一般化カイ二乗分布

Kind of probability distribution

一般化カイ二乗分布
確率密度関数
累積分布関数
表記法	${\displaystyle {\tilde {\chi }}({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {k}},{\boldsymbol {\lambda }},s,m)}$
パラメータ	${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$、非心カイ二乗成分の重みのベクトル、非心カイ二乗成分の自由度のベクトル、カイ二乗成分の非心パラメータのベクトル、正規項の尺度、オフセット ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle m}$
サポート	${\displaystyle x\in {\begin{cases}[m,+\infty ){\text{ if }}w_{i}\geq 0,s=0,\\(-\infty ,m]{\text{ if }}w_{i}\leq 0,s=0,\\\mathbb {R} {\text{ otherwise.}}\end{cases}}}$
PDF	閉形式の表現なし
CDF	閉形式の表現なし
平均	${\displaystyle \sum _{j}w_{j}(k_{j}+\lambda _{j})+m}$
分散	${\displaystyle 2\sum _{j}w_{j}^{2}(k_{j}+2\lambda _{j})+s^{2}}$
MGF	${\displaystyle {\frac {\exp \left[t\left(m+\sum _{j}{\frac {w_{j}\lambda _{j}}{1-2w_{j}t}}\right)+{\frac {s^{2}t^{2}}{2}}\right]}{\prod _{j}\left(1-2w_{j}t\right)^{k_{j}/2}}}}$
CF	${\displaystyle {\frac {\exp \left[it\left(m+\sum _{j}{\frac {w_{j}\lambda _{j}}{1-2iw_{j}t}}\right)-{\frac {s^{2}t^{2}}{2}}\right]}{\prod _{j}\left(1-2iw_{j}t\right)^{k_{j}/2}}}}$

確率論と統計学において、一般化カイ二乗分布（または一般化カイ二乗分布）は、多変量正規変数（正規ベクトル）の2次関数の分布、または異なる正規変数と正規変数の2乗の線形結合です。同様に、独立した非心カイ二乗変数と正規変数の線形和でもあります。同じ用語が使用されることがある他の一般化がいくつかあります。その中には、ここで説明する分布群の特殊なケース、例えばガンマ分布などが あります

定義

一般化カイ二乗変数は複数の方法で記述できます。1つは、独立した非心カイ二乗変数と標準正規変数の重み付き和として記述することです。^{[1] [2] [3] [4]} ${\displaystyle {{\chi }'}^{2}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\tilde {\chi }}({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {k}},{\boldsymbol {\lambda }},s,m)=\sum _{i}w_{i}{{\chi }'}^{2}(k_{i},\lambda _{i})+sz+m.}$

ここでパラメータは、重み、構成する非心カイ二乗分布の自由度と非心度、そして正規分布の係数とである。この重要な特殊なケースの中には、重みがすべて同じ符号になるもの、中心カイ二乗分布の成分を持つもの、あるいは正規分布の項を省略するものなどがある。 ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle w_{i}}$

非心カイ二乗変数は平均の異なる正規変数の平方の合計であるため、一般化カイ二乗変数は独立した正規変数の平方の合計と独立した正規変数、つまり正規変数の二次関数としても定義されます。

もう一つの同等の方法は、これを法線ベクトルの二次形式として定式化することです: ^{[5] [6] [4] [3]} ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

${\displaystyle {\tilde {\chi }}=q({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}'\mathbf {Q_{2}} {\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {q_{1}}}'{\boldsymbol {x}}+q_{0}}$。

ここでは行列、はベクトル、はスカラーです。これらは、正規ベクトルの平均行列と共分散行列とともに、分布をパラメータ化します ${\displaystyle \mathbf {Q_{2}} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q_{1}}}}$ ${\displaystyle q_{0}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

最も一般的なケースでは、次の形式の表現を使用して共通の標準形式への簡約を行うことができます。^[7]

${\displaystyle X=(z+a)^{\mathrm {T} }A(z+a)+c^{\mathrm {T} }z=(x+b)^{\mathrm {T} }D(x+b)+d^{\mathrm {T} }x+e,}$

ここで、Dは対角行列であり、x は相関のない標準正規乱数変数のベクトルを表します。

パラメータ変換

一般化カイ二乗変数または分布は、2つの方法でパラメータ化できます。1つ目は、重み、構成する非心カイ二乗の自由度と非心度、および追加された正規項の係数とです。2つ目は、正規ベクトルの2次形式を使用する方法です。ここで、パラメータは行列、ベクトル、スカラー、および正規ベクトルの平均と共分散行列です ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {Q_{2}} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q_{1}}}}$ ${\displaystyle q_{0}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$

最初の式のパラメータ（非心カイ二乗、正規分布、定数）は、2番目の式のパラメータ（正規ベクトルの2次形式）を使って計算することができます。^[6]

2番目の式のパラメータ（正規ベクトルの2次形式）は、最初の式のパラメータ（非心カイ2乗、正規分布、定数）を使って計算することもできます。^[4]

あるパラメータ セットから別のパラメータ セットに変換する Matlab コードが存在します。

サポートとテール

とがすべて正または負の場合、二次関数は楕円になります。分布は一方の端の点から始まり、これは有限の裾と呼ばれます。もう一方の端はそれぞれ+またはで裾を引いており、これは無限の裾と呼ばれます。が混合符号の場合、および／または正規項がある場合、両方の裾は無限であり、サポートは実数直線全体になります。分布のCDFとPDFを計算する方法は、有限の裾と無限の裾で異なる動作をします（それぞれのケースで使用する最適な方法については、下の表を参照してください）。^{[4] [3]} ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle s}$

PDF/CDF/逆CDF/乱数の計算

一般化カイ2乗変数の確率密度関数、累積分布関数、および逆累積分布関数は、単純な閉形式表現を持たない。しかし、これらを数値的に計算する方法はいくつか存在する。ルーベン法^[8] 、イムホフ法^[9] 、 IFFT法^{[4] 、 [3]}、光線法^{[4 ]、 [3]}、楕円近似^{[4] 、 [3]、}無限尾近似（または単に「尾」近似）^{[4] 、 [3]}、ピアソン近似および拡張ピアソン近似^[4]、[3]、Liu-Tang-Zhang近似などである。

これらの方法のいくつかを実装してPDF、CDF、逆CDFを計算し、乱数を生成する数値アルゴリズム^{[7] [2] [9] [6] [4] [3]}とコンピュータコード（Fortran、C、Matlab、R、Python、Julia）が公開されている。

次の表は、さまざまなケースにおける一般化カイ二乗分布のさまざまな部分のCDFとPDFを計算するために使用する最良の方法を示しています。^{[4] [3]}「Tail」は無限尾近似を指します。

${\displaystyle {\tilde {\chi }}}$タイプ	パート	最適なCDF/PDF法
楕円：同符号、 ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle s=0}$	体	ルーベン、イムホフ、IFFT、光線
	有限の尾	ルーベン、光線（もし）、楕円 ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$
	無限の尾	ルーベン、光線、尾
楕円ではない：混合記号、および/または ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle s\neq 0}$	体	イムホフ、IFFT、光線
	無限の尾	光線、尾
球面： 非中心（項は1つだけ） ${\displaystyle \chi ^{2}}$	体	Matlabのncx2cdf/ncx2pdf
	有限の尾	ncx2cdf/ ncx2pdf、楕円
	無限の尾	ncx2pdf、光線、尾

尾における漸近表現

分布の下側または上側の無限尾におけるPDFとCDFの漸近表現は、無限尾近似によって与えられます。^{[4] [3]}

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)={\frac {a}{\left|w_{*}\right|}}f_{{\chi '}_{k_{*},\lambda _{*}}^{2}}\!\left({\frac {x}{w_{*}}}\right),}$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=\lim _{x\to \infty }{\bar {F}}(x)=a\ {\bar {F}}_{{\chi '}_{k_{*},\lambda _{*}}^{2}}\!\left({\frac {x}{w_{*}}}\right)=a\ Q_{k_{*}/2}({\sqrt {\lambda _{*}}},{\sqrt {x/w_{*}}}),}$

${\displaystyle {\text{where the constant }}a=e^{{\frac {m}{2w_{*}}}+{\frac {s^{2}}{8w_{*}^{2}}}}\prod _{j\neq *}{\frac {\exp {\frac {\lambda _{j}w_{j}}{2(w_{*}-w_{j})}}}{\left(1-{\frac {w_{j}}{w_{*}}}\right)^{k_{j}/2}}}.}$

ここで、 は、それぞれ上側または下側の裾を見ている場合の最大の正または負の重みであり、および はその対応する次数と非心度です。およびは、パラメータおよびを持つ非心カイ二乗分布の PDF と CDF です。は Marcum Q 関数です。 ${\displaystyle w_{*}}$ ${\displaystyle k_{*}}$ ${\displaystyle \lambda _{*}}$ ${\displaystyle f_{{\chi '}_{k_{*},\lambda _{*}}^{2}}}$ ${\displaystyle F_{{\chi '}_{k_{*},\lambda _{*}}^{2}}}$ ${\displaystyle k_{*}}$ ${\displaystyle \lambda _{*}}$ ${\displaystyle Q}$

遠端では、これらの式はさらに簡略化され、pdfと末尾CDF （下端の点におけるCDF、または上端の点における補完CDF）で同一になります。^{[4] [3]} ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$

${\displaystyle f(x)\approx p(x)\approx {\begin{cases}\left({\tfrac {x}{w_{*}}}\right)^{\tfrac {k_{*}-2}{2}}e^{-x/2w_{*}},&{\text{if }}\lambda _{*}=0,\\[1ex]\left({\tfrac {x}{w_{*}}}\right)^{\tfrac {k_{*}-3}{4}}e^{-x/2w_{*}+{\sqrt {\lambda _{*}x/w_{*}}}},&{\text{if }}\lambda _{*}>0.\end{cases}}}$

ここでも、それぞれ上側または下側の尾を見ると、最大の正または負の重みになります。 ${\displaystyle w_{*}}$

応用

一般化カイ2乗は、以下の例のように、通常の統計理論が当てはまらない場合の統計推定値の分布です

モデルの適合と選択

予測モデルが最小二乗法で近似されているが、残差が自己相関または異分散性を持つ場合、二乗和の変化を漸近的に有効な一般化カイ二乗分布に関連付けることで、代替モデルを比較することができます（モデル選択において） 。 ^[5]

ガウス判別分析を用いた法線ベクトルの分類

が正規ベクトルである場合、その対数尤度は の二次形式となり、したがって一般化カイ二乗分布に従う。ある正規分布と別の正規分布の対数尤度比もまた二次形式となり、したがって一般化カイ二乗分布に従う。^[6] ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

ガウス判別分析では、多重正規分布からのサンプルは、二次関数（例えば、2つのガウス分布間の尤度比を1に設定することによって定義される曲線）を境界とする二次分類器を用いて最適に分離されます。異なるタイプ（偽陽性と偽陰性）の分類誤り率は、この分類器によって定義された二次領域内の正規分布の積分です。これは数学的には正規ベクトルの二次形式を積分することと等価であるため、結果は一般化カイ2乗変数の積分となります。^[6]

信号処理において

以下の応用は、信号処理におけるフーリエ解析、確率論における再生理論、無線通信におけるマルチアンテナシステムの文脈で生じます。これらの分野に共通する要素は、指数分布する変数の和（または同様に、円対称の中心を持つ複素ガウス変数の二乗の大きさの和） が重要であることです

がk個の独立で、平均0、分散を持つ円対称の中心複素ガウス分布確率変数である場合、確率変数 ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$

${\displaystyle {\tilde {Q}}=\sum _{i=1}^{k}|Z_{i}|^{2}}$

は、特定の形式の一般化カイ二乗分布を持つ。標準的なカイ二乗分布との違いは、が複雑で、異なる分散を持つ可能性があること、そしてより一般的な一般化カイ二乗分布との違いは、関連するスケーリング行列Aが対角行列であることだ。すべてのiに対して の場合、を でスケールダウン（つまり を乗じる）すると、 はカイ二乗分布 （アーラン分布とも呼ばれる）を持つ。がすべてのi に対して異なる値を持つ場合、はpdf [ ^{10]を持つ。} ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle \mu =\sigma _{i}^{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {Q}}}$ ${\displaystyle \mu /2}$ ${\displaystyle 2/\mu }$ ${\displaystyle \chi ^{2}(2k)}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {Q}}}$

${\displaystyle f(x;k,\sigma _{1}^{2},\ldots ,\sigma _{k}^{2})=\sum _{i=1}^{k}{\frac {e^{-{\frac {x}{\sigma _{i}^{2}}}}}{\sigma _{i}^{2}\prod _{j=1,j\neq i}^{k}\left(1-{\frac {\sigma _{j}^{2}}{\sigma _{i}^{2}}}\right)}}\quad {\text{for }}x\geq 0.}$

の中に繰り返し分散の集合がある場合、それらをM個の集合に分割し、それぞれが特定の分散値を表すと仮定する。各集合における繰り返し回数を とする。つまり、m番目の集合には分散 を持つ変数が含まれる 。これは、異なる自由度を持つ独立分布に従う確率変数の任意の線形結合を表す。 ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =(r_{1},r_{2},\dots ,r_{M})}$ ${\displaystyle r_{m}}$ ${\displaystyle \sigma _{m}^{2}.}$ ${\displaystyle \chi ^{2}}$

${\displaystyle {\tilde {Q}}=\sum _{m=1}^{M}\sigma _{m}^{2}/2*Q_{m},\quad Q_{m}\sim \chi ^{2}(2r_{m})\,.}$

のpdfは^[11] ${\displaystyle {\tilde {Q}}}$

${\displaystyle f(x;\mathbf {r} ,\sigma _{1}^{2},\dots \sigma _{M}^{2})=\prod _{m=1}^{M}{\frac {1}{\sigma _{m}^{2r_{m}}}}\sum _{k=1}^{M}\sum _{l=1}^{r_{k}}{\frac {\Psi _{k,l,\mathbf {r} }}{(r_{k}-l)!}}(-x)^{r_{k}-l}e^{-{\frac {x}{\sigma _{k}^{2}}}},\quad {\text{ for }}x\geq 0,}$

ここで

${\displaystyle \Psi _{k,l,\mathbf {r} }=(-1)^{r_{k}-1}\sum _{\mathbf {i} \in \Omega _{k,l}}\prod _{j\neq k}{\binom {i_{j}+r_{j}-1}{i_{j}}}\left({\frac {1}{\sigma _{j}^{2}}}\!-\!{\frac {1}{\sigma _{k}^{2}}}\right)^{-(r_{j}+i_{j})},}$

（ ）のすべての分割の集合から、と定義される ${\displaystyle \mathbf {i} =[i_{1},\ldots ,i_{M}]^{T}}$ ${\displaystyle \Omega _{k,l}}$ ${\displaystyle l-1}$ ${\displaystyle i_{k}=0}$

${\displaystyle \Omega _{k,l}=\left\{[i_{1},\ldots ,i_{m}]\in \mathbb {Z} ^{m};\sum _{j=1}^{M}i_{j}\!=l-1,i_{k}=0,i_{j}\geq 0{\text{ for all }}j\right\}.}$

参照

• 非心カイ二乗分布
• カイ二乗分布

参考文献

1. Davies, RB (1973). 「特性関数の数値逆変換」. Biometrika . 60 (2): 415– 417. doi :10.1093/biomet/60.2.415.
2. χ2^確率変数の線形結合の分布」.英国王立統計学会誌. シリーズC（応用統計）. 29 (3): 323– 333. doi :10.2307/2346911. JSTOR  2346911.
3. Das, Abhranil (2025). 「一般化カイ二乗分布を計算するための新しい手法」. Journal of Statistical Computation and Simulation . Taylor & Francis: 1– 36.
4. Das, Abhranil (2024). 「一般化カイ二乗分布を計算するための新しい方法」. arXiv : 2404.05062 [stat.CO].
5. Jones, DA (1983). 「最適化によって適合された経験的モデルの統計分析」. Biometrika . 70 (1): 67– 88. doi :10.1093/biomet/70.1.67.
6. Das, Abhranil; Wilson S Geisler (2020). 「多重正規分布を統合し、分類尺度を計算する方法」arXiv : 2012.14331 [stat.ML].
7. Sheil, J.; O'Muircheartaigh, I. (1977). 「アルゴリズムAS106：正規変数における非負二次形式の分布」.英国王立統計学会誌. シリーズC（応用統計）. 26 (1): 92– 98. doi :10.2307/2346884. JSTOR  2346884.
8. ルーベン、ハロルド (1962). 「球面正規分布下の領域の確率内容 IV：正規変数の同次および非同次二次関数の分布」.数理統計年報. 33 (2): 542– 570. doi :10.1214/aoms/1177704580.
9. Imhof, JP (1961). 「正規変数における二次形式の分布の計算」(PDF) . Biometrika . 48 (3/4): 419– 426. doi :10.2307/2332763. JSTOR  2332763.
10. D. Hammarwall、M. Bengtsson、B. Ottersten (2008)「瞬時チャネルノルムフィードバックによる空間選択的伝送のための部分CSIの取得」、IEEE Transactions on Signal Processing、56、1188–1204
11. E. Björnson、D. Hammarwall、B. Ottersten (2009)「任意相関MIMOシステムにおける条件付き統計による量子化チャネルノルムフィードバックの活用」、IEEE Transactions on Signal Processing、57、4027–4041

外部リンク

• Davies, RB：「カイ2乗確率変数の線形結合」のFortranおよびCソースコード
• Das, A: 一般化カイ二乗分布の統計量、pdf、cdf、逆cdf、乱数を計算する MATLAB コード。

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