ハンケル行列

Square matrix in which each ascending skew-diagonal from left to right is constant

線型代数学において、ハンケル行列（ハンケルぎょう、カタレクティカントぎょう）は、ヘルマン・ハンケルにちなんで名付けられた、左から右への各上昇する歪対角成分が一定である矩形行列である。例えば、

$${\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.}$$

より一般的には、ハンケル行列とは、以下の形式の行列である。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&\vdots \\a_{2}&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.}$$

成分の観点から言えば、の元が で表され、 と仮定すると、すべての ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle A_{i,j}=A_{i+k,j-k}}$ ${\displaystyle k=0,...,j-i.}$

プロパティ

• 任意の正方ハンケル行列は対称です。
• を交換行列とする。がハンケル行列である場合、 はテプリッツ行列である。 ${\displaystyle J_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle H=TJ_{n}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle m\times n}$
  • が実対称ならば、の固有値は符号まで同じになる。[ 1 ^] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H=TJ_{n}}$ ${\displaystyle T}$
• ヒルベルト行列はハンケル行列の例です。
• ハンケル行列の行列式はカタレクティカントと呼ばれます。

ハンケル演算子

形式ローラン級数が与えられたとき、対応するハンケル演算子は次のように定義される^{[2]。これは}多項式を取り、それを積 に渡すが、の非負の指数を持つべき乗をすべて捨てて、 の元、つまり厳密に負の指数を持つ形式冪級数を与える。写像は自然に -線型であり、その行列は元とに関してハンケル行列である 。任意のハンケル行列はこのようにして生じる。クロネッカーの定理によれば、この行列の階数は が有理関数、つまり2つの多項式の分数である場合に限り有限となる。 $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{N}a_{n}z^{n},}$$ $${\displaystyle H_{f}:\mathbf {C} [z]\to \mathbf {z} ^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]].}$$ ${\displaystyle g\in \mathbf {C} [z]}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$ ${\displaystyle H_{f}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} [z]}$ ${\displaystyle 1,z,z^{2},\dots \in \mathbf {C} [z]}$ ${\displaystyle z^{-1},z^{-2},\dots \in z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\ldots \\a_{2}&a_{3}&\ldots \\a_{3}&a_{4}&\ldots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}.}$$

近似値

ハンケル作用素の近似、特に低階作用素による近似は、しばしば関心の対象となります。作用素の出力を近似するために、スペクトルノルム（作用素の2次元ノルム）を用いて近似値の誤差を測定することができます。これは、作用素の作用を近似する手法として特異値分解が有望であることを示唆しています。

行列は有限である必要はないことに注意してください。無限の場合、個々の特異ベクトルを計算する従来の方法は直接的には機能しません。また、近似はハンケル行列であることが求められますが、これはAAK理論で示せます。 ${\displaystyle A}$

ハンケル行列変換

数列のハンケル行列変換 、あるいは単にハンケル変換 は、から形成されるハンケル行列の行列式の数列である。整数 が与えられたとき、対応する-次元ハンケル行列を行列要素を持つものとして定義する。すると、で与えられる 数列は数列のハンケル変換となる。ハンケル変換は数列の二項変換に対して不変である。つまり、 を 数列の二項変換 として書くと、 ${\displaystyle b_{k}}$ ${\displaystyle b_{k}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle (n\times n)}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle [B_{n}]_{i,j}=b_{i+j}.}$ ${\displaystyle h_{n}}$ $${\displaystyle h_{n}=\det B_{n}}$$ ${\displaystyle b_{k}.}$ $${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}}$$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle \det B_{n}=\det C_{n}.}$

ハンケル行列の応用

ハンケル行列は、出力データのシーケンスが与えられたときに、基礎となる状態空間モデルまたは隠れマルコフモデルの実現が求められる場合に形成されます。^[3]ハンケル行列の特異値分解は、状態空間実現を定義するA、B、C行列 を計算する手段を提供します。 ^[4]信号から形成されたハンケル行列は、非定常信号の分解や時間周波数表現に有用であることがわかっています。

多項式分布のモーメント法

多項式分布にモーメント法を適用するとハンケル行列が得られ、これを逆行列化することで多項式分布近似の重みパラメータが得られる。^[5]

正ハンケル行列とハンバーガーモーメント問題

参照

• コーシー行列
• ヤコビ演算子
• テプリッツ行列、「逆」（つまり行が反転した）ハンケル行列
• ヴァンデルモンド行列

注記

1. Yasuda, M. (2003). 「エルミート中心対称K行列とエルミート歪中心対称K行列のスペクトル特性評価」SIAM J. Matrix Anal. Appl . 25 (3): 601– 605. doi :10.1137/S0895479802418835.
2. フーアマン 2012、§8.3
3. 青木正直(1983). 「時系列の予測」.経済時系列分析に関するノート：システム理論的視点. ニューヨーク: シュプリンガー. pp.  38– 47. ISBN 0-387-12696-1。
4. 青木正直 (1983). 「ハンケル行列のランク決定」.経済時系列分析に関するノート：システム理論的視点. ニューヨーク: シュプリンガー. pp.  67– 68. ISBN 0-387-12696-1。
5. J. Munkhammar, L. Mattsson, J. Rydén (2017)「モーメント法を用いた多項式確率分布推定」PLoS ONE 12(4): e0174573. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0174573

参考文献

• Brent RP (1999)、「構造化線形システムのための高速アルゴリズムの安定性」、構造付き行列の高速信頼性アルゴリズム（編集者—T. Kailath、AH Sayed）、ch.4（SIAM）。
• Fuhrmann, Paul A. (2012).線形代数への多項式アプローチ. Universitext (第2版). ニューヨーク: Springer. doi :10.1007/978-1-4614-0338-8. ISBN 978-1-4614-0337-1. Zbl  1239.15001。

• Victor Y. Pan (2001).構造化行列と多項式：統合超高速アルゴリズム. Birkhäuser . ISBN 0817642404。
• JR Partington (1988).ハンケル演算子入門. LMS Student Texts. 第13巻. Cambridge University Press . ISBN 0-521-36791-3。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hankel_matrix&oldid=1314758183"