ジョーンズ多項式

Mathematical invariant of a knot or link

数学の結び目理論の分野において、ジョーンズ多項式は1984年にヴォーン・ジョーンズによって発見された結び目多項式です。^{[1] [2]具体的には、向き付けられた}結び目または結び目の不変量 であり、向き付けられた結び目または結び目のそれぞれに、整数係数を持つ変数のローラン多項式を割り当てます。^[3] ${\displaystyle t^{1/2}}$

括弧による定義

第1種ライデマイスター移動

結び目図として与えられた有向リンク があるとします。ルイス・カウフマンの括弧多項式を用いてジョーンズ多項式を定義します。これは と表記します。ここで、括弧多項式は整数係数を持つ変数のローラン多項式です。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V(L)}$ ${\displaystyle \langle ~\rangle }$ ${\displaystyle A}$

まず、補助多項式（正規化括弧多項式とも呼ばれます）を定義します

${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle ,}$

ここで、は与えられた図におけるのねじれを表します。図のねじれは、正の交差の数（下の図）から負の交差の数（）を引いたものです。ねじれは結び目不変量ではありません。 ${\displaystyle w(L)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{+}}$ ${\displaystyle L_{-}}$

${\displaystyle X(L)}$は結び目不変量です。なぜなら、 3つのライデマイスター移動による図の変化に対して不変だからです。タイプIIおよびタイプIIIのライデマイスター移動に対する不変性は、それらの移動に対する括弧の不変性から生じます。括弧多項式は、タイプIのライデマイスター移動によって 倍に変化することが知られています。上記の多項式の定義は、ねじれがタイプIの移動 によってまたはによって適切に変化するため、この変化を無効にするように設計されています。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle -A^{\pm 3}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$

ここで、に代入してジョーンズ多項式 を得ます。これは、変数 に整数係数を持つローラン多項式になります。 ${\displaystyle A=t^{-1/4}}$ ${\displaystyle X(L)}$ ${\displaystyle V(L)}$ ${\displaystyle t^{1/2}}$

タングルのジョーンズ多項式

タングルのジョーンズ多項式のこの構成は、リンクのカウフマン括弧の単純な一般化です。この構成はウラジミール・トゥラエフによって開発され、1990年に発表されました。^[4]

を非負整数とし、交点と閉成分（平滑化）を持たない、端を持つすべての同位体型のタングル図の集合を表します。トゥラエフの構成は、カウフマン括弧の以前の構成を利用し、各端向きのタングルに自由加群の元を関連付けます。ここで、 は変数に整数係数を持つローラン多項式の環です。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S_{k}}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle \mathrm {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {R} [S_{k}]}$ ${\displaystyle \mathrm {R} }$ ${\displaystyle t^{1/2}}$

組紐表現による定義

ジョーンズによる彼の多項式の元々の定式化は、作用素環の研究から生まれました。 ジョーンズのアプローチでは、それは統計力学におけるポッツ模型などの特定のモデルを研究しているときに最初に生じた、特定の組紐表現を代数に「トレース」したものから生じました

リンクLが与えられているとする。アレクサンダーの定理によれば、これはn本の組紐のトレース閉包であるとされる。ここで、 n本の組紐群B n の、_係数がおよびのテンパリー・リーブ代数への表現を定義する。標準組紐生成器はに送られる。ここで、 はテンパリー・リーブ代数の標準生成器である。これが表現を定義していることは簡単に確認できる。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \operatorname {TL} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [A,A^{-1}]}$ ${\displaystyle \delta =-A^{2}-A^{-2}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1}$ ${\displaystyle 1,e_{1},\dots ,e_{n-1}}$

から先ほど得られた組紐語を取り、マルコフトレースがどこであるかを計算します。これは、ブラケット多項式がどこであるかを与えます。これは、ルイス・カウフマンが行ったように、テンパリー・リーブ代数を特定のダイアグラム代数として考えることでわかります。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \delta ^{n-1}\operatorname {tr} \rho (\sigma )}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle \langle L\rangle }$ ${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$

このアプローチの利点は、 R行列表現などの他の代数に同様の表現を選択でき、「一般化ジョーンズ不変量」につながることである。

性質

ジョーンズ多項式は、結び目の任意の図式において値1をとることを特徴とし、次のかせ関係を満たします。

${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})\,}$

ここで、、、は、以下の図に示す交差変化または平滑化によって異なる1つの小さな領域を除いて同一の3つの有向絡み目図式です。 ${\displaystyle L_{+}}$ ${\displaystyle L_{-}}$ ${\displaystyle L_{0}}$

括弧によるジョーンズ多項式の定義により、結び目 に対して、その鏡像のジョーンズ多項式は における を に置き換えることで与えられることが簡単に示せます。したがって、その鏡像と等価な結び目である両生類結び目 は、ジョーンズ多項式に回文要素を持ちます。これらの関係を用いた計算の例については、かせ関係に関する記事を参照してください ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle t^{-1}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle V(K)}$

この不変量のもう1つの注目すべき性質は、交代リンク のジョーンズ多項式 が交代多項式であるということです。この性質は、 1987年にモーウェン・シスルスウェイト^{[5]によって証明されました。この最後の性質の別の証明は}、ヘルナンド・ブルゴス＝ソトによるもので、彼はこの性質をタングルにも拡張しました^[6]

ジョーンズ多項式は完全な不変量ではありません。同じジョーンズ多項式を持つ、同値でない結び目が無限に存在します。同じジョーンズ多項式を持つ2つの異なる結び目の例は、村杉の著書^{[7]にあります。}

色付きジョーンズ多項式

正の整数 に対して、- 色ジョーンズ多項式はジョーンズ多項式の一般化です。これは、量子群の - 既約表現に関連付けられたレシェティキン・トゥラエフ不変量です。このスキームでは、ジョーンズ多項式は の標準表現（既約で2次元）に関連付けられた1色ジョーンズ多項式、つまりレシェティキン・トゥラエフ不変量です。リンクのストランドは表現によって「色付け」されていると考えられるため、この名前が付けられています。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V_{N}(L,t)}$ ${\displaystyle (N+1)}$ ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$ ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$

より一般的には、 の成分と表現のリンクが与えられた場合 、色ジョーンズ多項式はに関連付けられたレシェティキン・トゥラエフ不変量です（ここでは、成分は順序付けられていると仮定します）。2つの表現と が与えられた場合、色ジョーンズ多項式は次の2つの性質を満たします。^[8] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$ ${\displaystyle (V_{1},\ldots ,V_{k})}$ ${\displaystyle V_{V_{1},\ldots ,V_{k}}(L,t)}$ ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

• ${\displaystyle V_{V\oplus W}(L,t)=V_{V}(L,t)+V_{W}(L,t)}$ 、
• ${\displaystyle V_{V\otimes W}(L,t)=V_{V,W}(L^{2},t)}$、ここで は の 2次元ケーブルを表します ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L}$

これらの性質は、色付きジョーンズ多項式がレシェティキン・トゥラエフ不変量であるという事実から推論されます。

を結び目とします。カウフマン括弧のおかげで、 の図をテンパリー・リーブ代数の要素として見ることで、のジョーンズ多項式を復元できることを思い出してください。同様に、の 色ジョーンズ多項式は、ジョーンズ・ウェンツル冪等性を用いて次のように組合せ論的記述を与えることができます。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$

• の-ケーブル接続を考えます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K^{N}}$ ${\displaystyle K}$
• それをテンパリー・リーブ代数の要素として見ます。
• いくつかの平行ストランドにジョーンズ・ウェンツル冪等性を挿入します。 ${\displaystyle N}$

得られた の要素は- 色ジョーンズ多項式である。詳細は^[9]の付録Hを参照のこと。 ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$ ${\displaystyle N}$

他の理論との関係

チャーン・サイモンズ理論との関連

エドワード・ウィッテン^[10]によって初めて示されたように、与えられた結び目のジョーンズ多項式は、ゲージ群を持つ三次元球面上のチャーン・サイモンズ理論を考慮し、に関連付けられたウィルソンループの真空期待値と の基本表現を計算することによって得られる 。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle W_{F}(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

量子結び目不変量との関連

ジョーンズ多項式の変数をhの級数として展開すると、各係数は結び目のヴァシリエフ不変量になります。ヴァシリエフ不変量（または有限型不変量）を統一するために、マキシム・コンツェビッチはコンツェビッチ積分を構築しました。コンツェビッチ積分の値は、ヤコビ弦図と呼ばれる1、3値の弦図の無限和であり、ドロール・バル＝ナタンによって研究された重みシステムとともにジョーンズ多項式を再現します。 ${\displaystyle e^{h}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

体積予想との関連

リナト・カシャエフは、いくつかの双曲的結び目の数値的検討により、n次元表現に対応する色付きジョーンズ多項式のパラメータにn乗根の1の平方根を代入し、nが無限大に大きくなるにつれて極限値を求めると、結び目の補集合の双曲的体積が得られることを発見しました。（体積予想を参照。）

コバノフ・ホモロジーとの関連

2000年、ミハイル・コバノフは結び目と結び目の連鎖複体を構築し、そこから誘導されるホモロジーが結び目不変量であることを示しました（コバノフ・ホモロジーを参照）。ジョーンズ多項式は、このホモロジーのオイラー特性として記述されます。

非結び目の検出

非結び目と同じジョーンズ多項式を持つ最も単純な結び目。黒と赤の要素は、それぞれ三つ葉結び目と8の字結び目です

ジョーンズ多項式が非自明結び目のジョーンズ多項式と等しい非自明結び目が存在するかどうかは未解決の問題である。モーウェン・シスルスウェイト^[11]の研究により、ジョーンズ多項式が対応する非自明結び目のジョーンズ多項式と等しい非自明結び目が存在することが知られている。最も単純な例は15の必須交差を持ち、三つ葉結び目と8の字結び目が結合したものである。クロンハイマーとムロウカは、コバノフホモロジーが非自明結び目のコバノフホモロジーと等しい非自明結び目は存在しないことを示しました^{[12] 。}

参照

• ホモロジー多項式
• アレクサンダー多項式
• 体積予想
• チャーン・サイモンズ理論
• 量子群

注釈

1. Jones, Vaughan FR (1985). 「フォン・ノイマン代数による結び目の多項式不変量」アメリカ数学会報. (NS). 12 : 103–111 . doi : 10.1090/s0273-0979-1985-15304-2 . MR  0766964.
2. Jones, Vaughan FR (1987). 「組紐群と連結多項式のヘッケ代数表現」数学年報. (2). 126 (2): 335–388 . doi :10.2307/1971403. JSTOR  1971403. MR  0908150
3. 「ジョーンズ多項式、体積、そして基本結び目面：概説」（PDF） 。 2020年12月9日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2017年7月12日閲覧。
4. Turaev, Vladimir G. (1990). 「タングルのジョーンズ型不変量」. Journal of Mathematical Sciences . 52 : 2806–2807 . doi : 10.1007/bf01099242 . S2CID  121865582.
5. Thistlethwaite, Morwen B. (1987). 「ジョーンズ多項式の全域木展開」. Topology . 26 (3): 297–309 . doi : 10.1016/0040-9383(87) 90003-6
6. Burgos-Soto, Hernando (2010). 「ジョーンズ多項式と交互リンクの平面代数」. Journal of Knot Theory and Its Ramifications . 19 (11): 1487–1505 . arXiv : 0807.2600 . doi : 10.1142 /s0218216510008510. S2CID  13993750.
7. Murasugi, Kunio (1996).結び目理論とその応用. Birkhäuser Boston, MA. p. 227. ISBN 978-0-8176-4718-6.
8. Gukov, Sergei; Saberi, Ingmar (2014). 「結び目ホモロジーと量子曲線に関する講義」.位相と場の理論. Contemporary Mathematics. Vol. 613. pp.  41– 78. arXiv : 1211.6075 . doi :10.1090/conm/613/12235. ISBN 9781470410155. S2CID  27676682.
9. Ohtsuki, Quantum Invariants: A Study of Knots, 3-manifolds, and Their Sets
10. Witten, Edward (1989). 「量子場の理論とジョーンズ多項式」(PDF) . Communications in Mathematical Physics . 121 (3): 351– 399. Bibcode :1989CMaPh.121..351W. doi :10.1007/BF01217730. S2CID  14951363.
11. Thistlethwaite, Morwen (2001-06-01). 「自明なジョーンズ多項式とのリンク」 . Journal of Knot Theory and Its Ramifications . 10 (4): 641– 643. doi :10.1142/S0218216501001050. ISSN  0218-2165
12. Kronheimer, PB; Mrowka, TS (2011-02-11). 「コバノフホモロジーは結び目検出器である」. Publications Mathématiques de l'IHÉS . 113 (1): 97– 208. arXiv : 1005.4346 . doi :10.1007/s10240-010-0030-y. ISSN  0073-8301. S2CID  119586228.

参考文献

• Adams, Colin (2000-12-06). The Knot Book . American Mathematical Society . ISBN 0-8050-7380-9.
• ジョーンズ、ヴォーン. 「ジョーンズ多項式」(PDF) .
• ジョーンズ、ヴォーン(1987). 「組紐群と連結多項式のヘッケ代数表現」. Annals of Mathematics . 126 (2): 335–388 . doi :10.2307/1971403. JSTOR  1971403.
• カウフマン、ルイス H. (1987). 「状態モデルとジョーンズ多項式」. Topology . 26 (3): 395–407 . doi : 10.1016/0040-9383(87) 90009-7（括弧多項式による定義と、ジョーンズの組紐表現による
• Lickorish, WB Raymond (1997). 結び目理論入門. ニューヨーク、ベルリン、ハイデルベルク、バルセロナ、ブダペスト、香港、ロンドン、ミラノ、パリ、サンタクララ、シンガポール、東京: Springer. p. 175. ISBN  978-0-387-98254-0.
• Thistlethwaite, Morwen (2001). 「自明なジョーンズ多項式との関連」. Journal of Knot Theory and Its Ramifications . 10 (4): 641– 643. doi :10.1142/S0218216501001050
• エリアホウ, シャローム;カウフマン, ルイス H .;モーウェン・シスルウェイト, B. (2003). 「自明なジョーンズ多項式を持つ無限リンク族」.トポロジー. 42 (1): 155–169 . doi : 10.1016/S0040-9383(02)00012-5 .
• Przytycki, Józef H. (1991). 「3次元多様体のかせ加群」.ポーランド科学アカデミー紀要. 39 ( 1–2 ): 91–100 . arXiv : math/0611797 .

外部リンク

• 「ジョーンズ-コンウェイ多項式」,数学百科事典, EMS Press , 2001 [1994]
• モーウェン・シスルウェイト著「自明なジョーンズ多項式を持つリンク」
• 「ジョーンズ多項式」、結び目アトラス

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