一貫した二重性

Generalisations of Serre duality in mathematics

数学において、コヒーレント双対性は、代数幾何学と複素多様体理論におけるコヒーレント層、および「局所」理論の一部である可換代数のいくつかの側面に適用される、セール双対性のさまざまな一般化のいずれかです。

この理論の歴史的ルーツは、古典的な代数幾何学における因子の線型システムの随伴線型システムという考え方にある。これは、層理論の出現により、ポアンカレ双対性との類似性をより明白にする形で再表現された。その後、一般原理、グロタンディークの相対的観点に従って、ジャン＝ピエール・セールの理論は、固有射影に拡張され、セール双対性は、特異でない 射影多様体（または完備多様体）から点への射影の場合として回復された。結果として得られた理論は現在ではセール・グロタンディーク・ヴェルディエ双対性と呼ばれることもあり、代数幾何学の基本的なツールとなっている。この理論を扱ったロビン・ハーショーンによるResidues and Duality（1966年）は、参考文献となった。具体的な派生の一つがグロタンディークの留数である。

閉多様体を対象としないポアンカレ双対性のバージョンの場合のように、真射を超えるには、何らかの形のコンパクト台概念が必要となる。これはSGA2において、局所コホモロジー、グロタンディーク局所双対性、そしてその後の議論で扱われた。1976年にラルフ・ストレベル、1978年にエベン・マトリスによって初めて定式化されたグリーンリーズ・メイ双対性は、この分野における継続的な考察の一部である。

随伴関数の観点

セール双対性は直線束または可逆層を双対化層として使用するが、一般理論は（結局のところ）それほど単純ではない。 （より正確には、ゴレンシュタイン環条件を課すという犠牲を払えば単純になる。）特徴的な転換として、グロタンディークは一般的なコヒーレント双対性を、コンパクトサポート関数を持つ高次の直接像への、ねじれ逆像関数または例外逆像関数と呼ばれる右随伴関数の存在として再定式化した。 ${\displaystyle f^{!}}$ ${\displaystyle Rf_{!}}$

高次の直接像は、この場合、適切な（コンパクトな）台を持つ層コホモロジーの層化形式である。これらは、ホモロジー代数の導来圏定式化（このケースを念頭に導入）によって単一の関数にまとめられる。が適切な場合、は逆像関数の右随伴となる。ねじれ逆像の存在定理とは、求められている随伴のコモナドのコユニットとなるもの、すなわち自然変換の存在の証明に付けられた名称である。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Rf_{!}=Rf_{\ast }}$ ${\displaystyle f^{\ast }}$

${\displaystyle Rf_{!}f^{!}\rightarrow id}$、

これは(Hartshorne) または(Verdier)と表記される。この表記法が示唆するように、双対性が積分によって定義されるという点は、理論の古典的な意味に最も近い側面である。 ${\displaystyle Tr_{f}}$ ${\displaystyle \int _{f}}$

より正確に言うと、は 上の準連接層の導来カテゴリから上の類似カテゴリへの正確な関数として存在し、 ${\displaystyle f^{!}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

は、有限クルル次元のネータースキームの真射影写像または準射影写像である。^[1]これから理論の残りの部分が導かれる。すなわち、双対化複体は、グロタンディーク留数記号、コーエン・マコーレーの場合の双対化層を介して引き戻される。 ${\displaystyle f^{!}}$

より古典的な言語で、しかしセール双対性よりも広い表現を得るために、ハーショーン (代数幾何学)は層の Ext 関数を使用します。これは導出カテゴリへの一種の踏み石です。

有限次元のネータースキームの射影写像または固有写像に対するグロタンディーク双対性の古典的な記述は、ハーツホーン（留数と双対性）に見られるように、次の準同型である。 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

${\displaystyle Rf_{\ast }RHom_{X}(F^{\bullet },f^{!}G^{\bullet })\to RHom_{Y}(Rf_{\ast }F^{\bullet },G^{\bullet })}$

準コヒーレントコホモロジーを持つ - 加群の上有界複体と、コヒーレントコホモロジーを持つ - 加群の下有界複体に対してである。ここでは準同型層である。 ${\displaystyle F^{\bullet }}$ ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle G^{\bullet }}$ ${\displaystyle O_{Y}}$ ${\displaystyle Hom}$

建設のf^!剛体双対化複体を用いた擬似関数

長年にわたり、擬似関数を構築するための様々なアプローチが考案されてきました。ごく最近成功したアプローチの一つは、剛体双対化複体の概念に基づいています。この概念は、非可換な文脈においてVan den Berghによって初めて定義されました。^{[2]この構成は、導来}ホックシルトコホモロジー（シュクラコホモロジー）の変種に基づいています。を可換環とし、 を 可換代数とします。上の導来圏に属するオブジェクトにコチェーン複体を渡す関数が存在するとします。^{[3] [4]} ${\displaystyle f^{!}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k-}$ ${\displaystyle RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)}$ ${\displaystyle A}$

がネーターであると仮定すると、に対する上の剛体双対化複体は定義により、が 上の双対化複体であり、が 上で有限平坦次元を持ち、 が導来カテゴリ における同型であるような対である。このような剛体双対化複体が存在する場合、それは強い意味で一意である。^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (R,\rho )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)}$ ${\displaystyle D(A)}$

が有限型 -代数の局所化であると仮定すると、 に対する上の剛体双対化複体の存在は、 が有限クルル次元の正則ノイザン環であると仮定してYekutieliと Zhang ^[5]によって最初に証明され、 が有限クルル次元のゴレンスタイン環でありが上で有限平坦次元であると仮定してAvramov、 Iyengar およびLipman ^[6]によって最初に証明されました。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$

が 上の有限型のスキームである場合、そのアフィン部分が持つ剛体双対化複体を接着し、^[7]剛体双対化複体 を得ることができる。上のスキームの写像が与えられた場合、剛体双対化複体の大域的存在を確立すれば、を定義できる。ここで、スキーム に対して、 と設定する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R_{X}}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f^{!}:=D_{X}\circ Lf^{*}\circ D_{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{X}:=RHom_{{\mathcal {O}}_{X}}(-,R_{X})}$

複雑な例を二元化する

射影多様体の双対化複体

射影多様体の双対複体は複体で与えられる。 ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{n}}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbb {P} ^{n}}[+n])}$

^[8]

直線と交差する平面

射影多様体を考える

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x)(y,z)}}\right)={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,xz)}}\right)}$

局所自由層による分解を使って計算することができる。これは複素数で与えられる。 ${\displaystyle \mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbb {P} ^{3}}[+3])}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\bullet }\to {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-3){\xrightarrow {\begin{bmatrix}z\\-y\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {\begin{bmatrix}xy&xz\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

私たちはそれを持っているので ${\displaystyle \omega _{\mathbb {P} ^{3}}\cong {\mathcal {O}}(-4)}$

${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {L}}^{\bullet },{\mathcal {O}}(-4)[+3])=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {L}}^{\bullet }\otimes {\mathcal {O}}(4)[-3],{\mathcal {O}})}$

これが複合体です

${\displaystyle [{\mathcal {O}}(-4){\xrightarrow {\begin{bmatrix}xy\\xz\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {\begin{bmatrix}z&-y\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}(-1)][-3]}$

参照

• ヴェルディエの二重性

注記

1. Brown表現可能性の手法を用いて、よりエレガントで一般的なアプローチを発見した。Neeman 1996を参照。
2. van den Bergh, Michel (1997年9月). 「非可換次数環およびフィルター環上の双対化複体の存在定理」. Journal of Algebra . 195 (2): 662– 679. doi : 10.1006/jabr.1997.7052 .
3. Yekutieli, Amnon (2016). 「可換DG環の平方演算」. Journal of Algebra . 449 : 50–107 . arXiv : 1412.4229 . doi : 10.1016/j.jalgebra.2015.09.038 .
4. Avramov, Luchezar L.; I​​yengar, Srikanth B.; Lipman, Joseph; Nayak, Suresh (2010年1月). 「可換代数と可換スキーム上の導来ホッホシルト関手の縮約」. Advances in Mathematics . 223 (2): 735– 772. arXiv : 0904.4004 . doi : 10.1016/j.aim.2009.09.002 . S2CID  15218584.
5. Yekutieli, Amnon; Zhang, James J. (2008年5月31日). 「可換環上の剛体双対化複体」.代数と表現論. 12 (1): 19– 52. arXiv : math/0601654 . doi :10.1007/s10468-008-9102-9. S2CID  13597155.
6. Avramov, Luchezar; Iyengar, Srikanth; Lipman, Joseph (2010年1月14日). 「複素数における反射性と剛性、I：可換環」. Algebra & Number Theory . 4 (1): 47– 86. arXiv : 0904.4695 . doi :10.2140/ant.2010.4.47. S2CID  18255441.
7. Avramov, Luchezar; Iyengar, Srikanth; Lipman, Joseph (2011年9月10日). 「複素数における反射性と剛性 II: スキーム」. Algebra & Number Theory . 5 (3): 379– 429. arXiv : 1001.3450 . doi :10.2140/ant.2011.5.379. S2CID  21639634.
8. Kovacs, Sandor. 「安定多様体の特異点」(PDF)。2017年8月22日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。

参考文献

• Greenlees, JPC; May, J. Peter (1992)、「 I進完備化と局所ホモロジーの導来関手」、 Journal of Algebra、149 (2): 438– 453、doi : 10.1016/0021-8693(92)90026-I、ISSN  0021-8693、MR  1172439
• ハーツホーン、ロビン（1966）、剰余と双対性、数学講義ノート20、第20巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、pp.  20– 48、doi：10.1007/BFb0080482、ISBN 978-3-540-03603-6
• ニーマン、アムノン（1996）「バウスフィールドの手法とブラウン表現可能性によるグロタンディーク双対定理」アメリカ数学会誌、9（1）：205–236、doi：10.1090/S0894-0347-96-00174-9、ISSN  0894-0347、MR  1308405
• ヴェルディエ, ジャン＝ルイ(1969)、「コヒーレント層のねじれ逆像の基底変化」、代数幾何学 (国際会議、タタ研究所基金研究会、ボンベイ、1968)、オックスフォード大学出版局、pp.  393– 408、MR  0274464
• ホプキンス、グレン、「グロタンディークの留数記号への代数的アプローチ」（PDF）

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Coherent_duality&oldid=1325490461"