displaystyle a\,{\widehat {f}}(\omega )+b\,{\widehat {g}}(\omega )\,}$	${\displaystyle a\,{\widehat {f}}(\omega )+b\,{\widehat {g}}(\omega )\,}$	直線性
102	${\displaystyle f(x-a)\,}$	${\displaystyle e^{-i2\pi \xi a}{\widehat {f}}(\xi )\,}$	${\displaystyle e^{-ia\omega }{\widehat {f}}(\omega )\,}$	${\displaystyle e^{-ia\omega }{\widehat {f}}(\omega )\,}$	時間領域におけるシフト
103	${\displaystyle f(x)e^{iax}\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}(\omega -a)\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}(\omega -a)\,}$	周波数領域におけるシフト、102のデュアル
104	${\displaystyle f(ax)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,}$	時間領域におけるスケーリング。| a |が大きい場合、f ( ax )は0の周囲に集中し、広がって平坦になります。 ${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,}$
105	${\displaystyle {\widehat {f}}_{n}(x)\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}_{1}(x)\ {\stackrel {{\mathcal {F}}_{1}}{\longleftrightarrow }}\ f(-\xi )\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}_{2}(x)\ {\stackrel {{\mathcal {F}}_{2}}{\longleftrightarrow }}\ f(-\omega )\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}_{3}(x)\ {\stackrel {{\mathcal {F}}_{3}}{\longleftrightarrow }}\ 2\pi f(-\omega )\,}$	同じ変換が 2 回適用されますが、最初の変換後には頻度変数 ( ξまたはω ) がxに置き換えられます。
106	${\displaystyle {\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}\,}$	${\displaystyle (i2\pi \xi )^{n}{\widehat {f}}(\xi )\,}$	${\displaystyle (i\omega )^{n}{\widehat {f}}(\omega )\,}$	${\displaystyle (i\omega )^{n}{\widehat {f}}(\omega )\,}$	n次導関数。 fはシュワルツ関数なので
106.5	${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}f(\tau )d\tau }$	${\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\xi )}{i2\pi \xi }}+C\,\delta (\xi )}$	${\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\omega )}{i\omega }}+{\sqrt {2\pi }}C\delta (\omega )}$	${\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\omega )}{i\omega }}+2\pi C\delta (\omega )}$	積分。[80]注:はディラックのデルタ関数であり、は平均（DC）値であり、 ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(f(x)-C)\,dx=0}$
107	${\displaystyle x^{n}f(x)\,}$	${\displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\widehat {f}}(\xi )}{d\xi ^{n}}}\,}$	${\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\widehat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}}$	${\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\widehat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}}$	これは106の双対です
108	${\displaystyle (f*g)(x)\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi ){\widehat {g}}(\xi )\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\ {\widehat {f}}(\omega ){\widehat {g}}(\omega )\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}(\omega ){\widehat {g}}(\omega )\,}$	f ∗ gという表記はfとgの畳み込みを表す。この規則は畳み込み定理である。
109	${\displaystyle f(x)g(x)\,}$	${\displaystyle \left({\widehat {f}}*{\widehat {g}}\right)(\xi )\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left({\widehat {f}}*{\widehat {g}}\right)(\omega )\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\left({\widehat {f}}*{\widehat {g}}\right)(\omega )\,}$	これは108のデュアルです
110	f ( x )が純粋に実数の場合	${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}(-\omega )={\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}(-\omega )={\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}\,}$	エルミート対称性。zは複素共役を示します。
113	f ( x )が純虚数の場合	${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )=-{\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}(-\omega )=-{\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}\,}$	${\displaystyle {\widehat {f}}(-\omega )=-{\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}\,}$	zは複素共役を示します。
114	${\displaystyle {\overline {f(x)}}}$	${\displaystyle {\overline {{\widehat {f}}(-\xi )}}}$	${\displaystyle {\overline {{\widehat {f}}(-\omega )}}}$	${\displaystyle {\overline {{\widehat {f}}(-\omega )}}}$	複素共役、110と113の一般化
115	${\displaystyle f(x)\cos(ax)}$	${\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+{\widehat {f}}\left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)+{\widehat {f}}(\omega +a)}{2}}\,}$	${\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)+{\widehat {f}}(\omega +a)}{2}}}$	これはオイラーの公式を用いた規則101と103から導かれる。 ${\displaystyle \cos(ax)={\frac {e^{iax}+e^{-iax}}{2}}.}$
116	${\displaystyle f(x)\sin(ax)}$	${\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)-{\widehat {f}}\left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2i}}}$	${\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)-{\widehat {f}}(\omega +a)}{2i}}}$	${\displaystyle {\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)-{\widehat {f}}(\omega +a)}{2i}}}$	これはオイラーの公式を使って 101 と 103 から導かれます。 ${\displaystyle \sin(ax)={\frac {e^{iax}-e^{-iax}}{2i}}.}$

1次元の平方積分可能関数

この表のフーリエ変換は、Campbell & Foster (1948)、Erdélyi (1954)、または Kammler (2000、付録) に記載されています。

	関数	フーリエ変換 ユニタリー、通常周波数	フーリエ変換 ユニタリー、角周波数	フーリエ変換 非ユニタリー、角周波数	備考
	${\displaystyle f(x)\,}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\xi )\triangleq {\widehat {f}}_{1}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi \xi x}\,dx\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{2}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{3}(\omega )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}}$	定義
201	${\displaystyle \operatorname {rect} (ax)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	矩形パルスと正規化された sinc関数は、ここではsinc( x ) = ⁠と定義されます。sin(π x )/π x⁠
202	${\displaystyle \operatorname {sinc} (ax)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {\xi }{a}}\right)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	規則201の双対。矩形関数は理想的なローパスフィルタであり、sinc関数はそのようなフィルタの非因果的インパルス応答である。sinc関数はここでsinc( x ) = ⁠と定義される。sin(π x )/π x⁠
203	${\displaystyle \operatorname {sinc} ^{2}(ax)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {tri} \left({\frac {\xi }{a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	関数tri( x )は三角関数である。
204	${\displaystyle \operatorname {tri} (ax)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	ルール203のデュアル。
205	${\displaystyle e^{-ax}u(x)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{a+i2\pi \xi }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(a+i\omega )}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{a+i\omega }}}$	関数u ( x )はヘヴィサイド単位ステップ関数であり、a > 0 である。
206	${\displaystyle e^{-\alpha x^{2}}\,}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\,e^{-{\frac {(\pi \xi )^{2}}{\alpha }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\alpha }}}\,e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\,e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}}$	これは、ユニタリフーリエ変換において、ガウス関数 e − αx 2は、 αの任意の値に対して、それ自身のフーリエ変換となることを示しています。これが積分可能であるためには、Re( α ) > 0を満たす必要があります。
208	${\displaystyle e^{-a|x|}\,}$	${\displaystyle {\frac {2a}{a^{2}+4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {a}{a^{2}+\omega ^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {2a}{a^{2}+\omega ^{2}}}}$	Re( a ) > 0の場合、つまり、両側減衰指数関数のフーリエ変換はロレンツ関数になります。
209	${\displaystyle \operatorname {sech} (ax)\,}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi ^{2}}{a}}\xi \right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)}$	双曲正割はそれ自体がフーリエ変換である
210	${\displaystyle e^{-{\frac {a^{2}x^{2}}{2}}}H_{n}(ax)\,}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2\pi }}(-i)^{n}}{a}}e^{-{\frac {2\pi ^{2}\xi ^{2}}{a^{2}}}}H_{n}\left({\frac {2\pi \xi }{a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {(-i)^{n}}{a}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{2a^{2}}}}H_{n}\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {(-i)^{n}{\sqrt {2\pi }}}{a}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{2a^{2}}}}H_{n}\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$	H nはn次エルミート多項式です。a = 1の場合、ガウス・エルミート関数はフーリエ変換演算子の固有関数です。導出についてはエルミート多項式を参照してください。この式はn = 0のとき 206 に簡約されます。

分布、1次元

この表のフーリエ変換は、Erdélyi (1954) または Kammler (2000、付録) に記載されています。

	関数	フーリエ変換 ユニタリー、通常周波数	フーリエ変換 ユニタリー、角周波数	フーリエ変換 非ユニタリー、角周波数	備考
	${\displaystyle f(x)\,}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\xi )\triangleq {\widehat {f}}_{1}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi \xi x}\,dx\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{2}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{3}(\omega )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}}$	定義
301	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \delta (\xi )}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\,\delta (\omega )}$	${\displaystyle 2\pi \delta (\omega )}$	分布δ ( ξ )はディラックのデルタ関数を表します。
302	${\displaystyle \delta (x)\,}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,}$	${\displaystyle 1}$	規則 301 の二重規定。
303	${\displaystyle e^{iax}}$	${\displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\,\delta (\omega -a)}$	${\displaystyle 2\pi \delta (\omega -a)}$	これは 103 と 301 から導き出されます。
304	${\displaystyle \cos(ax)}$	${\displaystyle {\frac {\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\,{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}}$	${\displaystyle \pi \left(\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)\right)}$	これはオイラーの公式を用いた規則101と303から導かれる。 ${\displaystyle \cos(ax)={\frac {e^{iax}+e^{-iax}}{2}}.}$
305	${\displaystyle \sin(ax)}$	${\displaystyle {\frac {\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)-\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2i}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\,{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}}$	${\displaystyle -i\pi {\bigl (}\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a){\bigr )}}$	これは101と303から導き出される。 ${\displaystyle \sin(ax)={\frac {e^{iax}-e^{-iax}}{2i}}.}$
306	${\displaystyle \cos \left(ax^{2}\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$	これは101と207から導き出される。 ${\displaystyle \cos(ax^{2})={\frac {e^{iax^{2}}+e^{-iax^{2}}}{2}}.}$
307	${\displaystyle \sin \left(ax^{2}\right)}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {2a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$	これは101と207から導き出される。 ${\displaystyle \sin(ax^{2})={\frac {e^{iax^{2}}-e^{-iax^{2}}}{2i}}.}$
308	${\displaystyle e^{-\pi i\alpha x^{2}}\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}\,e^{-i{\frac {\pi }{4}}}e^{i{\frac {\pi \xi ^{2}}{\alpha }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \alpha }}}\,e^{-i{\frac {\pi }{4}}}e^{i{\frac {\omega ^{2}}{4\pi \alpha }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}\,e^{-i{\frac {\pi }{4}}}e^{i{\frac {\omega ^{2}}{4\pi \alpha }}}}$	ここでは実数であると仮定しています。αが複素数の場合については、上記の表206を参照してください。 ${\displaystyle \alpha }$
309	${\displaystyle x^{n}\,}$	${\displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(\xi )}$	${\displaystyle i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )}$	${\displaystyle 2\pi i^{n}\delta ^{(n)}(\omega )}$	ここで、nは自然数であり、δ ( n ) ( ξ )はディラックのデルタ関数のn次分布微分です。この規則は規則 107 と 301 から導かれます。この規則を規則 101 と組み合わせることで、すべての多項式を変換できます。
310	${\displaystyle \delta ^{(n)}(x)}$	${\displaystyle (i2\pi \xi )^{n}}$	${\displaystyle {\frac {(i\omega )^{n}}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle (i\omega )^{n}}$	規則309の双対。δ ( n ) ( ξ )はディラックのデルタ関数のn次の分布微分である。この規則は106と302から導かれる。
311	${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\xi )}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )}$	${\displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\omega )}$	ここでsgn( ξ )は符号関数です。⁠1/×⁠は分布ではありません。シュワルツ関数と比較する際には、コーシー主値を使用する必要があります。この規則は、ヒルベルト変換 を学ぶ際に役立ちます。
312	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{x^{n}}}\\&:={\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\log |x|\end{aligned}}}$	${\displaystyle -i\pi {\frac {(-i2\pi \xi )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\xi )}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )}$	${\displaystyle -i\pi {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )}$	⁠1/x n⁠は分布微分によって定義される同次分布である ${\displaystyle {\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\log |x|}$
313	${\displaystyle |x|^{\alpha }}$	${\displaystyle -{\frac {2\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\Gamma (\alpha +1)}{|2\pi \xi |^{\alpha +1}}}}$	${\displaystyle {\frac {-2}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\Gamma (\alpha +1)}{|\omega |^{\alpha +1}}}}$	${\displaystyle -{\frac {2\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\Gamma (\alpha +1)}{|\omega |^{\alpha +1}}}}$	この式は、 −1 < α < 0の場合に有効です。α > 0の場合、原点で320を微分することで得られる特異項がいくつか生じます。Re α > −1 の場合、| x | αは局所積分関数であり、したがって緩和分布です。関数α ↦ | x | αは、右半平面から緩和分布の空間への正則関数です。これは、緩和分布への唯一の有理型拡張を許容し、α ≠ −1, −3, ...に対して| x | αとも表記されます（同次分布を参照）。
	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|x|}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|\xi |}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|\omega |}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{\sqrt {|\omega |}}}}$	313 の特殊なケース。
314	${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{i\pi \xi }}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {1}{i\omega }}}$	${\displaystyle {\frac {2}{i\omega }}}$	規則 311 の双対。今回は、フーリエ変換をコーシー主値として考慮する必要があります。
315	${\displaystyle u(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi \xi }}+\delta (\xi )\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)}$	${\displaystyle \pi \left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)}$	関数u ( x )はヘヴィサイドの単位ステップ関数であり、これは規則101、301、および314に従う。
316	${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)}$	${\displaystyle {\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\xi -{\frac {k}{T}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)}$	この関数はディラックの櫛形関数として知られています。この結果は、302と102、そして分布としての性質から導き出されます。 ${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}\\={}&2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (x+2\pi k)\end{aligned}}}$
317	${\displaystyle J_{0}(x)}$	${\displaystyle {\frac {2\,\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {2\,\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}$	関数J 0 ( x )は、第一種ゼロ次ベッセル関数です。
318	${\displaystyle J_{n}(x)}$	${\displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi \xi )\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}$	これは317の一般化です。関数J n ( x )はn次の第一種ベッセル関数です。関数T n ( x )は第一種チェビシェフ多項式です。
319	${\displaystyle \log \left|x\right|}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\left|\xi \right|}}-\gamma \delta \left(\xi \right)}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\left|\omega \right|}}-{\sqrt {2\pi }}\gamma \delta \left(\omega \right)}$	${\displaystyle -{\frac {\pi }{\left|\omega \right|}}-2\pi \gamma \delta \left(\omega \right)}$	γはオイラー・マスケロニ定数である。 ⁠をテストする際には有限部分積分を用いる必要がある。1/| ξ |⁠または⁠1/| ω |⁠シュワルツ関数に対して。この詳細によってデルタ関数の係数が変わる可能性があります。
320	${\displaystyle \left(\mp ix\right)^{-\alpha }}$	${\displaystyle {\frac {\left(2\pi \right)^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \xi \right)\left(\pm \xi \right)^{\alpha -1}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \omega \right)\left(\pm \omega \right)^{\alpha -1}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \omega \right)\left(\pm \omega \right)^{\alpha -1}}$	この式は0 < α < 1の場合に有効です。より高い指数の式を導くには微分法を使います。uはヘヴィサイド関数です。

2次元関数

	関数	フーリエ変換 ユニタリー、通常周波数	フーリエ変換 ユニタリー、角周波数	フーリエ変換 非ユニタリー、角周波数	備考
400	${\displaystyle f(x,y)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\xi _{x},\xi _{y})\triangleq \\&\iint f(x,y)e^{-i2\pi (\xi _{x}x+\xi _{y}y)}\,dx\,dy\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega _{x},\omega _{y})\triangleq \\&{\frac {1}{2\pi }}\iint f(x,y)e^{-i(\omega _{x}x+\omega _{y}y)}\,dx\,dy\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega _{x},\omega _{y})\triangleq \\&\iint f(x,y)e^{-i(\omega _{x}x+\omega _{y}y)}\,dx\,dy\end{aligned}}}$	変数ξ x、ξ y、ω x、ω yは実数です。積分は平面全体にわたって行われます。
401	${\displaystyle e^{-\pi \left(a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}\right)}}$	${\displaystyle {\frac {1}{|ab|}}e^{-\pi \left({\frac {\xi _{x}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\xi _{y}^{2}}{b^{2}}}\right)}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi \,|ab|}}e^{-{\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {\omega _{x}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\omega _{y}^{2}}{b^{2}}}\right)}}$	${\displaystyle {\frac {1}{|ab|}}e^{-{\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {\omega _{x}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\omega _{y}^{2}}{b^{2}}}\right)}}$	どちらの関数もガウス関数であり、単位体積を持たない可能性があります。
402	${\displaystyle \operatorname {circ} \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {J_{1}\left(2\pi {\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {J_{1}\left({\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi J_{1}\left({\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}}$	この関数は、 0 ≤ r ≤ 1に対してcirc( r ) = 1と定義され、それ以外の場合は 0 となる。結果はエアリーディスクの振幅分布であり、 J 1 （第一種1次ベッセル関数）を用いて表される。 [81]
403	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}}$	これはr −1のハンケル変換であり、2次元フーリエ「自己変換」である。[82]
404	${\displaystyle {\frac {i}{x+iy}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\xi _{x}+i\xi _{y}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{x}+i\omega _{y}}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{\omega _{x}+i\omega _{y}}}}$

一般的な公式n次元関数

	関数	フーリエ変換 ユニタリー、通常周波数	フーリエ変換 ユニタリー、角周波数	フーリエ変換 非ユニタリー、角周波数	備考
500	${\displaystyle f(\mathbf {x} )\,}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}_{1}({\boldsymbol {\xi }})\triangleq \\&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i2\pi {\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}_{2}({\boldsymbol {\omega }})\triangleq \\&{\frac {1}{{(2\pi )}^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {f}}_{3}({\boldsymbol {\omega }})\triangleq \\&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} \end{aligned}}}$
501	${\displaystyle \chi _{[0,1]}(|\mathbf {x} |)\left(1-|\mathbf {x} |^{2}\right)^{\delta }}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\delta +1)}{\pi ^{\delta }\,|{\boldsymbol {\xi }}|^{{\frac {n}{2}}+\delta }}}J_{{\frac {n}{2}}+\delta }(2\pi |{\boldsymbol {\xi }}|)}$	${\displaystyle 2^{\delta }\,{\frac {\Gamma (\delta +1)}{\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|^{{\frac {n}{2}}+\delta }}}J_{{\frac {n}{2}}+\delta }(|{\boldsymbol {\omega }}|)}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\delta +1)}{\pi ^{\delta }}}\left|{\frac {\boldsymbol {\omega }}{2\pi }}\right|^{-{\frac {n}{2}}-\delta }J_{{\frac {n}{2}}+\delta }(\!|{\boldsymbol {\omega }}|\!)}$	関数χ [0, 1]は区間[0, 1]の指示関数である。関数Γ( x )はガンマ関数である。関数J ⁠n/2⁠ + δは、 ⁠の位数を持つ第一種ベッセル関数である。n/2⁠ + δ 。n = 2、 δ = 0とすると402となる。 [83]
502	${\displaystyle |\mathbf {x} |^{-\alpha },\quad 0<\operatorname {Re} \alpha <n.}$	${\displaystyle {\frac {(2\pi )^{\alpha }}{c_{n,\alpha }}}|{\boldsymbol {\xi }}|^{-(n-\alpha )}}$	${\displaystyle {\frac {(2\pi )^{\frac {n}{2}}}{c_{n,\alpha }}}|{\boldsymbol {\omega }}|^{-(n-\alpha )}}$	${\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n}}{c_{n,\alpha }}}|{\boldsymbol {\omega }}|^{-(n-\alpha )}}$	リースポテンシャルを参照。定数は次のように与えられる。この式は解析接続によりすべてのα ≠ n、n + 2、…に対しても成立するが、その場合関数とそのフーリエ変換は適切に正規化された焼き戻し分布として理解する必要がある（同次分布を参照）。[注 9] ${\displaystyle c_{n,\alpha }=\pi ^{\frac {n}{2}}2^{\alpha }{\frac {\Gamma \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n-\alpha }{2}}\right)}}.}$
503	${\displaystyle {\frac {1}{\left|{\boldsymbol {\sigma }}\right|\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}^{-\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}^{-1}\mathbf {x} }}$	${\displaystyle e^{-2\pi ^{2}{\boldsymbol {\xi }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\xi }}}}$	${\displaystyle (2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\omega }}}}$	${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\omega }}}}$	これは、平均が0で1に正規化された多変量正規分布の式です。太字の変数はベクトルまたは行列です。前述のページの表記法に従うと、 Σ = σ σ TおよびΣ −1 = σ −T σ −1となります。
504	${\displaystyle e^{-2\pi \alpha |\mathbf {x} |}}$	${\displaystyle {\frac {c_{n}\alpha }{\left(\alpha ^{2}+|{\boldsymbol {\xi }}|^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {c_{n}(2\pi )^{\frac {n+2}{2}}\alpha }{\left(4\pi ^{2}\alpha ^{2}+|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {c_{n}(2\pi )^{n+1}\alpha }{\left(4\pi ^{2}\alpha ^{2}+|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}}$	ここで[84] Re( α ) > 0 ${\displaystyle c_{n}={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\pi ^{\frac {n+1}{2}}}},}$

参照

• アナログ信号処理
• ビーバーズ・リプソン帯
• 定数Q変換
• 離散フーリエ変換
• DFT行列
• 高速フーリエ変換
• フーリエ積分演算子
• フーリエ反転定理
• フーリエ乗算器
• フーリエ級数
• フーリエ正弦変換
• フーリエ・ドリーニュ変換
• フーリエ・向井変換
• 分数フーリエ変換
• 間接フーリエ変換
• 積分変換
  • ハンケル変換
  • ハートレー変換
• ラプラス変換
• 最小二乗スペクトル解析
• 線形正準変換
• フーリエ関連変換の一覧
• メリン変換
• 多次元変換
• NGC 4622 、特にNGC 4622フーリエ変換m = 2の画像。
• 非局所演算子
• 量子フーリエ変換
• 二次フーリエ変換
• 短時間フーリエ変換
• スペクトル密度
  • スペクトル密度推定
• 記号積分
• 時間伸張分散フーリエ変換
• 変換（数学）

注記

1. 文の構造は、意図する意味を区別するのに十分な場合が多いです。たとえば、「[入力]にフーリエ変換を適用する」は操作を指しますが、「[入力]のフーリエ変換」はその出力を指します。
2. アプリケーションに応じて、ルベーグ積分、分布、またはその他のアプローチが最も適切な場合があります。
3. 、関数解析や超関数理論に深く立ち入ることなく、これらの正式な手順の確固たる正当性を示しています。
4. 相対論的量子力学では、多成分波動関数のベクトル値フーリエ変換に遭遇する。量子場の理論では、時空の作用素値関数の作用素値フーリエ変換が頻繁に用いられる。例えば、Greiner & Reinhardt (1996) を参照のこと。
5. 混乱の原因となる可能性があるのは、周波数シフト特性です。つまり、関数の変換は、  この関数の における値は、  周波数がゼロにシフトされていることを意味します  ( 「負の周波数」も参照)。 ${\displaystyle f(x)e^{-i2\pi \xi _{0}x}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi +\xi _{0}).}$ ${\displaystyle \xi =0}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{0}),}$ ${\displaystyle \xi _{0}}$
6. 演算子はテイラー展開のをに置き換えることによって定義される。 ${\displaystyle U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle U(x).}$
7. 虚数定数係数まで。その大きさは、使用されるフーリエ変換規則によって異なります。
8. この直接コマンドはfourier transform of cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2)Wolfram Alpha でも機能しますが、規則のオプション (フーリエ変換 § その他の規則を参照) を、実際には と同等のデフォルト オプションから変更する必要がありますintegrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(i*omega*t) /sqrt(2*pi) from -inf to inf。
9. Gelfand & Shilov 1964、p. 363では、この表の非ユニタリな規則を用いると、 の変換はとなり、 となり、 となる。 ${\displaystyle |\mathbf {x} |^{\lambda }}$
   ${\displaystyle 2^{\lambda +n}\pi ^{{\tfrac {1}{2}}n}{\frac {\Gamma \left({\frac {\lambda +n}{2}}\right)}{\Gamma \left(-{\frac {\lambda }{2}}\right)}}|{\boldsymbol {\omega }}|^{-\lambda -n}}$
   ${\displaystyle \lambda =-\alpha }$

引用

1. ピンスキー2002、91ページ。
2. Lieb & Loss 2001、123–125 ページ。
3. ゲルファンドとシロフ、1968 年、p. 128.
4. フーリエ 1822, 525ページ
5. フーリエ 1878, 408ページ
6. ジョーダン（1883）は、フーリエ級数を研究する前に、216〜226ページでフーリエの積分定理を証明しています。
7. ティッチマーシュ 1986、1ページ
8. ラーマン 2011、10ページ。
9. オッペンハイム、シェーファー、バック 1999、58ページ
10. シュターデ 2005、298–299頁。
11. ハウ 1980.
12. フォーランド 1989
13. フーリエ 1822
14. アルフケン 1985
15. ピンスキー 2002
16. Proakis, John G.; Manolakis, Dimitris G. (1996).デジタル信号処理：原理、アルゴリズム、および応用（第3版）. Prentice Hall. p. 291. ISBN 978-0-13-373762-2。
17. カッツネルソン 2004、153ページ。
18. スタイン＆ワイス 1971年、2ページ。
19. スタイン＆ワイス 1971
20. ルディン 1987, 187ページ
21. ルディン 1987, 186ページ
22. フォーランド 1992、216ページ
23. ウルフ 1979、307ページ以降
24. フォーランド 1989, 53ページ
25. チェレギーニ、ガデラ、デル・オルモ 2021
26. デュオアンディコエツェア 2001
27. ボアシャシュ 2003
28. コンドン 1937
29. ウルフ 1979、320ページ
30. Wolf 1979、312ページ
31. フォーランド 1989, 52ページ
32. ハウ 1980
33. ペイリー＆ウィーナー 1934
34. ゲルファンド＆ヴィレンキン 1964
35. キリロフ＆グヴィシアニ 1982
36. クロゼル＆デローム 1985年、331～333ページ
37. de Groot & Mazur 1984、p. 146
38. シャンペニー 1987、80ページ
39. コルモゴロフ＆フォミン 1999
40. ウィーナー 1949
41. シャンペニー 1987、63ページ
42. ウィダー&ウィーナー、1938年、p. 537
43. Pinsky 2002, chpt. 2.4.3 不確定性原理
44. Stein & Shakarchi 2003, chpt. 5.4 ハイゼンベルクの不確定性原理
45. チャットフィールド 2004, p. 113
46. フーリエ 1822, 441ページ
47. ポアンカレ 1895, p. 102
48. ウィテカー＆ワトソン 1927年、188ページ
49. グラファコス 2004
50. Grafakos & Teschl 2013
51. Duoandikoetxea 2001、Thm. 8.3
52. スタイン＆ワイス 1971年、1～2頁。
53. ルディン1987年、182～183頁。
54. チャンドラセカラン、1989 年、7–8 ページ、84。
55. L ¹とL ²の交点にあり、 L ²ノルムでfに収束する関数のシーケンスを取り、これらの関数のフーリエ変換のL ²極限としてfのフーリエ変換を定義することができます。
56. 「応用フーリエ解析と現代信号処理の要素 講義3」(PDF) 。2016年1月12日。 2020年10月3日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2019年10月11日閲覧。
57. スタイン＆ワイス 1971、Thm. 2.3。
58. Katznelson 2004より。
59. マラット 2009、45ページ。
60. ストリチャートス 1994、150ページ。
61. ハンター 2014.
62. ピンスキー2002、256ページ。
63. ルディン1991、15ページ。
64. エドワーズ 1982年、53、67、72-73頁。
65. カッツネルソン 2004, p. 173
    確率論における一般的な慣例では、e ^{− i 2π ξx}の代わりにe ^iξxが採用されます。
66. ビリングスリー 1995年、345ページ。
67. カッツネルソン 2004、40、155、164 ページ。
68. エドワーズ 1982年、53ページ。
69. ヒューイット＆ロス 1970、第8章
70. ナップ 2001
71. Correia, LB; Justo, JF; Angélico, BA (2024). 「多項式適応型シンクロスクイージング・フーリエ変換：マルチ解像度を最適化する手法」.デジタル信号処理. 150 104526. Bibcode :2024DSPRJ.15004526C. doi :10.1016/j.dsp.2024.104526.
72. アブロウィッツら。 1974 年、249 ～ 315 ページ。
73. Lax 1968、467–490ページ。
74. ユセフィ＆クシシャン 2014年、4312–4328頁。
75. Gradshteynら 2015
76. プレス他 1992
77. ベイリー＆シュヴァルツトラウバー 1994
78. ラド 1971
79. シモネン＆オルコネン 1985
80. 「フーリエ変換の積分特性」The Fourier Transform .com . 2015 [2010]. 2022年1月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2023年8月20日閲覧。
81. スタイン＆ワイス 1971, Thm. IV.3.3
82. イーストン 2010
83. スタイン＆ワイス 1971, Thm. 4.15
84. スタイン＆ワイス 1971年、6ページ

参考文献

• Ablowitz, Mark J.; Kaup, David J.; Newell, Alan C.; Segur, Harvey (1974). 「非線形問題に対する逆散乱変換‐フーリエ解析」 .応用数学研究. 53 (4): 249– 315. doi :10.1002/sapm1974534249. ISSN  0022-2526 . 2025年9月21日閲覧.
• アーフケン、ジョージ（1985年）、物理学者のための数学的手法（第3版）、アカデミックプレス、ISBN 978-0-12-059820-5
• Bailey, David H.; Swarztrauber, Paul N. (1994)、「連続フーリエ変換およびラプラス変換の数値的評価のための高速手法」（PDF）、SIAM Journal on Scientific Computing、15 (5): 1105– 1110、Bibcode :1994SJSC...15.1105B、CiteSeerX  10.1.1.127.1534、doi :10.1137/0915067、 2008年7月20日にオリジナル（PDF）からアーカイブ、 2017年11月1日取得
• ビリングスリー、パトリック（1995）、確率と測度、ニューヨーク、NY：ワイリー、ISBN 978-0-471-00710-4
• Boashash, B.編（2003年）、時間周波数信号解析と処理：包括的なリファレンス、オックスフォード：エルゼビアサイエンス、ISBN 978-0-08-044335-5
• ボクナー、S.；チャンドラセカラン、K.（1949）『フーリエ変換』プリンストン大学出版局
• Bracewell, RN (2000) 『フーリエ変換とその応用』（第3版）、ボストン：McGraw-Hill、ISBN 978-0-07-116043-8
• キャンベル、ジョージ；フォスター、ロナルド（1948）「Fourier Integrals for Practical Applications」、ニューヨーク：D. Van Nostrand Company、Inc.
• Celeghini, Enrico; Gadella, Manuel; del Olmo, Mariano A. (2021)、「エルミート関数とフーリエ級数」、Symmetry、13 (5): 853、arXiv : 2007.10406、Bibcode :2021Symm...13..853C、doi : 10.3390/sym13050853
• Champeney, DC (1987), A Handbook of Fourier Theorems、Cambridge University Press、Bibcode :1987hft..book.....C
• Chandrasekharan, Komaravolu (1989), Classical Fourier Transforms , Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, doi :10.1007/978-3-642-74029-9, ISBN 978-3-540-50248-7
• チャットフィールド、クリス（2004年）、時系列分析入門、統計科学テキスト（第6版）、ロンドン：チャップマン＆ホール/CRC、ISBN 978-0-203-49168-3
• クロゼル、ローラン。 Delorme、Patrice ( 1985)、「Sur le théorème de Paley-Wiener invariant pour les groupes de Lie réductifs réels」、Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、Série I、300 : 331–333
• コンドン, EU (1937), 「​​フーリエ変換の連続関数変換群への浸漬」, Proc. Natl. Acad. Sci. , 23 (3): 158– 164, Bibcode :1937PNAS...23..158C, doi : 10.1073/pnas.23.3.158 , PMC  1076889 , PMID  16588141
• デ・グルート、シブレン・R.マズール、ピーター (1984)、非平衡熱力学(第 2 版)、ニューヨーク:ドーバー
• Duoandikoetxea, Javier (2001), 『フーリエ解析』 ,アメリカ数学会, ISBN 978-0-8218-2172-5
• Dym, H. ; McKean, H. (1985)、Fourier Series and Integrals、Academic Press、ISBN 978-0-12-226451-1
• イーストン、ロジャー・L・ジュニア（2010年）、フーリエ法による画像化、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 978-0-470-68983-7、 2020年5月26日閲覧
• Edwards, RE (1979).フーリエ級数. 大学院数学テキスト. 第64巻. ニューヨーク: Springer New York. doi :10.1007/978-1-4612-6208-4. ISBN 978-1-4612-6210-7。
• Edwards, RE (1982).フーリエ級数. 大学院数学テキスト. 第85巻. ニューヨーク: Springer New York. doi :10.1007/978-1-4613-8156-3. ISBN 978-1-4613-8158-7。
• エルデリィ、アーサー編(1954)、Tables of Integral Transforms、vol. 1、マグロウヒル
• フェラー、ウィリアム（1971）『確率論とその応用入門』第2巻（第2版）、ニューヨーク：ワイリー、MR  0270403
• フォランド、ジェラルド（1989）「位相空間における調和解析」プリンストン大学出版局
• フォーランド、ジェラルド（1992）、フーリエ解析とその応用、ワズワース＆ブルックス/コール
• フーリエ、JB Joseph (1822)、Théorie Analytique de la Chaleur (フランス語)、パリ: Firmin Didot、père et fils、OCLC  2688081
• フーリエ、JBジョセフ（1878）[1822]、「熱の解析理論」、ネイチャー、18（451）、アレクサンダー・フリーマン訳、大学出版局：192、書誌コード：1878Natur..18Q.192.、doi：10.1038/018192a0（フランス語から翻訳）
• Gradshteyn, イズライル・ソロモノヴィッチ;ヨシフ・モシェヴィッチ・リジク;ジェロニムス、ユーリ・ヴェニアミノヴィッチ;ツェイトリン、ミハイル・ユリエヴィッチ;ジェフリー、アラン (2015)、ツウィリンガー、ダニエル。Moll、Victor Hugo (編)、Table of Integrals, Series, and Products、Scripta Technica, Inc. 翻訳 (第 8 版)、Academic Press、ISBN 978-0-12-384933-5
• グラファコス、ルーカス（2004年）『古典的および現代的フーリエ解析』、プレンティス・ホール、ISBN 978-0-13-035399-3
• Grafakos, Loukas; Teschl, Gerald (2013), 「ラジアル関数と分布のフーリエ変換について」, J. Fourier Anal. Appl. , 19 (1): 167– 179, arXiv : 1112.5469 , Bibcode :2013JFAA...19..167G, doi :10.1007/s00041-012-9242-5, S2CID  1280745
• Greiner, W.; Reinhardt, J. (1996), Field Quantization , Springer , ISBN 978-3-540-59179-5
• ゲルファンド、IM；シロフ、GE（1964）、一般化関数、第1巻、ニューヨーク：アカデミックプレス（ロシア語から翻訳）
• ゲルファンド、IM；シロフ、GE（1968）、一般化関数、第2巻、ニューヨーク：アカデミックプレス（ロシア語から翻訳）
• ゲルファンド、IM；ヴィレンキン、NY（1964）、一般化関数、第4巻、ニューヨーク：アカデミックプレス（ロシア語から翻訳）
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970), Abstract harmonic analysis , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152, vol. II: Structure and analysis for compact groups. Analysis on locally compact Abelian groups, Springer , MR  0262773
• Hörmander、L. (1976)、線形偏微分演算子、vol. 1、シュプリンガー、ISBN 978-3-540-00662-6
• ハウ、ロジャー（1980）「調和解析におけるハイゼンベルク群の役割について」アメリカ数学会報、3（2）：821-844、doi：10.1090/S0273-0979-1980-14825-9、MR  0578375
• Hunter, JK (2014)、「付録：フーリエ変換」、PDEの講義ノート、 2025年1月12日閲覧
• James, JF (2011) 『A Student's Guide to Fourier Transforms (3rd ed.)』Cambridge University Press、Bibcode :2011sgft.book.....J、ISBN 978-0-521-17683-5
• ジョーダン、カミーユ(1883)、エコールポリテクニックの分析、第 1 巻。 II、Calcul Intégral: Integrales definies et indéfinies (第 2 版)、パリ{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• カイザー、ジェラルド（1994）、「ウェーブレットへのフレンドリーガイド」、Physics Today、48（7）：57-58、Bibcode：1995PhT....48g..57K、doi：10.1063/1.2808105、ISBN 978-0-8176-3711-8
• カムラー、デイヴィッド（2000年）、フーリエ解析入門、プレンティスホール、ISBN 978-0-13-578782-3
• カッツネルソン、イツハク（2004）、調和解析入門、ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/cbo9781139165372、ISBN 978-0-521-83829-0
• Khare, Kedar; Butola, Mansi; Rajora, Sunaina (2023)、「第2.3章 フーリエ級数の極限ケースとしてのフーリエ変換」、Fourier Optics and Computational Imaging（第2版）、Springer、doi :10.1007/978-3-031-18353-9、ISBN 978-3-031-18353-9、S2CID  255676773
• キリロフ、アレクサンドル；グヴィシアニ、アレクセイ D.（1982）[1979]、関数解析の定理と問題、シュプリンガー（ロシア語から翻訳）
• ナップ、アンソニー・W.（2001）、半単純群の表現論：例に基づく概要、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-09089-4
• コルモゴロフ、アンドレイ・ニコラエヴィチ、フォミン、セルゲイ・ヴァシリエヴィチ（1999）[1957]、「関数理論と関数解析の要素」、ドーバー（ロシア語から翻訳）
• Lado, F. (1971)、「液体状態計算のための1次元、2次元、3次元の数値フーリエ変換」、Journal of Computational Physics、8 (3): 417– 433、Bibcode :1971JCoPh...8..417L、doi :10.1016/0021-9991(71)90021-0
• Lax, Peter D. (1968). 「発展の非線形方程式と孤立波の積分」. Communications on Pure and Applied Mathematics . 21 (5): 467– 490. doi : 10.1002/cpa.3160210503 . ISSN  0010-3640 . 2025年9月21日閲覧.
• Mallat, Stéphane (2009), A wavelet tour of signal processing: the sparse way , Amsterdam Boston: Elsevier/Academic Press, doi :10.1016/B978-0-12-374370-1.X0001-8, ISBN 978-0-12-374370-1
• リーブ、エリオット・H.; ロス、マイケル (2001). 『解析学』 プロビデンス (RI): アメリカ数学協会. ISBN 0-8218-2783-9。
• Müller, Meinard (2015), The Fourier Transform in a Nutshell. (PDF) , Springer , doi :10.1007/978-3-319-21945-5, ISBN 978-3-319-21944-8, S2CID 8691186, 2016年4月8日に オリジナル（PDF）からアーカイブ、 2016年3月28日取得; 音楽処理の基礎、セクション2.1、40～56ページにも記載されています。
• オッペンハイム、アラン V. ;シェーファー、ロナルド W. ; バック、ジョン R. (1999)、「離散時間信号処理（第2版）」、アッパーサドルリバー、ニュージャージー：プレンティスホール、ISBN 0-13-754920-2
• Paley, REAC ; Wiener, Norbert (1934)、「複素領域におけるフーリエ変換」、アメリカ数学会コロキウム出版、プロビデンス、ロードアイランド：アメリカ数学会
• ピンスキー、マーク（2002）『フーリエ解析とウェーブレット入門』ブルックス／コール社、ISBN 978-0-534-37660-4
• ポアンカレ、アンリ(1895 年)、シャルールの伝播分析理論、パリ: カレ
• ポリアニン、AD; マンジロフ、AV (1998)、『積分方程式ハンドブック』、ボカラトン：CRCプレス、ISBN 978-0-8493-2876-3
• プレス、ウィリアム H.; フラナリー、ブライアン P.; テウコルスキー、ソール A.; ベタリング、ウィリアム T. (1992)、「C言語による数値計算法：科学計算の芸術」第2版（第2版）、ケンブリッジ大学出版局
• Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996). 『デジタル信号処理：原理、アルゴリズム、応用』（第3版）. ニュージャージー州: Prentice-Hall International. Bibcode :1996dspp.book.....P. ISBN 978-0-13-394289-7. sAcfAQAAIAAJ。
• ラーマン、マティウル（2011）、フーリエ変換の一般化関数への応用、WIT Press、ISBN 978-1-84564-564-9
• ルディン、ウォルター（1991）、群のフーリエ解析、ニューヨーク、NY：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 978-0-471-52364-2
• ルディン、ウォルター（1987年）、実解析と複素解析（第3版）、シンガポール：マグロウヒル、ISBN 978-0-07-100276-9
• Simonen, P.; Olkkonen, H. (1985)、「シンプソンの数値積分によるフーリエ積分変換の高速計算法」、Journal of Biomedical Engineering、7 (4): 337– 340、doi :10.1016/0141-5425(85)90067-6、PMID  4057997
• Smith, Julius O. 「離散フーリエ変換（DFT）の数学とオーディオアプリケーション --- 第2版」。ccrma.stanford.edu 。2022年12月29日閲覧。実正弦波は、正の周波数と負の周波数の複素正弦波の和と考えることができます。
• スタッド、エリック (2005).フーリエ解析. Wiley. doi :10.1002/9781118165508. ISBN 978-0-471-66984-5。
• スタイン、エリアス、シャカルチ、ラミ（2003年）、フーリエ解析入門、プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-11384-5
• スタイン、エリアス；ワイス、グイド（1971年）、ユークリッド空間におけるフーリエ解析入門、プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08078-9
• ストリチャーツ、ロバート・S.（1994）、分布理論とフーリエ変換ガイド、ボカラトン：CRCプレス、ISBN 0-8493-8273-4
• Taneja, HC (2008)、「第18章 フーリエ積分とフーリエ変換」、Advanced Engineering Mathematics、第2巻、インド、ニューデリー：IK International Pvt Ltd、ISBN 978-81-89866-56-3
• ティッチマーシュ、E.（1986）[1948]、フーリエ積分理論入門（第2版）、オックスフォード大学：クラレンドン・プレス、ISBN 978-0-8284-0324-5
• Vretblad, Anders (2000), Fourier Analysis and its Applications , Graduate Texts in Mathematics , vol. 223, New York: Springer , ISBN 978-0-387-00836-3
• ウィテカー、ET、ワトソン、GN（1927年）、現代分析講座（第4版）、ケンブリッジ大学出版局
• ウィダー、デイヴィッド・ヴァーノン；ウィーナー、ノーバート（1938年8月）、「ラプラス積分の古典的逆公式に関する考察」アメリカ数学会報、44（8）：573-575、doi：10.1090/s0002-9904-1938-06812-7
• ウィーナー、ノーバート（1949年）『定常時系列の外挿、内挿、平滑化：工学的応用』MIT出版、ISBN 978-0-262-25719-0。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• ウィルソン、RG（1995）、現代光学におけるフーリエ級数と光変換技術、ニューヨーク：ワイリー、ISBN 978-0-471-30357-2
• ウルフ、カート・B.（1979）、積分変換の科学と工学、シュプリンガー、doi：10.1007 / 978-1-4757-0872-1、ISBN 978-1-4757-0874-5
• 吉田, K. (1968),関数解析, Springer , ISBN 978-3-540-58654-8
• Yousefi, Mansoor I; Kschischang, Fr​​ank R (2014). 「非線形フーリエ変換を用いた情報伝送、パートI：数学的ツール」. IEEE Transactions on Information Theory . 60 (7): 4312– 4328. arXiv : 1202.3653 . doi : 10.1109/TIT.2014.2321143 . ISSN  0018-9448 . 2025年9月21日閲覧.

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズのフーリエ変換関連メディア
• 数学百科事典
• ワイスタイン、エリック W.「フーリエ変換」。マスワールド。
• 結晶学におけるフーリエ変換

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fourier_transform&oldid=1325935687"