ベクトル解析 において 、 invex関数 とは、から へ 微分可能な関数 であり、 それに対して ベクトル値関数が存在する f {\displaystyle f} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} R {\displaystyle \mathbb {R} } η {\displaystyle \eta }
f ( x ) − f ( u ) ≥ η ( x , u ) ⋅ ∇ f ( u ) , {\displaystyle f(x)-f(u)\geq \eta (x,u)\cdot \nabla f(u),\,} すべてのx と u について 。
不等関数はハンソンによって凸関数 の一般化として導入された 。 [1] ベン＝イスラエルとモンドは、関数が不等であるためにはすべての 定常点が 大域的最小値 となるという簡単な証明を与えた 。この定理はクレイヴンとグローバーによって初めて示された。 [2] [3]
ハンソンはまた、最適化問題 の目的関数と制約条件が 同じ関数に関して逆数である場合 、 カルシュ・キューン・タッカー条件は 大域的最小値に十分であることも示した。 η ( x , u ) {\displaystyle \eta (x,u)}
タイプIのinvex関数 インベックス関数の若干の一般化は タイプIインベックス関数と呼ばれ、 カルシュ・キューン・タッカー条件が 大域的最小値に必要かつ十分となる 最も一般的な関数のクラスである。 [4] 次の形式の数学的プログラムを考える。
min f ( x ) s.t. g ( x ) ≤ 0 {\displaystyle {\begin{array}{rl}\min &f(x)\\{\text{s.t.}}&g(x)\leq 0\end{array}}}
ここで 、および は微分可能関数である。 このプログラムの実行可能領域を とする。関数 は タイプ Iの 目的関数 であり、関数 は に関して タイプIの制約関数 で ある。ただし、 で定義された ベクトル値関数が存在し 、 f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } g : R n → R m {\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} F = { x ∈ R n | g ( x ) ≤ 0 } {\displaystyle F=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\;|\;g(x)\leq 0\}} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} x 0 {\displaystyle x_{0}} η {\displaystyle \eta } η {\displaystyle \eta } F {\displaystyle F}
f ( x ) − f ( x 0 ) ≥ η ( x ) ⋅ ∇ f ( x 0 ) {\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq \eta (x)\cdot \nabla {f(x_{0})}}
そして
− g ( x 0 ) ≥ η ( x ) ⋅ ∇ g ( x 0 ) {\displaystyle -g(x_{0})\geq \eta (x)\cdot \nabla {g(x_{0})}}
すべての に対して 。 [5] 不屈性とは異なり、タイプIの不屈性は点 を基準として定義されることに注意して ください x ∈ F {\displaystyle x\in {F}} x 0 {\displaystyle x_{0}}
定理（ [4] の定理2.1 ）： および が に関して 点でタイプIの複素数であり 、 で カルシュ・キューン・タッカー条件が 満たされる場合 、 は 上の の大域的最小値である 。 f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} x ∗ {\displaystyle x^{*}} η {\displaystyle \eta } x ∗ {\displaystyle x^{*}} x ∗ {\displaystyle x^{*}} f {\displaystyle f} F {\displaystyle F}
E-invex関数 から 、から を 空 で ない開集合 上の -微分可能関数 とする 。 すると、 が E -invex関数であるとは、 次のような ベクトル値関数が存在する とき言う E {\displaystyle E} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} f {\displaystyle f} M {\displaystyle \mathbb {M} } R {\displaystyle \mathbb {R} } E {\displaystyle E} M ⊂ R n {\displaystyle \mathbb {M} \subset \mathbb {R} ^{n}} f {\displaystyle f} u {\displaystyle u} η {\displaystyle \eta }
( f ∘ E ) ( x ) − ( f ∘ E ) ( u ) ≥ ∇ ( f ∘ E ) ( u ) ⋅ η ( E ( x ) , E ( u ) ) , {\displaystyle (f\circ E)(x)-(f\circ E)(u)\geq \nabla (f\circ E)(u)\cdot \eta (E(x),E(u)),\,} すべての および において 。 x {\displaystyle x} u {\displaystyle u} M {\displaystyle \mathbb {M} }
E-invex関数は微分可能凸関数 の一般化としてアブドゥラリームによって導入された 。 [6]
E型I関数 、を E 開有理集合とする。ベクトル値ペア（ ここで 、とが それぞれ目的関数と制約関数を表す）は、 ベクトル値関数に関して 、において E型I関数 であるとは、すべてのに対して次の不等式が成り立つときを 言う E : R n → R n {\displaystyle E:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} M ⊂ R n {\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}} ( f , g ) {\displaystyle (f,g)} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} η : M × M → R n {\displaystyle \eta :M\times M\to \mathbb {R} ^{n}} u ∈ M {\displaystyle u\in M} x ∈ F E = { x ∈ R n | g ( E ( x ) ) ≤ 0 } {\displaystyle x\in F_{E}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\;|\;g(E(x))\leq 0\}}
f i ( E ( x ) ) − f i ( E ( u ) ) ≥ ∇ f i ( E ( u ) ) ⋅ η ( E ( x ) , E ( u ) ) , {\displaystyle f_{i}(E(x))-f_{i}(E(u))\geq \nabla f_{i}(E(u))\cdot \eta (E(x),E(u)),}
− g j ( E ( u ) ) ≥ ∇ g j ( E ( u ) ) ⋅ η ( E ( x ) , E ( u ) ) . {\displaystyle -g_{j}(E(u))\geq \nabla g_{j}(E(u))\cdot \eta (E(x),E(u)).}
とが 微分可能関数であり、 （が恒等写像である） 場合 、E型I関数の定義 [7] は、RuedaとHansonによって導入されたI型関数の定義 [8]に帰着する f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} E ( x ) = x {\displaystyle E(x)=x} E {\displaystyle E}
参照
参考文献 ^ ハンソン、モーガン・A. (1981). 「クーン・タッカー条件の十分性について」. ジャーナル・オブ・マセマティカル・アナリシス・アンド・アプリケーションズ . 80 (2): 545– 550. doi :10.1016/0022-247X(81)90123-2. hdl : 10338.dmlcz/141569 . ISSN 0022-247X ^ Ben-Israel, A.; Mond, B. (1986). 「インベクシティとは何か？」 The ANZIAM Journal . 28 (1): 1– 9. doi : 10.1017/S0334270000005142 . ISSN 1839-4078. ^ Craven, BD; Glover, BM (1985). 「インベックス関数と双対性」. オーストラリア数学会誌 . 39 (1): 1– 20. doi : 10.1017/S1446788700022126 . ISSN 0263-6115. ^ ab ハンソン, モーガン A. (1999). 「インベクシティとクーン・タッカー定理」. 数学解析応用ジャーナル . 236 (2): 594– 604. doi : 10.1006/jmaa.1999.6484 . ISSN 0022-247X. ^ Hanson, MA; Mond, B. (1987). 「制約付き最適化における必要十分条件」. 数理計画 . 37 (1): 51– 58. doi :10.1007/BF02591683. ISSN 1436-4646. S2CID 206818360. ^ Abdulaleem, Najeeb (2019). 「E-微分可能多目的計画法におけるE-不屈性と一般化E-不屈性」. ITM Web of Conferences . 24 (1) 01002. doi : 10.1051/itmconf/20192401002 . ^ Abdulaleem, Najeeb (2023). 「$ E $型I関数を含む$ E $微分可能多目的計画問題における最適性と双対性」. Journal of Industrial and Management Optimization . 19 (2): 1513. doi : 10.3934/jimo.2022004 . ISSN 1547-5816. ^ Rueda, Norma G; Hanson, Morgan A (1988-03-01). 「一般化不確実性を伴う数理計画法における最適性基準」 . Journal of Mathematical Analysis and Applications . 130 (2): 375– 385. doi :10.1016/0022-247X(88)90313-7. ISSN 0022-247X.
さらに詳しい情報 SK MishraとG. Giorgi、「不均衡と最適化」、非凸最適化とその応用、第 88 巻、Springer-Verlag、ベルリン、2008年 SK Mishra、S.-Y. Wang、KK Lai、「一般化凸性およびベクトル最適化」、Springer、ニューヨーク、2009年。
