数論のサブフィールド

数学において、 L関数の特殊値の研究は、 πのライプニッツの公式のような公式を一般化することに専念する数論のサブフィールドです。 $${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {\pi }{4}},\!}$$

左辺の式は でもあることを認識することにより、ガウス有理数体に対するディリクレL関数であることがわかる。この式は解析類数公式の特殊な場合であり、その用語を用いると、ガウス体の類数は1であることがわかる。式の右辺の因子は、この体に4つの1の根が含まれるという事実に対応する。 ${\displaystyle L(1)}$ ${\displaystyle L(s)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

推測

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L関数の一般的なクラス（非常に一般的な設定は、数体上のChow モチーフに関連付けられたL関数）に対して定式化された 2 つの予想ファミリーがあり、2 つに分割されるのは次のような質問を反映しているためです。

1. ライプニッツの公式を他の「超越」数に置き換える方法（超越数論が現在超越性の証明を提供できるかどうかに関係なく） ${\displaystyle \pi }$
2. L関数の値と「超越」因子の比率を表す有理数の代数的構成によって、式 (クラス数を 1 の累乗根の数で割ったもの) の有理因子を一般化する方法。

この種の式が成り立つと予想される の整数値については、補助的な説明が与えられます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L(n)}$

(a) の予想は、アレクサンダー・ベイリンソンにちなんでベイリンソン予想と呼ばれています。^{[ 1 ] [ 2 ]}その考え方は、数体の規制因子から、代数 K 理論に由来する実ベクトル空間上に構築された行列式である「高次の規制因子」（ベイリンソン規制因子）へと抽象化するというものです。

(b) の予想は特殊値に対するブロッホ＝加藤予想と呼ばれています(スペンサー・ブロッホと加藤和也にちなみ、この考え方は2009 年に証明が発表されたミルナー予想を拡張した K 理論のブロッホ＝加藤予想とは異なります)。また、玉川数予想とも呼ばれますが、この名前はバーチ＝スウィナートン＝ダイアー予想と、その線形代数群に対する玉川数問題の楕円曲線類似体としての定式化から生まれました。^{[ 3 ]}さらなる拡張で、同変玉川数予想 (ETNC) が定式化され、これらのアイデアと岩澤理論およびそのいわゆる主予想との関連を強化しました。

現在の状況

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これらの推測はすべて、特殊な場合にのみ真実であることが知られています。

参照

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• ブルーマー・スターク予想

注記

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1. ピーター・シュナイダー「ベイリンソン予想入門」（PDF）
2. ヤン・ネコヴァーシュ、ベイリンソンの予想(PDF)
3. マティアス・フラッハ「玉川数予想」（PDF）

参考文献

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• キングス、グイド（2003） 「 L関数の特殊値に関するブロッホ＝カトー予想。既知の結果の概観」、ボルドー学説誌、15（1）：179-198、doi：10.5802/jtnb.396、ISSN  1246-7405、MR  2019010
• 「ベイリンソン予想」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 「代数幾何学におけるK関数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• Mathar, Richard J. (2010)、「小さなモジュライのディリクレL級数と素数ゼータモジュロ関数の表」、arXiv : 1008.2547 [ math.NT ]

外部リンク

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• L-funktionen und die Vermutingen von Deligne und Beilinson (L-関数とドリーニュとベイルソンソンの予想)

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