System configuration relative to another
解析力学 において 、 一般化座標とは、 配置空間 における系の状態を表すために使用されるパラメータの集合である 。これらのパラメータは、基準状態に対する系の構成を一意に定義する必要がある。 [1] 一般 化速度 は、系の一般化座標の時間 微分である。「一般化された」という形容詞は、これらのパラメータを、 直交座標 を指す従来の「座標」という用語と区別するものである 。
一般化座標の例としては、振り子の x 位置と y 位置ではなく、振り子の垂直に対する角度を使用して振り子の位置を記述することが挙げられます。
物理系における一般化座標には多くの選択肢があるが、一般的には、系の 運動方程式 の解などの計算を簡素化するために選択される。座標が互いに独立している場合、独立した一般化座標の数は 系の 自由度の数によって定義される。 [2] [3]
一般化座標は一般化運動量と対になって 位相空間 上の 標準座標 を提供します。
制約と自由度
2次元パス上の1つの一般化座標（自由度1）です。曲線上の位置を一意に指定するには、1つの一般化座標のみが必要です。これらの例では、その変数は弧長 s または角度 θのいずれかです。曲線の方程式によって x または y が 互いに関連しているため、両方の直交座標 （ x 、 y ） を持つ必要はありません。これらは s または θ でパラメータ化することもできます 。
曲線に沿った弧の長さ s は 、位置が一意に決定されるため正当な一般化座標ですが、角度 θは、 θ の単一の値に対して複数の位置が存在するため正当な一般化座標ではありません 。
一般化座標は通常、システムの構成を定義する独立座標の数が最小限になるように選択され、 ラグランジュの運動方程式の定式化を簡素化します。しかし、有用な一般化座標が 従属座標 である場合もあります。これは 、1つ以上の 制約 方程式によって関連していることを意味します。
ホロノミック制約
3次元の曲面における2つの一般化座標、2つの自由度。 曲線上の点を指定するには2つの数値 ( u 、 v )のみが必要で、各ケースについて1つの可能性を示します。曲線の方程式に従って、任意の2つの数値が残りの1つを決定するため、3つの 直交座標 ( x 、 y 、 z ) すべては必要ありません。 3次元実座標空間 における N 個の粒子のシステムの場合 、各粒子の 位置ベクトルは、 直交座標 の3 組 として表すことができます 。
r 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , r 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , ⋮ r N = ( x N , y N , z N ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {r} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),\\&\mathbf {r} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),\\&\qquad \qquad \vdots \\&\mathbf {r} _{N}=(x_{N},y_{N},z_{N})\end{aligned}}} 位置ベクトルはいずれもr k で 表され、 k = 1, 2, …, Nは 粒子を表す。 ホロノミック制約 とは、粒子k に対して以下の形の 制約方程式 である [4] [a]
f ( r k , t ) = 0 {\displaystyle f(\mathbf {r} _{k},t)=0} これは粒子の3つの空間座標すべてを結び付けるため、それらは独立ではありません。制約は時間とともに変化する可能性があるため、時間 t は 制約方程式に明示的に現れます。任意の瞬間において、任意の1つの座標は他の座標から決定されます。例えば、 x k と z k が与えられれば、 y k も与えられます。1つの制約方程式は 1つの制約としてカウントされます。C 個の 制約がある場合、それぞれに方程式があるため、 C個 の制約方程式が存在します 。各粒子に必ずしも1つの制約方程式があるわけではなく、システムに制約がない場合、制約方程式は存在しません。
これまでのところ、システムの構成は 3 N 個 の量で定義されていますが、各制約方程式から1つの座標、つまり C個の 座標を削除できます。独立座標の数は n = 3 N − C です。（ D 次元では、元の構成には ND個の 座標が必要であり、制約による削減は n = ND − C を意味します）。システム全体の構成を定義するために必要な最小限の座標を使用し、システムの制約を利用することが理想的です。これらの量は、 この文脈では 一般化座標と呼ばれ、 q j ( t )と表記されます。これらを n 組 にまとめると便利です 。
q ( t ) = ( q 1 ( t ) , q 2 ( t ) , … , q n ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {q} (t)=(q_{1}(t),\ q_{2}(t),\ \ldots ,\ q_{n}(t))} これは、システムの配置空間 における点です 。これらはすべて互いに独立しており、それぞれが時間の関数です。幾何学的には、直線に沿った長さ、曲線に沿った 弧の長さ 、または角度などであり、必ずしも直交座標やその他の標準的な 直交座標である必要はありません。 自由度 ごとに1つずつ存在する ため、一般化座標の数は自由度の数 n と等しくなります。自由度は、システムの構成を変える1つの量に対応します。例えば、振り子の角度や、ワイヤーに沿ってビーズが移動する弧の長さなどです。
制約条件から自由度と同じ数の独立変数を見つけることができれば、それらを一般化座標として使うことができる。 [5]粒子 k の 位置ベクトル r k は、すべてのn 個の一般化座標（そしてそれらを通して時間の関数） である。 [6] [7] [8] [5] [注1]
r k = r k ( q ( t ) ) , {\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} (t))\,,} 一般化座標は、制約に関連付けられたパラメータと考えることができます。
q の対応する時間微分 は一般化速度であり、
q ˙ = d q d t = ( q ˙ 1 ( t ) , q ˙ 2 ( t ) , … , q ˙ n ( t ) ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=({\dot {q}}_{1}(t),\ {\dot {q}}_{2}(t),\ \ldots ,\ {\dot {q}}_{n}(t))} （量の上の各点は1つの 時間微分 を表す）。速度ベクトル v k はr k の 時間に関する 全微分 である。
v k = r ˙ k = d r k d t = ∑ j = 1 n ∂ r k ∂ q j q ˙ j . {\displaystyle \mathbf {v} _{k}={\dot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\,.} そして、一般には一般化速度と一般化座標に依存します。一般化座標と速度の初期値は個別に指定できるため、一般化座標 q j と速度 dq j / dt は独立変数 として扱うことができます 。
非ホロノミック制約 機械システムには、一般化座標とその導関数の両方に制約が課されることがあります。このような制約は非ホロノミック制約と呼ばれます。1次の非ホロノミック制約は、以下の形式を持ちます。
g ( q , q ˙ , t ) = 0 , {\displaystyle g(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=0\,,} このような制約の例としては、速度ベクトルの方向を制約する転がる車輪やナイフエッジなどが挙げられます。非ホロノミック制約には、一般化加速度などの次階微分も含まれる場合があります。
一般化座標における物理量
運動エネルギー 系の全 運動エネルギー は系の運動エネルギーであり、 [9]のように定義される。
T = 1 2 ∑ k = 1 N m k r ˙ k ⋅ r ˙ k , {\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\,,} ここで、·は ドット積で ある。運動エネルギーは速度 v k のみの関数であり、座標 r k 自体の関数ではない。これとは対照的に、重要な観察結果が [10]である。
r ˙ k ⋅ r ˙ k = ∑ i , j = 1 n ( ∂ r k ∂ q i ⋅ ∂ r k ∂ q j ) q ˙ i q ˙ j , {\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},} これは、制約条件も時間とともに変化する場合は、運動エネルギーは一般に一般化された速度、座標、および時間の関数であることを示しています。つまり、 T = T ( q , d q / dt , t ) です。
粒子に対する制約が時間に依存しない場合、時間に関するすべての偏微分はゼロになり、運動エネルギーは 一般化速度における 2 次 同次関数になります。
時間に依存しないケースでは、この式は粒子 k の軌跡の 線要素 の2乗を取ることと等価である。
d s k 2 = d r k ⋅ d r k = ∑ i , j = 1 n ( ∂ r k ∂ q i ⋅ ∂ r k ∂ q j ) d q i d q j , {\displaystyle ds_{k}^{2}=d\mathbf {r} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right)dq_{i}dq_{j}\,,} そして、これを時間二乗微分 dt 2 で割ることで、粒子k の速度二乗が得られる。したがって、時間に依存しない制約条件の下では、線要素が分かれば粒子の運動エネルギー、ひいては ラグランジアンを 素早く得ることができる 。 [11]
極座標は頻繁に登場するため、2次元と3次元における様々なケースを見ることは有益である。2次元 極座標 （ r 、 θ ） では、
( d s d t ) 2 = r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 , {\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\,,} 3次元円筒座標 （ r 、 θ 、 z ） において 、
( d s d t ) 2 = r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 + z ˙ 2 , {\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {z}}^{2}\,,} 3次元球面座標 （ r 、 θ 、 φ ） において 、
( d s d t ) 2 = r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 + r 2 sin 2 θ φ ˙ 2 . {\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}\,.}
一般化された運動量 座標 q i に「 正準共役な 」一般 化運動量は 次のように定義される。
p i = ∂ L ∂ q ˙ i . {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.} ラグランジアン L が 何らかの座標 q i に依存しない 場合 、オイラー–ラグランジュ方程式から、対応する一般化運動量は 保存量 になります。これは、時間微分がゼロであり、運動量が運動の定数であることを意味するためです。
∂ L ∂ q i = d d t ∂ L ∂ q ˙ i = p ˙ i = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\dot {p}}_{i}=0\,.}
例
ワイヤービーズ ビーズは摩擦のないワイヤー上で動くように拘束されています。ワイヤーはビーズをワイヤー上に留めるために反力 Cを ビーズに及ぼします。この場合、非拘束力 N は重力です。ワイヤーの初期位置によって異なる動きが生じることに注意してください。 2D 空間で重力のみの影響を受ける摩擦のないワイヤ上を滑るビーズの場合、ビーズへの拘束は f ( r ) = 0 の形式で表すことができます。ここで、ビーズの位置は r = ( x ( s ), y ( s )) と記述できます。ここで、 s はパラメータで、 ワイヤ上のある点からの曲線に沿った 弧の長さ s です 。これは、システムの一般化座標の適切な選択です。ビーズの位置は 1 つの数値 s でパラメータ化でき、拘束方程式は 2 つの座標 x と yを接続し、どちらか一方が他方から決定されるため、2 つではなく 1 つ の座標のみが必要です。拘束力は、ワイヤがビーズをワイヤ上に維持するためにワイヤに及ぼす反力であり、拘束されていない適用力は、ビーズに作用する重力です。
ワイヤーが時間とともに曲げられることで形状が変化すると仮定します。この場合、拘束方程式と粒子の位置はそれぞれ
f ( r , t ) = 0 , r = ( x ( s , t ) , y ( s , t ) ) {\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=0\,,\quad \mathbf {r} =(x(s,t),y(s,t))} これらは両方とも、ワイヤーの形状変化に伴う座標の変化により、時間 t に依存します。時間は座標を介して暗黙的に 、また 制約方程式においては明示的に表されることに注意してください。
単振り子 単振り子。棒は剛体なので、錘の位置は方程式 f ( x , y ) = 0 に従って拘束され、拘束力 C は棒の張力です。この場合 も、非拘束力 Nは重力です。 単純な振り子の動的モデル。 機械システムの運動を特徴付けるために一般座標と直交座標を使用することの関係は、単純な振り子の制約された動力学を考えることによって説明することができる。 [12] [13]
単 振り子は 、質量 Mが 支点から吊り下げられ、半径 L の円上を動くように拘束されている。質量の位置は、 円の平面内で yが垂直方向となるように測った座標ベクトル r = ( x , y ) によって定義される。座標 x と y は円の方程式によって関係付けられる。
f ( x , y ) = x 2 + y 2 − L 2 = 0 , {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,} M の動きを制約する 。この式は速度成分にも制約を与える。
f ˙ ( x , y ) = 2 x x ˙ + 2 y y ˙ = 0. {\displaystyle {\dot {f}}(x,y)=2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}=0.} ここで、 M の垂直方向からの角度位置を定義する パラメータ θ を導入します。これ を用いて、座標 x と yを定義することができます。
r = ( x , y ) = ( L sin θ , − L cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y)=(L\sin \theta ,-L\cos \theta ).} このシステムの構成を定義するためにθ を使用すると、 円の方程式によって提供される制約を回避できます。
質量m に作用する重力は 通常の直交座標で定式化されることに注意してください。
F = ( 0 , − m g ) , {\displaystyle \mathbf {F} =(0,-mg),} ここで、 gは 重力加速度 です 。
軌道r を辿る質量 m に対する重力の 仮想 仕事 は次のように与えられる。
δ W = F ⋅ δ r . {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} 変化 δ r は、 座標 x と y 、またはパラメータ θ を用いて計算することができる。
δ r = ( δ x , δ y ) = ( L cos θ , L sin θ ) δ θ . {\displaystyle \delta \mathbf {r} =(\delta x,\delta y)=(L\cos \theta ,L\sin \theta )\delta \theta .} したがって、仮想仕事は次のように与えられる。
δ W = − m g δ y = − m g L sin ( θ ) δ θ . {\displaystyle \delta W=-mg\delta y=-mgL\sin(\theta )\delta \theta .} δ y の係数は、作用する力の y 成分であることに注意してください 。同様に、 δ θ の係数は、一般化座標 θに沿った 一般化力 として知られており 、次のように表されます。
F θ = − m g L sin θ . {\displaystyle F_{\theta }=-mgL\sin \theta .} 解析を完了するために、 速度を用いて質量の
運動エネルギー Tを考慮する。
v = ( x ˙ , y ˙ ) = ( L cos θ , L sin θ ) θ ˙ , {\displaystyle \mathbf {v} =({\dot {x}},{\dot {y}})=(L\cos \theta ,L\sin \theta ){\dot {\theta }},} それで、
T = 1 2 m v ⋅ v = 1 2 m ( x ˙ 2 + y ˙ 2 ) = 1 2 m L 2 θ ˙ 2 . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})={\frac {1}{2}}mL^{2}{\dot {\theta }}^{2}.} 振り子の仮想仕事の原理のダランベールの形式は、 x 座標と y 座標に関して 次のように与えられる。
d d t ∂ T ∂ x ˙ − ∂ T ∂ x = F x + λ ∂ f ∂ x , d d t ∂ T ∂ y ˙ − ∂ T ∂ y = F y + λ ∂ f ∂ y . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial T}{\partial x}}=F_{x}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial x}},\quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {y}}}}-{\frac {\partial T}{\partial y}}=F_{y}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial y}}.} これにより、次の3つの方程式が得られる。
m x ¨ = λ ( 2 x ) , m y ¨ = − m g + λ ( 2 y ) , x 2 + y 2 − L 2 = 0 , {\displaystyle m{\ddot {x}}=\lambda (2x),\quad m{\ddot {y}}=-mg+\lambda (2y),\quad x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,} 3つの未知数 x 、 y 、 λ 。
パラメータ θ を用いると、これらの式は次のようになる。
d d t ∂ T ∂ θ ˙ − ∂ T ∂ θ = F θ , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\frac {\partial T}{\partial \theta }}=F_{\theta },} これは、
m L 2 θ ¨ = − m g L sin θ , {\displaystyle mL^{2}{\ddot {\theta }}=-mgL\sin \theta ,} または
θ ¨ + g L sin θ = 0. {\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0.} この定式化では、パラメータが 1 つしかなく、制約方程式もないため、 1 つの方程式が生成されます。
これは、パラメータ θ が、振り子を解析するために
直交座標 x および y と同じように使用できる一般化座標であることを示しています。
二重振り子 二 重振り子 一般化座標の利点は、二重振り子 の解析で明らかになります 。2つの質量 m i ( i = 1, 2) について、 r i = ( x i , y i )、 i = 1, 2 でそれらの2つの軌道を定義します。これらのベクトルは、2つの制約方程式を満たします。
f 1 ( x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) = r 1 ⋅ r 1 − L 1 2 = 0 {\displaystyle f_{1}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{1}-L_{1}^{2}=0} そして
f 2 ( x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ) = ( r 2 − r 1 ) ⋅ ( r 2 − r 1 ) − L 2 2 = 0. {\displaystyle f_{2}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})\cdot (\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})-L_{2}^{2}=0.} このシステムのラグランジュ方程式の定式化により、4 つの直交座標 x i 、 y i ( i = 1, 2) の 6 つの方程式と、2 つの制約方程式から生じる 2 つのラグランジュ乗数 λ i ( i = 1, 2) が生成されます。
ここで、二重振り子の各質点の鉛直方向からの角度位置を定義する一般化座標 θ i ( i = 1, 2 ) を導入する。この場合、
r 1 = ( L 1 sin θ 1 , − L 1 cos θ 1 ) , r 2 = ( L 1 sin θ 1 , − L 1 cos θ 1 ) + ( L 2 sin θ 2 , − L 2 cos θ 2 ) . {\displaystyle \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1}),\quad \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1})+(L_{2}\sin \theta _{2},-L_{2}\cos \theta _{2}).} 質量に作用する重力の力は、
F 1 = ( 0 , − m 1 g ) , F 2 = ( 0 , − m 2 g ) {\displaystyle \mathbf {F} _{1}=(0,-m_{1}g),\quad \mathbf {F} _{2}=(0,-m_{2}g)} ここで g は重力加速度である。したがって、2つの質量が軌道 r i ( i = 1, 2) を辿る際の重力の仮想仕事は次のように与えられる。
δ W = F 1 ⋅ δ r 1 + F 2 ⋅ δ r 2 . {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \delta \mathbf {r} _{1}+\mathbf {F} _{2}\cdot \delta \mathbf {r} _{2}.} 変動 δ r i ( i = 1, 2) は次のように計算できる。
δ r 1 = ( L 1 cos θ 1 , L 1 sin θ 1 ) δ θ 1 , δ r 2 = ( L 1 cos θ 1 , L 1 sin θ 1 ) δ θ 1 + ( L 2 cos θ 2 , L 2 sin θ 2 ) δ θ 2 {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1},\quad \delta \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1}+(L_{2}\cos \theta _{2},L_{2}\sin \theta _{2})\delta \theta _{2}} したがって、仮想仕事は次のように与えられる。
δ W = − ( m 1 + m 2 ) g L 1 sin θ 1 δ θ 1 − m 2 g L 2 sin θ 2 δ θ 2 , {\displaystyle \delta W=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1}\delta \theta _{1}-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}\delta \theta _{2},} そして一般化された力は
F θ 1 = − ( m 1 + m 2 ) g L 1 sin θ 1 , F θ 2 = − m 2 g L 2 sin θ 2 . {\displaystyle F_{\theta _{1}}=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},\quad F_{\theta _{2}}=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.} この系の運動エネルギーを計算すると、
T = 1 2 m 1 v 1 ⋅ v 1 + 1 2 m 2 v 2 ⋅ v 2 = 1 2 ( m 1 + m 2 ) L 1 2 θ ˙ 1 2 + 1 2 m 2 L 2 2 θ ˙ 2 2 + m 2 L 1 L 2 cos ( θ 2 − θ 1 ) θ ˙ 1 θ ˙ 2 . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}m_{1}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+{\frac {1}{2}}m_{2}\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}L_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+m_{2}L_{1}L_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1}){\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}.} オイラー・ラグランジュ方程式は、 未知の一般化座標 θ i ( i = 1, 2) において2つの方程式を与える 。[14]
( m 1 + m 2 ) L 1 2 θ ¨ 1 + m 2 L 1 L 2 θ ¨ 2 cos ( θ 2 − θ 1 ) + m 2 L 1 L 2 θ 2 ˙ 2 sin ( θ 1 − θ 2 ) = − ( m 1 + m 2 ) g L 1 sin θ 1 , {\displaystyle (m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\dot {\theta _{2}}}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},} そして
m 2 L 2 2 θ ¨ 2 + m 2 L 1 L 2 θ ¨ 1 cos ( θ 2 − θ 1 ) + m 2 L 1 L 2 θ 1 ˙ 2 sin ( θ 2 − θ 1 ) = − m 2 g L 2 sin θ 2 . {\displaystyle m_{2}L_{2}^{2}{\ddot {\theta }}_{2}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\dot {\theta _{1}}}^{2}\sin(\theta _{2}-\theta _{1})=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.} 一般化座標 θ i ( i = 1, 2) を使用すると、二重振り子のダイナミクスの直交座標定式化の代替手段が提供されます。
球面振り子 球面振り子：角度と速度。 3次元の例として、長さ l が一定で、重力の影響を受ける任意の角度方向に自由に振れる 球面振り子の 場合、振り子の錘の拘束条件は次の式で表すことができます。
f ( r ) = x 2 + y 2 + z 2 − l 2 = 0 , {\displaystyle f(\mathbf {r} )=x^{2}+y^{2}+z^{2}-l^{2}=0\,,} 振り子の錘の位置は次のように書ける。
r = ( x ( θ , ϕ ) , y ( θ , ϕ ) , z ( θ , ϕ ) ) , {\displaystyle \mathbf {r} =(x(\theta ,\phi ),y(\theta ,\phi ),z(\theta ,\phi ))\,,} ここで 、（ θ 、 φ ）は 球面極角 です 。これは、錘が球面上を移動するためです。位置 r は、錘を吊り下げ点に沿って測定されます。錘はここでは 点粒子 として扱われます。運動を記述するための一般化座標として論理的に選択されるのは、角度 （ θ 、 φ ） です。錘の位置は2つの数値でパラメータ化でき、制約方程式は3つの座標 （ x 、 y 、 z ） を結び付けているため、3つの座標ではなく2つの座標のみが必要です。そのため、これらの座標のいずれかは他の2つの座標から決定されます。
一般化座標と仮想仕事 仮想仕事の原理 は 、 系が静的平衡状態にある場合、この状態からの系のすべての仮想移動に対して適用された力の仮想仕事はゼロであり、すなわち、 任意の変化δrに対して δW = 0 であると 述べ ています。 [15] 一般化座標で定式化すると、これは任意の仮想変位に対する一般化力がゼロであるという要件、すなわちFi = 0であること と 同等 です 。
系に働く力を F j ( j = 1, 2, …, m )とし、直交座標 r j ( j = 1, 2, …, m ) の点に作用させると 、平衡位置からの仮想変位によって生じる仮想仕事は次のように表される。
δ W = ∑ j = 1 m F j ⋅ δ r j . {\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}.} ここで、 δ r j ( j = 1, 2, …, m ) は物体内の各点の仮想変位を表します。
ここで 、各 δ r j が一般化座標 q i ( i = 1, 2, …, n )に依存すると仮定すると、
δ r j = ∂ r j ∂ q 1 δ q 1 + … + ∂ r j ∂ q n δ q n , {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{j}={\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{1}}}\delta {q}_{1}+\ldots +{\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{n}}}\delta {q}_{n},} そして
δ W = ( ∑ j = 1 m F j ⋅ ∂ r j ∂ q 1 ) δ q 1 + … + ( ∑ j = 1 m F j ⋅ ∂ r j ∂ q n ) δ q n . {\displaystyle \delta W=\left(\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{1}}}\right)\delta {q}_{1}+\ldots +\left(\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{n}}}\right)\delta {q}_{n}.} n 項
F i = ∑ j = 1 m F j ⋅ ∂ r j ∂ q i , i = 1 , … , n , {\displaystyle F_{i}=\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{i}}},\quad i=1,\ldots ,n,} は系に作用する一般化された力である。ケイン [16] は、これらの一般化された力は時間微分比で定式化できることを示している。
F i = ∑ j = 1 m F j ⋅ ∂ v j ∂ q ˙ i , i = 1 , … , n , {\displaystyle F_{i}=\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{j}}{\partial {\dot {q}}_{i}}},\quad i=1,\ldots ,n,} ここで、 v j は力F j の作用点の速度です 。
任意の仮想変位に対して仮想仕事がゼロになるためには、一般化された力のそれぞれがゼロでなければならない。
δ W = 0 ⇒ F i = 0 , i = 1 , … , n . {\displaystyle \delta W=0\quad \Rightarrow \quad F_{i}=0,i=1,\ldots ,n.}
参照 Wikiquote には、一般化座標 に関する引用があります 。
注記 ^ Hand & Finch などの著者は、ここに示すように、粒子k の位置ベクトルの形式を 、その粒子に対する制約がホロノミックであるための条件としています。 ^ 制約方程式（例えば振り子）によっては、便宜上、制約方程式を定数に設定する著者もいれば、ゼロに設定する著者もいます。定数を減算することで方程式の片側をゼロにすることができるため、どちらでも違いはありません。また、第一種ラグランジュ方程式では、微分のみが必要です。
参考文献 ^ Ginsberg 2008, p. 397, §7.2.1 一般化座標の選択 ^ Farid ML Amirouche (2006). 「§2.4: 一般化座標」. 『多体力学の基礎：理論と応用』 . Springer. p. 46. ISBN 0-8176-4236-6 。 ^ フロリアン・シェック (2010). 「§5.1 一般座標の多様体」. 力学：ニュートンの法則から決定論的カオスへ （第5版）. シュプリンガー. p. 286. ISBN 978-3-642-05369-6 。 ^ ゴールドスタイン、プール、サフコ 2002、12ページ ^ Kibble & Berkshire 2004、232ページより ^ トルビー 1984、260ページ ^ ゴールドスタイン、プール、サフコ 2002、13ページ ^ ハンド＆フィンチ 1998年、15ページ ^ トルビー 1984、269ページ ^ ゴールドスタイン、プール、サフコ 2002、25ページ ^ ランダウ＆リフシッツ 1976年、8ページ ^ グリーンウッド、ドナルド・T. (1987). 『ダイナミクスの原理』 （第2版）. プレンティス・ホール. ISBN 0-13-709981-9 。 ^ リチャード・フィッツパトリック、ニュートン力学。 ^ エリック・W・ワイスタイン、二重振り子、scienceworld.wolfram.com。 2007年 ^ トルビー 1984 ^ TR KaneとDA Levinson著『ダイナミクス：理論と応用』McGraw-Hill、ニューヨーク、1985年
引用文献一覧 
