ヘッケのキャラクター

数論における文字の種類

数論において、ヘッケ指標はディリクレ指標の一般化であり、ディリクレL関数よりも大きなL関数のクラスを構築するためにエーリッヒ・ヘッケによって導入され、リーマン ゼータ関数の関数方程式に類似した関数方程式を持つデデキント ゼータ関数やその他の関数の自然な設定となります。

意味

ヘッケ指標は、数体または大域関数体のイデレ類群の指標である。これは、射影写像との合成により、主イデレ上で自明なイデレ群の指標に一意に対応する。

この定義は、著者によって若干異なる指標の定義に依存します。指標は、非零複素数への準同型（「準指標」とも呼ばれます）として定義される場合もあれば、単位円 ${\displaystyle \mathbb {C} }$への準同型（「ユニタリ」）として定義される場合もあります。任意の準指標（イデレ類群に属するもの）は、ユニタリ指標にノルムの実数乗を掛け合わせたものとして一意に表すことができるため、2つの定義に大きな違いはありません。

ヘッケ指標の導体とは、 を法とするヘッケ指標となる最大のイデアルのことである。ここで、 （イデアル群上の指標として）が、すべての- 進成分が に含まれる有限イデアル群上で自明であるとき、 は を法とするヘッケ指標であると述べる。 ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle 1+{\mathfrak {m}}O_{\nu }}$

大きな文字

ヘッケ指標 の起源である Größencharakter (しばしば Grössencharakter、Grossencharacter などと表記される) は、ヘッケに遡り、分数イデアル群 上の指標 によって定義されます。数体 について、を-係数とし、は「有限部分」として の整イデアルであり、は「無限部分」として の実部位の (形式的)積です。が と互いに素な分数イデアル群を表し、がの各位でその因数の重複に従って近い主分数イデアルの部分群を表すものとします。つまり、 の各有限位置について、位数はにおけるの指数以上の大きさであり、における各実数埋め込みの下で は正です。を法とする最大特徴量は、 から非零複素数への群準同型であり、のイデアル上でその値が のすべてのアルキメデス完備化の乗法群の積から非零複素数への連続準同型のにおける値に等しくなります。ここで、同型写像の各局所要素は、（指数で）同じ実部を持ちます。（ここでは、上のさまざまなアルキメデスの場所に対応する埋め込みを使用して、 のアルキメデス完備化の積に を埋め込みます。）したがって、 を法とする光線類群上に最大特徴量を定義でき、これは の商です。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{f}{\mathfrak {m}}_{\infty }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\infty }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I_{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f}}$ ${\displaystyle P_{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle (a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f}}$ ${\displaystyle ord_{\nu }(a-1)}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle I_{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle (a)}$ ${\displaystyle P_{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle I_{\mathfrak {m}}/P_{\mathfrak {m}}}$

厳密に言えば、ヘッケは主イデアル上の振る舞いについて、全正生成子を許容するものについて規定した。したがって、上記の定義の観点から言えば、彼は実際にはすべての実数部が現れるモジュライのみを扱ったことになる。無限部m _∞の役割は、現在では無限型の概念に包含されている。

Großencharacterkter と Hecke キャラクターの関係

ヘッケ指標と巨大指標は本質的に同じ概念であり、一対一に対応している^{[どのように？ ]}。イデアル定義はイデアル定義よりもはるかに複雑であり、ヘッケが定義した動機は、ディリクレL関数の概念を有理数体から他の数体へと拡張するL関数（ヘッケL関数と呼ばれることもある）^{[1]を構築することであった。巨大指標χの場合、その}L関数はディリクレ級数として定義される。

${\displaystyle \sum _{(I,m)=1}\chi (I)N(I)^{-s}=L(s,\chi )}$

を、Größencharakter の絶対値と互いに素な整イデアルに対して行う。ここで、イデアルノルムを表す。部分群上の Größencharakter の挙動を支配する共通の実部条件は、これらのディリクレ級数が右半平面で絶対収束することを意味する。Hecke は、これらのL関数が複素平面全体への有理型接続を持ち、指標が自明な場合、 ' における位数 1 の単純な極を除いて解析的であることを証明した。原始 Größencharakter (原始ディリクレ指標と同様に絶対値に対して定義) の場合、Hecke はこれらのL関数が、指標のL関数とその複素共役指標のL関数の値とを関連付ける関数方程式を満たすことを示した。 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle N(I)}$ ${\displaystyle P_{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle s=1}$

イデアル類群の指標 を、主イデアル上で 1 であり、かつすべての無限位を含む例外有限集合上で 1 である単位円への写像とみなすことを考える。すると、イデアル群 の指標 が生成され、これは に含まれない素イデアル上の自由アーベル群である。^[2]に含まれない各素数について 均一化元を取り、各 を 座標内およびそれ以外のすべての場所で含まれるイデアルの類に写像することにより、 から イデアル類への写像を定義する。をとの合成とする。すると、はイデアル群上の指標として明確に定義される。^[3] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle I^{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle I^{S}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \chi }$

逆に、の許容特性が与えられた場合、一意のイデアルクラス特性 が対応する。^[4]ここで、 の許容特性とは、 を法として1 となるイデアル上で特性が に評価されるような集合に基づく 法の存在を指す。^[5] ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle I^{S}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

これらの指標が「大きい」というのは、無限型が存在する場合、それが自明でないことを意味し、これはこれらの指標が有限位数ではないことを意味するからである。有限位数ヘッケ指標は、ある意味ではすべて類体論によって説明される。すなわち、アルティンの相互性が示すように、それらのL関数はアルティンL関数である。しかし、ガウス体のように単純な体でさえ、有限位数を大幅に超えるヘッケ指標を持つ（下の例を参照）。複素乗法理論のその後の発展は、「大きい」指標の適切な位置づけは、代数多様体の重要なクラス（あるいはモチーフでさえ）にハッセ・ヴェイユL関数を提供することであると示した。

特殊なケース

• ディリクレ指標は有限位数のヘッケ指標である。これは、ある法mに関して1となる全正主イデアルの集合上の値によって決定される。^[5]
• ヒルベルト指標は、導手1のディリクレ指標である。^[5] ヒルベルト指標の数は、体の類群の位数である。類体論では、ヒルベルト指標はヒルベルト類体のガロア群の指標と同一視される。

例

• 有理数体の場合、イデレ類群は正実数と p進整数のすべての単位群の積に同型である。したがって、準指標はノルムの冪とディリクレ指標の積として表すことができる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$
• 導体1のガウス整数のヘッケ指標χは次の形式をとる。

χ(( a )) = | |​ ^s ( a /| a |) ^{4 n}

s は虚数、nは整数で、aはイデアル ( a ) の生成元です。単位はiのべき乗のみであるため、指数の 4 という係数により、この指標はイデアル上で明確に定義されます。

テイトの論文

ヘッケによるL ( s ,χ)の関数方程式の最初の証明では、明示的なシータ関数が使用されました。エミール・アルティンの指導の下で執筆されたジョン・テイトの 1950 年のプリンストン大学の博士論文では、ポンチャギン双対性を体系的に適用して、特別な関数の必要性を排除しました。同様の理論は岩沢健吉によって独自に展開され、1950 年の ICM での講演の主題となりました。1966 年のブルバキ セミナーでの Weil による後の再定式化により、テイトの証明の一部は分布理論によって表現できることが示されました。つまり、与えられた χ によるイデールの作用の下で変換するKのアデール群上の (シュワルツ–ブルハット テスト関数に対する)分布の空間は、次元 1 です。

代数的ヘッケ指標

代数的ヘッケ指標は、代数的値をとるヘッケ指標である。これは1947年にヴェイユによってA ₀型という名前で導入された。このような指標は類体論や複素乗法の理論に現れる。^[6]

実際、E を虚二次体Kによる複素乗算を伴う数体F上で定義された楕円曲線とし、KがFに含まれるとする。すると、 Fに対して代数的ヘッケ指標 χ が存在し、例外集合SはEの悪い簡約の素数の集合とその無限個の位数である。この指標は、良い簡約の素イデアルpに対して、値 χ( p ) がフロベニウス自己準同型の特性多項式の根であるという性質を持つ。結果として、Eのハッセ・ヴェーユのゼータ関数は、 χ とその複素共役の2つのディリクレ級数の積となる。^[7]

注記

1. Husemöller 2002、第16章より
2. ハイルブロン（1967）p.204
3. ハイルブロン（1967）205ページ
4. テイト（1967）169ページ
5. ハイルブロン (1967) p.207
6. ヒューズモラー（1987）299-300頁；（2002）320頁
7. ヒューズモラー（1987）302–303頁；（2002）321–322頁

参考文献

• Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht編 (1967).代数的数論. Academic Press. Zbl  0153.07403.
• ハイルブロン, H. (1967). 「VIII. ゼータ関数とL関数」.カッセルス, JWS ;フレーリッヒ, アルブレヒト(編).代数的数論. アカデミック・プレス. pp.  204– 230.
• Husemöller, Dale H. (1987).楕円曲線. Graduate Texts in Mathematics. 第111巻. Ruth Lawrenceによる付録付き. Springer-Verlag . ISBN 0-387-96371-5. Zbl  0605.14032。
• Husemöller, Dale (2002).楕円曲線. Graduate Texts in Mathematics . Vol. 111 (second ed.). Springer-Verlag . doi :10.1007/b97292. ISBN 0-387-95490-2. Zbl  1040.11043.
• W. Narkiewicz (1990).代数的数の基本理論と解析理論（第2版）. Springer-Verlag / Polish Scientific Publishers PWN . pp. 334–343. ISBN 3-540-51250-0. Zbl  0717.11045。
• ノイキルヒ、ユルゲン(1999)。代数学ザーレン理論。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 322. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• J. Tate,数体におけるフーリエ解析とヘッケのゼータ関数（Tateの1950年の学位論文）, JWS Cassels , A. Fröhlich編『代数的数論』（1967年）pp. 305–347 に再録. Zbl  1179.11041
• Tate, JT (1967). 「VII. 大域類体理論」. Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht (編).代数的数論. アカデミック・プレス. pp.  162– 203. Zbl  1179.11041.
• Weil、André (1966)、関数ゼータと分布(PDF)、vol. 312、ブルバキセミナー

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