Lp合計

関数解析における測定

数学、特に関数解析において、バナッハ空間族のL ^p和は、族の要素の積集合の部分集合をそれ自体のバナッハ空間に変換する方法である。この構成は、古典的なL ^p空間に倣ったものである。^[1]

意味

をバナッハ空間の族とし、任意の大きな濃度を持つことができる。積ベクトル空間を設定する。 ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle P:=\prod _{i\in I}X_{i},}$$

指数集合は、その計数測度（これを と表記する）が与えられたときに測度空間となり、各要素は関数 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\in P}$ $${\displaystyle I\to \mathbb {R} ,i\mapsto \|x_{i}\|.}$$

このように関数を定義し、ノルムと合わせて 設定します。 $${\displaystyle \Phi :P\to \mathbb {R} \cup \{\infty \},(x_{i})_{i\in I}\mapsto \int _{I}\|x_{i}\|^{p}\,d\mu (i)}$$ $${\displaystyle \sideset {}{^{p}}\bigoplus \limits _{i\in I}X_{i}:=\{(x_{i})_{i\in I}\in P\mid \Phi ((x_{i})_{i\in I})<\infty \}}$$ $${\displaystyle \|(x_{i})_{i\in I}\|:=\left(\int _{i\in I}\|x_{i}\|^{p}\,d\mu (i)\right)^{1/p}.}$$

結果はノルムされたバナッハ空間であり、これは^まさに ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}.}$

プロパティ

• 無限に多くの非ゼロ要素が含まれる場合、上記のノルムによって誘導されるトポロジーは、厳密には積トポロジーとボックス トポロジーの中間になります。 ${\displaystyle X_{i}}$
• の無限個にゼロ以外の要素が含まれる場合、L ^{p の}合計は積でも余積でもありません。 ${\displaystyle X_{i}}$

参考文献

1. Helemskii, A. Ya. (2006). 『関数解析の講義と演習』 . 数学モノグラフの翻訳. アメリカ数学会. ISBN 0-8218-4098-3。

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