Key result in Hamiltonian mechanics and statistical mechanics
物理学 において 、 フランスの数学者 ジョゼフ・リウヴィルにちなんで名付けられた リウヴィルの定理は、古典 統計力学 および ハミルトン力学 における重要な定理である 。この定理は、 位相 空間 分布関数が 系の 軌跡 に沿って一定であること、すなわち、位相空間を移動する任意の系点の近傍における系点の密度が時間に対して一定であることを主張する。この時間に依存しない密度は、統計力学において古典 事前確率 として知られている。 [1]
リウヴィルの定理は、 保存系、つまり 摩擦 の効果が 存在しないか無視できる系に適用されます。このような系の一般的な数学的定式化は、 測度保存力学系 です。リウヴィルの定理は、位置と運動量として解釈できる自由度がある場合に適用されます。すべての測度保存力学系がこれらを持っているわけではありませんが、ハミルトニアン系は持っています。共役な位置座標と運動量座標の一般的な設定は、 シンプレクティック幾何学 の数学的設定で使用できます。リウヴィルの定理は 、粒子の総数が時間とともに変化したり、エネルギーが 内部自由度に移動したりする 化学反応 の可能性を無視しています。すべてのシンプレクティック マップ (ハミルトニアンはシンプレクティック マップです) に適用される 非スクイージング定理 は、体積/密度/測度の保存を超えて、位相空間フローにさらなる制限を課すことを意味します。リウヴィルの定理には、確率システムを含む様々な一般化された設定をカバーするための拡張があります。 [2]
リウヴィル方程式 位相空間 における 古典 系集団の発展 （上）。各系は、1次元 ポテンシャル井戸内の1つの質量を持つ粒子から構成される（下図の赤い曲線）。集団内の個々の粒子の運動は ハミルトン方程式 で与えられるが 、リウヴィル方程式は分布全体の流れを記述する。この運動は、非圧縮性流体中の染料に類似している。 リウヴィル方程式は、位相空間 分布関数 の時間発展を記述する 。この方程式は一般に「リウヴィル方程式」と呼ばれるが、 統計力学の基礎方程式としてこの方程式の重要性を初めて認識したのは ジョサイア・ウィラード・ギブスである。 [3] [4] この方程式がリウヴィル方程式と呼ばれるのは、非標準系における導出に、1838年にリウヴィルが初めて導出した恒等式を利用しているからである。 [5] [6]
正準座標 と 共役運動量 を持つ ハミルトン力学系 を考える。 ここで 、位相空間分布は、系が 時刻 における 無限小位相空間体積内に見つかる 確率を決定する。 リウヴィル方程式 は 、 q i {\displaystyle q_{i}} p i {\displaystyle p_{i}} i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} ρ ( p , q , t ) {\displaystyle \rho (p,q,t)} ρ ( p , q , t ) d n q d n p {\displaystyle \rho (p,q,t)\;\mathrm {d} ^{n}q\,\mathrm {d} ^{n}p} d n q d n p {\displaystyle \mathrm {d} ^{n}q\,\mathrm {d} ^{n}p} t . {\displaystyle t.}
∂ ρ ∂ t + ∑ i = 1 n ( ∂ ρ ∂ q i q ˙ i + ∂ ρ ∂ p i p ˙ i ) = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}\right)=0.}
時間微分は点で示され、系に対する ハミルトン方程式 に従って評価されます。この方程式は位相空間における密度保存則（ ギブス が定理に付けた名前）を示しています。リウヴィルの定理は以下を述べています。
分布関数は位相空間内の任意の軌道に沿って一定です。
リウヴィルの定理の証明には、 n 次元発散定理 が用いられる。この証明は、 の発展が 連続方程式 の 2n 次元版に従うという事実に基づいている 。 ρ {\displaystyle \rho }
∂ ρ ∂ t + ∇ → ⋅ ( ρ u → ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot (\rho {\vec {u}})=0}
はと の「速度」ベクトルである 。 上式は、位相空間内の小さな体積内の全確率の変化が、その体積への、あるいは体積からの確率密度の正味の流束に等しいことを意味する。 上式に を代入すると、 u → = ( q ˙ 1 , q ˙ 2 , … , q ˙ n , p ˙ 1 , p ˙ 2 , . . . , p ˙ n ) {\displaystyle {\vec {u}}=({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\dots ,{\dot {q}}_{n},{\dot {p}}_{1},{\dot {p}}_{2},...,{\dot {p}}_{n})} p i {\displaystyle p_{i}} q i {\displaystyle q_{i}} u → {\displaystyle {\vec {u}}}
∂ ρ ∂ t + ∑ i = 1 n ( ∂ ( ρ q ˙ i ) ∂ q i + ∂ ( ρ p ˙ i ) ∂ p i ) = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial (\rho {\dot {q}}_{i})}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial (\rho {\dot {p}}_{i})}{\partial p_{i}}}\right)=0.}
つまり、3組は 保存された電流 である 。上記の式は、次の恒等式に基づいてリウヴィルの式に簡約できる。 ( ρ , ρ q ˙ i , ρ p ˙ i ) {\displaystyle (\rho ,\rho {\dot {q}}_{i},\rho {\dot {p}}_{i})}
ρ ∑ i = 1 n ( ∂ q ˙ i ∂ q i + ∂ p ˙ i ∂ p i ) = ρ ∑ i = 1 n ( ∂ 2 H ∂ q i ∂ p i − ∂ 2 H ∂ p i ∂ q i ) = 0 , {\displaystyle \rho \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{i}}{\partial p_{i}}}\right)=\rho \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\,\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}\right)=0,}
ここで はハミルトニアンであり、 と の関係式を用いている 。 リウヴィル方程式の導出は、位相空間における運動をシステム点の「流体の流れ」として捉えることができる。 密度の 対流微分 が ゼロであるという定理は、位相空間における「速度場」が発散ゼロであること（これはハミルトンの関係式から導かれる）に注目することで、連続の方程式から導かれる 。 [7] H {\displaystyle H} q ˙ i = ∂ H / ∂ p i {\displaystyle {\dot {q}}_{i}=\partial H/\partial p_{i}} p ˙ i = − ∂ H / ∂ q i {\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-\partial H/\partial {q_{i}}} d ρ / d t {\displaystyle d\rho /dt} ( p ˙ , q ˙ ) {\displaystyle ({\dot {p}},{\dot {q}})}
ポアソン括弧 上記の定理は、 ポアソン括弧 を使って次のよう
に言い換えられることが多い 。あるいは、線形 リウヴィル作用素 、 リウヴィル作用素 を使って
次のよう
に言い換えられることもある 。 ∂ ρ ∂ t = { H , ρ } {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\{H,\rho \}} i L ^ = ∑ i = 1 n [ ∂ H ∂ p i ∂ ∂ q i − ∂ H ∂ q i ∂ ∂ p i ] = − { H , ∙ } {\displaystyle \mathrm {i} {\widehat {\mathbf {L} }}=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right]=-\{H,\bullet \}} ∂ ρ ∂ t + i L ^ ρ = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\mathrm {i} {\widehat {\mathbf {L} }}}\rho =0.}
エルゴード理論 エルゴード理論 と 力学系 においては 、これまで述べてきた物理的考察に基づき、リウヴィルの定理とも呼ばれる対応する結果が得られる。 ハミルトン力学 においては、位相空間は滑らかな 測度 （局所的には、この測度は6n 次元 ルベーグ 測度 ）を自然に備えた 滑らかな多様体 である。この定理によれば、この滑らかな測度は ハミルトン流 に対して不変である。より一般的には、滑らかな測度が流に対して不変であるための必要十分条件を記述することができる。 [8] ハミルトンの場合もこの系となる。
シンプレクティック幾何学 リウヴィルの定理はシンプレクティック幾何学 を用いて定式化することもできる。与えられた系に対して、 特定のハミルトニアンの 位相空間をシンプレクティック 2次元形式 を持つ 多様体として考えることができる。 ( q μ , p μ ) {\displaystyle (q^{\mu },p_{\mu })} H {\displaystyle H} ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )}
ω = d p μ ∧ d q μ . {\displaystyle \omega =dp_{\mu }\wedge dq^{\mu }.} 私たちの多様体の体積 形式は 、シンプレクティック 2 形式の上部 外部冪 であり、上で説明した位相空間上の測度の別の表現にすぎません。
位相空間 シンプレクティック多様体 上では、関数によって生成される ハミルトンベクトル場を 次のように 定義できる。 f ( q , p ) {\displaystyle f(q,p)}
X f = ∂ f ∂ p μ ∂ ∂ q μ − ∂ f ∂ q μ ∂ ∂ p μ . {\displaystyle X_{f}={\frac {\partial f}{\partial p_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial q^{\mu }}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial p_{\mu }}}.}
具体的には、 生成関数 がハミルトニアン自身で ある
場合、 f ( q , p ) = H {\displaystyle f(q,p)=H}
X H = ∂ H ∂ p μ ∂ ∂ q μ − ∂ H ∂ q μ ∂ ∂ p μ = d q μ d t ∂ ∂ q μ + d p μ d t ∂ ∂ p μ = d d t {\displaystyle X_{H}={\frac {\partial H}{\partial p_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial q^{\mu }}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial p_{\mu }}}={\frac {dq^{\mu }}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q^{\mu }}}+{\frac {dp^{\mu }}{dt}}{\frac {\partial }{\partial p_{\mu }}}={\frac {d}{dt}}}
ここではハミルトンの運動方程式と連鎖律の定義を利用した。 [9]
この形式論では、リウヴィルの定理は、体積形式の リー微分 がによって生成される流れに沿ってゼロになることを述べている 。つまり、 2n次元シンプレクティック多様体の場合、 X H {\displaystyle X_{H}} ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )}
L X H ( ω n ) = 0. {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}(\omega ^{n})=0.}
実際、シンプレクティック構造 自体も保存されており、その外積の頂点のべき乗も保存されている。つまり、リウヴィルの定理は [10] ω {\displaystyle \omega }
L X H ( ω ) = 0. {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}(\omega )=0.}
量子リウヴィル方程式 量子力学 におけるリウヴィル方程式の類似物は、 混合状態 の時間発展を記述する 。 正準量子化は 、この定理の量子力学的版である フォン・ノイマン方程式 を与える。古典系の量子類似物を考案する際にしばしば用いられるこの手順は、ハミルトン力学を用いて古典系を記述することを伴う。古典変数は量子演算子として再解釈され、ポアソン括弧は 交換子 に置き換えられる。この場合、結果として得られる方程式は [11] [12] であり
、ρは 密度行列 である。 ∂ ρ ∂ t = 1 i ℏ [ H , ρ ] , {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],}
観測 可能な 期待値 に適用すると 、対応する式は エーレンフェストの定理 によって与えられ、次の形になる。
d d t ⟨ A ⟩ = − 1 i ℏ ⟨ [ H , A ] ⟩ , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle [H,A]\rangle ,}
ここで は観測可能な値です。符号の違いに注意してください。これは、演算子が定常であり、状態が時間依存であるという仮定から生じます。 A {\displaystyle A}
量子力学の 位相空間定式化 において、 フォン・ノイマン方程式の位相空間アナログにおいて、ポアソン 括弧を モヤル括弧 に置き換えると、 確率流体が圧縮性となり 、リウヴィルの定理の非圧縮性が破れる。その結果、意味のある量子軌道を定義することが困難になる。 [13]
例
単振動子位相空間体積 単振動子（SHO）の位相空間の時間発展。ここでは を取り 、領域 について考察する 。 m = ω = 1 {\displaystyle m=\omega =1} p , q ∈ [ − 1 , 1 ] {\displaystyle p,q\in [-1,1]} 三次元の粒子系を考え 、粒子の発展のみに注目する 。位相空間内では、これらの 粒子は次式で表される微小体積を占める。 N {\displaystyle N} d N {\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {N}}} d N {\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {N}}}
d Γ = ∏ i = 1 N d 3 p i d 3 q i . {\displaystyle \mathrm {d} \Gamma =\displaystyle \prod _{i=1}^{N}d^{3}p_{i}d^{3}q_{i}.}
時間を通して同じままでい たいと思うので、 系の軌道に沿っては一定です。粒子が微小な時間ステップで進化すると 、各粒子の位相空間の位置は次のように変化します。 d N d Γ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathcal {N}}}{\mathrm {d} \Gamma }}} ρ ( Γ , t ) {\displaystyle \rho (\Gamma ,t)} δ t {\displaystyle \delta t}
{ q i ′ = q i + q i ˙ δ t , p i ′ = p i + p i ˙ δ t , {\displaystyle {\begin{cases}q_{i}'=q_{i}+{\dot {q_{i}}}\delta t,\\p_{i}'=p_{i}+{\dot {p_{i}}}\delta t,\end{cases}}}
ここで 、とはそれぞれ と を表し 、項は についてのみ線形である 。これを無限小超立方体に拡張すると 、辺の長さは次のように変化する。 q i ˙ {\displaystyle {\dot {q_{i}}}} p i ˙ {\displaystyle {\dot {p_{i}}}} d q i d t {\displaystyle {\frac {dq_{i}}{dt}}} d p i d t {\displaystyle {\frac {dp_{i}}{dt}}} δ t {\displaystyle \delta t} d Γ {\displaystyle \mathrm {d} \Gamma }
d q i ′ = d q i + ∂ q i ˙ ∂ q i d q i δ t , d p i ′ = d p i + ∂ p i ˙ ∂ p i d p i δ t . {\displaystyle {\begin{aligned}dq_{i}'=dq_{i}+{\tfrac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}dq_{i}\delta t,\\[2pt]dp_{i}'=dp_{i}+{\tfrac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}dp_{i}\delta t.\end{aligned}}}
新たな無限小位相空間体積 を求めるには 、上記の量の積が必要です。まず を整列させると 、以下の式が得られます。 d Γ ′ {\displaystyle \mathrm {d} \Gamma '} δ t {\displaystyle \delta t}
d q i ′ d p i ′ = d q i d p i [ 1 + ( ∂ q i ˙ ∂ q i + ∂ p i ˙ ∂ p i ) δ t ] . {\displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}\right)\delta t\right].}
これまでのところ、我々のシステムについてはまだ何も規定していません。ここで次元等方性調和振動子の場合に特化してみましょう。つまり、我々の集団内の各粒子は 単純な調和振動子 として扱うことができます 。このシステムのハミルトニアンは次のように与えられます。 N {\displaystyle N} 3 {\displaystyle 3}
H = ∑ i = 1 3 N ( 1 2 m p i 2 + m ω 2 2 q i 2 ) . {\displaystyle H=\sum _{i=1}^{3N}\left({\frac {1}{2m}}p_{i}^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}q_{i}^{2}\right).}
上記のハミルトニアンにハミルトン方程式を適用すると、括弧内の項は必ずゼロとなり、
d q i ′ d p i ′ = d q i d p i . {\displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}.}
これから位相空間の無限小体積を求めることができます。
d Γ ′ = ∏ i = 1 N d 3 q i ′ d 3 p i ′ = ∏ i = 1 N d 3 q i d 3 p i = d Γ . {\displaystyle \mathrm {d} \Gamma '=\prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}'d^{3}p_{i}'=\prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}d^{3}p_{i}=\mathrm {d} \Gamma .}
こうして、我々は最終的に、無限小位相空間の体積は変化しないことを発見し、
ρ ( Γ ′ , t + δ t ) = d N d Γ ′ = d N d Γ = ρ ( Γ , t ) , {\displaystyle \rho (\Gamma ',t+\delta t)={\frac {\mathrm {d} {\mathcal {N}}}{\mathrm {d} \Gamma '}}={\frac {\mathrm {d} {\mathcal {N}}}{\mathrm {d} \Gamma }}=\rho (\Gamma ,t),}
リウヴィルの定理がこの系に当てはまることを証明する。 [14]
位相空間の体積が時間とともに実際にどのように変化するかという疑問が残る。上では、全体積が保存されることを示したが、それがどのように見えるかについては何も述べていない。単一粒子の場合、位相空間におけるその軌道は定数の楕円で与えられることがわかる 。具体的には、系に対するハミルトン方程式を解くと、 H {\displaystyle H}
q i ( t ) = Q i cos ω t + P i m ω sin ω t , p i ( t ) = P i cos ω t − m ω Q i sin ω t , {\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}(t)&=Q_{i}\cos {\omega t}+{\frac {P_{i}}{m\omega }}\sin {\omega t},\\p_{i}(t)&=P_{i}\cos {\omega t}-m\omega Q_{i}\sin {\omega t},\end{aligned}}}
ここで 、およびは、 -番目の粒子 の初期位置と運動量を表す 。複数の粒子からなる系では、各粒子は、粒子のエネルギーに対応する楕円を描く位相空間軌道を描く。楕円が描かれる周波数は、エネルギー差とは無関係に、ハミルトニアンにおける によって与えられる。結果として、位相空間の領域は 、周波数が に依存する 点を中心に回転する 。 [15] これは上のアニメーションで確認できる。 Q i {\displaystyle Q_{i}} P i {\displaystyle P_{i}} i {\displaystyle i} ω {\displaystyle \omega } ( q , p ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=(0,0)} ω {\displaystyle \omega }
減衰調和振動子 減衰調和振動子の位相空間体積の発展。パラメータの値はSHOの場合と同じであり、 とする 。 γ = 0.5 ( α = 0.25 ) {\displaystyle \gamma =0.5\ (\alpha =0.25)} リウヴィルの定理が適用されない 例を見るために 、単振動子の運動方程式を、摩擦や減衰の影響を考慮して修正することができます。次元等方性調和ポテンシャルを 持つ各粒子系を再び考えてみ ましょう。このハミルトニアンは前の例で与えられています。今回は、各粒子が摩擦力 を受けるという条件を追加します。 ここで は摩擦の大きさを規定する正の定数です。これは 非保存力 であるため、ハミルトン方程式を次のように拡張する必要があります。 N {\displaystyle N} 3 {\displaystyle 3} − γ p i {\displaystyle -\gamma p_{i}} γ {\displaystyle \gamma }
q i ˙ = − ∂ H ∂ p i , p i ˙ = − ∂ H ∂ q i − γ p i . {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q_{i}}}&={\hphantom {-}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\\[4pt]{\dot {p_{i}}}&=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}-\gamma p_{i}.\end{aligned}}}
単振動子の運動方程式とは異なり、これらの修正方程式はハミルトン方程式の形をとらないため、リウヴィルの定理が成立するとは考えられません。その代わりに、このセクションのアニメーションに示されているように、一般的な位相空間の体積は、これらの運動方程式の下で発展するにつれて縮小します。
リウヴィルの定理のこの破れを明示的に見るために、減衰のない調和振動子の場合と非常によく似た手順に従うと、再び次の式が得られる。
d q i ′ d p i ′ = d q i d p i [ 1 + ( ∂ q i ˙ ∂ q i + ∂ p i ˙ ∂ p i ) δ t ] . {\displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}\right)\delta t\right].}
修正したハミルトン方程式を代入すると、
d q i ′ d p i ′ = d q i d p i [ 1 + ( ∂ 2 H ∂ q i ∂ p i − ∂ 2 H ∂ p i ∂ q i − γ ) δ t ] , = d q i d p i [ 1 − γ δ t ] . {\displaystyle {\begin{aligned}dq_{i}'dp_{i}'&=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}-\gamma \right)\delta t\right],\\[1ex]&=dq_{i}dp_{i}\left[1-\gamma \delta t\right].\end{aligned}}}
新しい無限小位相空間体積を計算し、第 1 次だけを維持すると、 次の結果が得られます。 δ t {\displaystyle \delta t}
d Γ ′ = ∏ i = 1 N d 3 q i ′ d 3 p i ′ = [ 1 − γ δ t ] 3 N ∏ i = 1 N d 3 q i d 3 p i = d Γ [ 1 − 3 N γ δ t ] . {\displaystyle \mathrm {d} \Gamma '=\prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}'d^{3}p_{i}'=\left[1-\gamma \delta t\right]^{3N}\prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}d^{3}p_{i}=\mathrm {d} \Gamma \left[1-3N\gamma \delta t\right].}
無限小位相空間の体積はもはや一定ではなく、したがって位相空間の密度は保存されないことが分かりました。方程式からわかるように、時間の経過とともに摩擦が系に影響を及ぼすにつれて、位相空間の体積はゼロに減少することが予想されます。
位相空間体積が時間とともにどのように変化するかについては、減衰がない場合と同様に、回転は一定のままです。しかし、減衰によって各楕円の半径は着実に減少します。ここでも、ハミルトン方程式を用いて軌道を明示的に解くことができます。ただし、上記の修正された方程式を用いることに注意してください。 便宜上、 α ≡ γ / 2 {\displaystyle \alpha \equiv {\gamma }/{2}}
q i ( t ) = e − α t [ Q i cos ω 1 t + B i sin ω 1 t ] ω 1 ≡ ω 2 − α 2 , p i ( t ) = e − α t [ P i cos ω 1 t − m ( ω 1 Q i + 2 α B i ) sin ω 1 t ] B i ≡ 1 ω 1 ( P i m + 2 α Q i ) , {\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}(t)&=e^{-\alpha t}\left[Q_{i}\cos {\omega _{1}t}+B_{i}\sin {\omega _{1}t}\right]&&\omega _{1}\equiv {\sqrt {\omega ^{2}-\alpha ^{2}}},\\[1ex]p_{i}(t)&=e^{-\alpha t}\left[P_{i}\cos {\omega _{1}t}-m(\omega _{1}Q_{i}+2\alpha B_{i})\sin {\omega _{1}t}\right]&&B_{i}\equiv {\frac {1}{\omega _{1}}}\left({\frac {P_{i}}{m}}+2\alpha Q_{i}\right),\end{aligned}}}
ここで、値 と は、 - 番目の粒子 の初期位置と運動量を表します 。系が発展するにつれて、位相空間全体の体積は原点に向かって螺旋状に収束していきます。これは上の図に示されています。 Q i {\displaystyle Q_{i}} P i {\displaystyle P_{i}} i {\displaystyle i}
参照
参考文献 ^ Harald JW Müller-Kirsten, 統計物理学の基礎, 第2版, World Scientific (シンガポール, 2013) ^ 久保良悟 (1963-02-01). 「確率的リウヴィル方程式」. 数理物理学ジャーナル . 4 (2): 174– 183. Bibcode :1963JMP.....4..174K. doi :10.1063/1.1703941. ISSN 0022-2488. ^ JWギブス、「統計力学の基本公式について、天文学と熱力学への応用」アメリカ科学振興協会紀要、 33、57-58 （1884年）。J ・ウィラード・ギブスの科学論文集第2巻 （1906年）、16ページ に転載。 ^ ギブス、ジョサイア・ウィラード (1902). 『統計力学の基本原理 』 ニューヨーク: チャールズ・スクリブナー・サンズ . ^ ジョゼフ・リウヴィル (1838)。 「任意の定数の変動に関する理論」 (PDF) 。 Journal de mathématiques pures et appliquées 。 3 ： 342～ 349。 ^ エーレンドルファー、マーティン. 「リウヴィル方程式：背景と歴史的背景」. 大気予測におけるリウヴィル方程式 (PDF) . pp. 48– 49. ^ Harald JW Müller-Kirsten、「量子力学入門：シュレーディンガー方程式と経路積分」、第2版、World Scientific（シンガポール、2012年）。 ^ Nadkarni, MG (2013). 『基礎エルゴード理論』（第3版）. ニューデリー: Hindustan Book Agency. p. 149. ISBN 978-93-86279-53-8 . 2025年 2月14日 閲覧 。 ^ 中原幹雄 (2003). 幾何学、トポロジー、および物理学 (第 2 版)。テイラー＆フランシスグループ。ページ 201–204。ISBN 978-0-7503-0606-5 。 ^ ab Nash, Oliver (2015年1月8日). 「リウヴィルの定理を衒学者のために」 (PDF) . 現代の微分幾何学の言語を使用してリウヴィルの定理を証明します。 ^ 開放量子系理論 、BreuerとPetruccione著、110ページ。 ^ 統計力学 、シュヴァーブル著、16ページ。 ^ Oliva, Maxime; Kakofengitis, Dimitris; Steuernagel, Ole (2018). 「非調和量子力学系は位相空間軌道を特徴としない」. Physica A: 統計力学とその応用 . 502 : 201–210 . arXiv : 1611.03303 . Bibcode :2018PhyA..502..201O. doi :10.1016/j.physa.2017.10.047. S2CID 53691877. ^ カルダール、メラン (2007). 粒子の統計物理学 . ケンブリッジ大学出版局. pp. 59– 60. ISBN 978-0-521-87342-0 。 ^ イーストマン、ピーター (2014–2015). 「位相空間確率の進化」 ^ 特に明確な導出については、 Tolman, RC (1979). The Principles of Statistical Mechanics. Dover. pp. 48– 51. ISBNを参照のこと。 9780486638966 。 ^ 「位相空間とリウヴィルの定理」 。 2014年 1月6日 閲覧 。 このWikipediaの記事の証明とほぼ同じです。n次元 連続方程式 を仮定しています（証明なし） 。 ^ 「位相空間体積の保存とリウヴィルの定理」 。 2014年 1月6日 閲覧 。 ヤコビアン体積要素がハミルトン力学のもとでどのように変換されるかに基づく厳密な証明。 ^ 「物理学127a: 授業ノート」 (PDF) . 2014年 1月6日 閲覧 。 n 次元発散定理を使用します (証明なし)。 ^ ab Schwartz, SJ, Daly, PW, and Fazakerley, AN, 1998, Multi-Spacecraft Analysis of Plasma Kinetics, in Analysis Methods for Multi-Spacecraft Data , edited by G. Paschmann and PW Daly, no. SR-001 in ISSI Scientific Reports, chap. 7, pp. 159–163, ESA Publ. Div., Noordwijk, Netherlands.
さらに読む Murugeshan, R. 現代物理学 . S. Chand. ミスナー、ソーン、ホイーラー (1973). 「曲がった時空における運動論」. 重力 . フリーマン. pp. 583– 590. ISBN 9781400889099 。
外部リンク 
![{\displaystyle \mathrm {i} {\widehat {\mathbf {L} }}=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right]=-\{H,\bullet \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da659abeedc93709fe4bdc78540497939b194953)
![{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67196c54113547552f694ce8b600fea151e9c017)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle [H,A]\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/802ee0a24d9a589e0f7dbf33122bee4b96c753dc)
![{\displaystyle p,q\in [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c9cbe5be904d3f29f2310d353cb57e255fb409)
![{\displaystyle {\begin{aligned}dq_{i}'=dq_{i}+{\tfrac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}dq_{i}\delta t,\\[2pt]dp_{i}'=dp_{i}+{\tfrac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}dp_{i}\delta t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd83eba9f8a5bf404ba48784d3e97e3947a42d67)
![{\displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}\right)\delta t\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b1e418655a7d78d956010fe7dd294e25a836c8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q_{i}}}&={\hphantom {-}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\\[4pt]{\dot {p_{i}}}&=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}-\gamma p_{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bdf51624d2d22ac99ac651e42b8aafefa8dec5b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}dq_{i}'dp_{i}'&=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}-\gamma \right)\delta t\right],\\[1ex]&=dq_{i}dp_{i}\left[1-\gamma \delta t\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2dd9ae2a07aa08abeefb380192f577923a8af5d)
![{\displaystyle \mathrm {d} \Gamma '=\prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}'d^{3}p_{i}'=\left[1-\gamma \delta t\right]^{3N}\prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}d^{3}p_{i}=\mathrm {d} \Gamma \left[1-3N\gamma \delta t\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1fdf42974de3492efc2bc927f15e1c188d604dc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}(t)&=e^{-\alpha t}\left[Q_{i}\cos {\omega _{1}t}+B_{i}\sin {\omega _{1}t}\right]&&\omega _{1}\equiv {\sqrt {\omega ^{2}-\alpha ^{2}}},\\[1ex]p_{i}(t)&=e^{-\alpha t}\left[P_{i}\cos {\omega _{1}t}-m(\omega _{1}Q_{i}+2\alpha B_{i})\sin {\omega _{1}t}\right]&&B_{i}\equiv {\frac {1}{\omega _{1}}}\left({\frac {P_{i}}{m}}+2\alpha Q_{i}\right)、\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdfd3a0e87851c1ee043f09f128a31e0586a3041)
