高度に合成された数

Numbers with many divisors

キュイゼネール棒を使​​った、最初の4つの合成数1、2、4、6のデモンストレーション

高度合成数とは、それより小さい正の整数よりも多くの約数を持つ正の整数です。正整数nの約数の個数をd ( n ) とすると、正整数Nは、 n  <  Nのすべてにおいてd ( N ) > d ( n ) を満たす場合、高度合成数です。例えば、6 はd (6) = 4 であるため高度合成数です。また、 n = 1,2,3,4,5 のそれぞれにおいて、 d ( n ) = 1,2,2,3,2 となり、いずれも 4 未満です。

関連する概念として、ほぼ合成数（largely compound number ）があります。これは、それより小さい正の整数すべてと少なくとも同じ数の約数を持つ正の整数です。この名称はやや誤解を招く可能性があります。最初の2つの非常に合成数（1と2）は実際には合成数ではありませんが、それ以降の項はすべて合成数です。

ラマヌジャンは1915年に高度合成数に関する論文を執筆した。^[1]

数学者ジャン＝ピエール・カハネは、プラトンが5040（＝  7! ）という数字を都市の理想的な住民数として意図的に選んだことから、プラトンは高度な合成数について知っていたに違いないと示唆した。 ^[2]さらに、ヴァルドゥラキスとピューの論文では、5040という数字に関する同様の考察が深められている。^[3]

例

下の表には、最初の41個の高度合成数が列挙されています（OEISの配列A002182 ）。約数の数はd ( n )の列に示されています。アスタリスクは、その数よりも高い高度合成数を示します。

注文	HCN n	素因数 分解	素 指数	素因数 の数	d ( n )	原始因数 分解
1	1			0	1
2	2 *	${\displaystyle 2}$	1	1	2	${\displaystyle 2}$
3	4	${\displaystyle 2^{2}}$	2	2	3	${\displaystyle 2^{2}}$
4	6 *	${\displaystyle 2\cdot 3}$	1,1	2	4	${\displaystyle 6}$
5	12 *	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3}$	2,1	3	6	${\displaystyle 2\cdot 6}$
6	24	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3}$	3,1	4	8	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6}$
7	36	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}}$	2,2	4	9	${\displaystyle 6^{2}}$
8	48	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3}$	4.1	5	10	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6}$
9	60 *	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3\cdot 5}$	2,1,1	4	12	${\displaystyle 2\cdot 30}$
10	120 *	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot 5}$	3,1,1	5	16	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30}$
11	180	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	2,2,1	5	18	${\displaystyle 6\cdot 30}$
12	240	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3\cdot 5}$	4,1,1	6	20	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30}$
13	360 *	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	3,2,1	6	24	${\displaystyle 2\cdot 6\cdot 30}$
14	720	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	4,2,1	7	30	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 30}$
15	840	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7}$	3、1、1、1	6	32	${\displaystyle 2^{2}\cdot 210}$
16	1260	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	2、2、1、1	6	36	${\displaystyle 6\cdot 210}$
17	1680	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7}$	4、1、1、1	7	40	${\displaystyle 2^{3}\cdot 210}$
18	2520 *	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	3、2、1、1	7	48	${\displaystyle 2\cdot 6\cdot 210}$
19	5040 *	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	4、2、1、1	8	60	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 210}$
20	7560	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7}$	3、3、1、1	8	64	${\displaystyle 6^{2}\cdot 210}$
21	10080	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	5、2、1、1	9	72	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6\cdot 210}$
22	15120	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7}$	4、3、1、1	9	80	${\displaystyle 2\cdot 6^{2}\cdot 210}$
23	20160	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	6、2、1、1	10	84	${\displaystyle 2^{4}\cdot 6\cdot 210}$
24	25200	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7}$	4、2、2、1	9	90	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30\cdot 210}$
25	27720	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	3、2、1、1、1	8	96	${\displaystyle 2\cdot 6\cdot 2310}$
26	45360	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7}$	4、4、1、1	10	100	${\displaystyle 6^{3}\cdot 210}$
27	50400	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7}$	5、2、2、1	10	108	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30\cdot 210}$
28	55440*	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	4、2、1、1、1	9	120	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 2310}$
29	83160	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	3、3、1、1、1	9	128	${\displaystyle 6^{2}\cdot 2310}$
30	110880	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	5、2、1、1、1	10	144	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6\cdot 2310}$
31	166320	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	4、3、1、1、1	10	160	${\displaystyle 2\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
32	221760	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	6、2、1、1、1	11	168	${\displaystyle 2^{4}\cdot 6\cdot 2310}$
33	277200	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11}$	4、2、2、1、1	10	180	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30\cdot 2310}$
34	332640	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	5、3、1、1、1	11	192	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
35	498960	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	4、4、1、1、1	11	200	${\displaystyle 6^{3}\cdot 2310}$
36	554400	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11}$	5、2、2、1、1	11	216	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30\cdot 2310}$
37	665280	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	6、3、1、1、1	12	224	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
38	720720*	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13}$	4、2、1、1、1、1	10	240	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 30030}$
39	1081080	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13}$	3、3、1、1、1、1	10	256	${\displaystyle 6^{2}\cdot 30030}$
40	1441440*	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13}$	5、2、1、1、1、1	11	288	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6\cdot 30030}$
41	2162160	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13}$	4、3、1、1、1、1	11	320	${\displaystyle 2\cdot 6^{2}\cdot 30030}$

最初の 20 個の高度に合成された数の約数を以下に示します。

n	d ( n )	nの約数
1	1	1
2	2	1、2
4	3	1、2、4
6	4	1、2、3、6
12	6	1、2、3、4、6、12
24	8	1、2、3、4、6、8、12、24
36	9	1、2、3、4、6、9、12、18、36
48	10	1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
60	12	1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60
120	16	1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、20、24、30、40、60、120
180	18	1、2、3、4、5、6、9、10、12、15、18、20、30、36、45、60、90、180
240	20	1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、16、20、24、30、40、48、60、80、120、240
360	24	1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180、360
720	30	1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、16、18、20、24、30、36、40、45、48、60、72、80、90、120、144、180、240、360、720
840	32	1、2、3、4、5、6、7、8、10、12、14、15、20、21、24、28、30、35、40、42、56、60、70、84、105、120、140、168、210、280、420、840
1260	36	1、2、3、4、5、6、7、9、10、12、14、15、18、20、21、28、30、35、36、42、45、60、63、70、84、90、105、126、140、180、210、252、315、420、630、1260
1680	40	1、2、3、4、5、6、7、8、10、12、14、15、16、20、21、24、28、30、35、40、42、48、56、60、70、80、84、105、112、120、140、168、210、240、280、336、420、560、840、1680
2520	48	1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、14、15、18、20、21、24、28、30、35、36、40、42、45、56、60、63、70、72、84、90、105、120、126、140、168、180、210、252、280、315、360、420、504、630、840、1260、2520
5040	60	1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、24、28、30、35、36、40、42、45、48、56、60、63、70、72、80、84、90、105、112、120、126、140、144、168、180、210、240、252、280、315、336、360、420、504、560、630、720、840、1008、 1260、1680、2520、5040
7560	64	1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、14、15、18、20、21、24、27、28、30、35、36、40、42、45、54、56、60、63、70、72、84、90、105、108、120、126、135、140、168、180、189、210、216、252、270、280、315、360、378、420、504、540、630、756、840、945、 1080、1260、1512、1890、2520、3780、7560

以下の表は、10080 を 2 つの数の積として 36 通りの方法で書き表すことによって、10080 の 72 個の約数すべてを示しています。

高度に合成された数：10080 10080 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3) × 5 × 7
1 × 10080	2 × 5040	3 × 3360	4 × 2520	5 × 2016	6 × 1680
7 × 1440	8 × 1260	9 × 1120	10 × 1008	12 × 840	14 × 720
15 × 672	16 × 630	18 × 560	20 × 504	21 × 480	24 × 420
28 × 360	30 × 336	32 × 315	35 × 288	36 × 280	40 × 252
42 × 240	45 × 224	48 × 210	56 × 180	60 × 168	63 × 160
70 × 144	72 × 140	80 × 126	84 × 120	90 × 112	96 × 105
注： 太字の数字はそれ自体が高度合成数です。20 番目の高度合成数7560（= 3 × 2520）のみが存在しません。10080 はいわゆる7平滑数です（ OEISのシーケンスA002473）。

15,000番目の高度合成数は、アヒム・フラメンカンプのウェブサイトで見つけることができます。これは230個の素数の積です。

${\displaystyle a_{0}^{14}a_{1}^{9}a_{2}^{6}a_{3}^{4}a_{4}^{4}a_{5}^{3}a_{6}^{3}a_{7}^{3}a_{8}^{2}a_{9}^{2}a_{10}^{2}a_{11}^{2}a_{12}^{2}a_{13}^{2}a_{14}^{2}a_{15}^{2}a_{16}^{2}a_{17}^{2}a_{18}^{2}a_{19}a_{20}a_{21}\cdots a_{229},}$

ここでは番目の連続する素数であり、省略された項（a ₂₂からa ₂₂₈）はすべて指数が1の因数（つまり）です。より簡潔に言えば、これは7つの異なる原始数の積です。 ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{14}\times 3^{9}\times 5^{6}\times \cdots \times 1451}$

${\displaystyle b_{0}^{5}b_{1}^{3}b_{2}^{2}b_{4}b_{7}b_{18}b_{229},}$

原始的なはどこにあるか。^[4] ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}a_{1}\cdots a_{n}}$

素因数分解

1から1000までの整数の約数の個数をプロットしたグラフです。合成数が多いものは太字で、合成数の中でも特に優れた数には星印が付いています。SVGファイルでは、棒グラフにマウスポインタを置くと統計情報が表示されます。

大まかに言えば、ある数が高度に合成数であるためには、その素因数は可能な限り小さく、かつ同じ数が多すぎないようにする必要があります。算術の基本定理によれば、すべての正の整数nは一意に素因数分解されます。

${\displaystyle n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}}$

ここで、 は素数であり、指数は正の整数です。 ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}}$ ${\displaystyle c_{i}}$

n の因数は、各素数において同じかそれより小さい重複度を持つ必要があります。

${\displaystyle p_{1}^{d_{1}}\times p_{2}^{d_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{d_{k}},0\leq d_{i}\leq c_{i},0<i\leq k}$

したがって、 nの約数の数は、次のようになります。

${\displaystyle d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).}$

したがって、高度に合成された数nに対して、

• 与えられたk個の素数p i_は、最初のk個の素数 (2、3、5、...) と正確に一致する必要があります。そうでない場合は、与えられた素数の 1 つをより小さな素数に置き換えて、同じ数の約数を持つnよりも小さい数を取得できます(たとえば、10 = 2 × 5 は 6 = 2 × 3 に置き換えることができます。どちらも 4 つの約数を持ちます)。
• 指数のシーケンスは非増加、つまり でなければなりません。そうでない場合、2 つの指数を交換すると、同じ数の約数を持つnよりも小さい数が再び得られます(たとえば、18 = 2 ¹  × 3 ^{2 は12 = 2 2}  × 3 ¹に置き換えられます。どちらも 6 個の約数を持ちます)。 ${\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}}$

また、n  = 4 とn  = 36 という2つの特別な場合を除いて、最後の指数c _{k は}必ず1になります。つまり、1、4、36 は平方の高次合成数として唯一の数です。指数列が非増加であるということは、高次合成数が素数の積である、あるいはその素数の符号が最小の数である、ということと同じです。

上記の条件は必要条件ですが、数が高度合成数であるためには十分条件ではないことに注意してください。例えば、96 = 2 ⁵ × 3 は上記の条件を満たし、約数が12個ありますが、同じ数の約数を持つより小さい数 (60) が存在するため、高度合成数ではありません。

漸近的成長と密度

Q ( x )がx以下の高度に合成された数の個数を表すとすると、 1 より大きい 定数aとbが 2 つ存在し、

${\displaystyle (\log x)^{a}\leq Q(x)\leq (\log x)^{b}\,.}$

不等式の前半部分は1944年にポール・エルデシュによって証明され、後半部分は1988年にジャン＝ルイ・ニコラによって証明された。

${\displaystyle 1.13862<\liminf _{x\,\to \,\infty }{\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.44\ }$

そして

${\displaystyle \limsup _{x\,\to \,\infty }{\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.71\ .}$^[5]

関連する配列

100 未満の数のオイラー線図:

   豊富な

   原始的な豊かさ

   非常に豊富

   過剰かつ高度に複合化された

   非常に豊富で 優れた高度複合

   奇妙な

   完璧

   複合

   欠陥のある

6より大きい高合成数もまた過剰数です。この事実を確認するには、特定の高合成数の最大の真約数を3つ見れば十分です。すべての高合成数が10進数のハーシャッド数であるというのは誤りです。ハーシャッド数ではない最初の高合成数は245,044,800です。その桁の和は27であり、245,044,800を割り切れません。

最初の38個の高度合成数のうち10個は、優位高度合成数である。高度合成数列（OEISにおける列A002182 ）は、ちょうどn個の約数を持つ最小の数kの列（OEISにおける列A005179）のサブセットである。

約数の個数も高度合成数である高度合成数は

1、2、6、12、60、360、1260、2520、5040、55440、277200、720720、3603600、61261200、2205403200、293318625600、6746328388800、195643523275200（OEISのシーケンスA189394）。

このシーケンスが完了している可能性が非常に高いです。

正の整数nが大体合成数であるとは、任意のm≤nに対してd ( n )≥d ( m )が成り立つことを意味する。大体合成数の計数関数Q _L ( x )は次式を満たす。

${\displaystyle (\log x)^{c}\leq \log Q_{L}(x)\leq (\log x)^{d}\ }$

正のcとdの場合。^{[6] [7]} ${\displaystyle 0.2\leq c\leq d\leq 0.5}$

高度に合成された数の素因数分解には最初のk個の素数がすべて使用されるため、高度に合成された数はすべて実用的な数でなければなりません。^[8]分数を含む計算での使用が容易なため、これらの数の多くは従来の計測システムや工学設計で使用されています。

参照

• 優れた高度合成数
• 高度トーティエント数
• 約数表
• オイラーのトーティエント関数
• ラウンドナンバー
• 滑らかな数

注記

1. ラマヌジャン, S. (1915). 「高度合成数」(PDF) . Proc. London Math. Soc . Series 2. 14 : 347–409 . doi :10.1112/plms/s2_14.1.347. JFM  45.1248.01.
2. カハネ、ジャン＝ピエール（2015年2月）、「エルデシュ後のベルヌーイ畳み込みと自己相似測度：個人的な余談」アメリカ数学会誌、62（2）：136–140カハネはプラトンの『法律』771cを引用している。
3. ヴァルドゥラキス、アントニス、ピュー、クライヴ（2008年9月）「プラトンの素数分布に関する隠れた定理」、数学インテリジェンサー、30（3）：61-63、doi：10.1007/BF02985381。
4. フラメンカンプ、アヒム、高度合成数。
5. サンドール他 (2006) p.45
6. Sándor et al. (2006) p. 46
7. ニコラ、ジャン＝ルイ(1979). 「大きな作曲家の分割」。アクタ・アリス。（フランス語で）。34 (4): 379–390 .土井: 10.4064/aa-34-4-379-390。Zbl  0368.10032。
8. Srinivasan, AK (1948)、「実用数」(PDF)、Current Science、17 : 179–180、MR  0027799。

参考文献

• サンダー、ヨージェフ。ミトリノヴィッチ、ドラゴスラフ S.クリスティチ、ボリスラフ編。 （2006年）。整数論ハンドブック I。ドルドレヒト: Springer-Verlag。45 ～ 46ページ 。ISBN 1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300。
• エルデシュ, P. (1944). 「高度合成数について」(PDF) .ロンドン数学会誌. 第2集. 19 (75_Part_3): 130– 133. doi :10.1112/jlms/19.75_part_3.130. MR  0013381.
• Alaoglu, L. ; Erdös, P. (1944). 「高度に合成された数と相似数について」(PDF) .アメリカ数学会誌. 56 (3): 448– 469. doi :10.2307/1990319. JSTOR  1990319. MR  0011087.
• ラマヌジャン、シュリニヴァサ(1997). 「高度合成数」(PDF) .ラマヌジャンジャーナル. 1 (2): 119– 153. doi :10.1023/A:1009764017495. MR  1606180. S2CID  115619659.Jean-Louis Nicolas と Guy Robin による注釈と序文付き。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「高度合成数」。MathWorld。
• 高度合成数を計算するアルゴリズム
• 最初の10000個の高度合成数を因数として
• Achim Flammenkamp、シグマ、タウ、因子を含む最初の779674 HCN
• オンライン高度合成数計算機
• 5040とその他の反素数 - ジェームズ・グライム博士（ジェームズ・グライム博士、Numberphile向け）

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