ジェームズのスペース

関数解析として知られる数学の分野において、ジェームズ空間はバナッハ空間理論における重要な例であり、一般バナッハ空間の構造に関する一般的な主張に対する有用な反例としてよく用いられる。この空間は1950年にロバート・C・ジェームズによる短い論文で初めて導入された。^[1]

ジェームズ空間は、その二重双対と等長的に同型でありながら、反射的ではない空間の例である。さらに、ジェームズ空間は基底を持つが、無条件基底を持たない。

意味

を奇数長の整数の有限増加列全体の族とする。任意の実数列とに対して、量を定義する。 ${\mathcal {P}}$ $x=(x_{n})$ $p=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{2n+1})\in {\mathcal {P}}$

\|x\|_{p}:=\left(x_{p_{2n+1}}^{2}+\sum _{m=1}^{n}(x_{p_{2m-1}}-x_{p_{2m}})^{2}\right)^{1/2}.

Jで表されるジェームズ空間は、を満たす c ₀のすべての要素xとして定義され、ノルムが与えられます。 $\sup\{\|x\|_{p}:p\in {\mathcal {P}}\}\infty$ $\|x\|:=\sup\{\|x\|_{p}:p\in {\mathcal {P}}\}\ (x\in \mathbf {J} )$

プロパティ

出典: ^[2]

ジェームズ空間はバナッハ空間です。
標準基底{e _{n } は}Jの（条件付き）Schauder基底である。さらに、この基底は単調かつ縮小基底である。
Jには無条件の根拠がありません。
ジェームズ空間は反射的ではない。標準埋め込みによるその二重双対への像は余次元1を持つ。
しかしながら、ジェームズの空間はその二重双対と等長的に同型である。
ジェームズ空間はある程度反射的であり、任意の無限次元閉部分空間は無限次元反射部分空間を含むことを意味する。特に、任意の無限次元閉部分空間はℓ ₂の同型コピーを含む。

参照

参考文献

^ ジェームズ、ロバート・C.「非反射的バナッハ空間等長空間とその第二共役空間」米国科学アカデミー紀要37巻3号（1951年3月）：174-77頁。
^ Morrison, TJ.『関数解析：バナッハ空間理論入門』 Wiley. (2001)

[1] ジェームズ、ロバート・C.「非反射的バナッハ空間等長空間とその第二共役空間」米国科学アカデミー紀要37巻3号（1951年3月）：174-77頁。

[2] Morrison, TJ.『関数解析：バナッハ空間理論入門』 Wiley. (2001)