HOMFLY多項式

結び目理論に現れる多項式

数学の結び目理論の分野において、HOMFLY 多項式またはHOMFLYPT 多項式は、一般化ジョーンズ多項式とも呼ばれ、 2 変数の結び目多項式、つまり変数mとlの多項式の形の結び目不変量です。

結び目に関する数学理論の中心的な問いは、2つの結び目図が同じ結び目を表現しているかどうかである。このような問いに答えるために用いられるツールの1つが結び目多項式である。結び目の図から計算され、結び目の不変量であることが示される。つまり、同じ結び目を表す図は同じ多項式を持つ。逆は真ではないかもしれない。HOMFLY多項式はそのような不変量の1つであり、以前に発見された2つの多項式、アレクサンダー多項式とジョーンズ多項式を一般化するものである。これらの多項式はどちらも、HOMFLYから適切な代入によって得ることができる。HOMFLY多項式は量子不変量でもある。

HOMFLYという名前は 、共同発見者であるジム・ホステ、エイドリアン・オクネアヌ、ケネス・ミレット、ピーター・J・フレイド、WBR・リコリッシュ、そしてデビッド・N・イェッターの頭文字を組み合わせたものです。^[1] PTの追加は、ヨゼフ・H・プリティツキとパヴェウ・トラチクによる独立した研究を認めるものです。^[2]

意味

多項式はかせ関係を使用して定義されます。

${\displaystyle P(\mathrm {unknot} )=1,\,}$

${\displaystyle \ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,}$

ここで、リンクは、図に示すように、リンク ダイアグラムのローカル領域上の交差と平滑化の変更によって形成されます。 ${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$

2つのリンクの分割和であるリンクLのHOMFLY多項式は次のように与えられる。 ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$

${\displaystyle P(L)={\frac {-(\ell +\ell ^{-1})}{m}}P(L_{1})P(L_{2}).}$

このような関係を使用した計算の例については、 skein 関係のページを参照してください。

その他のHOMFLYかせ関係

この多項式は他のかせ関係を使用しても得ることができます。

${\displaystyle \alpha P(L_{+})-\alpha ^{-1}P(L_{-})=zP(L_{0}),\,}$

${\displaystyle xP(L_{+})+yP(L_{-})+zP(L_{0})=0,\,}$

主な特性

${\displaystyle P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2}),\,}$ここで、# は結び目の和を表します。言い換えれば、複合結び目のHOMFLY多項式は、その構成要素のHOMFLY多項式の積です。

${\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P_{{\text{Mirror Image}}(K)}(\ell ^{-1},m)}$なので、HOMFLY多項式は、異なるカイラリティを持つ2つの結び目を区別するためによく用いられます。しかし、同じHOMFLY多項式を持つカイラリティを持つ結び目のペアも存在します。例えば、結び目9 ₄₂と結び目10 _71は、それぞれの鏡像を持ちます。^[3]

ジョーンズ多項式V ( t ) とアレクサンダー多項式は、次のように HOMFLY 多項式 (および変数のバージョン)で計算できます。 ${\displaystyle \Delta (t)\,}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle V(t)=P(\alpha =t^{-1},z=t^{1/2}-t^{-1/2}),\,}$

${\displaystyle \Delta (t)=P(\alpha =1,z=t^{1/2}-t^{-1/2}),\,}$

参考文献

1. Freyd, P.; Yetter, D.; Hoste, J.; Lickorish, WBR; Millett, K.; Ocneanu, A. (1985). 「結び目とリンクの新しい多項式不変量」アメリカ数学会報. 12 (2): 239– 246. doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15361-3 .
2. ユゼフ・H・プシティツキ; .パヴェウ・トラチク (1987)。 「コンウェイタイプのリンクの不変量」。神戸 J. Math。4 : 115–139。arXiv : 1610.06679 。​​
3. Ramadevi, P.; Govindarajan, TR; Kaul, RK (1994). 「結び目942と1071のカイラリティとチャーン・サイモンズ理論」. Modern Physics Letters A. 09 ( 34): 3205– 3217. arXiv : hep-th/9401095 . Bibcode :1994MPLA....9.3205R. doi :10.1142/S0217732394003026. S2CID  119143024.

さらに読む

• カウフマン、LH、「形式結び目理論」、プリンストン大学出版局、1983年。
• リコリッシュ、WBR「結び目理論入門」、シュプリンガー、ISBN 0-387-98254-X。

外部リンク

• 「ジョーンズ・コンウェイ多項式」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W.「HOMFLY多項式」。MathWorld。
• 「HOMFLY-PT 多項式」、The Knot Atlas。

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