ホモロジー（数学）

Algebraic structure associated with a topological space

数学において、ホモロジーという用語は、もともと代数位相幾何学で導入され、密接に関連した主要な用法が 3 つあります。まず、この用語の最も直接的な用法は、連鎖複体のホモロジーを取り、ホモロジー群と呼ばれる一連のアーベル群を生じることです。次に、連鎖複体は他のさまざまなタイプの数学的対象から得られるため、この操作によって、さまざまな名前付きホモロジーまたはホモロジー理論をこれらの対象に関連付けることができます。最後に、位相空間には同じ答えを生成するホモロジー理論が多数存在するため、位相空間のホモロジーとも呼ばれます。(この後者のホモロジーの概念は、1 次元または 2 次元の位相空間についてより直感的な記述を可能にし、一般的な数学で参照されることがあります。) また、コ連鎖複体のコホモロジーという関連概念もあり、位相空間のコホモロジーの概念に加えて、さまざまなコホモロジー理論が生じます。

鎖状複合体の相同性

まず、連鎖複体から始めます。連鎖複体は、アーベル群(その要素は連鎖と呼ばれます) と群準同型(境界写像と呼ばれます)の列です。 ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle d_{n}}$

${\displaystyle \cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots }$、

任意の2つの連続する写像の合成はゼロとなる。

${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

番目のサイクル群、はカーネルサブグループによって与えられる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z_{n}}$

${\displaystyle Z_{n}=\ker d_{n}=\{c\in C_{n}\,|\;d_{n}(c)=0\}}$、

そして境界の 番目のグループは、像部分群によって与えられる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle B_{n}:=\mathrm {im} \,d_{n+1}=\{d_{n+1}(c)\,|\;c\in C_{n+1}\}}$。

この連鎖複体の番目のホモロジー群は、境界を法とする循環の商群です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle H_{n}=Z_{n}/B_{n}}$

連鎖複体に追加の構造を与えることができます。たとえば、グループを係数環上の加群とし、境界写像を加群準同型とすると、商加群でもあるホモロジー群が得られます。 ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle d_{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle H_{n}}$

ホモロジー代数のツールは、異なる鎖複合体のホモロジー グループを関連付けるために使用できます。

ホモロジー理論

ホモロジー理論を他の種類の数学的対象に関連付けるには、まず連鎖複体をその対象に関連付ける規定を与え、次にそのような連鎖複体のホモロジーを取ります。ホモロジー理論が有効であるためには、同じ数学的対象に関連付けられたそのような連鎖複体はすべて、同じホモロジーを持つ必要があります。結果として得られるホモロジー理論は、規定された連鎖複体の種類に従って名前が付けられることがよくあります。たとえば、特異連鎖複体、モース複体、コバノフ複体、ホッホシルト複体からは、それぞれ特異ホモロジー、モース複体、コバノフ複体、ホッホシルト複体から得られます。群ホモロジーなど、その他の場合には、同じホモロジー群を計算する一般的な方法が複数あります。

圏論の言語において、ホモロジー理論とは、研究対象となる数学的対象の圏からアーベル群および群準同型の圏、あるいはより一般的には関連する連鎖複体に対応する圏への関数の一種である。ホモロジー理論は、適切なアーベル圏上の導来関数として定式化することもでき、これは適切な関数が正確でないことの尺度となる。この後者の構成は、導来圏やモデル圏の観点から明示的に記述することも、より抽象的に導来圏やモデル圏の観点から記述することもできる。

どのように定式化されるかに関係なく、ホモロジー理論は、それが関連付けられている数学的オブジェクトの構造に関する情報を提供するのに役立ち、場合によっては異なるオブジェクトを区別するのに役立ちます。

位相空間のホモロジー

ホモロジーという用語の最もよく知られた用法は、おそらく位相空間のホモロジーを指すでしょう。十分に良い位相空間と、適合する係数環の選択に対して、アイレンバーグ＝スティーンロッド公理を満たす任意のホモロジー理論は、その位相空間の特異ホモロジー（下記参照）と同じホモロジー群をもたらします。そのため、多くの場合、問題のホモロジー群を計算するためにどのホモロジー理論が使用されたかを指定する代わりに、単にその空間の「ホモロジー」と言及します。

1 次元位相空間の場合、おそらく最も単純なホモロジー理論はグラフ ホモロジーです。これは単体ホモロジーの 1 次元特殊ケースと見なすことができ、単体ホモロジーでは位相空間が単体に分解されます。(単体とは、三角形を任意の次元に一般化したものです。たとえば、グラフの辺は1 次元単体に同相であり、三角形をベースとするピラミッドは 3 単体です。) 単体ホモロジーは、特異点ホモロジーに一般化することができ、これにより位相空間へのより一般的な単体の写像が可能になります。単体をさまざまな次元の円板に置き換えると、セル ホモロジーと呼ばれる関連する構成になります。

これらのホモロジー群を計算する他の方法もあります。たとえば、モースホモロジーを使用するか、チェフコホモロジーや (実係数の場合)ド・ラームコホモロジーなどのコホモロジー理論に適用して普遍係数定理の出力を取得する方法があります。

ホモロジーのインスピレーション（非公式な議論）

ホモロジーの発展につながったアイデアの一つは、特定の低次元形状は「穴」を調べることで位相的に区別できるという観察でした。例えば、8の字型の形状は円よりも多くの穴を持ち、2次元トーラス（内管のような形状の2次元面）は2次元球面（バスケットボールのような形状の2次元面）とは異なる穴を持ちます。 ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

このような位相的特徴の研究から、ホモロジー類（ホモロジー群の元）を表すサイクルの概念が生まれました。例えば、 8の字形に埋め込まれた2つの円は1次元サイクル、つまり1サイクルの例であり、2次元トーラスと2次元球面は2サイクルを表します。サイクルは形式的加法、つまりサイクルを幾何学的に結合するのではなく記号的に加算する操作によって群を形成します。サイクルの任意の形式的和は、やはりサイクルと呼ばれます。 ${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

サイクルと境界（非公式な議論）

ホモロジー群の明示的な構成はやや専門的です。前述のように、位相空間のホモロジー群の明示的な実現は、に関連付けられた鎖複体のサイクルと境界によって定義されます。ここで、鎖複体の種類は、使用するホモロジー理論の選択に依存します。これらのサイクルと境界はアーベル群の元であり、鎖複体の境界準同型によって定義されます。ここで、それぞれはアーベル群であり、 はすべての に対してを満たす群準同型です。 ${\displaystyle H_{n}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle d_{n}}$ ${\displaystyle d_{n-1}\circ d_{n}=0}$ ${\displaystyle n}$

このような構成はいくぶん技術的なので、ホモロジーに関する非公式の議論では、サイクルや境界の群論的側面の一部に類似する位相的な概念に焦点が当てられることがあります。

例えば、鎖複体の文脈において、境界とは、ある に対して、境界準同型 の像 の任意の元です。位相幾何学において、空間の境界は、技術的には空間の閉包からその内部を引いたものとなりますが、例からもおなじみの概念でもあります。例えば、単位円 の境界は単位円であり、より位相的に言えば、 の境界はです。 ${\displaystyle B_{n}:=\mathrm {im} \,d_{n+1}:=\{d_{n+1}(c)\,|\;c\in C_{n+1}\}}$ ${\displaystyle d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

位相的には、閉区間の境界は互いに素な和集合 で与えられ、適切な方向付け規則に従うと、 の向き付けられた境界は、正に向き付けられた と負に向き付けられた の和集合 で与えられます。このステートメントの単体連鎖複素数類似体は です。(は準同型なので、任意の整数 に対して が成り立ちます。) ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \{0\}\,\amalg \,\{1\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \{0\}.}$ ${\displaystyle d_{1}([0,1])=\{1\}-\{0\}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{1}(k\cdot [0,1])=k\cdot \{1\}-k\cdot \{0\}}$ ${\displaystyle k}$

鎖複体の文脈において、サイクルとは、ある に対して核の任意の元を指します。言い換えれば、がサイクルとなるのは、 の場合に限ります。この概念に最も近い位相的な類似物は、「境界がない」、つまり境界が空集合であるような図形です。例えば、、 、 には境界がないため、これらの空間のそれぞれにサイクルを関連付けることができます。しかし、鎖複体におけるサイクル（境界が「ゼロ鎖」である元）の概念は、境界のない図形という位相的な概念よりも一般的です。 ${\displaystyle Z_{n}:=\ker d_{n}:=\{c\in C_{n}\,|\;d_{n}(c)=0\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle c\in C_{n}}$ ${\displaystyle d_{n}(c)=0}$ ${\displaystyle S^{1},S^{2}}$ ${\displaystyle T^{2}}$

サイクルは直感的に穴を見つけることだと考えられると主張するときに人々が一般的に念頭に置いているのは、この境界がないという位相的な概念です。この考え方は、、、などの境界がない図形に対して、それぞれの場合に、元の図形を境界とするより大きな図形を接着することができるというものです。たとえば、円 から始めて、が の境界となるように2次元ディスク を に接着することができます。同様に、2 次元球 が与えられている場合、が の境界となるようにボールを に接着することができます。この現象は、 に の形をした「穴」がある、または で「埋められる」可能性があると説明されることがあります。 ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle B^{3}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle B^{3}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle B^{3}}$ ${\displaystyle B^{3}}$

より一般的には、境界のない任意の図形は円錐で「埋める」ことができます。これは、与えられた空間に境界がない場合、 上の円錐の境界はで与えられるため、上の円錐を に貼り付けて「埋める」と、 がその円錐の境界となるからです。(たとえば、 上の円錐はを境界とする円板に同相です。) ただし、多様体などのより適切な空間に制限することが望ましい場合もあり、すべての円錐が多様体に同相であるとは限りません。1-サイクル、3-サイクル、および向き付けられた 2-サイクルの埋め込み表現はすべて、多様体の形状の穴を許容しますが、たとえば、実射影平面と複素射影平面は非自明なコボルディズム類を持つため、多様体で「埋める」ことはできません。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

一方、位相空間のホモロジーで議論される境界は、「埋められた」穴の境界とは異なります。位相空間のホモロジーは、 に追加の部分を貼り付けることで構築される新しい形状ではなく、元の空間 に関係しているからです。たとえば、に埋め込まれた円は、すでに に埋め込まれた円板を囲んでいるため、のホモロジーには境界類が生じます。対照的に、円板を8 の字形の葉に貼り付けることは可能であるにもかかわらず、 を 8 の字形の 2 つの葉の 1 つに埋め込むと境界は生成されません。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

ホモロジー群

十分に良好な位相空間、適切なホモロジー理論の選択、およびそのホモロジー理論と両立するに関連付けられた連鎖複体 が与えられた場合、番目のホモロジー群は、 次元境界を法とする-サイクル（-次元サイクル）の商群によって与えられる。言い換えれば、 の元はホモロジー類と呼ばれ、その代表が-サイクルである同値類であり、任意の2つのサイクルは、境界の追加によって異なる場合にのみ、 において等しいとみなされる。これはまた、 の「零」元が -次元境界の群によって与えられ、これにはそのような境界の形式的な和も含まれることを意味する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}(X)}$ ${\displaystyle H_{n}(X)=Z_{n}/B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}(X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}(X)}$ ${\displaystyle H_{n}(X)}$ ${\displaystyle n}$

非公式な例

位相空間 Xのホモロジーとは、 Xの位相不変量の集合であり、そのホモロジー群によって表される 。ここでホモロジー群は、非公式には、 k次元境界を持つXの穴の数を記述する。0 次元境界の穴とは、単に 2 つの成分間の隙間である。したがって、Xのパス連結成分を記述する。^[1] $${\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots }$$ ${\displaystyle k^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle H_{k}(X)}$ ${\displaystyle H_{0}(X)}$

1次元球面は 円である。1つの連結成分と1次元境界の穴を持つが、高次元の穴は持たない。対応するホモロジー群は で与えられる。ここでは整数群、は自明群である。この群は有限生成アーベル群を表し、1つの生成元は円に含まれる1次元の穴を表す。^[2] ${\displaystyle S^{1}}$ $${\displaystyle H_{k}\left(S^{1}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle H_{1}\left(S^{1}\right)=\mathbb {Z} }$

二次元球面は 、連結成分を一つ持ち、一次元境界の穴は無く、二次元境界の穴は一つ、高次元の穴は一つ持たない。対応するホモロジー群は^{[2]である。} ${\displaystyle S^{2}}$ $${\displaystyle H_{k}\left(S^{2}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

一般にn次元球面のホモロジー群は ${\displaystyle S^{n},}$ $${\displaystyle H_{k}\left(S^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

二次元球 は固体円板である。二次元球は経路連結成分を一つ持ち、円とは異なり高次元の穴を持たない。対応するホモロジー群は を除いてすべて自明である。一般に、n次元球^{[2]に対して} ${\displaystyle B^{2}}$ ${\displaystyle H_{0}\left(B^{2}\right)=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle B^{n},}$ $${\displaystyle H_{k}\left(B^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

トーラスは2つの円の積として定義される。トーラスは、1つのパス連結成分、2つの独立した1次元ホール（赤と青の円で示される）、そしてトーラスの内部として1つの2次元ホールを持つ。対応するホモロジー群は^{[3]である。} ${\displaystyle T^{2}=S^{1}\times S^{1}}$ $${\displaystyle H_{k}(T^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

位相空間Xのn積がと表される場合、一般に、n次元トーラスに対して となります(詳細については、 「トーラス」§「n 次元トーラスとベッティ数」§「その他の例」を参照してください)。 ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle T^{n}=(S^{1})^{n}}$ $${\displaystyle H_{k}(T^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}&0\leq k\leq n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

2つの独立した1次元ホールは有限生成アーベル群の独立生成元を形成し、積群として表現される。 ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$

射影平面 Pについて、簡単な計算で次の式が得られます（ここでは位数2の巡回群）。これは、前の例と同様に、連結成分が1つ存在するという事実に対応します。これは新しい現象です。直感的には、縮退不可能な「ループ」が1つ存在するという事実に対応しますが、ループを2回繰り返すと、0に縮退可能になります。この現象はねじれと呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ $${\displaystyle H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle H_{0}(P)=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H_{1}(P)=\mathbb {Z} _{2}}$

相同群の構築

以下の文章では、ホモロジー群を構築するための一般的なアルゴリズムを説明します。まずはグラフホモロジーと単体ホモロジーといった簡単な例を見ていただくと理解しやすいかもしれません。

一般的な構成は、位相空間Xのようなオブジェクトから始まり、まずXに関する情報を符号化した鎖複体 C ( X )を定義する。鎖複体とは、境界作用素と呼ばれる準同型によって連結されたアーベル群または加群の列である。^[3]すなわち、 ${\displaystyle C_{0},C_{1},C_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

ここで0は自明な群を表し、i < 0のときは自明である。また、任意の2つの連続する境界作用素の合成は自明であることが要求される。つまり、すべてのnに対して、 ${\displaystyle C_{i}\equiv 0}$

${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0_{n+1,n-1},}$

すなわち、定数写像は、 のすべての要素をのグループ単位元に送る。 ${\displaystyle C_{n+1}}$ ${\displaystyle C_{n-1}.}$

境界の境界が自明であるという主張は、 という主張と同値である。ここで は境界作用素の像とその核を表す。 の元は境界と呼ばれ、 の元は循環と呼ばれる。 ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle B_{n}(X)=\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ ${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$

各連鎖群C _nはアーベル群なので、そのすべての部分群は正規群である。そして、はC _nの部分群なので、はアーベル群であり、したがって はの正規部分群である。そして、の商群を作ることができる。 ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$

${\displaystyle H_{n}(X):=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})=Z_{n}(X)/B_{n}(X),}$

Xのn次ホモロジー群と呼ばれる。H n ( X )の元はホモロジー類と呼ばれる。各ホモロジー類はサイクル上の同値類であり、同じホモロジー類に属する2つのサイクル_は相同であると言われる。^[4]

鎖複体は、 ( n +1)番目の写像の像が常にn番目の写像の核に等しいとき、完全であると言われる。したがって、 Xのホモロジー群は、Xに関連付けられた鎖複体が完全から「どれだけ離れているか」を測るものである。 ^[5]

鎖状複合体C ( X )の縮小相同群は、拡大鎖状複合体の相同群として定義される^[6]

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0}$

ここで境界演算子は ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$

C ₀の固定生成元である点の組み合わせに対して、被約ホモロジー群は に対して と一致する。連鎖複体における余剰は、空単体からXへの唯一の写像を表す。 ${\displaystyle \sum n_{i}\sigma _{i},}$ ${\displaystyle \sigma _{i},}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(X)}$ ${\displaystyle H_{i}(X)}$ ${\displaystyle i\neq 0.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [\emptyset ]\longrightarrow X}$

サイクル群と境界群の計算は、生成元が非常に多いため、通常はかなり困難です。一方で、計算を容易にするツールも存在します。 ${\displaystyle Z_{n}(X)}$ ${\displaystyle B_{n}(X)}$

単体複体Xの単体ホモロジー群H _n ( X ) は単体鎖複体C ( X ) を用いて定義される。ここでC _n ( X )はXのn単体によって生成される自由アーベル群である。詳細は単体ホモロジーを参照のこと。

特異ホモロジー群H _n ( X ) は任意の位相空間Xに対して定義され、単体複体の単体ホモロジー群と一致する。

コホモロジー群は形式的にはホモロジー群に似ている。まず、コチェーン複体から始める。これはチェーン複体と同じだが、矢印はnを減少させる方向ではなくnを増加する方向を指す。そして、コサイクル群とコ境界群も同じ記述から導かれる。Xのn番目のコホモロジー群は、商群である。 ${\displaystyle d_{n},}$ ${\displaystyle \ker \left(d^{n}\right)=Z^{n}(X)}$ ${\displaystyle \mathrm {im} \left(d^{n-1}\right)=B^{n}(X)}$

${\displaystyle H^{n}(X)=Z^{n}(X)/B^{n}(X),}$

n番目のホモロジー群と類似しています。

ホモロジーとホモトピー

位相空間のn次ホモトピー群は 、連結の群演算の下で、- 球面からへの基底点保存写像のホモトピー類の群である。最も基本的なホモトピー群は基本群である。連結 に対して、Hurewicz の定理はHurewicz 準同型と呼ばれる準同型を記述する。 に対して、この準同型は複雑になり得るが、 のとき、Hurewicz 準同型はアーベル化と一致する。つまり、は射影的であり、その核は の交換子部分群であり、結果として はのアーベル化と同型である。高次のホモトピー群は計算が難しい場合がある。例えば、ホモロジー群について上で示した簡単な記述とは対照的に、球面のホモトピー群はよく理解されておらず、一般には知られていない。 ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h_{*}:\pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle h_{*}:\pi _{1}(X)\to H_{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle H_{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

例えば、8の字がそうであるとします。通常どおり、その最初のホモトピー群、または基本群 は、所定の点（たとえば中心）で始まり終わる有向ループのホモトピー類の群です。これは、階数2 の自由群と同型ですが、これは可換ではありません。つまり、左側のサイクルを一周してから右側のサイクルを一周するのと、右側のサイクルを一周してから左側のサイクルを一周するのとでは、異なります。対照的に、8の字 の最初のホモロジー群はアーベル群です。これをサイクルのホモロジー類で明示的に表現するには、左側のサイクルのホモロジー類と右側のサイクルのホモロジー類を の基底元として、 と書くことができます。 ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \mathbb {Z} *\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H_{1}(X)\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle H_{1}(X)}$ ${\displaystyle H_{1}(X)=\{a_{l}l+a_{r}r\,|\;a_{l},a_{r}\in \mathbb {Z} \}}$

相同性の種類

ホモロジー理論の様々な種類は、様々な数学的対象の圏から連鎖複体の圏への写像である関手から生じる。いずれの場合も、対象から連鎖複体への関手と連鎖複体からホモロジー群への関手の合成が、理論全体のホモロジー関手を定義する。^[7]

単体ホモロジー

動機となる例は代数位相幾何学から来ている。単体複体Xの単体ホモロジーである。ここで、連鎖群C _nは自由アーベル群または自由加群であり、その生成元はXのn次元有向単体である。この有向性は、複体の頂点を順序付け、有向単体をその頂点の昇順（つまり、複体の頂点順序において、は組に現れる 番目の頂点）に並べたn組として表現することで表現される。C _nからC n ₋₁への写像は境界写像と呼ばれ、単体を ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$ ${\displaystyle \sigma [0]<\sigma [1]<\cdots <\sigma [n]}$ ${\displaystyle \sigma [i]}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \partial _{n}}$

${\displaystyle \sigma =(\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$

正式な金額に

${\displaystyle \partial _{n}(\sigma )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(\sigma [0],\dots ,\sigma [i-1],\sigma [i+1],\dots ,\sigma [n]\right),}$\

これは、 の場合0と評価される。この生成子の振る舞いは、C _nのすべてに準同型写像を誘導する。元 が与えられたとき、それを生成子の和として書き表す。ここではXのn単体の集合であり、m _iはC _nが定義される環（通常は整数だが、特に指定がない限り）の係数である。次に、 ${\displaystyle n=0.}$ ${\displaystyle c\in C_{n}}$ ${\textstyle c=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\sigma _{i},}$ ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle \partial _{n}(c)=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\partial _{n}(\sigma _{i}).}$

Xのn次ホモロジーの次元は、 n次元におけるXの「穴」の数である。これは、これらの境界写像の行列表現をスミス正規形にすることで計算できる。

特異ホモロジー

単体ホモロジーの例をモデルとして用いることで、任意の位相空間Xに対して特異ホモロジーを定義できる。X の連鎖複体は、C _{n を}自由アーベル群（または自由加群）とし、その生成元がn次元単体からXへの連続写像であるようなものとすることで定義される。準同型写像 ∂ n_は単体の境界写像から生じる。

グループホモロジー

抽象代数では、ホモロジーを使用して導来関手、たとえばTor 関手を定義します。ここでは、共変加法関手Fと何らかのモジュールXから始めます。 Xの連鎖複体は次のように定義されます。最初に、自由モジュールと射影準同型を見つけます。次に、自由モジュールと射影準同型を見つけます。このようにして、自由モジュールと準同型のシーケンスを定義できます。このシーケンスに関手Fを適用すると、連鎖複体が得られます。この複体のホモロジーはFとXのみに依存し、定義により、Fのn番目の導来関手をXに適用したものになります。 ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}:F_{1}\to X.}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle p_{2}:F_{2}\to \ker \left(p_{1}\right).}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle H_{n}}$

群(コ)ホモロジーの一般的な用途は、与えられたG加群Mを正規部分群として含み、与えられた商群Gを持つ可能な拡大群Eを分類することである。 ${\displaystyle H^{2}(G,M)}$ ${\displaystyle G=E/M.}$

その他のホモロジー理論

• ボレル・ムーアホモロジー
• 細胞相同性
• 環状ホモロジー
• ホックシルトホモロジー
• フロアーホモロジー
• 交差ホモロジー
• Kホモロジー
• コバノフホモロジー
• モースホモロジー
• 持続的相同性
• スティーンロッドホモロジー

ホモロジー関数

連鎖複体はカテゴリを形成する：連鎖複体（）から連鎖複体（）への射は、任意のnに対してとなる準同型写像の列である。n番目のホモロジーH _{n は}、連鎖複体のカテゴリからアーベル群（または加群）のカテゴリへの 共変関手と見なすことができる。 ${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$ ${\displaystyle e_{n}:B_{n}\to B_{n-1}}$ ${\displaystyle f_{n}:A_{n}\to B_{n}}$ ${\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n}\circ f_{n}}$

連鎖複体がオブジェクトXに共変的に依存する場合（つまり、任意の射がXの連鎖複体から Y の連鎖複体への射を誘導する）、H _{n は}Xが属するカテゴリからアーベル群（またはモジュール）のカテゴリへの 共変関数です。 ${\displaystyle X\to Y}$

ホモロジーとコホモロジーの唯一の違いは、コホモロジーでは連鎖複体が反変的にXに依存し、したがってホモロジー群 (この文脈ではコホモロジー群と呼ばれ、 H ⁿと表記される) はX が属するカテゴリからアーベル群または加群のカテゴリへの反変関手を形成することです。

プロパティ

もし（ ）が有限個以外のA _nがゼロで、残りが有限生成アーベル群（または有限次元ベクトル空間）であるような連鎖複素数であれば、オイラー特性を定義することができる。 ${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}$

（アーベル群の場合は階数、ベクトル空間の場合はハメル次元を用いる）。オイラー特性はホモロジーのレベルで計算することもできる。

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}$

そして、特に代数位相幾何学においては、これは連鎖複体を生じさせたオブジェクトXの重要な不変量を計算する 2 つの方法を提供します。 ${\displaystyle \chi }$

すべての短完全列

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}$

鎖状複合体は、ホモロジー群の長い正確な列を生じる。

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(B)\to H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)\to H_{n-1}(B)\to H_{n-1}(C)\to H_{n-2}(A)\to \cdots }$

この長完全列における写像はすべて、連鎖複体間の写像によって誘導される。ただし、写像は除く。後者は連結準同型写像と呼ばれ、ジグザグ補題によって与えられる。この補題は、相対ホモロジーやマイヤー・ヴィエトリス列の理論など、ホモロジー群の計算を支援する様々な方法でホモロジーに適用できる。 ${\displaystyle H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)}$

アプリケーション

純粋数学への応用

ホモロジーを使って証明された注目すべき定理には以下のものがあります。

• ブラウワーの不動点定理：球B ⁿからそれ自身への連続写像fに対して、 ${\displaystyle a\in B^{n}}$ ${\displaystyle f(a)=a.}$
• 定義域の不変性: U がの開部分集合であり、が単射連続写像である場合、 は開であり、fはUとVの間の同相写像である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V=f(U)}$
• ヘアリーボール定理: 2 次元球面 (またはより一般的には、任意の に対する2 k次元球面) 上の任意の連続ベクトル場は、ある点で消滅します。 ${\displaystyle k\geq 1}$
• ボルスク・ウラム定理：n球面からユークリッドn空間への任意の連続関数は、ある対心点のペアを同一の点に写す。（球面上の 2 つの点は、球の中心から正反対の方向にある場合、対心点と呼ばれます。）
• 次元の不変性：空でない開集合と同相な場合、^[8] ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle m=n.}$

科学技術への応用

位相データ解析において、データセットはユークリッド空間に埋め込まれた多様体または代数多様体の点群サンプリングとみなされます。点群内の最近傍点を三角形分割で結ぶことで、多様体の単体近似が作成され、その単体ホモロジーを計算することができます。様々な長さスケールにわたって様々な三角形分割戦略を用いてホモロジーをロバストに計算する手法を見つけることが、パーシステントホモロジーのテーマです。^[9]

センサーネットワークでは、センサーは時間とともに動的に変化するアドホックネットワークを介して情報を通信することがあります。こうした局所的な測定と通信経路の集合のグローバルなコンテキストを理解するには、ネットワークトポロジの相同性を計算し、例えばカバレッジの穴を評価することが有用です。^[10]

物理学における力学系理論において、ポアンカレは力学系の不変多様体とその位相不変量の相互作用を最初に考察した人物の一人である。モース理論は、多様体上の勾配流のダイナミクスを、例えばそのホモロジーに関連付ける。フレアーホモロジーはこれを無限次元多様体に拡張した。KAM定理は、周期軌道が複雑な軌道を描くこと、特にフレアーホモロジーを用いて調べられる組紐を形成する可能性があることを確立した。 ^[11]

有限要素法の一種では、ホッジ・ラプラス作用素を含む微分方程式の境界値問題を、例えば電磁気シミュレーションのように位相的に非自明な領域上で解く必要がある場合がある。このようなシミュレーションでは、選択された境界条件と領域のホモロジーに基づいて、解のコホモロジー類を固定することで解を求めることができる。FEM領域は三角形に分割することができ、そこから単体ホモロジーを計算することができる。^{[12] [13]}

ソフトウェア

有限セル複体のホモロジー群を計算するために、様々なソフトウェアパッケージが開発されている。Linboxは、スミス正規形を含む高速行列演算を実行するC++ライブラリであり、GapとMapleの両方とインターフェースする。Chomp、CAPD::Redhom Archived 2013-07-15 at the Wayback Machine 、そしてPerseusもC++で書かれている。これら3つはすべて、単純ホモトピー同値性と離散モース理論に基づく前処理アルゴリズムを実装し、入力セル複体のホモロジー保存縮約を行列代数に頼る前に実行する。KenzoはLispで書かれており、ホモロジーに加えて、有限単体複体のホモトピー群の表現を生成するためにも使用できる。Gmshには有限要素メッシュ用のホモロジーソルバーが含まれており、有限要素ソフトウェアで直接使用できるコホモロジー基底を生成できる。 ^[12]

ホモロジーに基づかない表面に関する議論

起源

ホモロジー理論は、オイラーの多面体公式、あるいはオイラー特性から始まったと言える。^[14]これに続いて、1857年にリーマンが種数とn重連結性の数値不変量を定義し、1871年にベッティが「ホモロジー数」が基底の選択に依存しないことを証明した。^[15]

表面

通常の球面 上では、図中の曲線bは極まで縮めることができ、赤道大円aも同様に縮めることができます。ジョルダン曲線定理は、cのような任意の閉曲線も同様に点まで縮めることができることを示しています。これは、が自明な基本群を持つことを意味し、結果として、自明な第一ホモロジー群も持つことを意味します。 ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

トーラスに は互いに連続的に変形できない閉曲線があります。例えば、図では、サイクルa、b、cのいずれも互いに変形できません。特に、サイクルaとb は点まで縮めることができませんが、サイクルc は縮めることができます。 ${\displaystyle T^{2}}$

トーラス面をaとbの両方に沿って切断すると、それを広げて長方形、あるいはより簡便には正方形に平坦化することができます。一方の対辺はaに沿った切断を表し、もう一方の対辺はbに沿った切断を表します。

正方形の辺は、様々な方法で接着することができます。図の矢印で示されているように、正方形をねじって辺を反対方向に合わせることもできます。辺を接着する様々な方法によって、位相的に異なる4つの面が得られます。

正方形を接着して閉じた面を作る 4 つの方法: 単一の矢印を接着し、矢印の先が同じ方向を向くように二重の矢印を接着します。

${\displaystyle K^{2}}$はクラインの壺で、ねじれのあるトーラスです（正方形の図では、ねじれは下の矢印の反転として見ることができます）。再接着された表面は必ず自己交差する（ユークリッド 3 次元空間に浸漬した場合）というのが定理です。トーラスと同様に、サイクルaとbは縮小できませんが、サイクルcは縮小できます。しかし、トーラスとは異なり、b を右回りして戻ると左右が反転します。これは、b が1 つの接合に与えられたねじれを横切るためです。b の片側で等距離の切断が行われた場合、反対側に戻り、表面を 2 度周してから開始点に戻り、ねじれたメビウスの帯を切り出します。このように局所的な左右を任意に再方向付けできるため、表面全体としては向きが固定されていないと言えます。

射影平面は 両方の接合部がねじれている。一般的にボーイ面として表される切断されていない形状は視覚的に複雑なため、図では半球状の埋め込みが示されている。この埋め込みでは、 AやA′などの縁の周りの反対心点は同一点として識別される。ここでも、aは縮まないがcは縮む。bを1回だけ巻くと、bも縮まないため左右が反転する。しかし、bは2回巻かれることで左右が再び反転し、点に縮むことができ、cと相同となる。 ${\displaystyle P^{2}}$

トーラスを切り開いて平らにしたとき、aとbが結合または加算されたように、サイクルは結合または加算されます。クラインの壺図では、aは一方方向に回転し、- aは反対方向に回転します。aを切断と考えると、- aは接着操作と考えることができます。切断してから再び接着しても表面は変化しないため、a + (- a ) = 0となります。

ここで、 2 つのaサイクルを考えてみましょう。クラインの壺は向きが固定されていないため、そのうちの 1 つを ( bサイクルに沿って) 壺の周りを一周させることができ、 − aとして戻ってきます。これは、クラインの壺が円筒形で、aサイクルの両端が反対向きに接着されているためです。したがって、 2 a = a + a = a + (− a ) = 0 となります。この現象は、ねじれと呼ばれます。同様に、射影平面では、収縮しないサイクルbを 2 周すると、驚くべきことに、ある点に収縮できる自明なサイクルが作成されます。つまり、b + b = 0です。ゼロ サイクルを実現するにはb を2 周する必要があるため、この面はねじれ係数が 2 であると言えます。ただし、クラインの壺でbサイクルを 2 周すると、このサイクルはねじれのないホモロジー類に属するため、単にb + b = 2 bとなります。これは、クラインの壺の基本多角形では 1 組の辺だけがねじれて接着されているのに対し、射影平面では両方の辺がねじれているという事実に対応しています。

正方形は収縮可能な位相空間であり、これは正方形が自明なホモロジーを持つことを意味する。したがって、追加の切断によって正方形は切断される。平面上で曲面に接着できる形状は正方形だけではない。例えば、八角形の対辺を接着すると、2つの穴を持つ曲面ができる。実際、すべての閉曲面は何らかの多角形の辺を接着することで作成でき、すべての偶数辺を持つ多角形（2 n角形）を接着して異なる多様体を作ることができる。逆に、 n個の非ゼロ類を持つ閉曲面は2 n角形に切断できる。バリエーションも可能であり、例えば六角形を接着してトーラスを形成することもできる。^[16]

ホモロジーに関する最初の理論は、アンリ・ポアンカレによって、その画期的な論文「Analysis situs」（J. Ecole polytech. (2) 1 . 1–121、1895年）で発表されました。この論文ではホモロジー類とホモロジー関係が導入されました。向き付け可能な閉路の可能な配置は、多様体のベッティ数によって分類されます（ベッティ数はオイラー標数の改良形です）。向き付け不可能な閉路を分類するには、ねじれ係数に関する追加情報が必要です。^[17]

1 次元多様体と 2 次元多様体の完全な分類は表に示されています。

閉1次元多様体と閉2次元多様体の位相的特徴^[18]

マニホールド		オイラー数、 χ	方向性	ベッティ数			ねじり係数 （1次元）
シンボル[16]	名前			b 0	b 1	b 2
${\displaystyle S^{1}}$	円（1次元多様体）	0	方向付け可能	1	1	—	—
${\displaystyle S^{2}}$	球	2	方向付け可能	1	0	1	なし
${\displaystyle T^{2}}$	トーラス	0	方向付け可能	1	2	1	なし
${\displaystyle P^{2}}$	射影平面	1	非方向性	1	0	0	2
${\displaystyle K^{2}}$	クラインの壺	0	非方向性	1	1	0	2
	2穴トーラス	−2	方向付け可能	1	4	1	なし
	g穴付きトーラス（ gは種数）	2 − 2グラム	方向付け可能	1	2グラム	1	なし
	c クロスキャップ付き球	2 − c	非方向性	1	c − 1	0	2
	g 個の ホールとc 個の クロスキャップを持つ 2 次元多様体( c  >  0)	2  −  (2 g  + c )	非方向性	1	（2 g  + c）− 1	0	2

注記

1. 非方向性サーフェスの場合、穴は 2 つのクロスキャップと同等になります。
2. 任意の2次元閉多様体は、 g円環とc射影平面の連結和として実現できる。ここで、2次元球面は空連結和とみなされる。連結和の演算によってホモロジーは保存される。 ${\displaystyle S^{2}}$

より厳密さを追求する中で、ポアンカレは三角形多様体の単体ホモロジーを発展させ、現在では単体鎖複体と呼ばれるものを作り出した。^{[19] [20]} 鎖複体（その後大きく一般化）は、現代のホモロジーの扱い方の基礎となっている。

エミー・ネーターは、そしてレオポルド・ヴィートリスとヴァルター・マイヤーはそれぞれ独立に、 1925年から1928年にかけて代数的ホモロジー群の理論をさらに発展させた。^{[21] [22] [23]}新しい組合せ論的位相幾何学は、位相類をアーベル群として正式に扱った。ホモロジー群は有限生成アーベル群であり、ホモロジー類はこれらの群の元である。多様体のベッティ数はホモロジー群の自由部分の階数であり、曲面の特殊なケースでは、ホモロジー群の捩れ部分は非向き付け閉路に対してのみ現れる。

その後ホモロジー群の普及により、用語と観点が「組合せ位相幾何学」から「代数位相幾何学」へと変化した。^[24] 代数ホモロジーは多様体を分類する主要な方法であり続けている。^[25]

参照

• 数学ポータル

• ベッティ数
• 自転車スペース
• ド・ラームコホモロジー
• アイレンバーグ・スティーンロッド公理
• 異常なホモロジー理論
• ホモロジー代数
• 可換代数におけるホモロジー予想
• 相同接続性
• ホモロジー次元
• ホモトピー群
• キュネス定理
• コホモロジー理論の一覧– ホモロジー理論の一覧もあります
• ポアンカレ双対性

参考文献

1. スパニエ 1966, 155ページ
2. Gowers、Barrow-Green & Leader 2010、390–391ページ
3. ハッチャー 2002, p. 106より
4. ハッチャー 2002, 105–106ページ
5. ハッチャー 2002, p. 113
6. ハッチャー 2002, p. 110
7. スパニエ 1966, 156ページ
8. ハッチャー 2002、126ページ。
9. “CompTopの概要”. 2007年6月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。2014年3月16日閲覧。
10. 「ロバート・グリスト：応用トポロジー」 。 2014年3月16日閲覧。
11. van den Berg, JB; Ghrist, R.; Vandervorst, RC; Wójcik, W. (2015). 「Braid Floer homology」（PDF） . Journal of Differential Equations . 259 (5): 1663– 1721. Bibcode :2015JDE...259.1663V. doi : 10.1016/j.jde.2015.03.022 . S2CID  16865053.
12. ペリッカ、M; S.スリニエミ。 L. ケツネン; C. ジュゼーヌ (2013)。 「有限要素モデリングにおけるホモロジーとコホモロジーの計算」(PDF)。サイアム J. Sci.計算します。35 (5): B1195 – B1214。ビブコード:2013SJSC...35B1195P。CiteSeerX 10.1.1.716.3210。土井：10.1137/130906556。hdl :2268/171459。  
13. Arnold, Douglas N.; Richard S. Falk; Ragnar Winther (2006年5月16日). 「有限要素外積分、ホモロジー手法、および応用」. Acta Numerica . 15 : 1– 155. Bibcode :2006AcNum..15....1A. doi :10.1017/S0962492906210018. S2CID  122763537.
14. スティルウェル 1993, 170ページ
15. Weibel 1999、pp. 2–3 (PDF)
16. ウィークス、ジェフリー・R. (2001). 『空間の形』CRCプレス. ISBN 978-0-203-91266-9。
17. リチェソン 2008、254ページ
18. リチェソン 2008
19. リチェソン 2008、258ページ
20. ヴァイベル 1999、4ページ
21. ヒルトン 1988、284ページ
22. たとえば、L'émergence de la notion de groupe d'homologie、Nicolas Basbois (PDF)、フランス語、注 41 では、ホモロジー群の発明者としてネーターの名前を明示的に挙げています。
23. Hirzebruch、Friedrich、Emmy Noetherとトポロジー、Teicher 1999、61-63ページ。
24. John McCleary 著「Bourbaki and Algebraic Topology」(PDF) Archived 2008-07-23 at the Wayback Machineにドキュメントがあります (フランス語の原文から英語に翻訳されています)。
25. リチェソン 2008、264ページ

さらに読む

• カルタン、アンリ・ポール、アイレンバーグ、サミュエル(1956).ホモロジー代数. プリンストン数学シリーズ. 第19巻. プリンストン大学出版局. ISBN 9780674079779OCLC  529171 。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• エデルスブルンナー、ハーバート；ハラー、ジョン・L. (2010). 「計算トポロジー：入門」アメリカ数学会.
• アイレンバーグ、サミュエル; ムーア、JC (1965).相対ホモロジー代数の基礎. アメリカ数学会誌第55巻. アメリカ数学会. ISBN 9780821812556. OCLC  1361982.
• ガワーズ、ティモシー、バローグリーン、ジューン、リーダー、イムレ編（2010年）、プリンストン数学コンパニオン、プリンストン大学出版局、ISBN 9781400830398。
• ハッチャー、A.（2002）、代数的位相幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79540-0単体複体および多様体のホモロジー理論、特異ホモロジーなどについての詳細な議論。
• ヒルトン、ピーター（1988）「今世紀におけるホモロジーおよびホモトピー理論の簡潔かつ主観的な歴史」、数学雑誌、60（5）、アメリカ数学協会：282-291、doi：10.1080/0025570X.1988.11977391、JSTOR  2689545
• カチンスキー、トマシュ。ミシャコウ、コンスタンチン。ムロゼク、マリアン (2004)。計算上の相同性。スプリンガー。ISBN 9780387215976。
• リチェソン、D.（2008）、オイラーの宝石：多面体公式と位相幾何学の誕生、プリンストン大学。
• スパニエ、エドウィン H. (1966)、代数的位相学、シュプリンガー、p. 155、ISBN 0-387-90646-0。
• スティルウェル、ジョン（1993）「ホモロジー理論とアーベル化」、古典位相論と組合せ群論、数学大学院テキスト第72巻、シュプリンガー、pp.  169– 184、doi :10.1007/978-1-4612-4372-4_6、ISBN 978-0-387-97970-0。
• Teicher, M.編 (1999) 『エミー・ノイマンの遺産』イスラエル数学会議議事録、バー・イラン大学/アメリカ数学会/オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-851045-1、OCLC  223099225
• ワイベル、チャールズ A. (1999)、「28. ホモロジー代数の歴史」(PDF)、ジェームズ、IM (編)『位相幾何学の歴史』、エルゼビア、ISBN 9780080534077。

外部リンク

• 数学百科事典のホモロジー群
• [1] 代数的位相幾何学 アレン・ハッチャー – 第2章 ホモロジー

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