スナブスクエアアンチプリズム

85th Johnson solid (26 faces)

スナブスクエアアンチプリズム
タイプ	ジョンソン J 84 – J 85 – J 86
顔	24個の三角形と 2個の正方形
エッジ	40
頂点	16
頂点構成	${\displaystyle 8\times 3^{5}+8\times 3^{4}\times 4}$
対称群	${\displaystyle D_{4d}}$
二面角（度）	三角形から三角形へ：164.257°の8、144.144°の16、114.645°の8、 三角形から正方形へ：145.441°
プロパティ	凸、基本
ネット

スナブスクエアアンチプリズムの3Dモデル

幾何学において、スナブ正方形反プリズムは、正方形反プリズムをスナブすることで構築できるジョンソン立体です。これは、プラトン立体やアルキメデス立体を「カットアンドペースト」で操作しただけでは得られない、基本的なジョンソン立体の一つです。しかし、イコサヘドロン（二十面体）の親戚であり、三回対称ではなく四回対称です。26面（正方形2面と三角形24面）と、三角形-正方形、三角形-三角形の2種類の辺を持ちます。

工事

スナブとは、多面体の辺の面を切り離し、ねじってから、その辺に正三角形を取り付けることで多面体を構築する手法である。 ^[1]名前が示すように、スナブ正方形反プリズムは正方形反プリズムをスナブすることで構築され、その結果、24 個の正三角形と 2 つの正方形が面となる。^{[2] [3]}ジョンソン立体は面が正多面体であり、スナブ正方形反プリズムはその 1 つで、85 番目のジョンソン立体として列挙されている。^[4] ${\displaystyle J_{85}}$

を3次多項式の正の根とします。さらに、を次のように定義します。すると、辺の長さが2の角錐台形の反プリズムの直交座標は、 -軸の周りを90°回転させ、 -軸に垂直で-軸と22.5°の角度をなす直線の周りを180°回転させることで生成される群の作用下にある点の軌道の和集合によって与えられます。^[5] ${\displaystyle k\approx 0.82354}$ $${\displaystyle 9x^{3}+3{\sqrt {3}}\left(5-{\sqrt {2}}\right)x^{2}-3\left(5-2{\sqrt {2}}\right)x-17{\sqrt {3}}+7{\sqrt {6}}.}$$ ${\displaystyle h\approx 1.35374}$ $${\displaystyle h={\frac {{\sqrt {2}}+8+2{\sqrt {3}}k-3\left(2+{\sqrt {2}}\right)k^{2}}{4{\sqrt {3-3k^{2}}}}}.}$$ $${\displaystyle (1,1,h),\,\left(1+{\sqrt {3}}k,0,h-{\sqrt {3-3k^{2}}}\right)}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$

プロパティ

スナブスクエア反プリズムは、 16次の二面体群の3次元対称性を持っています。平面で切断しても凸状の正多面体を形成することはできません。これは基本多面体の一例です。^[2] ${\displaystyle D_{4d}}$

スナブスクエア反プリズムには40の辺があります。2種類の多角形面に区分すると、三角形と三角形を結ぶ辺は32辺、三角形と正方形を結ぶ辺は8辺になります。これらの辺は二面角（二面角）を形成します。二面角とは、2つの面の間の角度のことです。三角形と三角形を結ぶ辺には3つの異なる角度があります。8つで164.257°、16つで144.144°、8つで114.645°です。三角形と正方形を結ぶ辺では、1つの角度だけが145.441°を形成します。これらの角度はすべて近似値です。^[2]

角錐台形反角柱の表面積と体積は、辺の長さに応じて次のように計算できます。^[3] ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A=\left(2+6{\sqrt {3}}\right)a^{2}&\approx 12.392a^{2},\\V&\approx 3.602a^{3}.\end{aligned}}}$$

参考文献

1. Holme, Audun (2010). Geometry: Our Cultural Heritage. Springer. p. 99. doi :10.1007/978-3-642-14441-7. ISBN 978-3-642-14441-7。
2. Johnson, Norman W. (1966). 「正則面を持つ凸多面体」. Canadian Journal of Mathematics . 18 : 169–200 . doi :10.4153/cjm-1966-021-8. MR  0185507. Zbl  0132.14603.
3. Berman, Martin (1971). 「正面凸多面体」.フランクリン研究所ジャーナル. 291 (5): 329– 352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
4. フランシス、ダリル (2013). 「ジョンソン固体とその頭字語」Word Ways . 46 (3): 177.
5. Timofeenko, AV (2009). 「非プラトン的かつ非アルキメデス的な非複合多面体」. Journal of Mathematical Science . 162 (5): 725. doi :10.1007/s10958-009-9655-0. S2CID  120114341.

外部リンク

• Weisstein, Eric W.、「Snub square antiprism」（「ジョンソン立体」）（MathWorldにて） 。

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