多様体上のG構造

接線フレームバンドル上の構造群サブバンドル

微分幾何学において、n次元多様体M上のG構造は、与えられた構造群^[1] Gに対して、Mの接フレームバンドルFM （またはGL( M )）の主G部分バンドルである。

G構造の概念には、多様体上に定義できる様々な古典的構造が含まれており、場合によってはテンソル体となる。例えば、直交群の場合、O( n )-構造はリーマン計量を定義し、特殊線型群の場合、 SL( n , R )-構造は体積形式と同じになる。自明群の場合、{ e }-構造は多様体の絶対平行性から構成される。

この考え方を位相空間上の任意の主束に一般化すると、群上の主-束がの部分群から「来る」かどうかを問うことができる。これは構造群の への縮約と呼ばれる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

複素構造、シンプレクティック構造、ケーラー構造など、多様体上のいくつかの構造は、追加の積分可能性条件を持つG構造です。

構造群の縮小

群上の主-バンドルがの部分群から「来る」かどうかを問うことができる。これは構造群の（ への）縮約と呼ばれ、任意の写像 に対して意味を成す。ただし、（用語の表現に反して） 写像 は必ずしも包含写像である必要はない。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\to G}$

意味

以下では、を位相空間、を位相群、 を群準同型とします。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G,H}$ ${\displaystyle \phi \colon H\to G}$

コンクリート束に関しては

上の主-バンドルが与えられている場合、構造群の( からへの)簡約は-バンドルであり、関連するバンドルと元のバンドルの同型です。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \phi _{Q}\colon Q\times _{H}G\to P}$

空間の分類に関しては

マップ （ は-バンドルの分類空間）が与えられた場合、構造群の縮小はマップであり、ホモトピーです。 ${\displaystyle \pi \colon X\to BG}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi _{Q}\colon X\to BH}$ ${\displaystyle \phi _{Q}\colon B\phi \circ \pi _{Q}\to \pi }$

プロパティと例

構造群の縮約は必ずしも存在するとは限らない。もし存在するとしても、同型性がデータの重要な部分であるため、通常は本質的に一意ではない。 ${\displaystyle \phi }$

具体的な例として、任意の偶数次元実ベクトル空間は複素ベクトル空間の基底実空間と同型である。すなわち、線型複素構造を許容する。実ベクトル束が概複素構造を許容するための必要十分条件は、それが複素ベクトル束の基底実束と同型であることである。これは包含GL ( n , C ) → GL (2 n , R )に沿った縮約となる。

遷移写像の観点から見ると、G束は、遷移写像がHに値を持つとみなせる場合のみ、縮約可能です。ただし、 「縮約」という用語は誤解を招くので注意が必要です。この用語は、 HがGのサブグループであると示唆しますが、これはよくあるケースですが、必ずしもそうである必要はありません（例えばスピン構造の場合）。これは正しくは「持ち上げ」と呼ばれます。

より抽象的に言えば、「X上のG束」はGの関手^[2]である。リー群準同型H → Gが与えられたとき、（上記のように）誘導することでH束からG束への写像が得られる。G束Bの構造群の縮約とは、像がBとなるH束を選ぶことである。

H束からG束への誘導写像は一般には上向きでも一対一でもない。したがって、構造群は常に簡約できるとは限らず、簡約できる場合でも、その簡約は一意である必要はない。例えば、すべての多様体が向き付け可能であるとは限らず、向き付け可能な多様体は正確に2つの向き付けを許容する。

HがGの閉部分群であるとき、 G束BのHへの還元と、 BをHの右作用で割って得られるファイバー束 B / Hの大域切断との間には、自然な一対一対応が存在する。具体的には、ファイバー化B → B / HはB / H上の主H束である。σ : X → B / Hが切断であるとき、引き戻し束B _H = σ ⁻¹ BはBの還元である。^[3]

G-構造

次元のベクトル束はすべて、標準ベクトル束であるフレーム束を持つ。特に、滑らかな多様体はすべて、標準ベクトル束である接線束を持つ。リー群と群準同型の場合、構造はフレーム束の構造群を に縮約したものである。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle GL(n)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi \colon G\to GL(n)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

例

以下の例は、実ベクトル束、特に滑らかな多様体の接線束に対して定義されています。

群準同型	グループ ${\displaystyle G}$	${\displaystyle G}$-構造	妨害
${\displaystyle GL^{+}(n)<GL(n)}$	正行列式の一般線型群	オリエンテーション	バンドルは方向付け可能でなければなりません
${\displaystyle SL(n)<GL(n)}$	特殊線型群	ボリューム形式	束は方向付け可能でなければならない（変形は収縮する） ${\displaystyle SL\to GL^{+}}$
${\displaystyle SL^{\pm }(n)<GL(n)}$	行列式 ${\displaystyle \pm 1}$	擬似ボリューム形式	常に可能
${\displaystyle O(n)<GL(n)}$	直交群	リーマン計量	常に可能（は最大コンパクト部分群なので、包含は変形後退である） ${\displaystyle O(n)}$
${\displaystyle O(p,n-p)<GL(n)}$	不定直交群	擬リーマン計量	位相的障害[4]
${\displaystyle GL(n,\mathbf {C} )<GL(2n,\mathbf {R} )}$	複素一般線型群	ほぼ複雑な構造	位相的障害
${\displaystyle GL(n,\mathbf {H} )\cdot Sp(1)<GL(4n,\mathbf {R} )}$	${\displaystyle GL(n,\mathbf {H} )}$:左から作用する四元数一般線型群 ${\displaystyle \mathbf {H} ^{n}\cong \mathbf {R} ^{4n}}$ ${\displaystyle Sp(1)=Spin(3)}$:右から作用する単位四元数のグループ ${\displaystyle \mathbf {H} ^{n}}$	ほぼ四元構造[5]	位相的障害[5]
${\displaystyle GL(k)\times GL(n-k)<GL(n)}$	一般線型群	階数とサブバンドルのホイットニー和（直和）として分解します。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n-k}$	位相的障害

いくつかの-構造は他の -構造によって定義されます。有向多様体上のリーマン計量が与えられた場合、二重被覆の -構造はスピン構造です。(ここでの群準同型は包含ではないことに注意してください。) ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mbox{Spin}}(n)\to {\mbox{SO}}(n)}$

主要なバンドル

主バンドル理論はG構造の研究において重要な役割を果たしているが、この2つの概念は異なる。G構造は接フレームバンドルの主部分バンドルであるが、 G構造バンドルが接フレームから構成されているという事実はデータの一部とみなされる。例えば、R ⁿ上の2つのリーマン計量を考える。関連する O( n )-構造が同型となるのは、計量が等長である場合に限る。しかし、R ⁿは縮約可能であるため、縮約可能空間上のバンドルは自明バンドルのみであるため、基底となる O( n )-バンドルは常に主バンドルとして同型となる。

二つの理論のこの根本的な違いは、G構造の基礎となるG束に関する追加データ、すなわちはんだ形式を与えることで捉えることができる。はんだ形式は、Mの接束と付随するベクトル束との標準同型性を特定することにより、G構造の基礎となる主束を多様体自体の局所幾何学に結び付けるものである。はんだ形式は接続形式ではないが、接続形式への前駆形式とみなされることもある。

詳細には、Q がG構造の主バンドルであると仮定する。QがMのフレームバンドルの縮約として実現される場合、はんだ形式はフレームバンドルのトートロジー形式を包含に沿って引き戻すことによって与えられる。抽象的には、 Q をフレームバンドルの縮約としての実現とは独立に主バンドルとみなす場合、はんだ形式はR ⁿ上のGの表現 ρとバンドルの同型 θ : TM → Q × _ρ R ⁿから構成される。

積分可能性条件と平坦G-構造

多様体上のいくつかの構造、例えば複素構造、シンプレクティック構造、ケーラー構造などはG構造（したがって閉塞構造となり得る）であるが、追加の積分可能性条件を満たす必要がある。対応する積分可能性条件を満たさない構造は、概複素構造、概シンプレクティック構造、概ケーラー構造のように「概」構造と呼ばれる。

具体的には、シンプレクティック多様体構造は、シンプレクティック群のG構造よりも強い概念です。多様体上のシンプレクティック構造とは、M上の非退化2次元形式ω （つまり構造、あるいはほぼシンプレクティック構造）に、 d ω = 0という追加条件を付加したものです。後者は積分可能性条件と呼ばれます。 ${\displaystyle Sp}$

同様に、葉脈構造はブロック行列から生じるG構造に対応し、フロベニウスの定理が適用されるように積分条件も伴います。

平坦なG構造とは、可換ベクトル場からなる大域断面 ( V ₁ ,..., V _n ) を持つG構造Pのことである。G構造が可積分（または局所平坦）であるとは、平坦なG構造と局所的に同型であることを意味する。

同型性G-構造

G構造を保存する Mの微分同相写像の集合は、その構造の自己同型群と呼ばれる。O( n )-構造の場合、それらはリーマン計量の等長写像群であり、SL( n , R )-構造の場合、体積保存写像群である。

P を多様体M上のG構造、Q を多様体N上のG構造とする。このとき、G構造の同型性は、線形フレームf _*  : FM → FNのプッシュフォワードがPからQへの写像を与えるように制限するような微分同相写像f  : M → Nである。( Q がf _*の像内に含まれているだけで十分である点に注意すること。) G構造PとQ が局所同型であるためには、M が開集合Uによる被覆と微分同相写像の族f _U  : U → f ( U ) ⊂ Nを許容し、 f _{U が}P | _U → Q | _{f ( U )}の同型を誘導する。

G構造の自己同型は、G構造Pとそれ自身との同型である。自己同型は、多様体上の重要な幾何構造の多くがG構造として実現できるため、幾何構造の変換群の研究において頻繁に出現する^{[6] 。}

G構造の言語を用いて、広範な同値問題を定式化することができる。例えば、リーマン多様体のペアが（局所的に）同値であるための必要十分条件は、それらの直交フレームの束が（局所的に）同型なG構造である場合である。この観点から、同値問題を解く一般的な手順は、 G構造の不変量体系を構築し、それによってG構造のペアが局所的に同型であるかどうかを判定することである。

接続オンG-構造

Q をM上のG構造とする。主束Q上の主接続は、任意の付随ベクトル束、特に接束上の接続を誘導する。 このようにして生じるTM上の線型接続∇ はQと両立すると言われる。Q と両立する接続は適応接続とも呼ばれる。

具体的には、適応接続は移動フレームの観点から理解することができる。^[7] V _{i が}TMの局所切断（つまりM上のフレーム）の基底であり、 Qの切断を定義すると 仮定する。任意の接続 ∇ は、基底依存の1形式 ω の系を次のように決定する。

∇ _X V _i = ω _i ^j (X)V _j

ここで、1-形式の行列として、 ω ∈ Ω ¹ (M)⊗ gl ( n ) である。適応接続とは、 ω がGのリー代数gにおいて値を取る接続のことである。

ねじれG-構造

あらゆるG構造には、接続のねじれと関連するねじれの概念が付随する。与えられたG構造は、互いに適合する様々な接続を許容し、それらは異なるねじれを持つ可能性があるが、それにもかかわらず、以下のようにG構造のねじれという独立した概念を与えることが可能であることに注意されたい。^[8]

2つの適応接続の差は、随伴束Ad _Qに値を持つM 上の1-形式である。つまり、適応接続の空間A ^Qは Ω ¹ (Ad _Q ) のアフィン空間である。

適応接続のねじれはマップを定義する

${\displaystyle A^{Q}\to \Omega ^{2}(TM)\,}$

TMに係数を持つ2次元形式に変換される。この写像は線形であり、その線形化は

${\displaystyle \tau :\Omega ^{1}(\mathrm {Ad} _{Q})\to \Omega ^{2}(TM)\,}$

は代数的トーション写像_と呼ばれる。二つの適応接続∇と∇′が与えられたとき、それらのトーションテンソルT∇、T∇ _{′はτ (∇−∇′)だけ異なる。したがって、} T∇のcoker(τ)における像は∇の選択に依存しない。

任意の適応接続 ∇ に対するT _∇の coker(τ) における像は、 G構造の捩れと呼ばれます。G構造は、その捩れがゼロであるとき、捩れなしと呼ばれます。これはまさに、 Q が捩れなしの適応接続を許容するときに起こります。

例: ほぼ複雑な構造のねじれ

G構造の一例としては、概複素構造、すなわち偶数次元多様体の構造群を GL( n , C ) に縮約したものが挙げられる。このような縮約は、C ^∞線型自己準同型J ∈ End( TM ) であってJ ² = −1 を満たすものによって一意に決定される。この場合、捩れは以下のように明示的に計算できる。

簡単な次元計算でわかるのは、

${\displaystyle \Omega ^{2}(TM)=\Omega ^{2,0}(TM)\oplus \mathrm {im} (\tau )}$、

ここでΩ ^2,0 ( TM )は、次を満たす形式B ∈ Ω ² ( TM )の空間である。

${\displaystyle B(JX,Y)=B(X,JY)=-JB(X,Y).\,}$

^{したがって、概複素構造のねじれはΩ 2,0} ( TM )の元とみなすことができます。概複素構造のねじれがそのニージェンフイステンソルに等しいことは容易に確認できます。

高次のG-構造

特定のG構造（例えばシンプレクティック形式の場合）に積分可能性条件を課すことは、延長のプロセスによって対処できる。このような場合、延長されたG構造は線型フレームのバンドルのG部分バンドルと同一視することはできない。しかし、多くの場合、延長はそれ自体が主バンドルであり、その構造群は高階ジェット群の部分群と同一視できる。この場合、それは高階G構造と呼ばれる[小林]。一般に、このような場合にはカルタンの同値法が適用される。

参照

• G ₂構造

注記

1. これは一般線型群へのリー群 写像である。これはしばしばリー部分群となるが、常にそうであるとは限らない。例えば、スピン構造の場合、写像はその像への被覆空間となる。 ${\displaystyle G\to GL(n,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbf {R} )}$
2. 実際、これはGとXの双関数子です。
3. 古典場の理論では、このようなセクションは古典ヒッグス場を記述します（Sardanashvily, G. (2006). 「古典ヒッグス場の幾何学」. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics . 03 : 139–148 . arXiv : hep-th/0510168 . doi :10.1142/S0219887806001065. ${\displaystyle \sigma }$）。
4. これはゲージ重力理論における重力場である（Sardanashvily, G. (2006). 「幾何学的観点からのゲージ重力理論」International Journal of Geometric Methods in Modern Physics . 3 (1): v– xx. arXiv : gr-qc/0512115 . Bibcode :2005gr.qc....12115S.）
5. ベッセ 1987、§14.61
6. 小林 1972
7. 小林 1972, I.4
8. ゴードゥション 1997

参考文献

• ベス、アーサー L. (1987)。アインシュタイン多様体。 Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3)。 Vol. 10. 2008 年に再版。ベルリン: Springer-Verlag。土井：10.1007/978-3-540-74311-8。ISBN 3-540-15279-2. MR  0867684. Zbl  0613.53001.
• Chern, Shiing-Shen (1966). 「G構造の幾何学」アメリカ数学会報. 72 (2): 167– 219. doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11473-8 .
• ゴードゥション、ポール (1997). 「ほぼ超複素構造の正準接続」.複素解析と幾何学. ピットマン数学研究ノートシリーズ. 第366巻. ロングマン. pp.  123–13 . ISBN 978-0-582-29276-5。
• 小林昭七(1972). 『微分幾何学における変換群』 . 数学の古典. シュプリンガー. ISBN 978-3-540-58659-3OCLC  31374337 。
• シュロモ・スターンバーグ（1983年）『微分幾何学講義』（第2版）ニューヨーク：チェルシー出版ISBN 978-0-8218-1385-0. OCLC  43032711。
• ゴディナ, マルコ; マッテウッチ, パオロ (2003). 「還元的G構造とリー微分」. Journal of Geometry and Physics . 47 (1): 66– 86. arXiv : math/0201235 . Bibcode :2003JGP....47...66G. doi :10.1016/S0393-0440(02)00174-2. MR  2006228. S2CID  119558088.

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