せん断弾性率

せん断弾性率
せん断弾性率
一般的な記号	G、S、μ
SI単位	パ
; 他の量からの導出	G = τ / γ = E / [2(1 + ν )]

材料科学において、せん断弾性率または剛性率は、 G、あるいはSまたはμと表記され、材料の弾性せん断剛性の尺度であり、せん断応力とせん断ひずみの比として定義される。 [ 1 ^]

G\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\tau _{xy}}{\gamma _{xy}}}={\frac {F/A}{\Delta x/l}}={\frac {Fl}{A\Delta x}}

どこ

\tau _{xy}=F/A\,

= せん断応力

F

作用する力である

A

力が作用する領域

\gamma _{xy}

= せん断ひずみ。工学では、他の分野では

:=\Delta x/l=\tan \theta

:=\theta

\Delta x

横方向の変位

l

領域の初期の長さです。

せん断弾性係数のSI単位系はパスカル（Pa）ですが、通常はギガパスカル（GPa）または1000ポンド/平方インチ（ksi）で表されます。その次元形式はM ¹ L ⁻¹ T ⁻²で、力は質量×加速度で表されます。

説明

材料	せん断弾性率（GPa）の標準値（室温）
ダイヤモンド^[2]	478.0
鋼鉄^[3]	79.3
鉄^[4]	52.5
銅^[5]	44.7
チタン^[3]	41.4
ガラス^[3]	26.2
アルミニウム^[3]	25.5
ポリエチレン^[3]	0.117
ゴム^[6]	0.0006
花崗岩^[7]^[8]	24
シェール^[7]^[8]	1.6
石灰岩^[7]^[8]	24
チョーク^[7]^[8]	3.2
砂岩^[7]^[8]	0.4
木材	4

せん断弾性率は、材料の剛性を測定するためのいくつかの量のうちの1つです。これらはすべて、一般化されたフックの法則に起因します。

ヤング率 Eは、この応力の方向における一軸応力に対する材料のひずみ応答を表します（ワイヤの端を引っ張ったり、柱の上に重りを置いたりしてワイヤが長くなり、柱の高さが下がるようなもの）。
ポアソン比 νは、この一軸応力に直交する方向の応答（ワイヤが細くなり、柱が太くなる）を表します。
体積弾性係数 Kは、（均一な）静水圧（海底や深いプールの圧力のような）に対する材料の応答を表します。
せん断弾性率 G は、せん断応力に対する材料の反応を表します (鈍いはさみで切るような感じ)。

これらの係数は独立ではなく、等方性材料の場合は次の式で結びついています^[9]

E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu )

せん断弾性率は、固体の片面に垂直な力が作用し、反対側の面には摩擦などの反対の力が作用する場合の変形に関係します。直方体のような形状の物体は、平行六面体に変形します。木材、紙、そして基本的にすべての単結晶などの異方性材料は、異なる方向から試験した場合、応力やひずみに対する材料応答が異なります。このような場合、弾性定数の単一のスカラー値ではなく、完全なテンソル表現を使用する必要がある場合があります。

流体の定義としては、せん断弾性率がゼロの材料が考えられます。

横波

均質固体および等方性固体には、圧力波とせん断波の2種類の波があります。せん断波の速度は、せん断弾性係数によって制御されます。 $(v_{s})$

v_{s}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}

どこ

Gはせん断弾性率である

\rho

固体の密度です。

金属のせん断弾性率

銅のせん断弾性率と温度の関係。実験データ^[11]^[12]は色付きの記号で示されている。

金属のせん断弾性率は、通常、温度上昇とともに低下することが観察されます。高圧下では、せん断弾性率は印加圧力とともに増加する傾向が見られます。融点、空孔形成エネルギー、およびせん断弾性率の間には相関関係が見られ、多くの金属においてその相関性が観察されています。^[13]

金属（および場合によっては合金）のせん断弾性率を予測しようとするモデルはいくつか存在します。塑性流動計算に使用されているせん断弾性率モデルには、以下のものがあります。

Varshni-Chen-Grayモデルは^{[14]によって開発され、機械的閾値応力（MTS）塑性}流動応力モデルと組み合わせて使用される。^[15]^[16]
Steinberg-Cochran-Guinan (SCG)せん断弾性係数モデルは^[17]によって開発され、Steinberg-Cochran-Guinan-Lund (SCGL)流動応力モデルと組み合わせて使用される。
リンデマン理論を用いて温度依存性を決定するNadal and LePoac（NP）せん断弾性率モデル^{[12]と、せん断弾性率の圧力依存性を決定するSCGモデルがある。}

Varshni-Chen-Grayモデル

Varshni-Chen-Gray モデル (Varshni 方程式と呼ばれることもあります) は次の形式になります。

\mu (T)=\mu _{0}-{\frac {D}{\exp(T_{0}/T)-1}}

ここで、はにおけるせん断弾性率、およびは材料定数です。 $\mu _{0}$ $T=0K$ $D$ $T_{0}$

SCGモデル

スタインバーグ・コクラン・ギナン（SCG）せん断弾性係数モデルは圧力依存であり、次の式で表される。

\mu (p,T)=\mu _{0}+{\frac {\partial \mu }{\partial p}}{\frac {p}{\eta ^{\frac {1}{3}}}}+{\frac {\partial \mu }{\partial T}}(T-300);\quad \eta :={\frac {\rho }{\rho _{0}}}

ここで、μ ₀は基準状態（T = 300 K、p = 0、η = 1）におけるせん断弾性率、pは圧力、Tは温度です。

NPモデル

Nadal-Le Poac (NP) せん断弾性率モデルは、SCGモデルの修正版です。SCGモデルにおけるせん断弾性率の実験的な温度依存性は、リンデマン融解理論に基づく式に置き換えられています。NPせん断弾性率モデルは以下の式で表されます。

\mu (p,T)={\frac {1}{{\mathcal {J}}\left({\hat {T}}\right)}}\left[\left(\mu _{0}+{\frac {\partial \mu }{\partial p}}{\frac {p}{\eta ^{\frac {1}{3}}}}\right)\left(1-{\hat {T}}\right)+{\frac {\rho }{Cm}}~T\right];\quad C:={\frac {\left(6\pi ^{2}\right)^{\frac {2}{3}}}{3}}f^{2}

どこ

{\mathcal {J}}({\hat {T}}):=1+\exp \left[-{\frac {1+1/\zeta }{1+\zeta /\left(1-{\hat {T}}\right)}}\right]\quad {\text{for}}\quad {\hat {T}}:={\frac {T}{T_{m}}}\in [0,6+\zeta ],

μ _0は絶対零度および大気圧でのせん断弾性率、ζ は面積、mは原子質量、fはリンデマン定数です。

せん断緩和弾性率

せん断緩和弾性率は、 せん断弾性率の時間依存一般化である^[18]。 $G(t)$ $G$

G=\lim _{t\to \infty }G(t)

。

参照

参考文献

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変換式
均質等方性線形弾性材料の弾性特性は、これらのうちの任意の 2 つの係数によって一意に決定されます。したがって、任意の 2 つの係数が与えられれば、他の任意の弾性係数は、3D 材料 (表の最初の部分) と 2D 材料 (2 番目の部分) の両方で提供されているこれらの式に従って計算できます。
3D式	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	注記
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ 有効な解は2つあります。プラス記号はとなります。 $\nu \geq 0$ マイナス記号はにつながります。 $\nu \leq 0$
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	使用できないとき $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
2D式	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	注記
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	使用できないとき $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$

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