幾何平均

N-th root of the product of n numbers

幾何平均の例: (赤) はおよびの幾何平均です。[ ^{1] [2]}は、線分が に垂直な線として与えられている例です。は円の直径で、 です。 ${\displaystyle l_{g}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle l_{2}\;({\overline {BC}})}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle {\overline {AC'}}}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}\cong {\overline {BC'}}}$

数学において、幾何平均（または比例平均とも呼ばれる）とは、有限個の正の実数の集合の中心傾向を、それらの値の積を用いて示す平均または平均値である（和を用いる算術平均とは対照的である）。数の幾何平均はそれらの積のn乗根である。すなわち、数a ₁、a ₂、…、a _nの集合について、幾何平均は次のように定義される。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}{\vphantom {t}}}}.}$

数値の集合とその幾何平均を対数スケールでプロットすると、幾何平均は算術平均に変換されるため、各数値の自然対数 を取り、対数の算術平均を求め、 ${\displaystyle \ln }$指数 関数を使用して結果を線形スケールに戻すことで、幾何 平均を同等に計算できます。 ${\displaystyle \exp }$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}{\vphantom {t}}}}=\exp \left({\frac {\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots +\ln a_{n}}{n}}\right).}$

2つの数の幾何平均はそれらの積の平方根です。例えば、数⁠ ⁠ ${\displaystyle 2}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle 8}$の場合、幾何平均は です。3つの数の幾何平均はそれらの積の立方根です。例えば、数⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠の場合、幾何平均は です。 ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2\cdot 8}}={}}$ ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {16}}=4}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 18}$ ${\displaystyle \textstyle {\sqrt[{3}]{1\cdot 12\cdot 18}}={}}$ ${\displaystyle \textstyle {\sqrt[{3}]{216}}=6}$

幾何平均は、人口増加率や金融投資の金利など、平均化すべき数量が乗法的に組み合わさる場合に有用です。例えば、ある人が1,000ドルを投資し、年間収益がそれぞれ+10%、-12%、+90%、-30%、+25%で、最終値が1,609ドルになったとします。平均成長率は、年間成長率（1.10、0.88、1.90、0.70、1.25）の幾何平均、つまり1.0998となり、年間平均成長率は9.98%となります。これらの年間収益率の算術平均は16.6%ですが、成長率は加法的に組み合わさらないため、意味のある平均とは言えません。

幾何平均は幾何学の観点から理解することができます。2つの数、およびの幾何平均は、長さがそれぞれ辺の長さである長方形の面積に等しい正方形の1辺の長さです。同様に、3つの数、、、およびの幾何平均は、指定された3つの数に等しい辺の長さを持つ直方体と体積が等しい立方体の1辺の長さです。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

幾何平均は、算術平均と調和平均とともに、 3つの古典的なピタゴラス平均の1つです。少なくとも1組の異なる値を含むすべての正のデータセットにおいて、調和平均は常に3つの平均の中で最小の値となり、算術平均は常に3つの平均の中で最大の値となり、幾何平均は常にその中間の値となります（算術平均と幾何平均の不等性を参照）。

処方

データ セットの幾何平均は次のように求められます。 ${\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}$

${\displaystyle {\biggl (}\prod _{i=1}^{n}a_{i}{\biggr )}^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}{\vphantom {t}}}}.}$^[3]

つまり、要素の積のn乗根です。例えば、 の場合、積は となり、幾何平均は24の4乗根、つまり約2.213となります。 ${\textstyle 1,2,3,4}$ ${\textstyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}$ ${\textstyle 24}$

対数を用いた定式化

幾何平均は対数の算術平均の指数として表すこともできます。^[4]対数の恒等式を用いて式を変形すると、乗算は和として、累乗は乗算として表すことができます。

いつ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0}$

${\displaystyle {\biggl (}\prod _{i=1}^{n}a_{i}{\biggr )}^{\frac {1}{n}}=\exp {\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}{\biggr )},}$

以来 ${\displaystyle \textstyle {\vphantom {\Big |}}\ln {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}{\vphantom {t}}}}={\frac {1}{n}}\ln(a_{1}a_{2}\cdots a_{n})={\frac {1}{n}}(\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots +\ln a_{n}).}$

これは対数平均と呼ばれることもあります（対数平均と混同しないでください）。これは、を対数変換した値（つまり、対数スケール上の算術平均）の算術平均であり、指数を使用して元のスケールに戻します。つまり、 の一般化f平均です。自然対数の代わりに、任意の底の対数を使用できます。例えば、 、 、の幾何平均は、底2の対数を使用して計算できます。 ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle f(x)=\log x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle 16}$

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{1\cdot 2\cdot 8\cdot 16}}=2^{(\log _{2}\!1\,+\,\log _{2}\!2\,+\,\log _{2}\!8\,+\,\log _{2}\!16)/4}=2^{(0\,+\,1\,+\,3\,+\,4)/4}=2^{2}=4.}$

上記に関連して、与えられた点のサンプルに対して、幾何平均は、 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle f(a)=\sum _{i=1}^{n}(\log a_{i}-\log a)^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(\log {\frac {a_{i}}{a}}\right)^{2}}$、

一方、算術平均は、

${\displaystyle f(a)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a)^{2}}$。

したがって、幾何平均は、指数がサンプルの指数と最もよく一致するサンプルの概要を提供します (最小二乗の意味で)。

コンピュータ実装において、単純に多くの数を掛け合わせると、算術オーバーフローやアンダーフローが発生する可能性があります。この問題を回避する方法の一つとして、対数を用いて幾何平均を計算することが挙げられます。

関連概念

反復手段

データセットの幾何平均は、データセットのすべての要素が等しい場合を除き、そのデータセットの算術平均よりも小さくなります。データセットのすべての要素が等しい場合、幾何平均と算術平均は等しくなります。これにより、算術幾何平均、つまり両者の交点（常に中間に位置する）を定義することができます。

幾何平均は、 2つの数列（）と（）が定義されている場合、算術調和平均でもあります。 ${\textstyle a_{n}}$ ${\textstyle h_{n}}$

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}},\quad a_{0}=x}$

そして

${\displaystyle h_{n+1}={\frac {2{a_{n}}{h_{n}}}{a_{n}+h_{n}}},\quad h_{0}=y}$

ここで、 は2つの数列の前の値の調和平均である。すると、 と はとの幾何平均に収束する。数列は共通の極限に収束し、幾何平均は保存される。 ${\textstyle h_{n+1}}$ ${\textstyle a_{n}}$ ${\textstyle h_{n}}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$

${\displaystyle {\sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}={\sqrt {{\frac {a_{i}+h_{i}}{2}}{\frac {2{a_{i}}{h_{i}}}{a_{i}+h_{i}}}}}={\sqrt {{a_{i}}{h_{i}}}}}$

算術平均と調和平均を、反対の有限指数の一般化された平均のペアに置き換えると、同じ結果が得られます。

算術平均との比較

AM-GM不等式の簡単な証明：
PRはOを中心とする円の直径であり、その半径AOはaとbの算術平均である。三角形PGRはタレスの定理より直角三角形であり、幾何平均定理を用いてその高さGQが幾何平均であることが示される。任意の比a : bに対して、AO ≥ GQである。

2つの異なる正の数aとbの最大値 ( a、b ) >二乗平均平方根( RMS )または二次平均( QM ) >算術平均( AM ) >幾何平均( GM ) >調和平均( HM ) >最小値 ( a、b )を言葉なしで証明する[注¹ ]

正の数からなる空でないデータセットの幾何平均は、常にその算術平均以下になります。データセット内のすべての数が等しい場合にのみ等式が成立し、そうでない場合、幾何平均はより小さくなります。例えば、2と3の幾何平均は2.45ですが、算術平均は2.5です。特に、これは、異なる数の集合に平均保存拡散（つまり、集合の要素が算術平均を変えずに互いに「広がる」）が適用される場合、それらの幾何平均が減少することを意味します。^[5]

連続関数の幾何平均

が連続実数値関数である場合、この区間における幾何平均は ${\displaystyle f:[a,b]\to (0,\infty )}$

${\displaystyle {\text{GM}}[f]=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln f(x)dx\right)}$

たとえば、 単位区間にわたって恒等関数をとると、0 から 1 までの正の数の幾何平均は に等しいことがわかります。 ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle {\frac {1}{e}}}$

アプリケーション

平均比例成長率

指数関数的成長（一定比例成長）と変動成長の両方において、比例成長を記述するには算術平均よりも幾何平均の方が適しています。ビジネスの世界では、成長率の幾何平均は年平均成長率（CAGR）として知られています。期間を跨いだ成長の幾何平均は、最終的な金額が等しくなる一定成長率と等価です。

例えば、オレンジの木がある年に100個のオレンジを収穫し、次の年には180個、210個、300個と収穫したとします。この場合、成長率はそれぞれ80%、16.7%、42.9%です。算術平均を用いると、（線形）平均成長率は46.5%となります（式で計算）。しかし、最初の収穫量100個のオレンジに46.5%の年間成長率を適用すると、3年後には観測された300個ではなく、314個のオレンジが収穫されます。線形平均は成長率を過大評価しています。 ${\displaystyle (80\%+16.7\%+42.9\%)\div 3}$

代わりに、幾何平均を用いると、年間平均成長率は約44.2%となります（ で計算）。年間成長率が44.2%のオレンジ100個から始めると、3年後には300個というオレンジの収穫量が得られると予想されます。 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1.80\times 1.167\times 1.429}}}$

平均成長率を決定するために、各ステップで測定された成長率の積をとる必要はありません。量を という数列で表します。ここで は初期状態から最終状態までのステップ数です。連続する測定との間の成長率はです。これらの成長率の幾何平均は、以下の式で表されます。 ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle a_{k+1}}$ ${\displaystyle a_{k+1}/a_{k}}$

${\displaystyle \left({\frac {a_{1}}{a_{0}}}{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}.}$

正規化された値

幾何平均の基本的な性質は、他の平均には当てはまらないが、長さが等しい2つの数列に対して、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)={\frac {\operatorname {GM} (X_{i})}{\operatorname {GM} (Y_{i})}}}$。

そのため、正規化された結果、つまり基準値に対する比率として提示される結果を平均化する場合、幾何平均が唯一の正しい平均となります。 ^[6] これは、基準となるコンピュータと比較してコンピュータの性能を提示する場合、または複数の異種情報源（例えば、平均寿命、教育年数、乳児死亡率）から単一の平均指標を計算する場合に当てはまります。このようなシナリオでは、算術平均または調和平均を使用すると、基準として何を使用するかによって結果の順位が変わります。例えば、次のコンピュータプログラムの実行時間の比較を考えてみましょう。

表1

	コンピュータA	コンピュータB	コンピュータC
プログラム1	1	10	20
プログラム2	1000	100	20
算術平均	500.5	55	20
幾何平均	31.622...	31.622...	20
調和平均	1.998...	18.182...	20

算術平均と幾何平均は、コンピュータCが最速であることに「一致」しています。しかし、適切に正規化された値を提示し、算術平均を用いることで、他の2台のコンピュータのどちらかが最速であることを示すことができます。Aの結果で正規化すると、算術平均によればAが最速のコンピュータとなります。

表2

	コンピュータA	コンピュータB	コンピュータC
プログラム1	1	10	20
プログラム2	1	0.1	0.02
算術平均	1	5.05	10.01
幾何平均	1	1	0.632...
調和平均	1	0.198...	0.039...

B の結果で正規化すると、算術平均では B が最速のコンピュータになりますが、調和平均では A が最速のコンピュータになります。

表3

	コンピュータA	コンピュータB	コンピュータC
プログラム1	0.1	1	2
プログラム2	10	1	0.2
算術平均	5.05	1	1.1
幾何平均	1	1	0.632
調和平均	0.198...	1	0.363...

C の結果で正規化すると、算術平均では C が最速のコンピュータになりますが、調和平均では A が最速のコンピュータになります。

表4

	コンピュータA	コンピュータB	コンピュータC
プログラム1	0.05	0.5	1
プログラム2	50	5	1
算術平均	25.025	25.25	1
幾何平均	1.581...	5	1
調和平均	0.099...	0.909...	1

いずれの場合も、幾何平均によって与えられた順位は、正規化されていない値で得られた順位と同じままです。

しかし、この推論は疑問視されてきた。^[7]一貫性のある結果を出すことは、必ずしも正しい結果を出すことと同義ではない。一般的に、各プログラムに重みを割り当て、加重平均（算術平均を使用）を計算し、その結果をいずれかのコンピュータに正規化する方が厳密である。上記の 3 つの表は、各プログラムに異なる重みを与えているだけであり、算術平均と調和平均の一貫性のない結果が説明される（表 4 では両方のプログラムに等しい重みが与えられ、表 2 では 2 番目のプログラムに 1/1000 の重みが与えられ、表 3 では 2 番目のプログラムに 1/100、最初のプログラムに 1/10 の重みが与えられている）。パフォーマンス数値を集計するために幾何平均を使用することは、可能であれば避けるべきである。算術平均のように時間を加算するのとは異なり、実行時間を乗算することには物理的な意味がないからである。時間に反比例するメトリック (高速化、IPC ) は、調和平均を使用して平均化する必要があります。

一般化平均の極限がゼロに近づくにつれて、幾何平均を一般化平均から導くことができます。同様に、加重幾何平均についても同様のことが言えます。 ${\displaystyle p}$

金融

幾何平均は、金融指標の計算に時折用いられてきました（平均は指数の構成要素全体にわたります）。例えば、過去にはFT30指数も幾何平均を使用していました。^[8]また、消費者物価指数（CPI ）の計算にも幾何平均が用いられており^[9] 、最近では英国と欧州連合で「RPIJ 」と呼ばれるインフレ指標も導入されています。

これには算術平均を使用する場合と比較して、指数の動きを過小評価する効果があります。^[8]

社会科学への応用

幾何平均は社会統計の計算では比較的まれであったが、2010年から国連人間開発指数では、集計・比較対象となる統計の代替不可能な性質をよりよく反映するという理由で、この計算モードに切り替えられた。

幾何平均は、比較対象となる次元間の代替性を低減すると同時に、例えば出生時平均寿命の1%の低下が、教育水準や所得の1%の低下と同等の影響を与えることを保証します。したがって、達成度の比較の基準として、この方法は単純平均よりも次元間の本質的な差異をより尊重するものでもあります。^[10]

HDI（人間開発指数）の計算に使用される値はすべて正規化されているわけではなく、一部の値は という形式になります。そのため、幾何平均の選択は、上記の「プロパティ」セクションから予想されるほど明確ではありません。 ${\displaystyle \left(X-X_{\text{min}}\right)/\left(X_{\text{norm}}-X_{\text{min}}\right)}$

不平等回避パラメータが1.0のアトキンソン指数に関連する、平等に分配された福祉等価所得は、単に所得の幾何平均です。値が1以外の場合、等価値はLpノルムを要素数で割った値で、pは1から不平等回避パラメータを引いた値となります。

幾何学

直角三角形の直角から斜辺までの高さは、斜辺を分割した線分の長さの幾何平均です。ピタゴラスの定理を、辺が( p  +  q , r , s  )、( r , p , h  )、( s , h , q  )の3つの三角形に適用すると、
${\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}$

直角三角形の場合、その高さは、斜辺から90°の頂点に垂直に伸ばした線分の長さです。この線分が斜辺を2つの線分に分割すると仮定すると、これらの線分の長さの幾何平均が高さの長さとなります。この性質は幾何平均定理として知られています。

楕円において、短半径は焦点からの楕円の最大距離と最小距離の幾何平均である。また、長半径と直角半半径の幾何平均でもある。楕円の長半径は、中心からいずれかの焦点までの距離と、中心からいずれかの準線までの距離の幾何平均である。

別の考え方としては、次のようになります。

半径 の円を考えます。円上の正反対の2点を取り、両端から圧力をかけると、長軸と短軸の長さがそれぞれ と の楕円になります。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

円と楕円の面積は同じなので、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi r^{2}&=\pi ab\\r^{2}&=ab\\r&={\sqrt {ab}}\end{aligned}}}$

円の半径は、円を変形して形成される楕円の長半径と短半径の幾何平均です。

球体の地平線までの距離（大気が存在する場合の大気屈折の影響を無視）は、球体の最も近い点までの距離と球体の最も遠い点までの距離の幾何平均に等しくなります。

^{幾何平均は、S・A・ラマヌジャン[11]}による円の二乗近似と、 「平均比例」による17角形の構築の両方で使用されています。 ^[12]

アスペクト比

カーンズ・パワーズがSMPTE 16:9規格を導き出すために使用したアスペクト比の等面積比較。^[13]   テレビ 4:3/1.33 赤、  オレンジ1.66、  16:9/1.7 7青、  黄色1.85、  パナビジョン/2.2 モーブと  シネマスコープ/2.35 紫色。

幾何平均は、映画やビデオにおいて妥協的なアスペクト比を選択する際に用いられてきました。2つのアスペクト比が与えられた場合、それらの幾何平均はそれらの妥協点となり、ある意味で両方を等しく歪ませたり切り取ったりします。具体的には、アスペクト比が異なる2つの等面積長方形（中心と平行な辺が同じ）は、アスペクト比が幾何平均である長方形で交差し、その外形（両方を包含する最小の長方形）も同様に幾何平均のアスペクト比を持ちます。

SMPTEが2.35 と 4:3 のバランスを取りながら16:9 のアスペクト比を選択する際には、幾何平均は となり、したがって... が選択されました。これは Kerns Powers によって経験的に発見されました。彼は、等しい面積の長方形を切り取り、一般的なアスペクト比のそれぞれに一致するように形を整えました。彼は、これらのアスペクト比の長方形をすべて、中心点を揃えて重ね合わせると、アスペクト比が 1.77:1 の外側の長方形の内側に収まり、すべてが同じアスペクト比 1.77:1 の小さな共通の内側の長方形も覆うことを発見しました。^[13] Powers によって発見された値は、極端なアスペクト比4:3 (1.33:1) とシネマスコープ(2.35:1) のまさに幾何平均であり、偶然にも( )に近い値です。中間の比率は結果に影響せず、2 つの極端な比率のみが影響します。 ${\textstyle {\sqrt {2.35\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.7701}$ ${\textstyle 16:9=1.77{\overline {7}}}$   ${\textstyle 16:9}$ ${\textstyle 1.77{\overline {7}}:1}$

同じ幾何平均の手法を 16:9 と 4:3 に適用すると、おおよそ14:9 ( ...) のアスペクト比が得られ、これも同様にこれらの比率の妥協点として使用されます。^[14]この場合、14 は 16 と 12 の平均であるため、14:9 はとの算術平均とまったく同じであり、正確な幾何平均は ですが、算術平均と幾何平均という 2 つの異なる平均は、両方の数値が十分に近い (差が 2% 未満) ため、ほぼ等しくなります。 ${\textstyle 1.55{\overline {5}}}$ ${\textstyle 16:9}$ ${\textstyle 4:3=12:9}$ ${\textstyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.5396\approx 13.8:9,}$

用紙のフォーマット

幾何平均は、BシリーズおよびCシリーズの用紙サイズの計算にも用いられます。このサイズの用紙の面積は、との面積の幾何平均です。例えば、B1サイズの用紙の面積は です。これは、A0 ( ) 用紙とA1 ( ) 用紙( ​)の面積の幾何平均だからです。 ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle A_{n-1}}$ ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}}$ ${\textstyle 1\mathrm {m} ^{2}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}$ ${\textstyle {\sqrt {1\mathrm {m} ^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{4}}}={}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {m} ^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}}$

同じ原理がCシリーズにも適用され、その面積はAシリーズとBシリーズの幾何平均となります。例えば、C4フォーマットの面積はA4とB4の面積の幾何平均となります。

この関係から得られる利点は、A4 用紙が C4 封筒に収まり、両方が B4 封筒に収まることです。

その他のアプリケーション

• スペクトル平坦性:信号処理において、スペクトル平坦性は、スペクトルがどの程度平坦であるか、またはスパイク状であるかの尺度であり、パワースペクトルの幾何平均と算術平均の比として定義されます。
• 反射防止コーティング：光学コーティングでは、屈折率n ₀とn _{2の 2 つの媒体間の反射を最小限に抑える必要があり、}反射防止コーティングの最適屈折率n ₁は幾何平均で与えられます。 ${\displaystyle n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}}$
• 減法混色：塗料混合物（着色力、不透明度、希釈度が等しい）の分光反射率曲線は、各スペクトル波長で計算された塗料の個々の反射率曲線の幾何平均にほぼ相当します。^[15]
• 画像処理：幾何平均フィルタは、画像処理におけるノイズフィルタとして使用されます。
• 労働報酬： 1875年にヨハン・フォン・チューネンが、最低賃金と雇用主の資本を用いた労働の市場価値の幾何平均を自然賃金として提案した^。[16]

参照

• 数学ポータル

• 算術幾何平均
• 一般化平均
• 幾何平均定理
• 幾何標準偏差
• 調和平均
• ヘロン平均
• 異分散性
• 対数正規分布
• ミュアヘッドの不等式
• 製品
• ピタゴラスとは
• 二次平均
• 求積法（数学）
• 準算術平均（一般化f平均）
• 収益率
• 加重幾何平均

注記

1. NM = a、 PM = bとすると、 AM = aとbのAM、半径r = AQ = AG となります。ピタゴラスの定理を用いると、 QM² = AQ² + AM² ∴ QM = √ AQ² + AM² = QMとなります。ピタゴラスの定理を用いると、 AM² = AG² + GM² ∴ GM = √ AM² − AG² = GMとなります。相似三角形を用いると、 ⁠
   
   
   フム/GM⁠ = ⁠GM/午前⁠ ∴ HM = ⁠GM²/午前⁠ = HM。

参考文献

1. Matt Friehauf、Mikaela Hertel、Juan Liu、Stacey Luong 「コンパスと定規の構築について：手段」（PDF）。ワシントン大学数学科。2013年。 2018年6月14日閲覧。
2. David E. Joyce編 (2013). 「ユークリッド 第6巻 命題13」 クラーク大学. 2019年7月19日閲覧。
3. “2.5: 幾何平均”. Statistics LibreTexts . 2019年4月20日. 2021年8月16日閲覧。
4. Crawley, Michael J. (2005). 『統計学：Rを用いた入門』 John Wiley & Sons Ltd. ISBN 9780470022986。
5. ミッチェル、ダグラス・W. (2004). 「スプレッドと非算術平均についてさらに詳しく」. The Mathematical Gazette . 88 (511): 142– 144. doi :10.1017/S0025557200174534. S2CID  168239991.
6. フレミング, フィリップ J.; ウォレス, ジョン J. (1986). 「統計で嘘をつかない方法：ベンチマーク結果を正しく要約する方法」Communications of the ACM . 29 (3): 218– 221. doi : 10.1145/5666.5673 . S2CID  1047380.
7. スミス, ジェームズ・E. (1988). 「コンピュータの性能を単一の数値で特徴付ける」Communications of the ACM . 31 (10): 1202– 1206. doi : 10.1145/63039.63043 . S2CID  10805363.
8. ロウリー、エリック・E.（1987年）『今日の金融システム』マンチェスター大学出版局、ISBN 0719014875。
9. 「物価インフレの測定」（PDF）政府保険数理局 2017年3月2023年7月15日閲覧– gov.uk経由。
10. 「人間開発報告書に関するよくある質問」hdr.undp.org。2011年3月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。
11. ラマヌジャン, S. (1914). 「モジュラー方程式とπの近似値」(PDF) . Quarterly Journal of Mathematics . 45 : 350–372 .
12. TP Stowell著『Leybourn's Math. Repository, 1818』より抜粋（Google Books経由、The Analyst ）
13. 「技術速報：アスペクト比の理解」（PDF） . The CinemaSource Press. 2001年. 2009年9月9日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） . 2009年10月24日閲覧。
14. US 5956091、「4:3ディスプレイに16:9の画像を表示する方法」、1999年9月21日発行 
15. MacEvoy, Bruce. 「色彩特性：光と色の測定」handprint.com/LS/CVS/color.html . 測色法. 2019年7月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年1月2日閲覧。
16. ヘンリー・ラドウェル・ムーア（1895年）『フォン・チューネンの自然賃金理論』GHエリス。

外部リンク

• 算術解と比較した2つの数値の幾何平均の計算
• 算術平均と幾何平均
• 幾何平均を使用する場合
• 異なる種類のデータから幾何平均を計算するための実用的なソリューション 2010年11月12日アーカイブWayback Machine
• MathWorldの幾何平均
• 幾何平均の幾何学的意味
• 幾何平均を用いた議会議員定数配分の計算
• 幾何平均の定義と公式
• 幾何平均の分布
• 幾何平均ですか?

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