Vectors whose linear combinations are nonzero
線形独立ベクトル R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 平面上の線形従属ベクトル R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 線型代数学 において 、 ベクトル の 集合が 線型独立であるとは、その集合内の他のベクトルの 線型結合 に等しいベクトルが存在しない ことを言う。もしそのようなベクトルが存在するならば、それらのベクトルは 線型従属的 であると言う。線型独立性は 線型基底 の定義の一部である 。 [1]
ベクトル空間は、線型独立ベクトルの最大数に応じて有限次元または無限次元になります。線型従属の定義と、ベクトル空間内のベクトルの部分集合が線型従属であるかどうかを判断できることは、ベクトル空間の次元を決定する上で中心的な役割を果たします。
意味 ベクトル空間 V の ベクトル列は、 すべてゼロではない スカラー が 存在し 、 v 1 , v 2 , … , v k {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{k}} a 1 , a 2 , … , a k , {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},}
a 1 v 1 + a 2 v 2 + ⋯ + a k v k = 0 , {\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} ,} ここで、 は ゼロベクトルを表します。 0 {\displaystyle \mathbf {0} }
k = 1 {\displaystyle k=1} の場合 、単一のベクトルが線形従属である場合、かつそれが零ベクトルである場合に限ります。
k > 1 {\displaystyle k>1} の場合 、これは少なくとも1つのスカラーが非ゼロであることを意味し、例えば 、上記の式は次のように書くことができます。 a 1 ≠ 0 {\displaystyle a_{1}\neq 0}
v 1 = − a 2 a 1 v 2 + ⋯ + − a k a 1 v k . {\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\frac {-a_{2}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{2}+\cdots +{\frac {-a_{k}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{k}.} したがって、ベクトルのセットが線形従属となるのは、そのうちの 1 つがゼロであるか、または 他のベクトルの 線形結合である場合のみです。
ベクトル列は線形 従属 でない場合、つまり 方程式が v 1 , v 2 , … , v n {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}
a 1 v 1 + a 2 v 2 + ⋯ + a n v n = 0 , {\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} ,} は、に対して によってのみ満たされます。 これは、シーケンス内のどのベクトルも、シーケンス内の残りのベクトルの線形結合として表現できないことを意味します。言い換えれば、ベクトルのシーケンスが線形独立である場合、 そのベクトルの線形結合としての の唯一の表現が、すべてのスカラー がゼロである自明な表現であるとき、ベクトルのシーケンスは線形独立です。 [2] さらに簡潔に言えば、ベクトルのシーケンスが線形独立である場合、そしてその場合のみ、 は そのベクトルの線形結合として一意に表現できます。 a i = 0 {\displaystyle a_{i}=0} i = 1 , … , n . {\displaystyle i=1,\dots ,n.} 0 {\displaystyle \mathbf {0} } a i {\textstyle a_{i}} 0 {\displaystyle \mathbf {0} }
ベクトル列に同じベクトルが2つ含まれる場合、そのベクトルは必然的に従属関係にある。ベクトル列の線型従属関係は、列内の項の順序に依存しない。これにより、有限ベクトル集合の線型独立性を定義することができる。有限ベクトル集合は、それらを順序付けた列が線型独立である場合に 線型独立 である。言い換えれば、しばしば有用な以下の結果が得られる。
ベクトルのシーケンスが線形独立となるのは、同じベクトルが 2 回含まれず、そのベクトルの集合が線形独立である場合のみです。
無限の場合 ベクトルの無限集合が線型 独立で あるとは、すべての有限 部分集合 が線型独立であることを意味する。この定義はベクトルの有限集合にも当てはまる。有限集合はそれ自身の有限部分集合であり、線型独立集合のすべての部分集合もまた線型独立だからである。
逆に、ベクトルの無限集合が 線形従属で あるとは、その中に線形従属である有限のサブセットが含まれている場合、またはそれと同等に、集合内のあるベクトルが集合内の他のベクトルの線形結合である場合を指します。
添字付き ベクトル族は、 同じ ベクトルを2回含まず、かつそのベクトルの集合が 線型独立である場合、線型独立である。そうでない場合、その族は 線型従属で あると言われる。
あるベクトル空間を張る 線型独立なベクトルの集合は 、そのベクトル空間の 基底 を形成します。例えば、 実数上 の xのすべての 多項式からなるベクトル空間は、（無限）部分集合 {1, x , x 2 , ...} を基底として持ちます。
spanによる定義 をベクトル空間とする。集合が 線型 独立 と は、 その 最小元 が V {\displaystyle V} X ⊆ V {\displaystyle X\subseteq V} X {\displaystyle X}
{ Y ⊆ V ∣ X ⊆ Span ( Y ) } {\displaystyle \{Y\subseteq V\mid X\subseteq \operatorname {Span} (Y)\}} 包含順序 によって決まる 。対照的に、 が の真部分集合を持ち、その範囲が のスーパーセットである場合、は 線形従属で ある 。 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X}
幾何学的な例 u → {\displaystyle {\vec {u}}} は 独立しており、 平面 Pを定義します。 v → {\displaystyle {\vec {v}}} u → {\displaystyle {\vec {u}}} これら 3 つは同じ平面内に含まれているため 、 相互に依存しています。 v → {\displaystyle {\vec {v}}} w → {\displaystyle {\vec {w}}} u → {\displaystyle {\vec {u}}} これらは互いに平行であるため 、依存しています。 j → {\displaystyle {\vec {j}}} u → {\displaystyle {\vec {u}}} 、 およびは 互いに独立であり、が それらの線型結合ではないため、 独立です 。つまり、それらは共通の平面に属していないためです。3つのベクトルは3次元空間を定義します。 v → {\displaystyle {\vec {v}}} k → {\displaystyle {\vec {k}}} u → {\displaystyle {\vec {u}}} v → {\displaystyle {\vec {v}}} k → {\displaystyle {\vec {k}}} ベクトル (ヌル ベクトル、つまりその成分がゼロに等しい) と は、 であるため従属的です 。 o → {\displaystyle {\vec {o}}} k → {\displaystyle {\vec {k}}} o → = 0 k → {\displaystyle {\vec {o}}=0{\vec {k}}}
地理的位置 ある場所の位置を説明する際、「ここから北に3マイル、東に4マイルです」と述べる人がいるかもしれません。地理座標系は2次元ベクトル空間（高度と地球表面の曲率を無視）とみなせるため、この情報だけで位置を説明するには十分です。さらに「ここから北東に5マイルです」と付け加える人もいるかもしれません。この最後の記述は 正しい ですが、位置を特定するために必ずしも必要ではありません。
この例では、「北3マイル」ベクトルと「東4マイル」ベクトルは線形独立です。つまり、北ベクトルは東ベクトルで記述できず、その逆も同様です。3つ目の「北東5マイル」ベクトルは他の2つのベクトルの 線形結合 であり、ベクトルの集合は 線形従属的に なります。つまり、平面上の特定の位置を定義するために、3つのベクトルのうち1つは不要になります。
また、高度を無視しない場合は、線形独立ベクトル集合に3つ目のベクトルを追加する必要があることにも注意してください。一般に、 n 次元空間
内のすべての位置を記述するには、 n 個の線形独立ベクトルが必要です。
線形独立性の評価
ゼロベクトル 与えられたベクトル列から1つ以上のベクトルが 零ベクトルである場合 、それらのベクトルは 必然的に線形従属となります（したがって、線形独立ではありません）。その理由を理解するために、 が となる インデックス（つまり の要素 ）であると仮定します。 次に とします （あるいは、 を 他の任意の非零スカラーと等しくしても動作します）。そして、他のすべてのスカラーを とします（明示的には、 以外の任意の インデックス （つまり の場合 ）に対して となる ので、 となります ）。簡略化すると次のよう になります。 v 1 , … , v k {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}} 0 {\displaystyle \mathbf {0} } v 1 , … , v k {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}} i {\displaystyle i} { 1 , … , k } {\displaystyle \{1,\ldots ,k\}} v i = 0 . {\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} .} a i := 1 {\displaystyle a_{i}:=1} a i {\displaystyle a_{i}} 0 {\displaystyle 0} j {\displaystyle j} i {\displaystyle i} j ≠ i {\displaystyle j\neq i} a j := 0 {\displaystyle a_{j}:=0} a j v j = 0 v j = 0 {\displaystyle a_{j}\mathbf {v} _{j}=0\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0} } a 1 v 1 + ⋯ + a k v k {\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}}
a 1 v 1 + ⋯ + a k v k = 0 + ⋯ + 0 + a i v i + 0 + ⋯ + 0 = a i v i = a i 0 = 0 . {\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} +a_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{i}\mathbf {0} =\mathbf {0} .} すべてのスカラーがゼロになるわけではないので（特に、 ）、ベクトルが 線形従属であることが証明されます。 a i ≠ 0 {\displaystyle a_{i}\neq 0} v 1 , … , v k {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}
結果として、ゼロベクトルは線形従属で あるベクトルの集合に属することはできません 。
ここで、 の列の 長さがである特殊なケース （つまり の場合 ）を考えてみましょう。ちょうど1つのベクトルからなるベクトルの集合は、そのベクトルが0である場合にのみ線型従属となります。明示的に、 が 任意のベクトルである場合、列 （長さ の列 ）が線型従属となるのは の場合のみであり、 がの場合のみとなります 。 あるいは、 が 線型独立となるのは の場合のみであり、 v 1 , … , v k {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}} 1 {\displaystyle 1} k = 1 {\displaystyle k=1} v 1 {\displaystyle \mathbf {v} _{1}} v 1 {\displaystyle \mathbf {v} _{1}} 1 {\displaystyle 1} v 1 = 0 {\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} } v 1 {\displaystyle \mathbf {v} _{1}} v 1 ≠ 0 . {\displaystyle \mathbf {v} _{1}\neq \mathbf {0} .}
2つのベクトルの線形従属と独立性 この例では、ある実ベクトル空間または複素ベクトル空間からちょうど2つのベクトルと が存在する特殊なケースを考察します 。ベクトル と が 線型従属的である ためには、 以下の少なくとも1つが成立する必要があります。 u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} } u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} }
u {\displaystyle \mathbf {u} } は のスカラー倍数である（明示的には、 となる スカラーが存在することを意味する ）または v {\displaystyle \mathbf {v} } c {\displaystyle c} u = c v {\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} } v {\displaystyle \mathbf {v} } は のスカラー倍数です（明示的には、 となる スカラーが存在することを意味します ）。 u {\displaystyle \mathbf {u} } c {\displaystyle c} v = c u {\displaystyle \mathbf {v} =c\mathbf {u} } ならば、 と 設定することで （この等式は の値が何であっても成り立ちます ）、これは(1)がこの特定のケースにおいて真であることを示しています。同様に、 ならば (2)が真です。なぜなら、
ならば （例えば、 と が両方とも零ベクトル に等しい場合 ） 、(1)と(2)は 両方とも 真です（と を両方に用いることで）。 u = 0 {\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} } c := 0 {\displaystyle c:=0} c v = 0 v = 0 = u {\displaystyle c\mathbf {v} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} =\mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} } v = 0 {\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} } v = 0 u . {\displaystyle \mathbf {v} =0\mathbf {u} .} u = v {\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} } 0 {\displaystyle \mathbf {0} } c := 1 {\displaystyle c:=1}
の場合、 は かつ の場合にのみ可能です 。この場合、両辺に を掛けて と 結論付けることができます
。これは、 かつ の場合、(1) が真であるときかつその場合に限り (2) が真であることを示しています 。 つまり、この特定のケースでは、(1) と (2) の両方が真 (ベクトルは線型従属) であるか、(1) と (2) の両方が偽 (ベクトルは線型非 従属 ) であるかのどちらかです。 ではなく の場合は、 と の少なくとも 1 つは 0 でなければなりません。さらに、 と の正確に 1 つが である場合 (もう 1 つは 0 以外)、(1) と (2) の正確に 1 つが真 (もう 1 つは偽) です。 u = c v {\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} } u ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} } c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} v ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} } 1 c {\textstyle {\frac {1}{c}}} v = 1 c u . {\textstyle \mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {u} .} u ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} } v ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} } u = c v {\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} } u = 0 {\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} } c {\displaystyle c} v {\displaystyle \mathbf {v} } u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} } 0 {\displaystyle \mathbf {0} }
ベクトル および が に 線形従属する場合、 かつ が のスカラー倍でない 場合 、 かつ が のスカラー倍でない場合のみです 。 u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} } u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} } v {\displaystyle \mathbf {v} } u {\displaystyle \mathbf {u} }
Rのベクトル 2 3つのベクトル： ベクトルの集合を考え 、 線形従属の条件は、次のような非ゼロのスカラーの集合を求める。 v 1 = ( 1 , 1 ) , {\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1),} v 2 = ( − 3 , 2 ) , {\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),} v 3 = ( 2 , 4 ) , {\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4),}
a 1 [ 1 1 ] + a 2 [ − 3 2 ] + a 3 [ 2 4 ] = [ 0 0 ] , {\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}+a_{3}{\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},} または
[ 1 − 3 2 1 2 4 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = [ 0 0 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.} この行列方程式の行を 1行目から2行目を引くことで減算すると、
[ 1 − 3 2 0 5 2 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = [ 0 0 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.} 行の削減を続けるには、(i) 2行目を5で割り、(ii) 3を掛けて1行目に加算します。つまり、
[ 1 0 16 / 5 0 1 2 / 5 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = [ 0 0 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.} この式を整理すると次の式が得られる。
[ 1 0 0 1 ] [ a 1 a 2 ] = [ a 1 a 2 ] = − a 3 [ 16 / 5 2 / 5 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}16/5\\2/5\end{bmatrix}}.} これは、 と を用いて定義できる 非ゼロの a i が 存在することを示しています 。したがって、3 つのベクトルは線形従属です。 v 3 = ( 2 , 4 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4)} v 1 = ( 1 , 1 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)} v 2 = ( − 3 , 2 ) . {\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2).}
2つのベクトル: 2つのベクトルの線形従属関係を考え 、次のこと を確認します。 v 1 = ( 1 , 1 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)} v 2 = ( − 3 , 2 ) , {\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}
a 1 [ 1 1 ] + a 2 [ − 3 2 ] = [ 0 0 ] , {\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},} または
[ 1 − 3 1 2 ] [ a 1 a 2 ] = [ 0 0 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.} 上記と同じ行削減により、
[ 1 0 0 1 ] [ a 1 a 2 ] = [ 0 0 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.} これは を示しており、 ベクトル と は 線形独立であることを意味します。 a i = 0 , {\displaystyle a_{i}=0,} v 1 = ( 1 , 1 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)} v 2 = ( − 3 , 2 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2)}
Rのベクトル 4 ３つのベクトルが R 4 , {\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}
v 1 = [ 1 4 2 − 3 ] , v 2 = [ 7 10 − 4 − 1 ] , v 3 = [ − 2 1 5 − 4 ] . {\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.} 線形従属関係にある行列方程式を形成する。
[ 1 7 − 2 4 10 1 2 − 4 5 − 3 − 1 − 4 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = [ 0 0 0 0 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.} この式を簡約すると、
[ 1 7 − 2 0 − 18 9 0 0 0 0 0 0 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = [ 0 0 0 0 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.} これを変形してv 3 について解くと 、
[ 1 7 0 − 18 ] [ a 1 a 2 ] = − a 3 [ − 2 9 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7\\0&-18\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}}.} この方程式は簡単に解けて、非ゼロの a i を定義する。
a 1 = − 3 a 3 / 2 , a 2 = a 3 / 2 , {\displaystyle a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,} ここで は 任意に選択できます。したがって、ベクトル と は 線形従属です。 a 3 {\displaystyle a_{3}} v 1 , v 2 , {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},} v 3 {\displaystyle \mathbf {v} _{3}}
行列式を用いた代替法 別の方法は、ベクトルを列としてとることで形成される行列 の 行列 式 がゼロ以外の 場合のみ、 のベクトル が線形 独立で あるという事実に依存します。 n {\displaystyle n} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
この場合、ベクトルによって形成される行列は
A = [ 1 − 3 1 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.} 列の線形結合は次のように書ける。
A Λ = [ 1 − 3 1 2 ] [ λ 1 λ 2 ] . {\displaystyle A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.} 我々が興味を持っているのは、ある非零ベクトルΛに対してAΛ = 0となるかどうかである 。 これ は 、Λ の行列式に依存する。 A {\displaystyle A}
det A = 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ ( − 3 ) = 5 ≠ 0. {\displaystyle \det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.} 行列式は ゼロでない ため、ベクトル とベクトル は線形独立です。 ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} ( − 3 , 2 ) {\displaystyle (-3,2)}
そうでなければ、座標 のベクトルが あると仮定します。 すると、 A は n × m 行列、Λ は要素を持つ列ベクトルであり、ここでも A Λ = 0 に注目します 。前に見たように、これは方程式のリストと同等です 。 の最初の 行 、つまり最初の 方程式を考えてみましょう。方程式の完全なリストの任意の解は、縮小されたリストでも成り立つ必要があります。実際、 ⟨ i 1 ,..., i m ⟩ が任意の行のリストである場合 、方程式はそれらの行に対して必ず成り立ちます。 m {\displaystyle m} n {\displaystyle n} m < n . {\displaystyle m<n.} m {\displaystyle m} n {\displaystyle n} m {\displaystyle m} A {\displaystyle A} m {\displaystyle m} m {\displaystyle m}
A ⟨ i 1 , … , i m ⟩ Λ = 0 . {\displaystyle A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .} さらに、逆もまた真である。つまり、 ベクトルが線形従属であるかどうかは、 m {\displaystyle m}
det A ⟨ i 1 , … , i m ⟩ = 0 {\displaystyle \det A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }=0} 行のすべての可能なリストに対して成り立ちます 。( の場合 、上記のように、これには 1 つの行列式のみが必要です 。 の場合、ベクトルは線形従属でなければならないという定理が成り立ちます。) この事実は理論上は貴重ですが、実際の計算ではより効率的な方法が利用可能です。 m {\displaystyle m} m = n {\displaystyle m=n} m > n {\displaystyle m>n}
次元よりもベクトルが多い ベクトルの数が次元の数より多い場合、ベクトルは線形従属となります。これは、上の3つのベクトルの例で示されています。 R 2 . {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}
自然基底ベクトル と し、 における次の要素（ 自然基底 ベクトルと呼ばれる）を考えます 。 V = R n {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}} V {\displaystyle V}
e 1 = ( 1 , 0 , 0 , … , 0 ) e 2 = ( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) ⋮ e n = ( 0 , 0 , 0 , … , 1 ) . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}} それら は線形独立です。 e 1 , e 2 , … , e n {\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}
証拠 が実数であると 仮定し、 a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}
a 1 e 1 + a 2 e 2 + ⋯ + a n e n = 0 . {\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\mathbf {0} .} 以来
a 1 e 1 + a 2 e 2 + ⋯ + a n e n = ( a 1 , a 2 , … , a n ) , {\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right),} すべて に対して a i = 0 {\displaystyle a_{i}=0} i = 1 , … , n . {\displaystyle i=1,\ldots ,n.}
関数の線形独立性 を実変数の すべての微分可能 関数の ベクトル空間 とします 。このとき、 における 関数 と は 線形独立です。 V {\displaystyle V} t {\displaystyle t} e t {\displaystyle e^{t}} e 2 t {\displaystyle e^{2t}} V {\displaystyle V}
証拠 と が 2つの実数である
とし、 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}
a e t + b e 2 t = 0 {\displaystyle ae^{t}+be^{2t}=0} 上記の式の 1 次導関数をとります。
a e t + 2 b e 2 t = 0 {\displaystyle ae^{t}+2be^{2t}=0} のすべての 値 に対して 、 と であることを示す必要があります 。そのためには、最初の式を2番目の式から引いて を得ます 。 は、 のある に対してはゼロではないため 、も 成り立ちます 。したがって、線形独立性の定義によれば、 と は線形独立です。 t . {\displaystyle t.} a = 0 {\displaystyle a=0} b = 0. {\displaystyle b=0.} b e 2 t = 0 {\displaystyle be^{2t}=0} e 2 t {\displaystyle e^{2t}} t {\displaystyle t} b = 0. {\displaystyle b=0.} a = 0 {\displaystyle a=0} e t {\displaystyle e^{t}} e 2 t {\displaystyle e^{2t}}
線形従属空間 ベクトル v 1 , ..., v n 間の線形 依存関係 または 線形関係は、 n個の スカラー 成分を 持つ組 ( a 1 , ..., a n ) で あり、
a 1 v 1 + ⋯ + a n v n = 0 . {\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .} 少なくとも1つの非ゼロ成分を持つような線形従属関係が存在する場合、 n個の ベクトルは線形従属関係にある。v 1 , ..., v n 間の線形従属関係は ベクトル 空間 を 形成 する 。
ベクトルをその座標で表すと、線型従属関係は、 ベクトルの座標を係数とする同次 線型方程式の解となる。したがって、線型従属関係のベクトル空間の 基底は 、ガウス消去法 によって計算できる 。
一般化
アフィン独立性 ベクトルの集合は、 その集合内の少なくとも1つのベクトルが 他のベクトルの アフィン結合として定義できる場合、 アフィン従属的であると言われます。そうでない場合、その集合は アフィン独立的で あると言われます。任意のアフィン結合は線型結合であるため、すべてのアフィン従属集合は線型従属的です。逆に、すべての線型独立集合はアフィン独立的です。アフィン独立集合は必ずしも線型独立であるとは限らないことに注意してください。
それぞれの大きさの ベクトルの 集合と、それぞれの 大きさの 拡大ベクトル の集合を考える 。元のベクトルがアフィン独立であることと、拡大ベクトルが線型独立であることは、同じである。 [3] : 256 m {\displaystyle m} v 1 , … , v m {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}} n {\displaystyle n} m {\displaystyle m} ( [ 1 v 1 ] , … , [ 1 v m ] ) {\textstyle \left(\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{1}\end{smallmatrix}}\right],\ldots ,\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{m}\end{smallmatrix}}\right]\right)} n + 1 {\displaystyle n+1}
線形独立ベクトル部分空間 ベクトル空間の ２つのベクトル部分空間 とが 線型独立 であるとは、 [4] より一般的には、ベクトル空間 の部分空間の
集合が 線型独立 である とは、任意の 添字に対して [4] であるときである。 ベクトル空間が の 直和 である とは、これらの部分空間が線型独立であり、 M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} X {\displaystyle X} M ∩ N = { 0 } . {\displaystyle M\cap N=\{0\}.} M 1 , … , M d {\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}} X {\displaystyle X} M i ∩ ∑ k ≠ i M k = { 0 } {\textstyle M_{i}\cap \sum _{k\neq i}M_{k}=\{0\}} i , {\displaystyle i,} ∑ k ≠ i M k = { m 1 + ⋯ + m i − 1 + m i + 1 + ⋯ + m d : m k ∈ M k for all k } = span ⋃ k ∈ { 1 , … , i − 1 , i + 1 , … , d } M k . {\textstyle \sum _{k\neq i}M_{k}={\Big \{}m_{1}+\cdots +m_{i-1}+m_{i+1}+\cdots +m_{d}:m_{k}\in M_{k}{\text{ for all }}k{\Big \}}=\operatorname {span} \bigcup _{k\in \{1,\ldots ,i-1,i+1,\ldots ,d\}}M_{k}.} X {\displaystyle X} M 1 , … , M d {\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}} M 1 + ⋯ + M d = X . {\displaystyle M_{1}+\cdots +M_{d}=X.}
参照
参考文献
外部リンク 「線形独立性」 数学百科事典 、 EMSプレス 、2001 [1994] WolframMathWorld の線形従属関数。 線形独立性に関するチュートリアルとインタラクティブ プログラム。 KhanAcademy での線形独立性入門。
![{\textstyle \left(\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{1}\end{smallmatrix}}\right],\ldots ,\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{m}\end{smallmatrix}}\right]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bedef6dbcd38b445b141b49ec618600e574a614b)
