ヒポグラフ（数学）

グラフの下の領域

関数の斜グラフ

数学において、関数のハイポグラフ（hypograph）またはサブグラフ（subgraph）とは、そのグラフ上またはグラフ下に位置する点の集合のことである。関連する定義として、そのような関数のエピグラフがあり、これは関数のグラフ上またはグラフ上に位置する点の集合である。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

この定義では関数の定義域（共定義域ではなく）は特に重要ではなく、代わりに任意の集合^[1]をとることができる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

定義

ヒポグラフの定義は、関数のグラフの定義にヒントを得たもので、グラフは集合として定義されます ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle \operatorname {graph} f:=\left\{(x,y)\in X\times Y~:~y=f(x)\right\}.}$

拡張実数で評価される関数のハイポグラフまたはサブグラフは、集合^{[2]である。} ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {hyp} f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\leq f(x)\right\}\\&=\left[f^{-1}(\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}(\{x\}\times (-\infty ,f(x)]).\end{alignedat}}}$

同様に、関数上またはその上にある点の集合はそのエピグラフです。 厳密なハイポグラフはグラフを削除したハイポグラフです。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {hyp} _{S}f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r<f(x)\right\}\\&=\operatorname {hyp} f\setminus \operatorname {graph} f\\&=\bigcup _{x\in X}(\{x\}\times (-\infty ,f(x))).\end{alignedat}}}$

は の一方（または両方）を値として取る可能性がある（その場合、そのグラフはのサブセットではない）にもかかわらず、 のハイポグラフはのサブセットではなくのサブセットとして定義される。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\times [-\infty ,\infty ].}$

性質

関数のハイポグラフが空であるのは、負の無限大と等価である場合に限ります ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

関数が凹関数であるためには、その関数の基底グラフが凸集合となる必要がある。実アフィン関数の 基底グラフは、 ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}.}$

関数が上半連続となるのは、その関数の基線が閉じている場合のみです。

参照

• 有効領域
• エピグラフ（数学）  - グラフ上の領域
• 真凸関数

引用文献

1. Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border (2007). 『無限次元解析：ヒッチハイク・ガイド』（第3版）. Springer Science & Business Media. pp.  8– 9. ISBN 978-3-540-32696-0。
2. Rockafellar & Wets 2009、1～37ページ

参考文献

• Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (2009年6月26日).変分解析. 数学科学の基礎. 第317巻. ベルリン, ニューヨーク: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313 OCLC  883392544

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