コズル複合体

Construction in homological algebra

数学において、コシュル複体は、リー代数のコホモロジー理論を定義するために、ジャン＝ルイ・コシュルによって初めて導入されました（リー代数のコホモロジーを参照）。これは、ホモロジー代数における有用な一般構成であることが判明しました。ツールとして、そのホモロジーは、（局所）環の元のセットがM 正則列であるかどうかを判断するために使用でき、したがって、クルル次元という幾何学的概念と関連しているが異なる代数的次元概念であるモジュールまたはイデアルの深さに関する基本的事実を証明するために使用できます。さらに、特定の状況では、この複体はシジジーの複体、つまり、モジュールの生成元間の関係、これらの関係間の関係などを示します。

意味

Aを可換環とし、s: A ^r → AをA線型写像とする。そのコシュル複体 K _sは

${\displaystyle \bigwedge ^{r}A^{r}\ \to \ \bigwedge ^{r-1}A^{r}\ \to \ \cdots \ \to \ \bigwedge ^{1}A^{r}\ \to \ \bigwedge ^{0}A^{r}\simeq A}$

地図が送る場所

${\displaystyle \alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\ \mapsto \ \sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(\alpha _{i})\ \alpha _{1}\wedge \cdots \wedge {\hat {\alpha }}_{i}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}}$

ここで は項が省略されていることを意味し、はウェッジ積を意味します。 は任意のA加群に置き換えることができます。 ${\displaystyle {\hat {\ }}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle A^{r}}$

動機付けの例

M を多様体、多様体、スキーム、... とし、Aをその上の関数の環 ( と表記) とします。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$

この写像はr個の関数を選択することに対応する。r = 1のとき、コシュル複体は ${\displaystyle s\colon A^{r}\to A}$ ${\displaystyle f_{1},...,f_{r}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)\ {\stackrel {\cdot f}{\to }}\ {\mathcal {O}}(M)}$

その余核は零点f = 0上の関数環である。一般に、コシュル複体は

${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)\ {\stackrel {\cdot (f_{1},...,f_{r})}{\to }}\ {\mathcal {O}}(M)^{r}\ \to \ \cdots \ \to \ {\mathcal {O}}(M)^{r}\ {\stackrel {\cdot (f_{1},\dots ,f_{r})}{\to }}\ {\mathcal {O}}(M).}$

最後の写像の余核は、再び零点 上の関数である。これは のr個のKoszul 複体のテンソル積であり、その次元は二項係数で与えられる。 ${\displaystyle f_{1}=\cdots =f_{r}=0}$ ${\displaystyle f_{i}=0}$

図で見る: 関数が与えられた場合、それらすべてが消える軌跡をどのように定義するのでしょうか? ${\displaystyle s_{i}}$

代数幾何学において、零軌跡の関数環は である。導来代数幾何学において、dg関数環はコシュル複体である。軌跡が で横切る場合、これらは同値である。 ${\displaystyle A/(s_{1},\dots ,s_{r})}$ ${\displaystyle s_{i}=0}$

したがって、Koszul 複合体はゼロ座の派生交差です。

プロパティ

代数構造

まず、 (A,s)のコシュル複体K _sは連鎖複体であり、任意の2つの写像の合成は0である。次に、写像

${\displaystyle K_{s}\otimes K_{s}\ \to \ K_{s}\ \ \ \,\ \ \ \,\ \ \ \,\ \ \ (\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k})\otimes (\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{\ell })\ \mapsto \ \alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\wedge \beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{\ell }}$

これをdg代数にする。^[1]

テンソル積として

コシュル複体はテンソル積である。 ${\displaystyle s=(s_{1},\dots ,s_{r})}$

${\displaystyle K_{s}\ \simeq \ K_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes K_{s_{r}}}$

ここで、Aモジュールの連鎖複体の導来テンソル積を表す。^[2] ${\displaystyle \otimes }$

通常の場合の消失

が正規列を形成するとき、写像は準同型である、すなわち ${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{r}}$ ${\displaystyle K_{s}\to A/(s_{1},\dots ,s_{r})}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(K_{s})\ =\ 0,\qquad i\neq 0,}$

また任意のsについては、. ${\displaystyle H^{0}(K_{s})=A/(s_{1},\dots ,s_{r})}$

歴史

コシュル複体は、リー代数のコホモロジー理論を定義するために、ジャン＝ルイ・コシュルによって初めて導入されました（リー代数のコホモロジーを参照）。これは、ホモロジー代数における有用な一般構成であることが判明しました。ツールとして、そのホモロジーは、（局所）環の元のセットがM 正則列であるかどうかを判断するために使用でき、したがって、クルル次元という幾何学的概念と関連しているが異なる代数的次元概念であるモジュールまたはイデアルの深さに関する基本的事実を証明するために使用できます。さらに、特定の状況では、この複体はシジジーの複体であり、つまり、モジュールの生成元間の関係、これらの関係間の関係などを示します。

詳細な定義

R を可換環とし、EをR上の有限階数rの自由加群とする。Eのi番目の外冪を と書く。すると、R線型写像が与えられたとき、sに付随する Koszul 複体はR加群の鎖複体となる。 ${\displaystyle \bigwedge ^{i}E}$ ${\displaystyle s\colon E\to R}$

${\displaystyle K_{\bullet }(s)\colon 0\to \bigwedge ^{r}E{\overset {d_{r}}{\to }}\bigwedge ^{r-1}E\to \cdots \to \bigwedge ^{1}E{\overset {d_{1}}{\to }}R\to 0}$、

ここで微分は次のように与えられる：E内の任意の値に対して、 ${\displaystyle d_{k}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle d_{k}(e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{i})e_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {e_{i}}}\wedge \cdots \wedge e_{k}}$。

上付き文字は項が省略されていることを意味します。 であることを示すには、コシュル複体の自己双対性を利用してください。 ${\displaystyle {\widehat {\cdot }}}$ ${\displaystyle d_{k}\circ d_{k+1}=0}$

および であることに注意してください。また、であることにも注意してください。この同型は標準的ではありません (たとえば、微分幾何学における体積形式の選択は、このような同型の例を提供します)。 ${\displaystyle \bigwedge ^{1}E=E}$ ${\displaystyle d_{1}=s}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{r}E\simeq R}$

（つまり順序​​付き基底が選ばれる）場合、 R線形写像を与えることはRの有限個の要素列（つまり行ベクトル）を与えることと同じであり、 ${\displaystyle E=R^{r}}$ ${\displaystyle s\colon R^{r}\to R}$ ${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{r}}$ ${\displaystyle K_{\bullet }(s_{1},\dots ,s_{r})=K_{\bullet }(s).}$

Mが有限生成Rモジュールである場合、次が設定されます。

${\displaystyle K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M}$、

これもまた、誘導された微分を持つ連鎖複素数です。 ${\displaystyle (d\otimes 1_{M})(v\otimes m)=d(v)\otimes m}$

コシュル複体のi番目のホモロジー

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K_{\bullet }(s,M))=\operatorname {ker} (d_{i}\otimes 1_{M})/\operatorname {im} (d_{i+1}\otimes 1_{M})}$

はi番目のコシュルホモロジーと呼ばれる。例えば、と がRを要素とする行ベクトルである場合、は ${\displaystyle E=R^{r}}$ ${\displaystyle s=[s_{1}\cdots s_{r}]}$ ${\displaystyle d_{1}\otimes 1_{M}}$

${\displaystyle s\colon M^{r}\to M,\,(m_{1},\dots ,m_{r})\mapsto s_{1}m_{1}+\dots +s_{r}m_{r}}$

など

${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(K_{\bullet }(s,M))=M/(s_{1},\dots ,s_{r})M=R/(s_{1},\dots ,s_{r})\otimes _{R}M.}$

同様に、

${\displaystyle \operatorname {H} _{r}(K_{\bullet }(s,M))=\{m\in M:s_{1}m=s_{2}m=\dots =s_{r}m=0\}=\operatorname {Hom} _{R}(R/(s_{1},\dots ,s_{r}),M).}$

低次元のコシュル複体

可換環R 、 Rの元x、R加群Mが与えられたとき、 xによる乗算はR加群の準同型写像を与える。

${\displaystyle M\to M.}$

これを鎖複体として考えると（1次と0次に配置し、それ以外の場所には0を付ける）、 と表記される。構成上、ホモロジーは ${\displaystyle K(x,M)}$

${\displaystyle H_{0}(K(x,M))=M/xM,H_{1}(K(x,M))=\operatorname {Ann} _{M}(x)=\{m\in M,xm=0\},}$

Mにおけるxの消滅子。したがって、コシュル複体とそのホモロジーは、xによる乗算の基本的な性質をコード化している。この連鎖複体は、定義にあるように、 Rのxに関するコシュル複体と呼ばれる。 ${\displaystyle K_{\bullet }(x)}$

ペアのコシュル複体は ${\displaystyle (x,y)\in R^{2}}$

${\displaystyle 0\to R{\xrightarrow {\ d_{2}\ }}R^{2}{\xrightarrow {\ d_{1}\ }}R\to 0,}$

行列と、次のように与えられる。 ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$

${\displaystyle d_{1}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$そして

${\displaystyle d_{2}={\begin{bmatrix}-y&x\end{bmatrix}}.}$

が右側に適用されることに注意してください。1次閉路は元xとy上の線型関係と全く同じであり、境界は自明な関係です。したがって、最初のKoszulホモロジーは、自明な関係を法とする関係と全く同じです。元が増えると、高次元Koszulホモロジーは、このホモロジーの高次のバージョンを測定します。 ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle H_{1}(K_{\bullet }(x,y))}$

要素が規則的な配列を形成する場合、コシュル複体の高次ホモロジーモジュールはすべてゼロになります。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$

例

kが体で不定値であり、Rが多項式環である場合、のKoszul 複体はkの具体的な自由R分解を形成します。 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}}$ ${\displaystyle k[X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}]}$ ${\displaystyle K_{\bullet }(X_{i})}$ ${\displaystyle X_{i}}$

コシュルホモロジーの性質

E をR上の有限階数自由加群、 をR線型写像、t をRの元とする。をの Koszul 複体とする。 ${\displaystyle s\colon E\to R}$ ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle (s,t)\colon E\oplus R\to R}$

を使用すると、複素数の正確なシーケンスが存在します。 ${\displaystyle \bigwedge ^{k}(E\oplus R)=\oplus _{i=0}^{k}\bigwedge ^{k-i}E\otimes \bigwedge ^{i}R=\bigwedge ^{k}E\oplus \bigwedge ^{k-1}E}$

${\displaystyle 0\to K(s)\to K(s,t)\to K(s)[-1]\to 0}$、

ここで はと による次数シフトを表す。注意すべき点：^[3]におけるについては、 ${\displaystyle [-1]}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle d_{K(s)[-1]}=-d_{K(s)}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{k}E\oplus \bigwedge ^{k-1}E}$

${\displaystyle d_{K(s,t)}((x,y))=(d_{K(s)}x+ty,d_{K(s)[-1]}y).}$

ホモロジー代数の言語では、上記はが の写像円錐であることを意味します。 ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle t\colon K(s)\to K(s)}$

長い正確なホモロジー列をとると、次の式が得られます。

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} _{i}(K(s)){\overset {t}{\to }}\operatorname {H} _{i}(K(s))\to \operatorname {H} _{i}(K(s,t))\to \operatorname {H} _{i-1}(K(s)){\overset {t}{\to }}\cdots .}$

ここで、接続準同型

${\displaystyle \delta :\operatorname {H} _{i+1}(K(s)[-1])=\operatorname {H} _{i}(K(s))\to \operatorname {H} _{i}(K(s))}$

は以下のように計算されます。定義により、yはxに写像されるの元です。は直和なので、y を(0, x ) とすることができます。すると、 の初期の式は となります。 ${\displaystyle \delta ([x])=[d_{K(s,t)}(y)]}$ ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle d_{K(s,t)}}$ ${\displaystyle \delta ([x])=t[x]}$

上記の正確なシーケンスを使用して、次のことを証明できます。

定理— ^[4] R を環とし、M をその加群とする。Rの元の列がM上の正則列 であるとき、 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{r}}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0}$

すべての に対して。特に、M = R のとき、これは次のことを意味する。 ${\displaystyle i\geq 1}$

${\displaystyle 0\to \bigwedge ^{r}R^{r}{\overset {d_{r}}{\to }}\bigwedge ^{r-1}R^{r}\to \cdots \to \bigwedge ^{2}R^{r}{\overset {d_{2}}{\to }}R^{r}{\overset {[x_{1}\cdots x_{r}]}{\to }}R\to R/(x_{1},\cdots ,x_{r})\to 0}$

は正確です。つまり、はのRフリー解像度です。 ${\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{r})}$ ${\displaystyle R/(x_{1},\dots ,x_{r})}$

rに関する帰納法による証明。 ならば。次に、 r - 1に対してこの主張が成り立つと仮定する。すると、上記の厳密な手順を用いると、任意の に対してが成り立つことがわかる。は の非零因子であるため、に対しても が消滅する。 ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(K(x_{1};M))=\operatorname {Ann} _{M}(x_{1})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0}$ ${\displaystyle i\geq 2}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle x_{r}}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(K(x_{1},\dots ,x_{r-1};M))=M/(x_{1},\dots ,x_{r-1})M.}$ ${\displaystyle \square }$

系— ^[5] R , M を上記とし、Rの元の列とする。環S、SのS -正則列、およびに写像される環準同型S → Rがあるとする。（例えば を取ることができる。）すると、 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle S=\mathbb {Z} [y_{1},\cdots ,y_{n}]}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes _{R}M)=\operatorname {Tor} _{i}^{S}(S/(y_{1},\dots ,y_{n}),M).}$

ここで Tor はTor 関数を表し、M はを介し​​たS加群です。 ${\displaystyle S\to R}$

証明：定理をSとS をS加群として適用すると、 は のSを使わない分解であることが分かる。したがって、定義により、のi番目のホモロジーは上記の右辺となる。一方、M上のS加群構造の定義により、 となる。 ${\displaystyle K(y_{1},\dots ,y_{n})}$ ${\displaystyle S/(y_{1},\dots ,y_{n})}$ ${\displaystyle K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M}$ ${\displaystyle K(y_{1},\dots ,y_{n})\otimes _{S}M=K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes _{R}M}$ ${\displaystyle \square }$

系— ^[6] R、M を上記のようにし、Rの元の列とする。すると、 Mのイデアルと消滅体は両方とも消滅する。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ ${\displaystyle I=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)}$

すべてのiに対して。

証明：S = R [ y ₁ , ..., y _n ]とする。環準同型S → R、y _i → x _iによりMをS加群に変換し、 y _i → 0によりRをS加群に変換する。先の系より、 ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=\operatorname {Tor} _{i}^{S}(R,M)}$

${\displaystyle \operatorname {Ann} _{S}\left(\operatorname {Tor} _{i}^{S}(R,M)\right)\supset \operatorname {Ann} _{S}(R)+\operatorname {Ann} _{S}(M)\supset (y_{1},\dots ,y_{n})+\operatorname {Ann} _{R}(M)+(y_{1}-x_{1},...,y_{n}-x_{n}).}$ ${\displaystyle \square }$

局所環に対しては、定理の逆が成り立つ。より一般的には、

定理— ^[7] R を環とし、MをR上の非零有限生成加群とする。Rのヤコブソン根基の元であれば、以下の式は同値である。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{r}}$

1. この数列はM上の正規数列であり、 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}$
2. ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0}$、
3. ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{r})\otimes M)=0}$すべてのi ≥ 1について。

証明：2. が 1. を導くことを示すだけで十分であり、残りの含意の循環は 明らかである。r に関する帰納法によって論証する。r = 1の場合は既に分かっている。x 'をx 1 _, ..., x _{r -1}とおく。 ${\displaystyle 1.\Rightarrow 3.\Rightarrow 2.\Rightarrow 1.}$

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} _{1}(K(x';M)){\overset {x_{r}}{\to }}\operatorname {H} _{1}(K(x';M))\to \operatorname {H} _{1}(K(x_{1},\dots ,x_{r};M))=0\to M/x'M{\overset {x_{r}}{\to }}\cdots .}$

最初のものはで射影的である。中山の補題により、x 'は帰納的仮定より正則列となる。2番目のものは単射的（すなわち は非零因子）であるので、は正則列となる。（注：中山の補題により、この要件は自動的に満たされる。） ${\displaystyle x_{r}}$ ${\displaystyle N=x_{r}N}$ ${\displaystyle N=\operatorname {H} _{1}(K(x';M))}$ ${\displaystyle N=0}$ ${\displaystyle x_{r}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}$ ${\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{r})M\neq 0}$ ${\displaystyle \square }$

コシュル複体のテンソル積

一般に、C、Dが連鎖複体である場合、それらのテンソル積は次式で与えられる連鎖複体である。 ${\displaystyle C\otimes D}$

${\displaystyle (C\otimes D)_{n}=\sum _{i+j=n}C_{i}\otimes D_{j}}$

微分：任意の同次要素x、yに対して、

${\displaystyle d_{C\otimes D}(x\otimes y)=d_{C}(x)\otimes y+(-1)^{|x|}x\otimes d_{D}(y)}$

ここで | x | はxの次数です。

この構成は特にコシュル複体に適用される。E , F を有限階数自由加群とし、 とを2つのR -線型写像とする。を線型写像 のコシュル複体とする。すると、複体として、 ${\displaystyle s\colon E\to R}$ ${\displaystyle t\colon F\to R}$ ${\displaystyle K(s,t)}$ ${\displaystyle (s,t)\colon E\oplus F\to R}$

${\displaystyle K(s,t)\simeq K(s)\otimes K(t).}$

これを理解するには、外積代数（外積冪ではなく）を扱う方が便利です。次数の次数微分を定義します。 ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle d_{s}:\wedge E\to \wedge E}$

Λ Eの任意の同次元x , yに対して、

• ${\displaystyle d_{s}(x)=s(x)}$いつ ${\displaystyle |x|=1}$
• ${\displaystyle d_{s}(x\wedge y)=d_{s}(x)\wedge y+(-1)^{|x|}x\wedge d_{s}(y)}$

(次数に関する帰納法) と同次元への の作用が#定義 の微分と一致する ことは容易にわかります。 ${\displaystyle d_{s}\circ d_{s}=0}$ ${\displaystyle d_{s}}$

さて、次数付きR加群が存在します。また、冒頭で述べたテンソル積の定義により、 ${\displaystyle \wedge (E\oplus F)=\wedge E\otimes \wedge F}$

${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}(e\otimes 1+1\otimes f)=d_{K(s)}(e)\otimes 1+1\otimes d_{K(t)}(f)=s(e)+t(f)=d_{K(s,t)}(e+f).}$

とは同じ型の導出なので、これは次のことを意味する。 ${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}}$ ${\displaystyle d_{K(s,t)}}$ ${\displaystyle d_{K(s)\otimes K(t)}=d_{K(s,t)}.}$

特に、

${\displaystyle K(x_{1},x_{2},\dots ,x_{r})\simeq K(x_{1})\otimes K(x_{2})\otimes \cdots \otimes K(x_{r})}$。

次の命題は、コスル複体が、それによって生成されるイデアル内のシーケンスに関する情報をどのようにエンコードするかを示しています。

命題— R を環とし、I = ( x ₁ , ..., x _n ) をn元によって生成されるイデアルとする。すると、任意のR加群MとIの任意の元y ₁ , ..., y _rに対して、

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{r};M))\simeq \bigoplus _{i=j+k}\operatorname {H} _{j}(K(x_{1},\dots ,x_{n};M))\otimes \wedge ^{k}R^{r}.}$

ここで、は微分ゼロの複素数として扱われます。（実際、分解は連鎖レベルで成立します）。 ${\displaystyle \wedge ^{k}R^{r}}$

証明: (簡単ですが今は省略)

応用として、コシュルホモロジーの深さ依存性を示すことができる。環R上の有限生成加群Mが与えられたとき、（一つの）定義により、イデアルIに関するMの深さは、 M上のIの元のすべての正則列の長さの最大値となる。これは と表記される。イデアル I 上のM正則列x ₁ , ..., x _{n が}最大となるのは、 I が 上に非零因子を含まない場合であることを思い出してほしい。 ${\displaystyle \operatorname {depth} (I,M)}$ ${\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{n})M}$

Koszul ホモロジーは、深さの非常に便利な特徴付けを提供します。

定理 （深さ感度）— R をノイザン環とし、x ₁ , ..., x _nをRの元とし、I = ( x ₁ , ..., x _n ) をそれらによって生成されるイデアルとする。R上の有限生成加群Mにおいて、ある整数mに対して、

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)=0}$すべてのi > mに対して、

その間

${\displaystyle \operatorname {H} _{m}(K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes M)\neq 0,}$

すると、 Iにおけるすべての最大M -正則列の長さはn - mとなる（特に、それらはすべて同じ長さとなる）。結果として、

${\displaystyle \operatorname {depth} (I,M)=n-m}$。

証明: 表記を簡略化するため、H( K (-)) を H(-) と表記する。y 1 _, ..., y _{s を}イデアルIにおける最大M -正則列とする。この列を と表記する。まず、 の帰納法によって、の場合にはが成り立ち、 の場合には がゼロとなることを示す。基本的なケースは、コシュルホモロジーの「特性」から明らかである。コシュルホモロジーの長完全列と帰納的仮説から、 ${\displaystyle {\underline {y}}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}({\underline {y}},x_{1},\dots ,x_{l};M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l})}$ ${\displaystyle i=l}$ ${\displaystyle i>l}$ ${\displaystyle l=0}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{l}\left({\underline {y}},x_{1},\dots ,x_{l};M\right)=\operatorname {ker} \left(x_{l}:\operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l-1})\to \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l-1})\right)}$、

これはまた、同じ議論により、 の消滅は に対しても成り立ちます。これで主張の証明は完了です。 ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(x_{1},\dots ,x_{l}).}$ ${\displaystyle i>l}$

さて、主張と先の命題から、すべてのi > n - sに対してが成り立つことがわかる。n - s = m と結論付けるには、i = n - sのとき、それが非零であることを示す必要がある。はIにおける最大M -正則列なので、イデアルIは、加群の関連する素数の有限和である のすべての零因子の集合に含まれる。したがって、素数回避により、には となる非零のv が存在する。これは、すなわち、 ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(x_{1},\dots ,x_{n};M)=0}$ ${\displaystyle {\underline {y}}}$ ${\displaystyle M/{\underline {y}}M}$ ${\displaystyle M/{\underline {y}}M}$ ${\displaystyle I\subset {\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} _{R}(v)}$

${\displaystyle 0\neq v\in \operatorname {Ann} _{M/{\underline {y}}M}(I)\simeq \operatorname {H} _{n}\left(x_{1},\dots ,x_{n},{\underline {y}};M\right)=\operatorname {H} _{n-s}(x_{1},\dots ,x_{n};M)\otimes \wedge ^{s}R^{s}.}$ ${\displaystyle \square }$

自己二重性

コシュル錯体へのアプローチとして、鎖状錯体の代わりに共鎖錯体を用いる方法があります。結果として、これは本質的に同じ錯体をもたらします（これはコシュル錯体の自己双対性として知られています）。

E を環R上の有限階数rの自由加群とする。Eの各元eは eによる外積左乗法を生じる。

${\displaystyle l_{e}:\wedge ^{k}E\to \wedge ^{k+1}E,\,x\mapsto e\wedge x.}$

なので、次の式が成り立ちます。つまり、 ${\displaystyle e\wedge e=0}$ ${\displaystyle l_{e}\circ l_{e}=0}$

${\displaystyle 0\to R{\overset {1\mapsto e}{\to }}\wedge ^{1}E{\overset {l_{e}}{\to }}\wedge ^{2}E\to \cdots \to \wedge ^{r}E\to 0}$

は自由モジュールの共鎖複体です。この複体はKoszul複体とも呼ばれ、(Eisenbud 1995)で用いられています。双対をとると、次の複体が得られます。

${\displaystyle 0\to (\wedge ^{r}E)^{*}\to (\wedge ^{r-1}E)^{*}\to \cdots \to (\wedge ^{2}E)^{*}\to (\wedge ^{1}E)^{*}\to R\to 0}$。

同型性を使用すると、この複体は定義内の Koszul 複体と一致します。 ${\displaystyle \wedge ^{k}E\simeq (\wedge ^{r-k}E)^{*}\simeq \wedge ^{r-k}(E^{*})}$ ${\displaystyle (\wedge E,l_{e})}$

使用

コシュル複体は、バナッハ空間における可換な有界線形作用素の組の結合スペクトルを定義する上で不可欠である。^[要出典]

参照

• コズル・テイト複合体
• 朔望（数学）

注記

1. スタックス・プロジェクト、セクション0601
2. スタックスプロジェクト、セクション0601、補題15.28.12
3. 実際、線形性により、 と仮定することができます。すると、 ${\displaystyle (x,y)=(e_{1}+\epsilon )\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k}\in \wedge ^{k}(E\oplus R)}$ ${\displaystyle R\simeq R\epsilon \subset E\oplus R}$

   ${\displaystyle d_{K(s,t)}((x,y))=(s(e_{1})+t)e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k}+\sum _{i=2}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{i})(e_{1}+\epsilon )\wedge e_{2}\wedge \cdots {\widehat {e_{i}}}\cdots \wedge e_{k}}$、

   それは です。 ${\displaystyle (d_{K(s)}x+ty,-d_{K(s)}y)}$
4. 松村 1989、定理16.5. (i)
5. アイゼンバッド 1995、演習 17.10。
6. Serre 1975、第 IV 章、A § 2、命題 4。
7. 松村 1989、定理16.5. (ii)

参考文献

• アイゼンバッド、デイヴィッド(1995).可換代数：代数幾何学への視点から. 大学院数学テキスト. 第150巻. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 0-387-94268-8。
• William Fulton (1998)、交差理論、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 2 (第 2 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-62046-4、MR  1644323
• 松村英之（1989）『可換環論』ケンブリッジ大学出版局、第2版、ISBN 978-0-521-36764-6
• Serre、Jean-Pierre (1975)、Algèbre locale、Multiplicites、Cours au Collège de France、1957 ～ 1958 年、ピエール ガブリエルによるレディジェ。トロワジエム編、1975 年。数学講義ノート (フランス語)、vol. 11、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag
• スタックスプロジェクト、セクション0601

外部リンク

• Melvin Hochster、Math 711: 2007 年 10 月 3 日の講義 (特に最後の部分)。

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