ガロア群

Mathematical group

数学において、ガロア理論として知られる抽象代数学の分野において、ある種の体拡大のガロア群は、その体拡大に付随する特定の群である。体拡大と、ガロア群を介してそれらを生み出す多項式との関係を研究する研究は、ガロア理論と呼ばれ、これを最初に発見したエヴァリスト・ガロアにちなんで名付けられている。

置換群の観点から見たガロア群のより基本的な議論については、ガロア理論に関する記事を参照してください。

意味

が体の拡大であるとする（ と書き、「 E over F 」と読む）。の自己同型は、 を点ごとに固定するの自己同型として定義される。言い換えれば、 の自己同型とは、各 に対してとなる同型である。のすべての自己同型全体の集合は、関数合成の演算を伴う群を形成する。この群は、 と表記されることもある。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \alpha :E\to E}$ ${\displaystyle \alpha (x)=x}$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}$

がガロア拡大である場合、 はのガロア群と呼ばれ、通常は と表記される。^[1] ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$

がガロア拡大でない場合、 のガロア群はと定義されることがあります。ここで、はのガロア閉包です。 ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (K/F)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$

多項式のガロア群

ガロア群のもう一つの定義は、既約多項式 のガロア群から来ます。異なる線型多項式の積として因数分解できる体が存在する場合、 ${\displaystyle f\in F[x]}$ ${\displaystyle K/F}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{k})\in K[x]}$

体 上の多項式 のガロア群は、 がそのような体の中で最小となる のガロア群 として定義されます。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K/F}$ ${\displaystyle K}$

ガロア群の構造

ガロア理論の基本定理

ガロア理論の重要な構造定理の一つは、ガロア理論の基本定理に由来する。これは、有限ガロア拡大 が与えられたとき、部分体の集合と部分群の間に一対一性が存在することを述べている。すると、は の作用によるの不変量の集合によって与えられるので、 ${\displaystyle K/k}$ ${\displaystyle k\subset E\subset K}$ ${\displaystyle H\subset G.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle E=K^{H}=\{a\in K:\forall g\in H,\ ga=a\}}$

さらに、が正規部分群であればとなる。逆に、 が正規体拡大であれば、 の関連部分群は正規群となる。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H\cong \operatorname {Gal} (E/k)}$ ${\displaystyle E/k}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)}$

格子構造

ガロア群を持つのガロア拡大を仮定する。ガロア群を持つ体には、のときはいつでも同型となるような注入が存在する。^[2] ${\displaystyle K_{1},K_{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G_{1},G_{2}.}$ ${\displaystyle K_{1}K_{2}}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (K_{1}K_{2}/k)}$ ${\displaystyle G\to G_{1}\times G_{2}}$ ${\displaystyle K_{1}\cap K_{2}=k}$

導入

系として、これは有限回帰的に帰納的に導かれる。ガロア拡大が与えられているとき、対応するガロア群の同型が存在する。 ${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{n}/k}$ ${\displaystyle K_{i+1}\cap (K_{1}\cdots K_{i})=k,}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{1}\cdots K_{n}/k)\cong \operatorname {Gal} (K_{1}/k)\times \cdots \times \operatorname {Gal} (K_{n}/k).}$

例

以下の例では、 は体であり、はそれぞれ複素数、実数、有理数の体である。F ( a ) という表記は、体Fに元aを付加することによって得られる体拡大を表す。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Q} }$

計算ツール

ガロア群の基数と体拡大の次数

^{有限体拡大のガロア群[3]}を完全に決定するために必要な基本命題の一つは、次の通りである。多項式 が与えられ、その分解体拡大 を とする。すると、ガロア群の位数は体拡大の次数に等しい。すなわち、 ${\displaystyle f(x)\in F[x]}$ ${\displaystyle E/F}$

${\displaystyle \left|\operatorname {Gal} (E/F)\right|=[E:F]}$

エイゼンシュタインの基準

多項式のガロア群を決定するための便利なツールとして、アイゼンシュタインの基準が挙げられます。多項式が既約多項式に因数分解できる場合、 のガロア群は各 のガロア群を用いて決定できます。 のガロア群にはのガロア群のそれぞれが含まれるためです。 ${\displaystyle f\in F[x]}$ ${\displaystyle f=f_{1}\cdots f_{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}.}$

自明なグループ

${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/F)}$は、単一の要素、つまり恒等自己同型を持つ自明な群です。

自明なガロア群の別の例は、 です。確かに、 の任意の自己同型は実数の順序を保存する必要があり、したがって恒等式でなければならないことが示されます。 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} ).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

体 を考える。群は恒等自己同型のみを含む。これはが正規拡大ではないからである。なぜなら の他の2つの立方根は、 ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (K/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle {\exp }{\bigl (}{\tfrac {2}{3}}\pi i{\bigr )}{\sqrt[{3}]{2}},\quad {\exp }{\bigl (}{\tfrac {4}{3}}\pi i{\bigr )}{\sqrt[{3}]{2}},}$

拡張から欠落しています。つまり、Kは分割体ではありません。

有限アーベル群

ガロア群には恒等自己同型と複素共役自己同型という2つの元がある。^[4] ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )}$

二次拡張

2次体拡大は、恒等自己同型と、とを交換する自己同型という2つの元を持つガロア群を持つ。この例は、素数に対して一般化される。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {N} .}$

二次拡張の積

ガロア群の格子構造を用いると、等しくない素数に対してのガロア群は ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}}\right)/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})/\mathbb {Q} \right)\times \cdots \times \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{k}}$

円分的拡張

もう一つの有用な例は、円分多項式の分解体である。これらは次のように定義される多項式である。 ${\displaystyle \Phi _{n}}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\begin{matrix}1\leq k\leq n\\\gcd(k,n)=1\end{matrix}}\left(x-e^{2ik\pi /n}\right)}$

の次数が である、は におけるオイラーのトーティエント関数である。すると、 上の分解体は であり、 を と互いに素とする自己同型を持つ。体の次数は多項式の次数に等しいので、これらの自己同型はガロア群を生成する。^[5]すると ${\displaystyle \phi (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{a}}$ ${\displaystyle 1\leq a<n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}},}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )\cong \prod _{a_{i}}\operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} (\zeta _{p_{i}^{a_{i}}})/\mathbb {Q} \right)}$

が素数である場合、この系は ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{p})/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z} }$

実際、任意の有限アーベル群は、クロネッカー・ウェーバーの定理により、円分体拡大の何らかの部分体のガロア群として見つけることができます。

有限体

有限アーベル群を持つガロア群のもう一つの有用な例は、有限体から得られる。qが素数冪であり、および がそれぞれ位数 n のガロア体を表すとすると、は位数nの巡回体であり、フロベニウス準同型によって生成される。 ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle E=\mathbb {F} _{q^{n}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$

4年生の例

体拡大は次数体拡大の一例である。^[6]これにはとの2つの自己同型が存在する。これら2つの生成子は の位数 の群、すなわちクラインの4元群を定義するので、ガロア群全体を決定する。^[3] ${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}~\!{\bigr )}{\big /}\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ ${\displaystyle \sigma {\bigl (}{\sqrt {2}}~\!{\bigr )}=-{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \tau {\bigl (}{\sqrt {3}}~\!{\bigr )}=-{\sqrt {3}}.}$ ${\displaystyle 4}$

もう一つの例は、多項式の分解体から与えられる。 ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$

の根は自己同型が存在するため注意する ${\displaystyle (x-1)f(x)=x^{5}-1,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \exp {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}k\pi i{\bigr )}.}$

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma _{\ell }:E\to E\\\sigma _{2}:\exp {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}\pi i{\bigr )}\mapsto \exp {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}\pi i{\bigr )}^{\ell }\end{cases}}}$

は位数 の群を生成する。 はこの群を生成するので、ガロア群は と同型である。 ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$

有限非可換群

ここで、が の原始立方根であることを考えてみましょう。この群は位数 6 の二面体群S 3_と同型であり、L は実際には の分解体です。 ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega ),}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle x^{3}-2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

四元数グループ

四元数群は、体拡大のガロア群として求められる。例えば、体拡大 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {(2+{\sqrt {2}})(3+{\sqrt {3}})}}\right)}$

規定されたガロア群を持つ。^[7]

素数位数の対称群

が素数次で有理係数を持ち、ちょうど2つの非実根を持つ既約多項式である場合、のガロア群は完全対称群である[ ^2]。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{p}.}$

例えば、はアイゼンシュタインの基準から既約です。 のグラフをグラフ作成ソフトや紙で描くと、3つの実根、つまり2つの複素根を持つことがわかり、そのガロア群は であることがわかります。 ${\displaystyle f(x)=x^{5}-4x+2\in \mathbb {Q} [x]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{5}}$

大域体の体拡大のガロア群の比較

（ のような）大域体拡大と（ -進値のような）および上の値付けの同値類 が与えられ、それらの完備化によりガロア体拡大が与えられる。 ${\displaystyle K/k}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{5}]{3}},\zeta _{5})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle K_{w}/k_{v}}$

局所体の同値類の集合へのガロア群の誘導作用が存在し、その体の完備化は両立する。これは、 のとき局所体の誘導同型が存在することを意味する。 ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (K/k)}$ ${\displaystyle s\in G}$

${\displaystyle s_{w}:K_{w}\to K_{sw}}$

が成り立つという仮定（つまりガロア体拡大が存在する）をとったので、体射は実際には -代数の同型となる。付値類の等方性部分群をとると、 ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K_{w}/k_{v}}$ ${\displaystyle s_{w}}$ ${\displaystyle k_{v}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle G_{w}=\{s\in G:sw=w\}}$

とすると、局所ガロア群への大域ガロア群の射影が存在し、局所ガロア群と等方性部分群の間に同型性が存在する。図式的に言えば、これは

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Gal} (K/v)&\twoheadrightarrow &\operatorname {Gal} (K_{w}/k_{v})\\\downarrow &&\downarrow \\G&\twoheadrightarrow &G_{w}\end{matrix}}}$

ここで、垂直の矢印は同型である。^[8]これは、局所体のガロア群を大域ガロア群を用いて構成する手法を与える。

無限群

無限群の自己同型を持つ体拡大の基本的な例は である。これはすべての代数体拡大 を含むからである。例えば、平方元 の体拡大はそれぞれ一意の次数自己同型を持ち、 に自己同型を誘導する。 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} ).}$

最も研究されている無限ガロア群のクラスの一つは絶対ガロア群である。これは、固定された体に対するすべての有限ガロア拡大の逆極限として定義される無限かつ有限な群である。逆極限は次のように表される。 ${\displaystyle E/F}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {F}}/F):=\varprojlim _{E/F{\text{ finite separable}}}{\operatorname {Gal} (E/F)}}$、

ここでは体の可分閉包である。この群は位相群であることに注意すること。^[9]基本的な例としては、および が挙げられる。 ${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {F} }}_{q}/\mathbb {F} _{q})\cong {\hat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$。^{[10] [11]}

もう一つの容易に計算できる例は、すべての正の素数の平方根を含む体拡大から得られる。これはガロア群を持つ。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q} )\cong \prod _{p}\mathbb {Z} /2}$、

これは有限極限から推論できる

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}$

ガロア群の計算を使用します。

プロパティ

拡大がガロアであることの意味は、それがガロア理論の基本定理に従うことです。つまり、ガロア群の閉じた（クルル位相に関して）部分群は、体の拡大の中間体に対応します。

がガロア拡大である場合、 には、それを原始有限群にするクルル位相と呼ばれる位相を与えることができます。 ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$

参照

• ガロア理論の基本定理
• 絶対ガロア群
• ガロア表現
• デムシュキングループ
• 解けるグループ

注記

1. 一部の著者は、任意の拡大に対して をガロア群と呼び、対応する表記法を使用しています（例：Jacobson 2009）。 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)}$ ${\displaystyle E/F}$
2. Lang, Serge.代数学（改訂第3版）pp. 263, 273.
3. "Abstract Algebra" (PDF) pp.  372– 377. 2011年12月18日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。
4. Cooke, Roger L. (2008)、古典代数：その性質、起源、そして用途、John Wiley & Sons、p. 138、ISBN 9780470277973。
5. Dummit; Foote.抽象代数. pp. 596, 14.5 円分的拡張.
6. ベクトル空間なので。 ${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}~\!{\bigr )}=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {2}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
7. ミルン『場の理論』46ページ。
8. 「数体の拡大における大域ガロア群と局所ガロア群の比較」Mathematics Stack Exchange . 2020年11月11日閲覧。
9. 「9.22 無限ガロア理論」。Stacksプロジェクト。
10. ミルン「場の理論」（PDF） 98ページ。2008年8月27日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。
11. 「無限ガロア理論」（PDF） 14ページ。2020年4月6日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。

参考文献

• ジェイコブソン、ネイサン(2009) [1985].基礎代数 I (第2版). ドーバー出版. ISBN 978-0-486-47189-1。
• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556
• ハルプケ, アレクサンダー (1999). 「ガロア群の計算技法」. Matzat, BH, Greuel, GM., Hiss, G. (編) Algorithmic Algebra and Number Theory. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-59932-3_4

外部リンク

• 「ガロア群」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ガロア群と四元数群
• 「ガロア群」。MathPages.com。
• 数体の拡大における大域ガロア群と局所ガロア群の比較
• ガロア表現 -リチャード・テイラー

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