ハミルトン力学

物理学において、ハミルトン力学は1833年に登場したラグランジュ力学の定式化です。ウィリアム・ローワン・ハミルトン卿^[1]によって提唱されたハミルトン力学は、ラグランジュ力学で用いられていた（一般化された）速度を（一般化された）運動量に置き換えます。どちらの理論も古典力学の解釈を提供し、同じ物理現象を記述します。 ${\dot {q}}^{i}$

ハミルトン力学は幾何学（特にシンプレクティック幾何学とポアソン構造）と密接な関係があり、古典力学と量子力学をつなぐ役割を果たします。

概要

位相空間座標（p、q）とハミルトニアンH

配置空間と滑らかなラグランジアンを持つ力学系を仮定する。接束上の標準座標系を選択する。これらの量は運動量と呼ばれる。（一般化運動量、共役運動量、正準運動量とも呼ばれる。）ある時点において、ルジャンドル変換は滑らかな逆写像を持つと仮定される。自由度を持つシステムの場合、ラグランジアン力学はエネルギー関数を定義する。 $(M,{\mathcal {L}})$ $M$ ${\mathcal {L}}.$ $({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$ $TM.$ $\textstyle p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\dot {q}}^{i}}$ $t,$ ${\mathcal {L}}$ $({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\to \left({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}\right)$ $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\to ({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}).$ $n$ $E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\mathcal {L}}.$

のルジャンドル変換は、 ${\mathcal {L}}$ $E_{\mathcal {L}}$ ${\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)$ ハミルトニアン。ハミルトニアンはを満たし、これはとなることを意味します。ここで、速度は-次元) 方程式から求められ⁠⁠に対して一意に解けます。この (-次元) ペアは位相空間座標と呼ばれます。(標準座標)。 ${\mathcal {H}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}},{\boldsymbol {q}},t\right)=E_{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$ ${\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t),$ ${\boldsymbol {\dot {q}}}=({\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})$ $n$ $\textstyle {\boldsymbol {p}}={\partial {\mathcal {L}}}/{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}}$ ${\boldsymbol {\dot {q}}}$ $2n$ $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})$

オイラー・ラグランジュ方程式からハミルトン方程式へ

位相空間座標において、 $({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})$ （次元）オイラー・ラグランジュ方程式は次元のハミルトン方程式になる。 $n$ ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}=0$ $2n$

${\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {q}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}},\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.$

証拠

ハミルトニアンはラグランジアンのルジャンドル変換なので、 ${\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})$ ${\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})$

{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})={\boldsymbol {p}}{\dot {\boldsymbol {q}}}

1

どこ。 ${\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}$

をとで書き、 1の両辺をについて偏微分すると（つまり固定したまま）、 1 の両辺をについて偏微分すると（つまり固定したまま）、 1の両辺をについて偏微分すると（つまり固定したまま）、 ${\dot {\boldsymbol {q}}}$ ${\boldsymbol {q}}$ ${\boldsymbol {p}}$ ${\dot {\boldsymbol {q}}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})$ ${\boldsymbol {p}}$ ${\boldsymbol {q}}$ ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}{\frac {\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}={\dot {\boldsymbol {q}}}+{\boldsymbol {p}}{\frac {\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\implies {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}={\dot {\boldsymbol {q}}}$ ${\boldsymbol {q}}$ ${\boldsymbol {p}}$ ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}{\frac {\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}={\boldsymbol {p}}{\frac {\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\implies {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}},$

ここでオイラー・ラグランジュ方程式は ${\dot {\boldsymbol {p}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.$

定常作用原理からハミルトン方程式へ

がとなる滑らかな経路の集合であるとします。作用汎関数は ⁠ ⁠ 、および（上記参照）によって定義されます。経路がの停留点である（したがっては運動方程式である）のは、位相空間座標における経路がハミルトン方程式に従う場合のみです。 ${\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to M$ ${\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}$ ${\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.$ ${\mathcal {S}}:{\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ ${\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}{\mathcal {L}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {H}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)\right)\,dt,$ ${\boldsymbol {q}}={\boldsymbol {q}}(t)$ ${\boldsymbol {p}}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}$ ${\boldsymbol {q}}\in {\mathcal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ ${\mathcal {S}}$ $({\boldsymbol {p}}(t),{\boldsymbol {q}}(t))$

基本的な物理的解釈

$ハミルトニアン力学の単純な解釈は、質量m$ の非相対論的粒子1個からなる1次元系への適用から得られる。ハミルトニアンの値は系の全エネルギー、つまり運動エネルギーと位置エネルギーの和であり、これらは伝統的にそれぞれ $T$ と $V$ と表記される。ここで $p$ は運動量 $mv$ 、 $q$ は空間座標である。したがって、 $Tは$ $p$ のみの関数であり、 $V は$ $q$ のみの関数である（つまり、 $T$ と $Vは$ scleronomicである）。 $H(p,q)$ ${\mathcal {H}}=T+V,\qquad T={\frac {p^{2}}{2m}},\qquad V=V(q)$

$この例では、 q$ の時間微分は速度であり、したがって最初のハミルトン方程式は、粒子の速度がその運動エネルギーの運動量に対する微分に等しいことを意味します。運動量 $pの時間微分は$ ニュートン力に等しいため、2番目のハミルトン方程式は、力が位置エネルギーの負の勾配に等しいことを意味します。

例

球面振り子は、球面上を摩擦なく運動する質量 mから構成されます。質量に作用する力は、球面からの反作用と重力のみです。質量の位置は球面座標系を用いて $($ $r$ $,$ $θ$ $,$ $φ$ $)$ で表されます。ここで $r$ は固定で、 $r$ $=$ $ℓ$ です。

このシステムのラグランジアンは^[2] $L={\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\varphi }}^{2}\right)+mg\ell \cos \theta .$

したがって、ハミルトニアンは、であり、座標と運動量の観点から、ハミルトニアンは次のように読み取られます。ハミルトン方程式は、4つの一次微分方程式における座標と共役運動量の時間発展を与えます。運動量⁠ ⁠は、角運動量⁠ ⁠の垂直成分に対応し、運動定数です。これは、系が垂直軸を中心に回転対称であることの帰結です。ハミルトニアンに方位角がないため、方位角は巡回座標であり、共役運動量が保存されることを意味します。 $H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\varphi }{\dot {\varphi }}-L$ $P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=m\ell ^{2}{\dot {\theta }}$ $P_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}.$ $H=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\Big [}-mg\ell \cos \theta {\Big ]}} _{V}={\frac {P_{\theta }^{2}}{2m\ell ^{2}}}+{\frac {P_{\varphi }^{2}}{2m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }}-mg\ell \cos \theta .$ ${\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={P_{\theta } \over m\ell ^{2}}\\[6pt]{\dot {\varphi }}&={P_{\varphi } \over m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }\\[6pt]{\dot {P_{\theta }}}&={P_{\varphi }^{2} \over m\ell ^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mg\ell \sin \theta \\[6pt]{\dot {P_{\varphi }}}&=0.\end{aligned}}$ $P_{\varphi }$ $L_{z}=\ell \sin \theta \times m\ell \sin \theta \,{\dot {\varphi }}$ $\varphi$

ハミルトン方程式の導出

ハミルトン方程式は、ラグランジアン、一般化位置 $q$ $i$ 、および一般化速度を用いた計算によって導くことができる。 ${\mathcal {L}}$ $\cdot q i$ 、ここで⁠⁠ $i=1,\ldots ,n$ 。^[3]オフシェルで作業します。つまり⁠⁠ $q^{i}$ 、⁠⁠ ${\dot {q}}^{i}$ 、⁠⁠ $t$ は位相空間における独立した座標であり、いかなる運動方程式にも制約されません（特に、⁠⁠の導関数ではありません）。ラグランジアン全体の微分は次のとおり⁠⁠と定義されているため、この式は次のように書き直すことができます。 ${\dot {q}}^{i}$ $q^{i}$ $\mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\,\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$ $p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}$ ${\begin{aligned}\mathrm {d} {\mathcal {L}}=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\\=&\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+\mathrm {d} (p_{i}{\dot {q}}^{i})-{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,.\end{aligned}}$

並べ替えると次のようになります。 $\mathrm {d} \!\left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$

左側の括弧内の項は、前に定義したハミルトニアンなので、次のようになります。 ${\textstyle {\mathcal {H}}=\sum p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}}$ $\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\,\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\,\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$

また、 ⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠の代わりに、座標⁠ ⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠に関してハミルトニアンの全微分を計算することもできます。その結果は次のようになります。 ${\mathcal {H}}$ $q^{i}$ $p_{i}$ $t$ $q^{i}$ ${\dot {q}}^{i}$ $t$ $\mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$

ここで、 ⁠ ⁠について、1つは $d{\mathcal {H}}$ ⁠ ⁠ ${\mathcal {L}}$ について、もう1つは⁠ ⁠ ${\mathcal {H}}$ について、次の2つの式を等しくすることができます。 $\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ =\ \sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\ .$

これらの計算はオフシェル計算であるため、両辺の⁠ ⁠ $\mathrm {d} q^{i}$ 、⁠ ⁠ $\mathrm {d} p_{i}$ 、⁠ ⁠のそれぞれの係数を等しくすることができます。 $\mathrm {d} t$ ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}\ .$

オンシェルでは、位相空間の軌道を定義するパラメトリック関数を速度で置き換え、ラグランジュの方程式に従います。 $q^{i}=q^{i}(t)$ ${\dot {q}}^{i}={\tfrac {d}{dt}}q^{i}(t)$ ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0\ .$

整理し直してオンシェルの観点から書くと次のようになります。 $p_{i}=p_{i}(t)$ ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}\ .$

したがって、ラグランジュの方程式はハミルトンの方程式と同等です。 ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\dot {p}}_{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\,.$

時間に依存しない、すなわち⁠ ⁠の場合、ハミルトン方程式は $2$ $n 個の$ 1階微分方程式から構成されますが、ラグランジュ方程式は $n個の2階方程式から構成されます。ハミルトン方程式は通常$ 、明示的な解を求める難しさを軽減しませんが、座標と運動量はほぼ対称的な役割を持つ独立変数であるため、重要な理論的結果を導き出すことができます。 ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {L}}$ $\partial {\mathcal {H}}/\partial t=-\partial {\mathcal {L}}/\partial t=0$

ハミルトン方程式はラグランジュ方程式に比べてもう一つの利点がある。系が対称性を持ち、ある座標がハミルトニアンに現れない場合（つまり巡回座標）、対応する運動量座標は各軌道に沿って保存され、その座標は集合の他の方程式において定数に縮減できる。これは問題を $n$ 座標から $($ $n$ $- 1)座標へと実質的に縮減する。これが幾何学におけるシン$ プレクティック縮減の基礎である。ラグランジュの枠組みにおいても運動量保存則は直ちに導かれるが、一般化速度はすべてラグランジュに現れるため、 $n$ 座標における方程式系を解く必要がある。^[4] $q_{i}$ $p_{i}$ ${\dot {q}}_{i}$

ラグランジアンとハミルトニアンのアプローチは、古典力学におけるより深い結果の基礎となり、量子力学における類似の定式化、すなわち経路積分定式化とシュレーディンガー方程式を示唆しています。

ハミルトニアンの性質

ハミルトニアンの値は、エネルギー関数が同じ性質を持つ場合にのみ、システムの全エネルギーとなります。（ ⁠ ⁠の定義を参照）。^[^{説明が必要}^] ${\mathcal {H}}$ $E_{\mathcal {L}}$ ${\mathcal {H}}$
${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}$ ⁠ ⁠ $\mathbf {p} (t)$ 、⁠ ⁠ は $\mathbf {q} (t)$ ハミルトン方程式の解を形成します。
確かに、最後の項以外はすべて打ち消されます。 ${\textstyle {\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {p}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {q}}}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}},}$
${\mathcal {H}}$ 点変換、つまり空間座標の滑らかな変化では変化しません。（点変換におけるエネルギー関数の不変性からわかります。の不変性は直接証明できます）。 ${\boldsymbol {q}}\leftrightarrow {\boldsymbol {q'}}$ $E_{\mathcal {L}}$ $E_{\mathcal {L}}$
${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}.$ （§ ハミルトン方程式の導出を参照）。
⁠ ⁠ $-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}$ . (ハミルトン方程式とオイラー・ラグランジュ方程式を比較するか、§ ハミルトン方程式の導出を参照してください)。
${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=0$ ⁠ ⁠ ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0$ の場合にのみ。
最後の方程式が成り立つ座標は巡回座標（または無視できる座標）と呼ばれます。巡回座標は自由度を⁠ ⁠減少させ、対応する運動量が保存されるため、ハミルトン方程式を解きやすくなります。 $q^{i}$ $1$ $p_{i}$

全システムエネルギーとしてのハミルトニアン

与えられたシステムへの適用において、ハミルトニアンは次のように解釈されることが多い。 ${\mathcal {H}}=T+V$

ここで、は運動エネルギー、は位置エネルギーです。この関係式を用いると、まずラグランジアンを計算し、それからラグランジアンからハミルトニアンを導くよりも簡単になる場合があります。ただし、この関係式はすべての系に当てはまるわけではありません。 $T$ $V$

この関係は、以下の条件がすべて満たされる非相対論的システムに対して成立する^[5]^[6] ${\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i$ ${\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0$ $T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}$

ここで、は時間、はシステムの自由度の数、はそれぞれの任意のスカラー関数です。 $t$ $n$ $c_{ij}({\boldsymbol {q}})$ ${\boldsymbol {q}}$

言葉で言えば、これは、が明示的な変数として時間を含まず（硬質である）、が明示的な変数として一般化速度を含まず、の各項が一般化速度の 2 次である場合に、関係式が真であることを意味します。 ${\mathcal {H}}=T+V$ $T$ $V$ $T$

証拠

この証明の前に、関連する数学的表記における曖昧さに対処することが重要です。変数変換を用いてをと等しくすることは可能ですが、であることに注意することが重要です。この場合、右辺は常に 0 と評価されます。偏微分の中で変数変換を行うには、多変数連鎖律を使用する必要があります。したがって、曖昧さを避けるため、偏微分内の各項の関数の引数を明示する必要があります。 ${\mathcal {L}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)={\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$ ${\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\neq {\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$

さらに、この証明ではという表記法を使用してであることを示しています。 $f(a,b,c)=f(a,b)$ ${\frac {\partial f(a,b,c)}{\partial c}}=0$

証拠

自由度系におけるハミルトニアン、一般化運動量、ラグランジアンの定義から始める $n$ ${\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}p_{i}{\dot {q}}_{i}{\biggr )}-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$ $p_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$ ${\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$

一般化された運動量をハミルトニアンに代入すると、 ${\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-{\mathcal {L}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)$

ラグランジアンを結果に代入すると、 ${\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \left(T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\right)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-\left(T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)-V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)+V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)\end{aligned}}$

さて、 ${\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0\;,\quad \forall i$

そしてまた、 ${\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0$

これらの仮定を適用すると、 ${\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\end{aligned}}$

次にTが次の形式であると仮定する。 $T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}$

ここで、それぞれはの任意のスカラー関数です。 $c_{ij}({\boldsymbol {q}})$ ${\boldsymbol {q}}$

これを、について微分すると、 ${\dot {q}}_{l}$ $l\in [1,n]$ ${\begin{aligned}{\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}{\frac {\partial \left[c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}\end{aligned}}$

和を分割し、偏微分を評価し、和を再び結合すると、 ${\begin{aligned}{\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}&=\sum _{i\neq l}^{n}\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+\sum _{i\neq l}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{j}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\biggr )}+c_{ll}({\boldsymbol {q}}){\frac {\partial \left[{\dot {q}}_{l}^{2}\right]}{\partial {\dot {q}}_{l}}}\\&=\sum _{i\neq l}^{n}\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}0{\biggr )}+\sum _{i\neq l}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j\neq l}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}+2c_{ll}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{l}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}\end{aligned}}$

（これをで乗じる）を合計すると、 ${\dot {q}}_{l}$ $l$ ${\begin{aligned}\sum _{l=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{l}}}{\dot {q}}_{l}\right)&=\sum _{l=1}^{n}\left(\left(\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\biggr )}+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\biggr )}\right){\dot {q}}_{l}\right)\\&=\sum _{l=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}{\biggl (}c_{il}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{l}{\biggr )}+\sum _{l=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{lj}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{l}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}\\&=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\\&=2T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\end{aligned}}$

この単純化はオイラーの同次関数定理の結果です。

したがって、ハミルトニアンは ${\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=2T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})-T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\\&=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})+V({\boldsymbol {q}},t)\end{aligned}}$

質点系への応用

質点系の場合、一般化速度に関してが 2 次であるという要件は、の場合に常に満たされます。これはいずれにせよに対する要件です。 $T$ $T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$ ${\mathcal {H}}=T+V$

証拠

N個の質点からなる系の運動エネルギーを考えてみましょう。と仮定すると、が成り立ちます（Scleronomous § 応用を参照）。したがって、運動エネルギーは $T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$ ${\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)={\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$ $T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\biggl (}m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}){\biggr )}$

多くの変数に対する連鎖律は速度を拡張するために使用できる。 ${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})&={\frac {d\mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{dt}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\end{aligned}}$

その結果 ${\begin{aligned}T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})&={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(m_{k}\left(\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\cdot \sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\right)\right)\right)\\&=\sum _{k=1}^{N}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}m_{k}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1}{2}}m_{k}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}({\boldsymbol {q}})}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}c_{ij}({\boldsymbol {q}}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}{\biggr )}\end{aligned}}$

これは必要な形式です。

エネルギー保存則

の条件が満たされる場合、ハミルトニアンの保存はエネルギーの保存を意味する。これは、時間を明示的な変数として含まないという追加条件を必要とする。 ${\mathcal {H}}=T+V$ $V$

${\frac {\partial V({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}},t)}{\partial t}}=0$

要約すると、非相対論的システムで満たされる要件は^[5]^{[6]である。} ${\mathcal {H}}=T+V={\text{constant of time}}$

$V=V({\boldsymbol {q}})$
$T=T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})$
$T$ は、同次二次関数である。 ${\boldsymbol {\dot {q}}}$

散逸関数（ラグランジュ力学 § 非保存力を含む拡張を参照）を用いたオイラー-ラグランジュ定式化の拡張、例えばレイリー散逸関数に関しては、散逸関数が作用する場合、エネルギーは保存されない。この拡張されたオイラー-ラグランジュ方程式と従来のオイラー-ラグランジュ方程式を関連付けることで、この拡張された項をポテンシャル関数にまとめると、速度依存のポテンシャルが得られるという、前述の要件との関連性を説明することができる。したがって、散逸関数が作用する場合、これらの要件は満たされない。

電磁場中の荷電粒子のハミルトニアン

ハミルトン力学の十分な例は、電磁場中の荷電粒子のハミルトニアンによって与えられます。直交座標系において、電磁場中の非相対論的古典粒子のラグランジアンは（SI単位系）で表されます。ここで、 q $は$ 粒子の電荷、 $φ$ は電気スカラーポテンシャル、 $A$ $i$ は磁気ベクトルポテンシャルの成分であり、これらはすべておよびに明示的に依存する場合があります。 ${\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi ,$ $x_{i}$ $t$

このラグランジアンは、オイラー・ラグランジュ方程式と組み合わされてローレンツ力の法則を生成し、最小結合と呼ばれます。 $m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,$

正準運動量は次のように与えられます。 $p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}.$

したがって、ラグランジアンに対するルジャンドル変換としてのハミルトニアンは、次のようになります。 ${\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi .$

この方程式は量子力学で頻繁に使用されます。

ゲージ変換の下では、 $f$ $($ $r$ $,$ $t$ $)$ は空間と時間の任意のスカラー関数です。前述のラグランジアン、正準運動量、ハミルトニアンは次のように変換されます。これにより、同じハミルトン方程式が得られます。 $\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,$ $L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,$ ${\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}$

量子力学では、波動関数はゲージ変換中に局所 U(1)群変換^[7]を受けるため、すべての物理的結果は局所U(1)変換に対して不変でなければならないことを意味する。

シンプレクティック幾何学からハミルトン方程式へ

ハミルトン系の幾何学

ハミルトニアンは滑らかな偶数次元多様体 $M$ $2$ $n$ 上にシンプレクティック構造を誘導することができるが、最もよく知られているのは次の方法である。^[8]

閉じた非退化シンプレクティック 2 形式 ωとして。ダルブーの定理によれば、 $M$ 上の任意の点の周りの小さな近傍に、シンプレクティック形式が次のようになる適切な局所座標(標準座標またはシンプレクティック座標)が存在します。形式は、接空間と余接空間の自然な同型を誘導します: ⁠ ⁠。これは、ベクトルを1 形式⁠ ⁠にマッピングすることによって行われます。ここで、すべての⁠ ⁠に対してです。 ⁠ ⁠の双線型性と非退化、および⁠ ⁠という事実により、マッピングは実際に線型同型です。この同型は、 ⁠ ⁠ 上の座標の変更によって変化しないという点で自然です。すべてを ⁠ ⁠ で繰り返すと、滑らかなベクトル場の無限次元空間と滑らかな 1 形式の無限次元空間の間に同型が得られます。すべてのおよびについて、 $p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}$ $\omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}\,.$ $\omega$ $T_{x}M\cong T_{x}^{*}M$ $\xi \in T_{x}M$ $\omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M$ $\omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi )$ $\eta \in T_{x}M$ $\omega$ $\dim T_{x}M=\dim T_{x}^{*}M$ $\xi \to \omega _{\xi }$ $M.$ $x\in M$ $J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)$ $f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ $\xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M)$ $J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).$

（代数的に言えば、-加群とは同型であると言えるでしょう）。⁠ ⁠ならば、任意の固定された⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠に対して、はハミルトンベクトル場と呼ばれます。上のそれぞれの微分方程式はハミルトン方程式と呼ばれます。ここで、およびは⁠ ⁠におけるベクトル場の（時間依存の）値です。 $C^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ ${\text{Vect}}(M)$ $\Omega ^{1}(M)$ $H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} )$ $t\in \mathbb {R} _{t}$ $dH\in \Omega ^{1}(M)$ $J(dH)\in {\text{Vect}}(M)$ $J(dH)$ $M$ ${\dot {x}}=J(dH)(x)$ $x=x(t)$ $J(dH)(x)\in T_{x}M$ $J(dH)$ $x\in M$

ハミルトン系は、時間 $R$ にわたるファイバー束 $E$ として理解でき、ファイバー $E$ $tは時刻$ $t$ $\in$ $R$ における位置空間である。したがって、ラグランジアンはジェット束 $J$ 上の $E$ 上の関数である。ラグランジアンのファイバーごとのルジャンドル変換を行うと、 $tにおけるファイバーが$ 余接空間 $T$ $*$ $E$ $t$ である時間にわたる双対束上の関数が生成され、これは自然なシンプレクティック形式を備えており、この後者の関数がハミルトンである。ラグランジアン力学とハミルトン力学の対応は、トートロジー一形式によって達成される。

シンプレクティック多様体上の任意の滑らかな実数値関数Hは、ハミルトニアン系を定義するために用いることができます。関数Hは「ハミルトニアン」または「エネルギー関数」として知られています。シンプレクティック多様体は位相空間と呼ばれます。ハミルトニアンは、シンプレクティック多様体上にハミルトニアンベクトル場と呼ばれる特殊なベクトル場を誘導します。

ハミルトンベクトル場は多様体上にハミルトンフローを誘起する。これは多様体の1パラメータ変換族（曲線のパラメータは一般に「時間」と呼ばれる）であり、言い換えれば、恒等写像から始まるシンプレクト同相写像の同位体である。リウヴィルの定理によれば、各シンプレクト同相写像は位相空間上の体積形を保存する。ハミルトンフローによって誘起されるシンプレクト同相写像の集合は、一般にハミルトン系の「ハミルトン力学」と呼ばれる。

シンプレクティック構造はポアソン括弧を誘導する。ポアソン括弧は多様体上の関数空間にリー代数の構造を与える。

$F$ と $Gが$ $M$ 上の滑らかな関数である場合、滑らかな関数 $ω (J (dF), J (dG))$ は適切に定義されます。これは関数 $F$ と $Gの$ ポアソン括弧と呼ばれ、 ${$ $F$ $,$ $G$ $}$ と表記されます。ポアソン括弧には以下の性質があります。

双線性
反対称
ライプニッツの法則： $\{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}$
ヤコビ恒等式: $\{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0$
$非退化性: M$ 上の点 $xが$ $F$ にとって重要でない場合、 ⁠ ⁠となる滑らかな関数 $G が$ 存在する。 $\{F,G\}(x)\neq 0$

関数 $fが与えられ、$ 確率分布 $ρ$ が存在する場合、（位相空間速度は発散がゼロで確率が保存されるため）その対流微分はゼロであることが示され、したがって ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},$ $({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})$ ${\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}\right\}$

これはリウヴィルの定理と呼ばれる。シンプレクティック多様体上の任意の滑らかな関数 $G は$ 、 1パラメータのシンプレクト同相写像の族を生成し、 ${$ $G$ $,$ $H$ $} = 0$ ならば $G$ は保存され、シンプレクト同相写像は対称変換となる。

ハミルトニアンは複数の保存量 $G i$ を持つことができます。シンプレクティック多様体が次元 $2 n$ $を持ち、関数的に独立なn$ 個の保存量 $G i$ が反転状態にある( つまり ${G i, G j} = 0$ ) 場合、ハミルトニアンはリウヴィル積分可能です。リウヴィル–アーノルドの定理によれば、局所的には、任意のリウヴィル積分可能ハミルトニアンはシンプレクト同相写像によって、保存量 $G i$ を座標とする新しいハミルトニアンに変換できます。この新しい座標は作用角座標と呼ばれます。変換されたハミルトニアンは $G i$ のみに依存するため、運動方程式はある関数 $F$ に対して単純な形になります。^[9]KAM 定理によって規定される積分可能システムからの小さな偏差に焦点を当てた分野があります。 ${\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)$

ハミルトンベクトル場の積分可能性は未解決の問題である。一般的に、ハミルトン系はカオス的であり、測度、完全性、積分可能性、安定性といった概念は明確に定義されていない。

リーマン多様体

重要な特殊ケースは、2次形式であるハミルトニアン、つまり次のように書けるハミルトニアンである。ここで $、⟨ , ⟩$ $q$ はファイバー $T$ 上の滑らかに変化する内積である。 ${\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}$ $* q Q$ は配置空間における点 $qへの$ 余接空間であり、コメトリックハミルトニアンの項とも呼ばれる。このハミルトニアンは運動項のみで構成される。

リーマン多様体または擬リーマン多様体を考えると、リーマン計量は接線束と余接束の間に線型同型を誘導します。（音楽同型を参照）。この同型を使用して、コメメトリックを定義できます。（座標では、コメメトリックを定義する行列は、計量を定義する行列の逆です。）このハミルトニアンのハミルトン・ヤコビ方程式の解は、多様体上の測地線と同じになります。特に、この場合のハミルトンフローは測地線フローと同じものです。このような解の存在と解の集合の完全性については、測地線の記事で詳しく説明しています。測地線をハミルトンフローとして参照してください。

亜リーマン多様体

コメトリックが退化している場合、それは逆行列を持たない。この場合、計量が存在しないため、リーマン多様体は存在しない。しかし、ハミルトニアンは依然として存在する。コメトリックが配置空間多様体 $Q$ の任意の点 $q$ において退化しており、コメトリックの階数が多様体 $Q$ の次元よりも小さい場合、それは部分リーマン多様体である。

この場合のハミルトニアンは、サブリーマンハミルトニアンと呼ばれます。このようなハミルトニアンは、コメトリックを一意に決定し、コメトリックはサブリーマンハミルトニアンを一意に決定します。これは、すべてのサブリーマン多様体は、そのサブリーマンハミルトニアンによって一意に決定され、逆もまた真であることを意味します。つまり、すべてのサブリーマン多様体は、一意のサブリーマンハミルトニアンを持ちます。サブリーマン測地線の存在は、チャウ・ラシェフスキーの定理によって与えられます。

連続実数値ハイゼンベルク群は、リーマン多様体以下の単純な例である。ハイゼンベルク群の場合、ハミルトニアンは $pで与えられ、$ $z$ はハミルトニアンに含まれない。 ${\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right).$

ポアソン代数

ハミルトン系は様々な方法で一般化できる。シンプレクティック多様体上の滑らかな関数の代数を単純に考えるのではなく、ハミルトン力学は一般可換単位実ポアソン代数上で定式化できる。状態とは、ポアソン代数（適切な位相を持つ）上の連続線型関数であり、代数の任意の元 $Aに対して、$ $A$ $2$ が非負の実数に写像されるようなものである。

南部力学によってさらなる一般化が与えられます。

ポアソン括弧による量子力学への一般化

上記のハミルトン方程式は古典力学ではうまく機能しますが、量子力学ではうまく機能しません。なぜなら、ここで議論されている微分方程式は、粒子の正確な位置と運動量を任意の時点において同時に指定できると仮定しているからです。しかし、これらの方程式はさらに一般化され、 $p$ と $q$ 上のポアソン代数をモヤル括弧の代数に変形することで、古典力学だけでなく量子力学にも適用できるように拡張することができます。

具体的には、ハミルトン方程式のより一般的な形は、 $f が$ $p$ と $q$ の何らかの関数であり、Hがハミルトニアンである場合に、読み取られます。微分方程式に頼らずにポアソン括弧を評価するための規則については、リー代数を参照してください。ポアソン括弧は、ポアソン代数におけるリー括弧の名前です。これらのポアソン括弧は、ヒルブランド J. グローネウォルドによって証明されたように、同値でないリー代数に適合するモヤル括弧に拡張することができ、それによって位相空間における量子力学的拡散を記述できます (位相空間定式化とウィグナー–ワイル変換を参照)。このより代数的なアプローチにより、位相空間における確率分布をウィグナー準確率分布に最終的に拡張できるだけでなく、単なるポアソン括弧の古典的な設定でも、システム内の関連する保存量を分析する際により強力になります。 ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}},$

参照

参考文献

^ ハミルトン、ウィリアム・ローワン卿 (1833).光と惑星の軌道を特性関数の係数で表す一般的な方法について. PDハーディ印刷. OCLC 68159539.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ ランダウ＆リフシッツ 1976年、33～34ページ
^ この導出は、Arnol'd 1989、pp. 65-66に示されているものと一致している。
^ ゴールドスタイン、プール、サフコ 2002、347–349ページ
^ マルハム 2016、49～50ページ
^ ランダウ＆リフシッツ 1976年、14ページ
^ ジーン・ジャスティン、ジーン;グイダ、リッカルド (2008-12-04)。「ゲージ不変性」。スカラーペディア。3 (12): 8287。書誌コード:2008SchpJ...3.8287Z。土井：10.4249/scholarpedia.8287。ISSN 1941-6016。
^ Arnol'd, Kozlov & Neĩshtadt 1988, §3. ハミルトン力学。
^ アーノルド、コズロフ、ノイシュタット 1988

さらに読む

ランダウ、レフ・ダヴィドヴィチ；リフシッツ、エフゲニー・ミハイロヴィチ（1976年）『力学』理論物理学講座第1巻。サイクス、JB（ジョン・ブラッドベリー）、ベル、JS（第3版）。オックスフォード。ISBN 0-08-021022-8. OCLC 2591126。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
アブラハム, R. ;マースデン, JE (1978). 『力学の基礎』（第2版、改訂版、増補版、再編集版）. マサチューセッツ州レディング: ベンジャミン/カミングス出版. ISBN 0-8053-0102-X OCLC 3516353 。
アーノルド, VI ;コズロフ、バーモント州。ノイシュタット、AI (1988)。「古典力学と天体力学の数学的側面」。数理科学百科事典、力学システム III。 Vol. 3. アノソフ、DV ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 0-387-17002-2. OCLC 16404140。
Arnol'd, VI (1989).古典力学の数学的手法（第2版）. ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3. OCLC 18681352.
ゴールドスタイン, ハーバート; プール, チャールズ P. Jr.; サフコ, ジョン L. (2002). 『古典力学』（第3版）サンフランシスコ: アディソン・ウェスレー. ISBN 0-201-31611-0. OCLC 47056311。
Vinogradov, AM ; Kupershmidt, BA (1977-08-31). 「ハミルトン力学の構造」 .ロシア数学概論. 32 (4): 177– 243. Bibcode :1977RuMaS..32..177V. doi :10.1070/RM1977v032n04ABEH001642. ISSN 0036-0279. S2CID 250805957.

外部リンク

Binney, James J. , 古典力学（講義ノート）（PDF） ,オックスフォード大学, 2010年10月27日閲覧
トン、デイビッド、「古典力学（ケンブリッジ講義ノート）」、ケンブリッジ大学、 2010年10月27日閲覧。
ハミルトン、ウィリアム・ローワン、『動力学における一般的な方法について』、ダブリン大学トリニティ・カレッジ
マルハム、サイモン JA (2016)、「ラグランジアンとハミルトン力学入門」（講義ノート）（PDF）
モリン、デイヴィッド（2008）、古典力学入門（追加資料：ハミルトン法）（PDF）

[1] ハミルトン、ウィリアム・ローワン卿 (1833).光と惑星の軌道を特性関数の係数で表す一般的な方法について. PDハーディ印刷. OCLC 68159539.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[2] ランダウ＆リフシッツ 1976年、33～34ページ

[3] この導出は、Arnol'd 1989、pp. 65-66に示されているものと一致している。

[Goldstein-4] ゴールドスタイン、プール、サフコ 2002、347–349ページ

[Malham2016-5] マルハム 2016、49～50ページ

[Landau1976-6] ランダウ＆リフシッツ 1976年、14ページ

[7] ジーン・ジャスティン、ジーン;グイダ、リッカルド (2008-12-04)。「ゲージ不変性」。スカラーペディア。3 (12): 8287。書誌コード:2008SchpJ...3.8287Z。土井：10.4249/scholarpedia.8287。ISSN 1941-6016。

[FOOTNOTEArnol'dKozlovNeĩshtadt1988§3._Hamiltonian_mechanics-8] Arnol'd, Kozlov & Neĩshtadt 1988, §3. ハミルトン力学。

[9] アーノルド、コズロフ、ノイシュタット 1988

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