ハリスチェーン

Type of stochastic Markov process

確率過程の数学的研究において、ハリス連鎖とは、状態空間の特定の部分に無限回繰り返して戻るマルコフ連鎖の一種である。 ^[1]ハリス連鎖は再生過程であり、セオドア・ハリスにちなんで名付けられた。ハリス連鎖とハリス回帰の理論は、一般（おそらく非可算無限）状態空間上のマルコフ連鎖を扱うのに役立つ。

意味

を一般状態空間上の確率核を持つマルコフ連鎖とする。この核は一般化された1ステップ遷移確率則を表し、のすべての状態とすべての測定可能な集合に対して となる。この連鎖はハリス連鎖^[2]とは、 が存在し、 となる確率測度が存在するときである 。 ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P(X_{n+1}\in C\mid X_{n}=x)=K(x,C)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ ${\displaystyle A\subseteq \Omega ,\varepsilon >0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho (\Omega )=1}$

1. ならば、すべての に対して となります。 ${\displaystyle \tau _{A}:=\inf\{n\geq 0:X_{n}\in A\}}$ ${\displaystyle P(\tau _{A}<\infty \mid X_{0}=x)=1}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$
2. かつ（ただしは測定可能）の場合、 となります。 ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle C\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle K(x,C)\geq \varepsilon \rho (C)}$

定義の最初の部分は、どこから始まったかに関係なく、連鎖が確率 1 で 内のいずれかの状態に戻ることを保証します。したがって、連鎖は状態 を無限に頻繁に（確率 1 で）訪れることになります。2 番目の部分は、マルコフ連鎖が状態 になったら、次の状態は独立したベルヌーイコイン投げによって生成できることを意味します。これを確認するには、まずパラメータ が0 から 1 の間である必要があることに注意してください（これは、定義の 2 番目の部分を集合 に適用することで示せます）。次に、を の点とし、 と仮定します。次の状態 を選択するには、成功確率 で偏ったコインを独立に投げます。コイン投げが成功した場合、確率測度 に従って次の状態を選択します。そうでない場合（および の場合）、測度（すべての測定可能なサブセット に対して定義されています）に従って次の状態を選択します。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle C=\Omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X_{n}=x}$ ${\displaystyle X_{n+1}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle X_{n+1}\in \Omega }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varepsilon <1}$ ${\displaystyle X_{n+1}}$ ${\displaystyle P(X_{n+1}\in C\mid X_{n}=x)=(K(x,C)-\varepsilon \rho (C))/(1-\varepsilon )}$ ${\displaystyle C\subseteq \Omega }$

同じ確率法則を持ち、上記の定義に従ってハリス連鎖となる2つのランダムプロセスとは、次のように結合できます。 およびと( およびは内の点)とします。 両方のプロセスの次の状態を決定するために同じコイン投げを使用すると、次の状態は少なくとも の確率で同じになります。 ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$ ${\displaystyle X_{n}=x}$ ${\displaystyle Y_{n}=y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

例

例1: 可算状態空間

Ωを可算状態空間とする。核Kは_、 x、y∈Ωに対して、1ステップ条件付き遷移確率P[ Xn _{+ 1} = y | Xn  =  x ]によって定義される。測度ρは状態に関する確率質量関数であり、すべてのx∈Ωに対してρ ( x )≥0が成立し、ρ (x)確率の合計は1となる。上記の定義が、与えられた集合A⊆Ωと与えられたパラメータε>0に対して満たされると仮定する。すると、すべてのx∈Aとすべてのc∈Ωに対してP[ Xn _{+ 1} = c | Xn = x ] ≥ερ ( c )が_成立する。

例2: 連続密度を持つ鎖

{ X _n },  X _n ∈ R ^{d を}ルベーグ測度に関して絶対連続な核を持つマルコフ連鎖とする。

K ( x , dy ) = K ( x , y )  dy

K ( x , y ) が連続関数となる。

K ( x ₀ ,  y ₀ ) > 0となるような( x ₀ ,  y ₀ )を選び、 Aと Ω をそれぞれx ₀とy ₀を含む開集合とし、 A  × Ω上でK ( x ,  y ) ≥ ε > 0となるように十分小さいものとする。ρ ( C ) = |Ω ∩  C |/|Ω| とすると（|Ω| はΩ のルベーグ測度）、上記の定義の(2)式が成立することがわかる。(1)式が成立する場合、{ X _n } はハリス連鎖である。

還元性と周期性

以下において、すなわち は、時刻 0 以降にプロセスが領域 に入る最初の時刻です。 はマルコフ連鎖の初期分布、すなわち を表します。 ${\displaystyle R:=\inf\{n\geq 1:X_{n}\in A\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X_{0}\sim \mu }$

定義: すべての に対して の場合、ハリス連鎖は再帰的と呼ばれます。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle P[R<\infty |X_{0}\in A]=1}$

定義: 再帰ハリス連鎖が非周期的であるとは、次の条件を満たす場合である。 ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \exists N}$ ${\displaystyle \forall n\geq N}$ ${\displaystyle \forall \mu ,P[X_{n}\in A|X_{0}\in A]>0}$

定理：が定常分布 を持つ非周期的回帰ハリス連鎖であるとする。 のとき となる。ここでは、同じ可測空間上で定義された符号付き測度の全変化を表す。 ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle P[R<\infty |X_{0}\in A]=1}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle ||{\mathcal {L}}(X_{n}|X_{0})-\pi ||_{TV}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle ||\cdot ||_{TV}}$

参考文献

1. Asmussen, Søren (2003). 「再生理論と再生過程におけるさらなるトピックス」.応用確率論と待ち行列. 確率モデルと応用確率論. 第51巻. pp.  186– 219. doi :10.1007/0-387-21525-5_7. ISBN 978-0-387-00211-8。
2. R. デュレット著『確率：理論と例』トムソン社、2005年、ISBN 0-534-42441-4。

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