積分変換

Mapping involving integration between function spaces

数学において、積分変換とは、関数を元の関数空間から別の関数空間へ積分によって写像する変換の一種である。この場合、元の関数の特性の一部は、元の関数空間よりも容易に特徴付け、操作できる可能性がある。変換された関数は、一般に逆変換を用いて元の関数空間に写像することができる。

一般的な形式

積分変換は次の形式の変換です。 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle (Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt}$

この変換の入力は関数 であり、出力は別の関数です。積分変換は、数学演算子の一種です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Tf}$

有用な積分変換は数多く存在します。それぞれの変換は、変換の核または核と呼ばれる2変数関数の選択によって規定されます。 ${\displaystyle K}$

一部のカーネルには、（大まかに言えば）逆変換を生成する逆カーネル が関連付けられています。 ${\displaystyle K^{-1}(u,t)}$

${\displaystyle f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}(Tf)(u)\,K^{-1}(u,t)\,du}$

対称カーネルとは、2つの変数を入れ替えても変化しないカーネル関数のことである。積分方程式の理論では、対称カーネルは自己随伴演算子に対応する。^[1] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(t,u)=K(u,t)}$

モチベーション

元の表現のままでは解くのが難しい、あるいは少なくとも代数的に扱いにくい問題が数多く存在します。積分変換は、方程式を元の「領域」から別の領域に「写像」します。この領域では、方程式の操作と解が元の領域よりもはるかに容易になる場合があります。そして、積分変換の逆変換によって、解を元の領域に写像することができます。

「プライシングカーネル」や確率的割引係数、ロバスト統計から回復されたデータの平滑化など、積分変換に依存する確率の応用は多数あります。カーネル（統計）を参照してください。

歴史

変換の先駆けは、有限区間内の関数を表現するためのフーリエ級数でした。後に、有限区間という要件を排除するためにフーリエ変換が開発されました。

フーリエ級数を用いることで、ほぼあらゆる実用的な時間関数（例えば電子機器の端子間電圧）は、それぞれが適切にスケーリング（定数倍）、シフト（時間的に進めるまたは遅らせる）、そして「圧縮」または「引き伸ばす」（周波数を増加または減少させる）された正弦波と余弦波の和として表すことができます。フーリエ級数の正弦波と余弦波は、直交基底の一例です。

使用例

積分変換の応用例として、ラプラス変換を考えてみましょう。これは、「時間」領域の微分方程式または積分微分方程式を、 「複素周波数」領域と呼ばれる領域における多項式方程式に変換する手法です。（複素周波数は実際の物理周波数に似ていますが、より一般的な概念です。具体的には、複素周波数s = − σ + iωの虚数成分ω は、通常の周波数の概念、すなわち正弦波の周期に対応し、複素周波数の実数成分σは「減衰」の度合い、つまり振幅の指数関数的な減少に対応します。）複素周波数で表された方程式は、複素周波数領域で容易に解くことができ（複素周波数領域における多項式方程式の根は、時間領域における固有値に対応します）、周波数領域で定式化された「解」が得られます。逆変換、すなわち元のラプラス変換の逆手順を用いることで、時間領域解が得られます。この例では、複素周波数領域における多項式（通常は分母に現れる）は時間領域におけるべき級数に対応し、複素周波数領域における軸シフトは時間領域における減衰指数関数による減衰に対応します。

ラプラス変換は物理学、特に電気工学において広く応用されています。電気工学においては、複素周波数領域における電気回路の挙動を記述する特性方程式が、時間領域における指数関数的にスケーリングされ時間シフトされた減衰正弦波の線形結合に対応します。その他の積分変換は、他の科学分野や数学分野でも特別な応用が見出されています。

もう1つの使用例は、経路積分のカーネルです。

${\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'.}$

これは、到達すべき全振幅は、点に到達するための全振幅のあらゆる可能な値の合計（積分）に、点から点までの移動振幅を乗じたもの（すなわち）であることを示しています。^{[2]これは、特定のシステムの}プロパゲーター と呼ばれることがよくあります。この（物理学的）カーネルは、積分変換のカーネルです。しかし、量子システムごとに異なるカーネルが存在します。^[3] ${\displaystyle \psi (x,t)}$ ${\displaystyle (x,t)}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle \psi (x',t')}$ ${\displaystyle (x',t')}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K(x,t;x',t')}$

変換表

積分変換表

変身	シンボル	K	f ( t )	t 1	t 2	K −1	あなた1	あなた2
アーベル変換	F、f	${\displaystyle {\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}$		${\displaystyle u}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}}$ [4]	t	${\displaystyle \infty }$
準ルジャンドル変換	${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n,m}}$	${\displaystyle (1-x^{2})^{-m/2}P_{n}^{m}(x)}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
フーリエ変換	${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle e^{-2\pi iut}}$	${\displaystyle L_{1}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle e^{2\pi iut}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
フーリエ正弦変換	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)}$	、実数値 ${\displaystyle [0,\infty )}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
フーリエコサイン変換	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)}$	、実数値 ${\displaystyle [0,\infty )}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
ハンケル変換		${\displaystyle t\,J_{\nu }(ut)}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle u\,J_{\nu }(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
ハートレー変換	${\displaystyle {\mathcal {H}}}$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
エルミート変換	${\displaystyle H}$	${\displaystyle e^{-x^{2}}H_{n}(x)}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
ヒルベルト変換	${\displaystyle {\mathcal {H}}il}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
ヤコビ変換	${\displaystyle J}$	${\displaystyle (1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
ラゲール変換	${\displaystyle L}$	${\displaystyle e^{-x}\ x^{\alpha }\ L_{n}^{\alpha }(x)}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
ラプラス変換	${\displaystyle {\mathcal {L}}}$	${\displaystyle e^{-ut}}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
ルジャンドル変換	${\displaystyle {\mathcal {J}}}$	${\displaystyle P_{n}(x)\,}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
メリン変換	${\displaystyle {\mathcal {M}}}$	${\displaystyle t^{u-1}}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,}$[5]	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
両側ラプラス 変換	${\displaystyle {\mathcal {B}}}$	${\displaystyle e^{-ut}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
ポアソン核		${\displaystyle {\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2\pi }$
ラドン変換	Rƒ	${\displaystyle \delta (x\cos \theta +y\sin \theta -t)}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
ワイエルシュトラス変換	${\displaystyle {\mathcal {W}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}}{\sqrt {4\pi }}}\,}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}{i{\sqrt {4\pi }}}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
X線変換	Xƒ			${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$

逆変換の積分の極限において、c は変換関数の性質に依存する定数です。例えば、片側および両側ラプラス変換の場合、c は変換関数の零点の実部の最大値よりも大きくなければなりません。

フーリエ変換には代替の表記法と規則があることに注意してください。

異なるドメイン

ここで、積分変換は実数関数に対して定義されていますが、より一般的には群関数に対して定義できます。

• 代わりに円上の関数（周期関数）を使用する場合、積分カーネルは双周期関数になります。円上の関数による畳み込みは円畳み込みになります。
• n次の巡回群（C _nまたはZ / n Z）上の関数を使用すると、積分カーネルとしてn × n行列が得られます。畳み込みは巡回行列に対応します。

一般理論

積分変換の性質は多岐にわたりますが、共通する性質もいくつかあります。例えば、積分は線形演算子であるため、すべての積分変換は線形演算子です。実際、核を一般化関数とみなせる場合、すべての線形演算子は積分変換になります（この記述を適切に定式化したものがシュワルツ核定理です）。

このような積分方程式の一般理論はフレドホルム理論として知られています。この理論では、核は関数のバナッハ空間に作用するコンパクト作用素として理解されています。状況に応じて、核はフレドホルム作用素、核作用素、あるいはフレドホルム核などと呼ばれます。

参照

• ベイトマン変換
• 畳み込みカーネル
• 循環畳み込み
• 循環行列
• 微分方程式
• カーネル法
• 変換のリスト
• オペレーターのリスト
• フーリエ関連変換の一覧
• ナフビンの定理
• 非局所演算子
• 再生カーネル
• 記号積分

参考文献

1. 第8.2章、理論物理学の方法第1巻（モース＆フェシュバッハ）
2. ファインマンとヒブスの『量子力学と経路積分』改訂版の式3.42:
3. 数学的には、経路積分の核とは何ですか?
4. アーベル変換が で不連続ではないと仮定します。 ${\displaystyle u}$
5. いくつかの条件が適用されます。詳細については、メリンの反転定理を参照してください。

さらに読む

• ADポリアニンとAVマンジロフ著『積分方程式ハンドブック』CRCプレス、ボカラトン、1998年。ISBN 0-8493-2876-4
• RKM Thambynayagam著『拡散ハンドブック：エンジニアのための応用ソリューション』 McGraw-Hill、ニューヨーク、2011年。ISBN 978-0-07-175184-1
• 「積分変換」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• EqWorld: 数式の世界における積分変換の表。

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