ガウスアンサンブル

Random matrix with gaussian entries

ランダム行列理論において、ガウス集団は、各要素がガウス分布から独立にサンプリングされる自己随伴行列上の特定の確率分布である。これらは最も広く研究されている行列集団の一つであり、数学と物理学の両方の基礎となっている。主な例として、ガウス直交集団（GOE）、ユニタリ集団（GUE）、シンプレクティック集団（GSE）の3つがある。これらはダイソン指数βによって分類され、これは行列要素あたりの実数成分の数を数えて、それぞれ1、2、4の値をとる（実数要素の場合は1、複素数要素の場合は2、四元数の場合は4 ）。この指数は任意の正の実数値に拡張することができる。

ガウス集団はウィグナー集団^[1]やエルミート集団^[2]とも呼ばれる。

定義

コンベンション

ガウス分布を定義するための慣習は数多く存在します。この記事では、そのうちの1つだけを具体的に定義します。

すべての定義において、ガウス集団の期待値はゼロです。

• ${\displaystyle \beta }$: 正の実数。ダイソン指数と呼ばれる。 の場合は特殊である。 ${\displaystyle \beta =1,2,4}$
• ${\displaystyle N}$: 行列の辺の長さ。常に正の整数です。
• ${\displaystyle W_{N}}$: サイズ のガウス分布からサンプリングされた行列。文字は「Wigner」を表します。 ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle W}$
• ${\displaystyle M^{*}}$:行列の随伴行列。ガウス分布からサンプリングされる 場合、 （自己随伴行列）を仮定する。 ${\displaystyle W_{N}=W_{N}^{*}}$ ${\displaystyle W_{N}}$
  • が実数の場合、 はその転置です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{*}}$
  • が複素数または四元数である場合、 はその共役転置です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{*}}$
• ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}}$:行列の固有値。行列は常に自己随伴であると仮定されるため、これらはすべて実数です。
• ${\displaystyle \sigma _{d}^{2}}$: 対角行列要素の分散。各 に対して、すべての対角行列要素の分散は同じであると仮定する。これは常に と定義される。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [|W_{N,}|^{2}]}$
• ${\displaystyle \sigma _{od}^{2}}$: 非対角行列要素の分散。各 に対して、すべての非対角行列要素の分散は同じであると仮定します。これは常に と定義されます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [|W_{N,ij}|^{2}]}$ ${\displaystyle i\neq j}$
  • 複素数の場合、. ${\displaystyle |a+bi|^{2}=a^{2}+b^{2}}$
  • 四元数の場合、。 ${\displaystyle |a+bi+cj+dk|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$
• ${\displaystyle Z}$:パーティション関数。

このページ内の条約の概要

名前	ゴー(N)	グエ(N)	GSE(N)	GβE(N)
フルネーム	ガウス直交アンサンブル	ガウスユニタリーアンサンブル	ガウスシンプレクティックアンサンブル	ガウスベータアンサンブル
${\displaystyle \beta }$	1	2	4	β
${\displaystyle \sigma _{d}^{2}}$	2	1	1/2	2/β
${\displaystyle \sigma _{od}^{2}}$	1	1	1	1
マトリックス密度	${\displaystyle {\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {1}{4}}\mathrm {Tr} W_{N}^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} W_{N}^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{Z}}e^{-\mathrm {Tr} W_{N}^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {1}{4}}\beta \mathrm {Tr} W_{N}^{2}}}$
${\displaystyle Z}$	${\displaystyle 2^{{\frac {1}{4}}N(N+3)}\pi ^{{\frac {1}{4}}N(N+1)}}$	${\displaystyle 2^{{\frac {1}{2}}N}\pi ^{{\frac {1}{2}}N^{2}}}$	${\displaystyle 2^{-N(N-1)}\pi ^{{\frac {1}{2}}N(2N-1)}}$	${\displaystyle 2^{{\frac {1}{2}}N}\left({\frac {2\pi }{\beta }}\right)^{{\frac {1}{2}}N+{\frac {1}{4}}\beta N(N-1)}}$

主要な参考文献を参照する場合、それぞれの規則によって数式の定数スケーリング係数が異なるため、そこから数式を翻訳する必要があります。

参考文献における慣例

名前	${\displaystyle \sigma _{d}^{2}}$	${\displaystyle \sigma _{od}^{2}}$
Wikipedia（このページ）	2/β	1
（Deift 2000）（β = 2のみ）	1/2	1/2
（メータ 2004）	1/β	1/2
(アンダーソン、ギオネ、ゼイトウニ 2010)	2/β	1
(Forrester 2010) β = 1、2、4 の場合	1/β	1/2
(Forrester 2010) β ≠ 1、2、4 の場合	1	β/2
（タオ 2012）（β = 2のみ）	1	1
(Mingo & Speicher 2017) (β = 2 のみ)	1/N	1/N
（リヴァン、ノヴァエス＆ヴィヴォ 2018）	1	β/2
（ポッターズ＆ブショー 2020）	${\displaystyle {\frac {2\sigma ^{2}}{\beta N}}}$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{N}}}$

GβE(N) アンサンブルには同等の定義があり、以下に示す通りです。

サンプリングにより

すべてのケースにおいて、GβE(N)アンサンブルはサンプリング方法によって定義されます。 ${\displaystyle \beta =1,2,4}$

• すべてのエントリが対応する標準正規分布からIIDサンプリングされるように、ガウス行列をサンプリングします。 ${\displaystyle X_{N}}$
  • もし なら、。 ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle X_{N,ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$
  • もし なら、。 ${\displaystyle \beta =2}$ ${\displaystyle X_{N,ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1/2)+i{\mathcal {N}}(0,1/2)}$
  • もし なら、。 ${\displaystyle \beta =4}$ ${\displaystyle X_{N,ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1/4)+i{\mathcal {N}}(0,1/4)+j{\mathcal {N}}(0,1/4)+k{\mathcal {N}}(0,1/4)}$
• させて。 ${\displaystyle W_{N}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(X+X^{*})}$

密度別

すべてのケースにおいて、GβE(N)アンサンブルは密度関数で定義され、パーティション関数は です。 ${\displaystyle \beta =1,2,4}$ $${\displaystyle \rho (W_{N})={\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {\beta }{4}}\sum _{i=1}^{N}W_{N,ii}^{2}-{\frac {\beta }{2}}\sum _{1\leq i<j\leq N}|W_{N,ij}|^{2}}={\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {\beta }{4}}\mathrm {Tr} W_{N}^{2}}}$$ ${\displaystyle Z=2^{{\frac {1}{2}}N}\left({\frac {2\pi }{\beta }}\right)^{{\frac {1}{2}}N+{\frac {1}{4}}\beta N(N-1)}}$

ガウス直交集団GOE(N)は、密度関数を持つ対称行列上の確率分布として定義されます。ここで、分割関数はです。 ${\displaystyle N\times N}$ $${\displaystyle \rho (W_{N})={\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{N}W_{N,ii}^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{1\leq i<j\leq N}W_{N,ij}^{2}}={\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {1}{4}}\mathrm {Tr} W_{N}^{2}}}$$ ${\displaystyle Z=2^{{\frac {1}{4}}N(N+3)}\pi ^{{\frac {1}{4}}N(N+1)}}$

明示的には、自由度しかないため、パラメータ化は次のようになります。ここで、上側の対角要素を自由度として選択します。 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}N(N+1)}$ $${\displaystyle \rho (W_{N})\prod _{1\leq i\leq j\leq N}dW_{N,ij}}$$ ${\displaystyle \{W_{ij}\}_{1\leq i\leq j\leq N}}$

ガウスユニタリーアンサンブルGUE(N)は、密度関数を持つエルミート行列上の確率分布として定義されます。ここで、パーティション関数はです。 ${\displaystyle N\times N}$ $${\displaystyle \rho (W_{N})={\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}W_{N,ii}^{2}-\sum _{1\leq i<j\leq N}|W_{N,ij}|^{2}}={\frac {1}{Z}}e^{-{\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \,W_{N}^{2}}.}$$ ${\displaystyle Z=2^{{\frac {1}{2}}N}\pi ^{{\frac {1}{2}}N^{2}}}$

明示的には、自由度しかないため、パラメータ化は次のようになります。ここで、上側の対角要素を自由度として選択します。 ${\displaystyle N^{2}}$ $${\displaystyle \rho (W_{N})\,\prod _{i=1}^{N}dW_{N,ii}\;\prod _{1\leq i<j\leq N}d(\mathrm {Re} \,W_{N,ij})\,d(\mathrm {Im} \,W_{N,ij})}$$ ${\displaystyle \{W_{N,ii}\}_{1\leq i\leq N}\cup \{\mathrm {Re} \,W_{N,ij},\,\mathrm {Im} \,W_{N,ij}\}_{1\leq i<j\leq N}}$

ガウスシンプレクティックアンサンブルGSE(N)は、密度関数を持つ自己随伴四元数行列上の確率分布として定義されます。ここで、分割関数はです。 ${\displaystyle N\times N}$ $${\displaystyle \rho (W_{N})={\frac {1}{Z}}e^{-\sum _{i=1}^{N}W_{N,ii}^{2}-2\sum _{1\leq i<j\leq N}|W_{N,ij}|^{2}}={\frac {1}{Z}}e^{-\mathrm {Tr} \,W_{N}^{2}}.}$$ ${\displaystyle Z=2^{-N(N-1)}\pi ^{{\frac {1}{2}}N(2N-1)}}$

明示的には、自由度しかないため、パラメータ化は次のようになります。ここで、上側の対角要素を自由度として記述し、選択します。 ${\displaystyle N(2N-1)}$ $${\displaystyle \rho (W_{N})\,\prod _{i=1}^{N}dW_{N,ii}\;\prod _{1\leq i<j\leq N}\prod _{a=0}^{3}dW_{N,ij}^{(a)}}$$ ${\displaystyle W_{N,ij}=W_{N,ij}^{(0)}+i\,W_{N,ij}^{(1)}+j\,W_{N,ij}^{(2)}+k\,W_{N,ij}^{(3)}}$ ${\displaystyle \{W_{N,ii}\}_{1\leq i\leq N}\cup \{W_{N,ij}^{(a)}\}_{1\leq i<j\leq N,\;0\leq a\leq 3}}$

不変性により

全ての場合において、GβE(N)集団は、その対称性、または適切な変換に対する不変性によって（アフィン変換を除いて）一意に特徴付けられる。 ^[3] ${\displaystyle \beta =1,2,4}$

GOE の場合、次の特性を満たす対称行列上の確率分布を考えます。 ${\displaystyle N\times N}$

• 直交変換に対する不変性：任意の固定された（ランダムではない）直交行列に対し、を分布からのランダムサンプルとします。すると、 はと同じ分布を持ちます。 ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle OMO^{T}}$ ${\displaystyle M}$
• 独立性: エントリは独立して配布されます。 ${\displaystyle \{M_{ij}\}_{1\leq i\leq j\leq N}}$

GUE の場合、次の特性を満たすエルミート行列上の確率分布を考えます。 ${\displaystyle N\times N}$

• ユニタリ変換に対する不変性：任意の固定された（ランダムではない）ユニタリ行列に対して、を分布からのランダムサンプルとします。すると、 はと同じ分布を持ちます。 ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle UMU^{*}}$ ${\displaystyle M}$
• 独立性: エントリは独立して配布されます。 ${\displaystyle \{M_{ij}\}_{1\leq i\leq j\leq N}}$

GSE の場合、次の特性を満たす自己随伴四元数行列上の確率分布を考えます。 ${\displaystyle N\times N}$

• シンプレクティック変換に対する不変性：任意の固定された（ランダムではない）シンプレクティック行列に対し、を分布からのランダムサンプルとします。すると、 はと同じ分布を持ちます。 ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle SMS^{*}}$ ${\displaystyle M}$
• 独立性: エントリは独立して配布されます。 ${\displaystyle \{M_{ij}\}_{1\leq i\leq j\leq N}}$

3つのケースすべてにおいて、これらの条件は分布が の形（ただしおよび）を持つことを強制する。したがって、 をさらに指定することで、GOE、GUE、GSEを復元できる。^[4]特に、不変性だけが求められる場合、任意のスペクトル分布は の形の関数を乗じることで生成できる。^[5] ${\displaystyle \rho (M)={\frac {1}{Z}}e^{-a\operatorname {Tr} (M^{2})+b\operatorname {Tr} (M)}}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle b,Z\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\frac {1}{N}}\mathbb {E} [\operatorname {Tr} (M)]=0,{\frac {1}{N^{2}}}\mathbb {E} [\operatorname {Tr} (M^{2})]=1+{\frac {2/\beta -1}{N}}}$ ${\displaystyle f(\operatorname {Tr} (X),\operatorname {Tr} (X^{2}),\operatorname {Tr} (X^{3}),\dots )}$

もっと簡潔に言えば、GOE、GUE、GSE はそれぞれ、不変性、独立性、平均、分散によって一意に指定されます。

スペクトル分布による

すべての場合において、GβE(N)アンサンブルは、次のように定義される。ここで、 ${\displaystyle \beta =1,2,4}$ ${\displaystyle ADA^{*}}$

• ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{N})}$は、以下に定義されるスペクトル密度に従ってサンプリングされた要素を持つ対角実数行列です。
• ${\displaystyle A}$は、直交/ユニタリ/シンプレクティック行列であり、均一にサンプリングされたものです。つまり、直交/ユニタリ/シンプレクティック群の正規化されたハール測度からサンプリングされたものです。

このように、スペクトル密度が最初に定義された後に GβE(N) アンサンブルを定義できるため、スペクトル密度を決定するあらゆる方法は GβE(N) アンサンブルを決定することになり、その逆も同様です。

最大エントロピーによって

全てのケースにおいて、GβE(N)アンサンブルは、制約条件の下でエントロピーを最大化する実数/複素数/四元対称/直交/シンプレクティック行列上の絶対連続確率分布として一意に特徴付けられる。^[6] ${\displaystyle \beta =1,2,4}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle \mathbb {E} _{M\sim \rho }[-\ln \rho (M)]}$ ${\displaystyle {\frac {1}{N^{2}}}\mathbb {E} _{M\sim \rho }[\operatorname {Tr} (M^{2})]=1+{\frac {2/\beta -1}{N}}}$

スペクトル密度

固有値G β E(N)の結合密度は、ヴァンデルモンド行列式であり、分配関数はセルバーグ積分として明示的に評価される：^[7]であり、オイラーガンマ関数である。この式は、 のとき特に単純であり、ここで超階乗 が存在する： ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}}$ $${\displaystyle \rho _{\beta ,N}(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{N})={\frac {1}{Z_{\beta ,N}}}e^{-{\frac {\beta }{4}}\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}^{2}}\prod _{1\leq i<j\leq N}|\lambda _{i}-\lambda _{j}|^{\beta }={\frac {1}{Z_{\beta ,N}}}e^{-{\frac {\beta }{4}}\|\lambda \|_{2}^{2}}|\Delta _{N}(\lambda )|^{\beta }}$$ ${\displaystyle \Delta _{N}}$ ${\displaystyle Z_{\beta ,N}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\beta ,N}&=\int _{\mathbb {R} ^{N}}e^{-{\frac {\beta }{4}}\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}^{2}}\prod _{1\leq i<j\leq N}|\lambda _{i}-\lambda _{j}|^{\beta }d\lambda \\&=(2\pi )^{\frac {N}{2}}\left({\frac {2}{\beta }}\right)^{{\frac {1}{2}}N+{\frac {1}{4}}\beta N(N-1)}\prod _{j=1}^{N}{\frac {\Gamma \left(1+j{\frac {\beta }{2}}\right)}{\Gamma \left(1+{\frac {\beta }{2}}\right)}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \beta =2}$ $${\displaystyle Z_{2,N}=(2\pi )^{\frac {N}{2}}\prod _{j=1}^{N}j!}$$

行列式点過程

行列のサンプルを平均して得られたの実験スペクトル密度のヒストグラムを、 の理論的予測と比較したものです。 ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}W_{N}}$ ${\displaystyle 2^{0},\dots ,2^{5}}$ ${\displaystyle 10^{5}}$ ${\displaystyle {\sqrt {N}}\rho ({\sqrt {N}}x)}$

関数 を定義する。ここでは確率論者のエルミート多項式である。これらは量子調和振動子の波動関数の状態である。 ${\displaystyle \psi _{n}(x):={\frac {e^{-{\frac {1}{4}}x^{2}}}{\sqrt {n!{\sqrt {2\pi }}}}}\operatorname {He} _{n}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {He} }$

GUE(N)のスペクトルは核を持つ行列式点過程であり、クリストフェル・ダルブーの公式により、となる。クリストフェル・ダルブーの合流形とエルミート多項式の3項回帰式を用いると、 の有限値に対するGUE(N)のスペクトル密度は次のようになる。[ ^8]のスペクトル分布は、歪直交多項式を含む4元数行列式点過程として表すこともできる。 ^{[9] [10]} ${\displaystyle K_{N}(x,x'):=\sum _{n=0}^{N-1}\psi _{n}(x)\psi _{n}(x')}$ $${\displaystyle K_{N}(x,x')={\frac {e^{-{\frac {1}{4}}\left(x^{2}+x^{\prime 2}\right)}}{(N-1)!{\sqrt {2\pi }}}}{\frac {\operatorname {He} _{N}(x)\operatorname {He} _{N-1}\left(x^{\prime }\right)-\operatorname {He} _{N-1}(x)\operatorname {He} _{N}\left(x^{\prime }\right)}{x-x^{\prime }}}}$$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x)&={\frac {1}{N}}K_{N}(x,x)\\&={\frac {1}{N{\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {1}{n!}}\operatorname {He} _{n}(x)^{2}\\&={\frac {e^{-x^{2}/2}}{{\sqrt {2\pi }}N!}}\left(\operatorname {He} _{N}(x)^{2}-\operatorname {He} _{N+1}(x)\operatorname {He} _{N-1}(x)\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \beta =1,4}$

三角対角化

いずれの場合も、 GβE(N)アンサンブルからサンプリングされた行列が与えられた場合、ハウスホルダー変換三重対角化を行うことで、三重対角行列を得ることができます。この行列は、それぞれがガウス分布し、それぞれがカイ二乗分布し、すべてが独立である分布を持ちます。このケースは1984年に初めて報告され、^[11]、一般化のケースは2002年に報告されました。^[12]ラプラック微分作用素がラプラシアン行列に離散化できるのと同様に、ガウスアンサンブルのこの三重対角形式は、ガウスアンサンブルを行列ではなく微分作用素、具体的には「確率的エアリー作用素」上のアンサンブルとして再解釈することを可能にします。これは、より一般的には、確率的作用素としてのランダム行列の研究につながります。^[13] ${\displaystyle \beta =1,2,4}$ ${\displaystyle W_{N}}$ ${\displaystyle T_{\beta ,N}}$ $${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{\beta }}}{\begin{bmatrix}a_{N}{\sqrt {2}}&b_{N-1}&0&\cdots &0\\b_{N-1}&a_{N-1}{\sqrt {2}}&b_{N-2}&\ddots &\vdots \\0&b_{N-2}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &a_{2}{\sqrt {2}}&b_{1}\\0&\cdots &0&b_{1}&a_{1}{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{N}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ ${\displaystyle b_{i}\sim \chi _{i\beta }}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{N},b_{1},\dots ,b_{N-1}}$ ${\displaystyle \beta =1}$

計算的には、これにより、全行列から三重対角行列のみに至るまで、固有値の効率的なサンプリングが可能になります。ビンを持つ固有値のヒストグラムのみが必要な場合は、シュトゥルム列を用いることで、さらに時間を まで短縮できます。^[14]理論的には、この定義はあらゆるケースへの拡張を可能にし、ガウスベータアンサンブル^{[15] [12]}や「反対称」ガウスベータアンサンブル^{[16]へと繋がります。} ${\displaystyle O(N^{3})}$ ${\displaystyle O(N^{2})}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle O(Nm)}$ ${\displaystyle \beta >0}$

これに関連して、が行列であり、すべての要素が対応する標準正規分布からIIDサンプリングされているとします。例えば、であれば となります。次に、 の左側にのみハウスホルダー変換を繰り返し適用すると となります。ここで、各 はハウスホルダー行列であり、は独立した要素を持つ上三角行列であり、の場合は各、 の場合は各 となります。^[17] ${\displaystyle X_{N}}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle \beta =2}$ ${\displaystyle X_{N,ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1/2)+i{\mathcal {N}}(0,1/2)}$ ${\displaystyle R_{N}=H_{1}\dots H_{N}X_{N}}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle R_{N}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\beta }}R_{N,ii}\sim \chi _{N+1-i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq N}$ ${\displaystyle R_{N,ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1/\beta )^{\otimes \beta }}$ ${\displaystyle 1\leq i<j\leq N}$

国際法

GOE/GUE/GSEのスペクトル密度。各分布は半径2の半円に収束するように正規化されています。 ${\displaystyle N=2^{0},2^{1},\dots ,2^{5}}$

ウィグナー半円法則は、経験的固有値分布が半径2のウィグナー半円分布に収束することを述べている^{。[18] [19]}つまり、確率密度関数が ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}W_{N}}$ ${\displaystyle [-2,+2]}$ $${\displaystyle \rho _{sc}(x)={\frac {\sqrt {4-x^{2}}}{2\pi }}}$$

行列アンサンブルがガウス分布に従うという要件は、ウィグナー半円則には強すぎる。実際、この定理はより一般的な行列アンサンブルにも適用できる。

クーロンガスとして

結合密度は、エネルギー関数（ハミルトニアンとも呼ばれる）を持つギブス測度として表すことができます。これは、実数直線上を移動するように制約され、2次元クーロンポテンシャルを介して互いに反発し、2次ポテンシャル を介して原点に引き寄せられる、同一の単位電荷からなる物理系のボルツマン分布として物理的に解釈できます。これは、固有値に対するクーロン気体モデルです。 ${\displaystyle \rho _{\beta ,N}}$ $${\displaystyle \rho _{\beta ,N}={\frac {1}{Z_{\beta ,N}^{\text{CG}}}}e^{-\beta E_{N}}}$$ ${\displaystyle E_{N}={\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}^{2}-\sum _{1\leq i<j\leq N}\ln |\lambda _{i}-\lambda _{j}|}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle -\ln |x-y|}$ ${\displaystyle {\frac {1}{4}}x^{2}}$

マクロ的極限では、経験的測度 を再スケールして定義し、 を得る。ここで、平均場汎関数はにおける最高次の項、すなわちクーロン気体自由エネルギーを与える。クーロン気体自由エネルギーは、ウィグナー半円則 によって最小化され、これが極限固有値密度を与える。^[20] ${\displaystyle \lambda _{i}=N^{1/2}x_{i}}$ ${\displaystyle \mu _{N}=N^{-1}\sum _{i=1}^{N}\delta _{x_{i}}}$ ${\displaystyle E_{N}\approx {\frac {1}{2}}N^{2}\left({\mathcal {E}}[\mu ]+{\frac {1}{2}}\ln N\right)}$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}[\mu ]={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }x^{2}\mu (dx)-\iint _{\mathbb {R} ^{2}}\ln |x-y|\mu (dx)\mu (dy)}$$ ${\displaystyle N^{2}}$ ${\displaystyle \ln Z_{\beta ,N}}$ ${\displaystyle d\mu _{sc}(x)=(2\pi )^{-1}{\sqrt {4-x^{2}}}1_{\{|x|\leq 2\}}dx}$

あるいは、 が存在し、二次電位が（加法定数を除いて） によって再現できると仮定する。すると、 という固定された背景負電荷を密度 で課すことで、自由に移動する正電荷間の電気的反発が正確に打ち消される。そのような関数は存在し、これは積分方程式を解くことで求められる。これは、ウィグナー半円分布が平衡分布であることを示す。^{[21] [22] [23]} ${\displaystyle \rho _{b}}$ $${\displaystyle \int _{-2{\sqrt {N}}}^{2{\sqrt {N}}}-\ln |x-y|\rho _{b}(y)dy={\frac {1}{4}}x^{2}+C,\quad x\in [-2{\sqrt {N}},2{\sqrt {N}}].}$$ ${\displaystyle |\rho _{b}(y)|}$ ${\displaystyle \rho _{b}(y)=-{\frac {\sqrt {4N-y^{2}}}{2N\pi }}}$

2 次まで拡張して得られるガウス変動は、適切な再スケーリング後にバルク内に正弦カーネルを、ソフト エッジにエアリー カーネルを生成します。 ${\displaystyle \mu _{sc}}$ ${\displaystyle E_{N}}$

極値

GβE(N)の最大固有値は、適切な変換とスケーリングの後、トレーシー・ウィダム分布に従います。^[24]これは、三角行列形式の左上隅でシフト反転ランチョスアルゴリズムによって効率的にサンプリングできます。 ^[25] ${\displaystyle 10n^{1/3}\times 10n^{1/3}}$

レベル間隔

順序付けられた固有値から、平均間隔 を持つ正規化された間隔 を定義する。これは間隔を次のように正規化する。これにより、おおよその間隔分布は以下のようになる。 ${\displaystyle \lambda _{1}<\dots <\lambda _{n}<\lambda _{n+1}<\dots <\lambda _{N}}$ ${\displaystyle s_{n}={\frac {\lambda _{n+1}-\lambda _{n}}{\langle s\rangle }}}$ ${\displaystyle \langle s\rangle }$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }p_{\beta }(s)\,ds=1,\qquad \int _{0}^{\infty }s\,p_{\beta }(s)\,ds=1,\qquad \beta =1,2,4.}$$ $${\displaystyle p_{\beta }(s)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}s\exp \left(-{\frac {\pi }{4}}s^{2}\right)&\beta =1\\{\frac {32}{\pi ^{2}}}s^{2}\exp \left(-{\frac {4}{\pi }}s^{2}\right)&\beta =2\\{\frac {2^{18}}{3^{6}\pi ^{3}}}s^{4}\exp \left(-{\frac {64}{9\pi }}s^{2}\right)&\beta =4\\\end{cases}}}$$

瞬間

GOE(N)の場合、そのモーメント生成関数は であり、 はフロベニウスノルムです。 ${\textstyle \mathbb {E} \left[e^{\operatorname {Tr} (VW_{N})}\right]=e^{{\frac {1}{4}}\|V+V^{\text{T}}\|_{F}^{2}}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$

回転対称アンサンブル

GUE(N)集団は、エルミート行列上の回転対称集団の一般族の中でも特に代表的なものとして理解できる。回転対称集団の一般理論により、研究者はいくつかの普遍性の結果を証明することができた。^[26]

物理

ウィグナーの推測

ガウス集団は理論物理学において初めて着想を得た。1940年代、ユージン・ウィグナーは重い原子核における低速中性子共鳴の不規則な間隔を研究した。当時利用可能な数十個の準位を用いて、彼は隣接する線の間に顕著な反発力があることに気づいた。

1951年、彼は複合核のハミルトニアンを極小モデル化した。^[27]対称性を考慮すると、これは実対称演算子でなければならないと指摘し、GOE(N)からのランダムサンプルとしてモデル化した。彼は2×2の場合を解き、2準位間隔則を発見した。これはデータとよく一致した。彼は1956年の飛行時間法による中性子物理学に関する会議で、この推測（「ウィグナーの推測」）を発表した。^{[28] [29] [30]} ${\displaystyle P(s)={\frac {\pi }{2}}se^{-\pi s^{2}/4}}$

重い原子核のエネルギーの連続するレベル間の距離の分布を推測しようとするのは、おそらく今やあまりにも大胆すぎるのかもしれません。理論的には、この問題に単純なアプローチを取れば、状況は非常に単純です。問題は、ランダムな係数を持つ対称行列の特性値間の距離がどうなるか、という単純なものです。

— ユージン・ウィグナー『共鳴吸収の結果と理論』

フリーマン・ダイソンは、このプロジェクトを原子核の解析モデルに基づく精密計算とは対比させる、原子核エネルギー準位の統計理論と位置づけた。当時測定されていたエネルギー準位は数百万のオーダーであり、そのような高オーダーでは精密計算は不可能であるため、統計理論が必要であると彼は主張した。この考え方は、当時理解されていた統計力学の形態とは異なっていた。なぜなら、厳密に規定された力学法則を持つ系において、相互作用する粒子が多すぎるため粒子を統計的に扱う必要があるという考え方ではなく、彼は力学法則そのものを未知数としてモデル化し、統計的に扱うと考えたからである。^[31]

三重の道

1962年、ダイソンは「三重の方法」を提唱し、3つの分野（群表現、量子力学、ランダム行列理論）において三重の選言が存在することを示し、これを実除算代数は実、複素、四元数の3つしかないとするフロベニウスの定理に遡って示し、3つの集団の根拠を示した。 ^[32]ハミルトニアンを表現するランダム行列は、時間反転対称性を記述する反ユニタリー演算子で分類できる。分類は、が存在するかどうか、存在する場合は の値に依存する。各対称性クラスは の可能な形式に制約を生成し、対応するガウス集団は、前述のように最大エントロピー分布として根拠付けることができる。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle H}$

ダイソンの3つの道

対称	行列基底は… ${\displaystyle H}$	グループの代表	アンサンブル
${\displaystyle T^{2}=+1}$（例：整数スピン、強いスピン軌道相互作用なし）	実対称	本物	ゴーイー
いいえ（例：磁場の存在、磁性不純物、カイラルゲージポテンシャル） ${\displaystyle T}$	複素エルミート	複雑な	グエ
${\displaystyle T^{2}=-1}$（例えば、スピン軌道相互作用を持つ半整数スピン）	四元数自己随伴（シンプレクティック）	擬似現実	GSE

ならば、ハミルトニアンは実対称でなければならない。これは典型的には、磁場がなく、スピンゼロ粒子またはスピン軌道相互作用が無視できる整数スピン粒子が存在する系で起こる。これは核複合状態における準位間隔分布にも起こり、ウィグナーの元々の動機となった。 ${\displaystyle T^{2}=+1}$ ${\displaystyle H}$

が存在しない場合は、 はエルミートであることのみが要求されます。時間反転対称性は、均質磁場、ランダム磁束、またはスピン選択レーザーによって破られることがあります。これらの場合、非対角行列要素は独立した複素位相を獲得します。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$

• フェライトを用いたカオス的マイクロ波空洞：強い軸方向磁場を加えると、準位統計がGOEからGUEへと連続的に遷移し、BGSの予想が確認された。^[33]
• 量子ホール効果: 量子ホールエッジ状態とランダウ準位の物理は、時間反転対称性を破る強い垂直磁場により GUE によってモデル化されます。
• 3次元におけるアンダーソン局在：アハラノフ・ボーム磁束を適用すると、無秩序誘起金属絶縁体転移においてシステムの統計をGOEからGUEに変化させることができる。^[34]

ならば、これは半整数スピンと大きなスピン軌道相互作用を持つ系に対するクラマースの定理の帰結である。結果として得られるハミルトニアンは、四元数-エルミート行列によって自然に記述される。これはクラマースの二重項^[35]や多くの量子カオス系で観測されている。また、スピンを持たない系を構築することも可能である^[36]。 ${\displaystyle T^{2}=-1}$

参考文献

1. (ポッターズ＆ブショー 2020)
2. Edelman, Alan; Sutton, Brian D. (2007年6月). 「ランダム行列から確率的演算子へ」. Journal of Statistical Physics . 127 (6): 1121– 1165. arXiv : math-ph/0607038 . Bibcode :2007JSP...127.1121E. doi :10.1007/s10955-006-9226-4. ISSN  0022-4715.
3. (Mehta 2004、定義2.3.1、2.4.1、2.5.1)
4. (Mehta 2004, Thm. 2.6.3)
5. Wigner, Eugene P. (1967年1月). 「物理学におけるランダム行列」 . SIAM Review . 9 (1): 1– 23. Bibcode :1967SIAMR...9....1W. doi :10.1137/1009001. ISSN  0036-1445.
6. Toscano, Fabricio; Vallejos, Raúl O.; Tsallis, Constantino (2004-06-17). 「非示量的エントロピーからのランダム行列アンサンブル」. Physical Review E. 69 ( 6) 066131. arXiv : cond-mat/0402215 . Bibcode :2004PhRvE..69f6131T. doi :10.1103/PhysRevE.69.066131. PMID:  15244691.
7. (Mehta 2004, Thm. 3.3.1)
8. (Livan、Novaes & Vivo 2018、第 10 章)
9. (Livan、Novaes & Vivo 2018、第 12 章)
10. Adler, M.; Forrester, PJ; Nagao, T.; van Moerbeke, P. (2000-04-01). 「古典的歪直交多項式とランダム行列」. Journal of Statistical Physics . 99 (1): 141– 170. arXiv : solv-int/9907001 . Bibcode :2000JSP....99..141A. doi :10.1023/A:1018644606835. ISSN  1572-9613.
11. Trotter, Hale F. (1984年10月). 「大規模エルミート行列の固有値分布；ウィグナーの半円則とKac, Murdock, Szegöの定理」. Advances in Mathematics . 54 (1): 67– 82. doi : 10.1016/0001-8708(84)90037-9 .
12. Dumitriu, Ioana; Edelman, Alan (2002-11-01). 「ベータアンサンブルの行列モデル」. J​​ournal of Mathematical Physics . 43 (11): 5830– 5847. arXiv : math-ph/0206043 . Bibcode :2002JMP....43.5830D. doi :10.1063/1.1507823. ISSN  0022-2488.
13. Edelman, Alan; Sutton, Brian D. (2007年6月). 「ランダム行列から確率的演算子へ」. Journal of Statistical Physics . 127 (6): 1121– 1165. arXiv : math-ph/0607038 . Bibcode :2007JSP...127.1121E. doi :10.1007/s10955-006-9226-4. ISSN  0022-4715.
14. Albrecht, James T.; Chan, Cy P.; Edelman, Alan (2009-08-01). 「シュトゥルム列とランダム固有値分布」.計算数学の基礎. 9 (4): 461– 483. doi :10.1007/s10208-008-9037-x. ISSN  1615-3383.
15. (フォレスター 2010、提案1.9.4)
16. Dumitriu, Ioana; Forrester, Peter J. (2010-09-01). 「反対称ガウスβアンサンブルの三対角線的実現」. Journal of Mathematical Physics . 51 (9). arXiv : 0904.2216 . Bibcode :2010JMP....51i3302D. doi :10.1063/1.3486071. ISSN  0022-2488.
17. エデルマン、アラン; ワン、ユヤン (2013), メルニック、ロデリック; コツィレアス、イリアス S. (編)、「ランダム行列理論とその革新的な応用」、応用数学、モデリング、計算科学の進歩、ボストン、マサチューセッツ州: Springer US、pp.  91– 116、doi :10.1007/978-1-4614-5389-5_5、hdl : 1721.1/115827、ISBN 978-1-4614-5389-5
18. (タオ 2012, Thm. 2.4.2)
19. (フォレスター 2010、提案1.4.4)
20. （タオ2012、第2.6.3節）
21. (Livan、Novaes & Vivo 2018、セクション 5.2)
22. Forrester, Peter (2015-09-17), Akemann, Gernot; Baik, Jinho; Di Francesco, Philippe (編), "Beta ensembles", The Oxford Handbook of Random Matrix Theory , Oxford University Press, pp.  414– 432, doi :10.1093/oxfordhb/9780198744191.013.20, ISBN 978-0-19-874419-1
23. (フォレスター 2010、第1.4節)
24. Chiani M (2014). 「実ウィシャート行列およびガウス分布における最大固有値の分布と、トレイシー・ウィダム分布の単純な近似」. Journal of Multivariate Analysis . 129 : 69– 81. arXiv : 1209.3394 . doi :10.1016/j.jmva.2014.04.002. S2CID  15889291.
25. エデルマン、アラン；ラオ、N. ラージ（2005年5月）「ランダム行列理論」 Acta Numerica 14 : 233–297 . Bibcode : 2005AcNum..14..233E. doi :10.1017/S0962492904000236. ISSN  1474-0508.
26. Bleher, Pavel M. (2011), Harnad, John (ed.), "Lectures on Random Matrix Models", Random Matrices, Random Processes and Integrable Systems , New York, NY: Springer, pp.  251– 349, doi :10.1007/978-1-4419-9514-8_4, ISBN 978-1-4419-9514-8
27. ウィグナー、ユージン・P. (1951年10月). 「核共鳴準位の幅と間隔の統計分布について」 .ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 47 (4): 790– 798. Bibcode :1951PCPS...47..790W. doi :10.1017/S0305004100027237. ISSN  1469-8064.
28. 飛行時間法による中性子物理学会議 (1957) [1956]。1956年11月1日および2日にテネシー州ガトリンバーグで開催された飛行時間法による中性子物理学会議。オークリッジ国立研究所報告書 ORNL-2309。オークリッジ国立研究所。67ページ。
29. ポーター、チャールズ・E. (1965). スペクトルの統計理論：変動. エルゼビア・サイエンス＆テクノロジー・ブックス. p. 208. ISBN 978-0-12-562356-8。
30. バレット、オーウェン; ファーク、フランク WK; ミラー、スティーブン J.; ターネージ・バターボー、キャロライン (2016)、「量子系からL関数へ：対相関統計とその先」、Open Problems in Mathematics、Cham: Springer International Publishing、pp.  123– 171、arXiv : 1505.07481、doi :10.1007/978-3-319-32162-2_2、ISBN 978-3-319-32160-8、S2CID  33509062
31. Dyson, Freeman J. (1962-01-01). 「複雑系のエネルギー準位の統計理論 I」 . Journal of Mathematical Physics . 3 (1): 140– 156. Bibcode :1962JMP.....3..140D. doi :10.1063/1.1703773. ISSN  0022-2488.
32. Dyson, Freeman J. (1962-11-01). 「三重の道：量子力学における対称群とアンサンブルの代数的構造」 . Journal of Mathematical Physics . 3 (6): 1199– 1215. Bibcode :1962JMP.....3.1199D. doi :10.1063/1.1703863. ISSN  0022-2488.
33. So, Paul; Anlage, Steven M.; Ott, Edward; Oerter, Robert N. (1995-04-03). 「時間反転対称性の有無による波動カオス実験：GUEとGOE統計」 . Physical Review Letters . 74 (14): 2662– 2665. Bibcode :1995PhRvL..74.2662S. doi :10.1103/PhysRevLett.74.2662. PMID  10057986.
34. Batsch, M.; Schweitzer, L.; Zharekeshev, I. Kh.; Kramer, B. (1996-08-19). 「アンダーソン転移における臨界直交統計から臨界ユニタリー統計へのクロスオーバー」. Physical Review Letters . 77 (8): 1552– 1555. arXiv : cond-mat/9607070 . Bibcode :1996PhRvL..77.1552B. doi :10.1103/PhysRevLett.77.1552. ISSN  0031-9007. PMID  10063107.
35. Rehemanjiang, A.; Allgaier, M.; Joyner, CH; Müller, S.; Sieber, M.; Kuhl, U.; Stöckmann, H.-J. (2016-08-05). 「ガウス・シンプレクティック・アンサンブルのマイクロ波実現」. Physical Review Letters . 117 (6) 064101. arXiv : 1601.00467 . Bibcode :2016PhRvL.117f4101R. doi :10.1103/PhysRevLett.117.064101. ISSN  0031-9007. PMID  27541466.
36. Joyner, Christopher H.; Müller, Sebastian; Sieber, Martin (2014-09-01). 「スピンなしのGSE統計」. EPL (Europhysics Letters) . 107 (5) 50004. arXiv : 1302.2554 . Bibcode :2014EL....10750004J. doi :10.1209/0295-5075/107/50004. ISSN  0295-5075.

• デフト、パーシー (2000).直交多項式とランダム行列：リーマン・ヒルベルト法によるアプローチ. クーラント数学講義ノート. プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会. ISBN 978-0-8218-2695-9。
• Mehta, ML (2004).ランダム行列. アムステルダム: Elsevier/Academic Press. ISBN 0-12-088409-7。
• パーシー・デフト、ディミトリ・ジョーエフ (2009).ランダム行列理論：不変アンサンブルと普遍性. クーラント数学講義ノート. ニューヨーク：プロビデンス、ロードアイランド州：クーラント数学研究所；アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-4737-4。
• フォレスター、ピーター（2010）『対数気体とランダム行列』ロンドン数学会モノグラフ、プリンストン：プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-12829-0。
• アンダーソン, GW; ギオネット, A.; ゼイトゥニ, O. (2010).ランダム行列入門. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-19452-5。
• 白志東; シルバースタイン, ジャック・W. (2010).大規模次元ランダム行列のスペクトル解析. シュプリンガー統計シリーズ（第2版）. ニューヨーク; ロンドン: シュプリンガー. doi :10.1007/978-1-4419-0661-8. ISBN 978-1-4419-0660-1. ISSN  0172-7397.
• アケマン, ゲルノット; バイク, J.; ディ・フランチェスコ, フィリップ編 (2011). 『オックスフォード・ランダム行列理論ハンドブック』 オックスフォード: オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-957400-1。
• タオ、テレンス (2012). 『ランダム行列理論の話題』 . 数学大学院研究科. プロビデンス, ロードアイランド州: アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-7430-1。
• ミンゴ、ジェームズ・A.；シュパイヒャー、ローランド（2017年）『自由確率とランダム行列』フィールズ研究所モノグラフ、ニューヨーク、ニューヨーク州：シュプリンガー、ISBN 978-1-4939-6942-5。
• Livan, Giacomo; Novaes, Marcel; Vivo, Pierpaolo (2018). ランダム行列入門. SpringerBriefs in Mathematical Physics. Vol. 26. 出版社: Springer International Publishing. arXiv : 1712.07903 . doi :10.1007/978-3-319-70885-0. ISBN 978-3-319-70883-6。
• ポッターズ、マーク; ブショー、ジャン＝フィリップ (2020年11月30日). 『ランダム行列理論入門：物理学者、エンジニア、データサイエンティスト向け』 ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/9781108768900. ISBN 978-1-108-76890-0。

外部リンク

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Gaussian_ensemble&oldid=1324538678"