リンク番号

Numerical invariant that describes the linking of two closed curves in three-dimensional space

この (2, 8)-トーラスリンクの 2 つの曲線のリンク番号は 4 です。

数学において、連結数（りんけいすう）とは、三次元空間における二つの閉曲線の連結を記述する数値不変量である。直感的には、連結数は各曲線が他の曲線を巻き付く回数を表す。ユークリッド空間においては、連結数は常に整数であるが、二つの曲線の向きに応じて正または負の値をとる（これはほとんどの三次元多様体における曲線には当てはまらない。三次元多様体においては、連結数は分数になる場合もあれば、そもそも存在しない場合もある）。

連結数は、ガウスによって連結積分の形で導入されました。これは結び目理論、代数的位相幾何学、微分幾何学における重要な研究対象であり、量子力学、電磁気学、DNA超らせん構造の研究など、数学と科学の分野で数多くの応用があります。

意味

空間上の任意の2つの閉曲線は、互いに通過できず、かつ自身も通過できる場合、以下の標準位置のいずれかに移動できます。これにより、連結数が決定されます。

⋯
	リンク数 −2	リンク数 −1	リンク番号0
					⋯
		リンク番号1	リンク番号2	リンク番号3

各曲線はこの運動中に自身を通過する可能性がありますが、2つの曲線は運動中ずっと分離したままでなければなりません。これは正則ホモトピーとして形式化され、さらに各曲線が単なる写像ではなく、はめ込みであることを必要とします。しかし、この追加条件は連結数の定義を変更するものではありません（曲線が常にはめ込みである必要があるかどうかは関係ありません）。これはh原理（ホモトピー原理）の例であり、幾何学は位相幾何学に還元されることを意味します。

証拠

この事実（連結数が唯一の不変量であるという事実）は、一方の円を標準位置に置き、もう一方の円においても連結数が唯一の不変量であることを示すことで最も簡単に証明できます。詳しくは、以下の通りです。

• 単一の曲線は標準円に対して正則ホモトピックである（曲線が自身を通過することを許せば、任意の結び目は解くことができる）。3次元空間は縮約可能であり、したがってそれへのすべての写像はホモトピックであるため、ホモトピックであることは明らかであるが、これが浸漬によって実現可能であるという事実は、ある程度の幾何学的議論を必要とする。
• 標準円の補集合は、点が除去された立体トーラスと同相である（これは、3 次元空間を無限遠点が除去された 3 次元球面と解釈し、3 次元球面を境界に沿って接着された 2 つの立体トーラスと解釈することで確認できます）、または補集合を直接分析することもできます。
• 3次元空間から円を除いた基本群は、連結数に対応する整数である。これはザイフェルト＝ファン・カンペンの定理からわかる（無限遠点を加えて立体トーラスを得るか、円を加えて3次元空間を得るかのどちらかで、目的の空間の基本群を計算できる）。
• したがって、3 次元空間内の曲線から円を引いたもののホモトピー類は、連結数によって決定されます。
• 正則ホモトピー類は連結数によって決定され、追加の幾何学的議論が必要となることも事実です。

リンク数の計算

これらの曲線は、6 つの正の交差と 2 つの負の交差を持ち、リンク番号は 2 になります。

リンクダイアグラムから2つの曲線のリンク数を計算するアルゴリズムがあります。以下の規則に従って、各交差を正または負としてラベル付けします。 ^[1]

正の交差の総数から負の交差の総数を引いた値は、連結数の2倍に等しくなります。つまり、

${\displaystyle {\text{linking number}}={\frac {n_{1}+n_{2}-n_{3}-n_{4}}{2}}}$

ここで、n ₁、n ₂、n ₃、n ₄は、4つのタイプのそれぞれの交差数を表す。2つの合計とは常に等しく、^[2]、次の代替式が導かれる。 ${\displaystyle n_{1}+n_{3}\,\!}$ ${\displaystyle n_{2}+n_{4}\,\!}$

${\displaystyle {\text{linking number}}\,=\,n_{1}-n_{4}\,=\,n_{2}-n_{3}.}$

この式には、青い曲線と赤い曲線の交差のみが含まれ、 には、交差のみが含まれま す。 ${\displaystyle n_{1}-n_{4}}$ ${\displaystyle n_{2}-n_{3}}$

プロパティと例

ホワイトヘッドリンクの 2 つの曲線のリンク数は 0 です。

• 連結されていない2つの曲線の連結数は0です。ただし、連結数が0の2つの曲線が連結されている場合もあります（例：ホワイトヘッド連結）。
• どちらかの曲線の方向を反転するとリンク数は反転しますが、両方の曲線の方向を反転してもリンク数は変化しません。
• 連結数はキラルです。つまり、連結数の鏡像は連結数を反転します。連結数が正の場合の規則は右手の法則に基づいています。
• x - y平面内の有向曲線の巻数は、 z軸との接続数に等しくなります( z軸を3 次元球面内の閉じた曲線と考えると)。
• より一般的には、どちらかの曲線が単純であれば、その補曲線の最初のホモロジー群はZと同型である。この場合、連結数はもう一方の曲線のホモロジー類によって決定される。
• 物理学では、リンク数はトポロジカル量子数の一例です。

ガウスの積分定義

二つの交差しない微分可能曲線が与えられているとき、トーラスから球面へのガウス写像を次のように 定義する。 ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma (s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|}}}$

単位球面上の点vを選び、リンクをvに垂直な平面に正射影するとリンク図が得られるようにします。ガウス写像の下でvに向かう点 ( s , t ) は、が 上にあるリンク図の交差点に対応することに注意してください。また、 ( s , t )の近傍は、ガウス写像の下で、交差点の符号に依存して方向を維持または反転しながら、 vの近傍にマッピングされます。したがって、 vに対応する図のリンク数を計算するには、ガウス写像がvを覆う符号付きの回数を数えるだけで十分です。vは正則値であるため、これはまさにガウス写像の次数(つまり、 Γ の像が球を覆う符号付きの回数) です。次数はホモトピック写像の下で不変であるため、リンク数のアイソトピー不変性は自動的に得られます。他の正則値でも同じ数になるため、リンク数は特定のリンク図に依存しません。 ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$

γ ₁とγ ₂の連結数のこの定式化により、二重線積分、すなわちガウス連結積分 として明示的な式が可能になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {link} (\gamma _{1},\gamma _{2})&={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2})\\[4pt]&={\frac {1}{4\pi }}\int _{S^{1}\times S^{1}}{\frac {\det \left({\dot {\gamma }}_{1}(s),{\dot {\gamma }}_{2}(t),\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)\right)}{\left|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)\right|^{3}}}\,ds\,dt\end{aligned}}}$

この積分は、ガウス マップのイメージの合計符号付き面積 (積分対象はΓ のヤコビアン) を計算し、それを球の面積 (4 π ) で割ります。

量子場理論では

場の量子論において、ガウスの積分定義はチャーン＝サイモンズゲージ理論におけるウィルソンループ観測量の期待値を計算するときに生じる。具体的には、三次元多様体上のゲージポテンシャル1形式に対するアーベルチャーン＝サイモンズ作用は次のように与えられる。 ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle S_{CS}={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}A\wedge dA}$

我々は、チャーン・サイモンズ方程式のファインマン経路積分を次のように計算することに興味がある。 ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle Z[\gamma _{1},\gamma _{2}]=\int {\mathcal {D}}A_{\mu }\exp \left({\frac {ik}{4\pi }}\int d^{3}x\varepsilon ^{\lambda \mu \nu }A_{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }+i\int _{\gamma _{1}}dx^{\mu }\,A_{\mu }+i\int _{\gamma _{2}}dx^{\mu }\,A_{\mu }\right)}$

ここで、は反対称記号です。理論はガウス分布に従うため、紫外正規化や繰り込みは必要ありません。したがって、右辺の位相不変性により、経路積分の結果は位相不変量となります。残された唯一のことは、全体の正規化係数を与えることであり、そうすれば自然な選択が提示されます。理論はガウス分布かつアーベル分布に従うため、経路積分は、理論を古典的に解き、 を に代入するだけで行えます。 ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle A}$

古典的な運動方程式は

${\displaystyle \varepsilon ^{\lambda \mu \nu }\partial _{\mu }A_{\nu }={\frac {2\pi }{k}}J^{\lambda }}$

ここで、チャーン・サイモンズ場をラグランジアンに項を持つ音源と結合させています。明らかに、適切な を代入すればウィルソンループが得られます。3次元なので、運動方程式をより馴染みのある表記法で書き直すことができます。 ${\displaystyle -J_{\mu }A^{\mu }}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\frac {2\pi }{k}}{\vec {J}}}$

両辺の回転を取り、ローレンツゲージ を選択すると、方程式は次のようになる。 ${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}=-{\frac {2\pi }{k}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}}$

静電気学から考えると、解決策は

${\displaystyle A_{\lambda }({\vec {x}})={\frac {1}{2k}}\int d^{3}{\vec {y}}\,{\frac {\varepsilon _{\lambda \mu \nu }\partial ^{\mu }J^{\nu }({\vec {y}})}{|{\vec {x}}-{\vec {y}}|}}}$

任意の経路積分は、これをチャーン・サイモンズ作用に代入することで簡単に計算でき、場の有効作用が得られる。ウィルソンループの経路積分を得るには、閉ループ内を運動する2つの粒子を記述する源、すなわち を代入する。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J=J_{1}+J_{2}}$

${\displaystyle J_{i}^{\mu }(x)=\int _{\gamma _{i}}dx_{i}^{\mu }\delta ^{3}(x-x_{i}(t))}$

有効作用は において2次関数なので、粒子の自己相互作用を記述する項が存在することは明らかであるが、これらの項はループが1つしかない場合でも存在するため、あまり重要ではない。したがって、経路積分をこれらの項を正確に打ち消す係数で正規化する。代数的に考えると、次式が得られる。 ${\displaystyle J}$

${\displaystyle Z[\gamma _{1},\gamma _{2}]=\exp {\left({\frac {2\pi i}{k}}\Phi [\gamma _{1},\gamma _{2}]\right)},}$

どこ

${\displaystyle \Phi [\gamma _{1},\gamma _{2}]={\frac {1}{4\pi }}\int _{\gamma _{1}}dx^{\lambda }\int _{\gamma _{2}}dy^{\mu }\,{\frac {(x-y)^{\nu }}{|x-y|^{3}}}\varepsilon _{\lambda \mu \nu },}$

これは単にガウスの連結積分である。これは位相的量子場理論の最も単純な例であり、経路積分によって位相不変量が計算される。これはまた、チャーン＝サイモンズ理論の非可換変種が他の結び目不変量を計算することを示唆し、エドワード・ウィッテンによって、非可換理論がジョーンズ多項式として知られる不変量を与えることが明示的に示された。^[3]

チャーン＝サイモンズゲージ理論は3次元時空に存在する。より一般的には、高次元の位相的量子場理論が存在する。4次元ゲージ理論のより複雑な多重ループ／ストリングブレイディング統計は、4次元時空におけるエキゾチックな位相的量子場理論のリンク不変量によって捉えられる。^[4]

一般化

ミルナー不変量は、連結数を 3 つ以上のコンポーネントを持つ連結に一般化し、任意の 2 つのコンポーネントの連結数が 0 であっても、ボロミアン環が連結されていることを証明できるようにします。

• 閉曲線が3次元で連結できるのと同様に、 m次元とn次元の任意の2つの閉多様体は、次元ユークリッド空間で連結できます。このような連結にはガウス写像が関連しており、その次数は連結数の一般化となります。 ${\displaystyle m+n+1}$
• 任意の枠付き結び目は、結び目Cと、枠付きベクトルに沿ってCの点をわずかに移動させることで得られる新しい曲線との結び目Cの結び目数を計算することで得られる自己結び目数を持つ。黒板枠に沿って垂直方向に移動させることで得られる自己結び目数は、カウフマンの自己結び目数と呼ばれる。
• リンク数は 2 つのリンクされた円に対して定義されます。3 つ以上の円がある場合、リンク数を一般化する数値不変量であるミルナー不変量を定義できます。
• 代数的位相幾何学において、カップ積はリンク数の広範囲にわたる代数的一般化であり、マッセイ積はミルノア不変量の代数的類似物である。
• 無向グラフのリンクレス埋め込みとは、2つの閉路ごとにリンク数が0となるような3次元空間への埋め込みです。リンクレス埋め込みを持つグラフは、ピーターセン族マイナーを持たないグラフと同様に、禁制マイナー特性を持ちます。

参照

• 微分可能曲線 – 微分的な観点からの曲線の研究
• ホップ不変量 – n次元球面間の写像のホモトピー不変量
• キスナンバー – 幾何学的概念
• もがく – 結び目図の不変量

注記

1. これは結び目のねじれを計算するために使用されるのと同じラベル付けですが、この場合はリンクの両方の曲線を含む交差点のみにラベル付けします。
2. これは、どちらかの曲線が単純である場合、ジョルダン曲線定理から導かれます。例えば、青い曲線が単純である場合、 n ₁  +  n ₃とn ₂  +  n ₄は、赤い曲線が青い曲線で囲まれた領域に出入りする回数を表します。
3. Witten, E. (1989). 「量子場理論とジョーンズ多項式」. Comm. Math. Phys . 121 (3): 351– 399. Bibcode :1989CMaPh.121..351W. doi :10.1007/bf01217730. MR  0990772. Zbl  0667.57005.
4. Putrov, Pavel; Wang, Juven; Yau, Shing-Tung (2017年9月). 「2+1次元および3+1次元におけるボソン／フェルミオントポロジカル量子物質の編組統計とリンク不変量」Annals of Physics . 384C : 254– 287. arXiv : 1612.09298 . Bibcode :2017AnPhy.384..254P. doi :10.1016/j.aop.2017.06.019.

参考文献

• AV Chernavskii (2001) [1994]、「連結係数」、数学百科事典、EMS Press
• AV Chernavskii (2001) [1994]、「蠢く数」、Encyclopedia of Mathematics、EMS Press

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