対数正規分布

Probability distribution

対数正規分布
確率密度関数 同一のパラメータだが、異なるパラメータ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$
累積分布関数 ${\displaystyle \mu =0}$
表記	${\displaystyle \operatorname {Lognormal} \left(\mu ,\,\sigma ^{2}\right)}$
パラメータ	${\displaystyle \mu \in (-\infty ,+\infty )}$（位置の対数）、 ${\displaystyle \sigma >0}$（スケールの対数）
サポート	${\displaystyle x\in (0,+\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {\left(\ln x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
CDF	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]\\[1ex]&=\Phi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}\end{aligned}}}$
四分位数	${\displaystyle {\begin{aligned}&\exp \left(\mu +{\sqrt {2\sigma ^{2}}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)\right)\\[1ex]&=\exp(\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p))\end{aligned}}}$
平均	${\displaystyle \exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)}$
中央値	${\displaystyle \exp(\mu )}$
モード	${\displaystyle \exp \left(\mu -\sigma ^{2}\right)}$
分散	${\displaystyle \left[\exp(\sigma ^{2})-1\right]\exp \left(2\mu +\sigma ^{2}\right)}$
歪度	${\displaystyle \left[\exp \left(\sigma ^{2}\right)+2\right]{\sqrt {\exp(\sigma ^{2})-1}}}$
過剰尖度	${\displaystyle \exp \left(4\sigma ^{2}\right)+2\exp \left(3\sigma ^{2}\right)+3\exp \left(2\sigma ^{2}\right)-6}$
エントロピ	${\displaystyle \log _{2}\left({\sqrt {2\pi e}}\,\sigma e^{\mu }\right)}$
MGF	実部が正でない数に対してのみ定義されます。テキストを参照してください。
CF	表現は漸近的に発散するが、ほとんどの数値目的には十分である。 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\left(it\right)}^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$
フィッシャー情報	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{2}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}}$
モーメント法	${\displaystyle \mu =\ln \operatorname {E} [X]-{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}+1\right),}$ ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\ln \left({\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}+1\right)}}}$
予想される不足額	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}}{2p}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}+\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)\right)\right]\\[0.5ex]&={\frac {e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}}{1-p}}\left[1-\Phi (\Phi ^{-1}(p)-\sigma )\right]\end{aligned}}}$[1]

確率論において、対数正規分布（または対数正規分布）は、対数が正規分布する確率変数の連続確率分布である。したがって、確率変数Xが対数正規分布する場合、Y = ln Xは正規分布となる。^{[2] [3]}同様に、Y が正規分布する場合、Yの指数関数X = exp( Y )は対数正規分布となる。対数正規分布する確率変数は、正の実数値のみをとる。これは、精密科学や工学のほか、医学、経済学、その他のトピック（エネルギー、濃度、長さ、金融商品の価格、その他の指標など） における測定に便利で有用なモデルである。

この分布はフランシス・ゴルトンにちなんでゴルトン分布またはゴルトンの分布と呼ばれることもあります。^[4]対数正規分布は、マカリスター、ジブラ、コブ・ダグラスなど、他の名前でも呼ばれています。^[4]

対数正規過程とは、それぞれが正である多数の独立確率変数の乗法積の統計的実現である。これは、対数領域における中心極限定理（ジブラの法則と呼ばれることもある）を考慮することによって正当化される。対数正規分布は、確率変量X （ln Xの平均と分散が指定されている）に対する最大エントロピー確率分布である。 ^[5]

定義

生成とパラメータ

を標準正規変数とし、と をそれぞれ2つの実数（ ）とする。このとき、確率変数の分布は ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma >0}$

$${\displaystyle X=e^{\mu +\sigma Z}}$$

は、パラメータとを持つ対数正規分布と呼ばれます。これらは、変数の自然対数 の期待値（または平均 ）と標準偏差であり、自身の期待値と標準偏差ではありません。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \ln X}$ ${\displaystyle X}$

正規分布と対数正規分布の関係。が正規分布する場合、は対数正規分布します。 ${\displaystyle Y=\mu +\sigma Z}$ ${\displaystyle X\sim e^{Y}}$

この関係は、対数関数や指数関数の底に関わらず成り立ちます。が正規分布する場合、任意の2つの正の数 に対しても正規分布します。同様に、が対数正規分布する場合、 も正規分布します（ただし）。 ${\displaystyle \log _{a}X}$ ${\displaystyle \log _{b}X}$ ${\displaystyle a,b\neq 1}$ ${\displaystyle e^{Y}}$ ${\displaystyle a^{Y}}$ ${\displaystyle 0<a\neq 1}$

望ましい平均と分散を持つ分布を生成するには、およびを使用します。 ${\displaystyle \mu _{X}}$ ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$ ${\displaystyle \mu =\ln {\frac {\mu _{X}^{2}}{\sqrt {\mu _{X}^{2}+\sigma _{X}^{2}}}}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\sigma _{X}^{2}}{\mu _{X}^{2}}}\right)}$

あるいは、「乗法」または「幾何」パラメータとを使用することもできます。これらはより直接的な解釈が可能です。分布の中央値であり、 「散布」区間を決定するのに役立ちます（下記参照）。 ${\displaystyle \mu ^{*}=e^{\mu }}$ ${\displaystyle \sigma ^{*}=e^{\sigma }}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle \sigma ^{*}}$

確率密度関数

正の確率変数は、 の自然対数が平均、分散で正規分布する場合、対数正規分布（つまり）に従います。 ${\displaystyle X}$ ${\textstyle X\sim \operatorname {Lognormal} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

$${\displaystyle \ln X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$$

をそれぞれ累積確率分布関数と標準正規分布の確率密度関数とすると、[ ^{2] [4]}対数正規分布の確率密度関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {d}{dx}}\Pr \nolimits _{X}\left[X\leq x\right]\\[6pt]&={\frac {d}{dx}}\Pr \nolimits _{X}\left[\ln X\leq \ln x\right]\\[6pt]&={\frac {d}{dx}}\Phi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}\\[6pt]&=\varphi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)\\[6pt]&=\varphi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}{\frac {1}{\sigma x}}\\[6pt]&={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)~.\end{aligned}}}$$

累積分布関数

累積分布関数は

$${\displaystyle F_{X}(x)=\Phi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}}$$

ここで、は標準正規分布の累積分布関数です（つまり、）。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {N}} (0,1)}$

これは次のようにも表現できる。^[2]

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$$

ここで、erfcは相補誤差関数です。

多変量対数正規分布

が多変量正規分布である場合、多変量対数正規分布に従う。^{[6] [7]}指数関数はランダムベクトルに対して要素ごとに適用されます。の平均は ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}$ ${\displaystyle Y_{i}=\exp(X_{i})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$

$${\displaystyle \operatorname {E} [{\boldsymbol {Y}}]_{i}=e^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}},}$$

そしてその共分散行列は

$${\displaystyle \operatorname {Var} [{\boldsymbol {Y}}]_{ij}=e^{\mu _{i}+\mu _{j}+{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}\left(e^{\Sigma _{ij}}-1\right).}$$

多変量対数正規分布は広く使用されていないため、このエントリの残りの部分では単変量分布のみを扱います。

特性関数とモーメント生成関数

対数正規分布のすべてのモーメントが存在し、

$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$$

これは積分を とすることで導出できる。しかし、対数正規分布はモーメントによって決定されない。^[8]これは、対数正規分布がゼロ近傍において定義されたモーメント生成関数を持つことができないことを意味する。^[9]実際、定義積分が発散するため、引数 の任意の正の値に対して期待値は定義されない。 ${\textstyle z={\tfrac {\ln x-\mu }{\sigma }}-n\sigma }$ ${\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]}$ ${\displaystyle t}$

特性関数は tの実数値に対して定義されるが、負の虚部を持つtの複素数値に対しては定義されない。したがって、特性関数は原点において解析的ではない。したがって、対数正規分布の特性関数は無限収束級数として表すことはできない。^[10]特に、そのテイラー形式級数は発散する。 ${\displaystyle \operatorname {E} [e^{itX}]}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\left(it\right)}^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$$

しかしながら、いくつかの代替的な発散級数表現が得られている。^{[10] [11] [12] [13]}

収束領域内の特性関数の閉形式公式は知られていない。比較的単純な近似式が閉形式で存在し、[14]で与えられる^。 ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \varphi (t)\approx {\frac {\exp \left(-{\frac {W^{2}(-it\sigma ^{2}e^{\mu })+2W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sqrt {1+W{\left(-it\sigma ^{2}e^{\mu }\right)}}}}}$$

ここではランバートのW関数です。この近似は漸近法によって導かれますが、 の収束領域全体にわたって鋭いままです。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \varphi }$

プロパティ

a.は対数正規変数で、である。は、正規変数 に変換し、その密度を（青い領域）で定義される領域で積分することで計算される。この計算には、光線追跡法の数値的手法が用いられる。^[15] b & c.対数正規変数の関数のpdfとcdfもこの方法で計算できる。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mu =1}$ ${\displaystyle \sigma =0.5}$ ${\displaystyle p(\sin y>0)}$ ${\displaystyle x=\ln y}$ ${\displaystyle \sin e^{x}>0}$ ${\displaystyle \sin y}$

さまざまな領域における確率

任意の領域における対数正規分布の確率内容は、まず変数を正規分布に変換し、次に光線追跡法を用いて数値積分することで、所望の精度で計算することができる。^[15] (Matlabコード)

対数正規変数の関数の確率

対数正規分布の確率は任意の領域で計算できるため、対数正規分布の変数の任意の関数の累積分布関数（およびpdfと逆累積分布関数）も計算できることを意味します。^[15]（Matlabコード）

幾何学的または乗法的なモーメント

対数正規分布の幾何平均または乗法平均は です。これは中央値に等しくなります。幾何標準偏差または乗法標準偏差は です。^{[16] [17]} ${\displaystyle \operatorname {GM} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {GSD} [X]=e^{\sigma }=\sigma ^{*}}$

算術統計学との類推により、幾何分散を定義することができ、幾何変動係数^[16]が提案されている。この用語は、対数正規分布における乗法変動を記述するための変動係数と類似していることが意図されていたが、このGCVの定義は、それ自体の推定値としての理論的根拠を有していない（変動係数も参照）。 ${\displaystyle \operatorname {GVar} [X]=e^{\sigma ^{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {GCV} [X]=e^{\sigma }-1}$ ${\displaystyle \operatorname {CV} }$

幾何平均は算術平均よりも小さいことに注意してください。これはAM-GM不等式によるもので、対数が凹関数であることに起因します。実際、^[18]

$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}=e^{\mu }\cdot {\sqrt {e^{\sigma ^{2}}}}=\operatorname {GM} [X]\cdot {\sqrt {\operatorname {GVar} [X]}}.}$$

金融においては、この用語は凸性補正として解釈されることがある。確率論の観点から見ると、これは幾何ブラウン運動の伊藤の補題における補正項と同じである。 ${\displaystyle e^{-\sigma ^{2}/2}}$

算術モーメント

任意の実数または複素数nに対して、対数正規分布に従う変数Xのn次モーメントは^[4]で与えられる。 $${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +{\frac {1}{2}}n^{2}\sigma ^{2}}.}$$

具体的には、対数正規分布に従う変数Xの算術平均、期待二乗、算術分散、算術標準偏差はそれぞれ次のように表される。^[2]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {E} [X^{2}]&=e^{2\mu +2\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {Var} [X]&=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}={\left(\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)\\[2pt]&=e^{2\mu +\sigma ^{2}}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right),\\[4pt]\operatorname {SD} [X]&={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}=\operatorname {E} [X]{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}\\[2pt]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}},\end{aligned}}}$$

算術変動係数 は、比である。対数正規分布の場合、これは^[3]に等しい。 この推定値は、幾何分散を用いていることから、「幾何変動係数」（GCV）^{[19] [20]}と呼ばれることもある。算術標準偏差とは異なり、算術変動係数は算術平均とは独立している。 ${\displaystyle \operatorname {CV} [X]}$ ${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {SD} [X]}{\operatorname {E} [X]}}}$ $${\displaystyle \operatorname {CV} [X]={\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}.}$$

算術平均と算術分散がわかれば、パラメータμとσを取得できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\ln {\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]}}}=\ln {\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}}}},\\[1ex]\sigma ^{2}&=\ln {\frac {\operatorname {E} [X^{2}]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}=\ln \left(1+{\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

確率分布は、モーメントE[ X ⁿ ] = e ^{nμ + ⁠によって一意に決定されるわけではない。1/2⁠ n 2 σ 2} （ n ≥ 1の場合）つまり、同じモーメントを持つ他の分布が存在する。^[4]実際、対数正規分布と同じモーメントを持つ分布族が存在する。^[要出典]

最頻値、中央値、四分位値

歪度が異なる 2 つの対数正規分布の平均、中央値、最頻値の比較。

モードは確率密度関数の最大値となる点です。特に、方程式を解くと、次の式が得られます。 ${\displaystyle (\ln f)'=0}$

$${\displaystyle \operatorname {Mode} [X]=e^{\mu -\sigma ^{2}}.}$$

対数変換された変数は正規分布に従うため、単調変換では分位数が 保存されるため、 ${\displaystyle Y=\ln X}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle q_{X}(\alpha )=\exp \left[\mu +\sigma q_{\Phi }(\alpha )\right]=\mu ^{*}(\sigma ^{*})^{q_{\Phi }(\alpha )},}$$

ここで、は標準正規分布の分位数です。 ${\displaystyle q_{\Phi }(\alpha )}$

具体的には、対数正規分布の中央値はその乗法平均に等しい。^[21]

$${\displaystyle \operatorname {Med} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}~.}$$

部分的な期待

閾値に関する確率変数の部分期待値は次のように定義される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }x\,f_{X}(x)\,dx.}$$

あるいは、条件付き期待値の定義を用いると、 と書くこともできます。対数正規分布の確率変数の場合、偏期待値は次のように表されます。 ${\displaystyle g(k)=\operatorname {E} [X\mid X>k]\Pr(X>k)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}g(k)&=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x)\,dx\\[1ex]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}\,\Phi {\left({\frac {\mu -\ln k}{\sigma }}+\sigma \right)}\end{aligned}}}$$

ここでは正規累積分布関数です。式の導出はトークページで説明されています。偏期待値公式は保険や経済学に応用されており、ブラック・ショールズ公式に至る偏微分方程式を解く際に用いられます。 ${\displaystyle \Phi }$

条件付き期待値

対数正規分布の確率変数の条件付き期待値は、閾値に関して、その部分期待値をその範囲内にある累積確率で割った値です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X\mid X<k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi {\left[{\frac {\ln k-\mu }{\sigma }}-\sigma \right]}}{\Phi {\left[{\frac {\ln k-\mu }{\sigma }}\right]}}}\\[8pt]\operatorname {E} [X\mid X\geq k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi {\left[{\frac {\mu -\ln k}{\sigma }}+\sigma \right]}}{1-\Phi {\left[{\frac {\ln k-\mu }{\sigma }}\right]}}}\\[8pt]\operatorname {E} [X\mid X\in [k_{1},k_{2}]]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi {\left[{\frac {\ln k_{2}-\mu }{\sigma }}-\sigma \right]}-\Phi {\left[{\frac {\ln k_{1}-\mu }{\sigma }}-\sigma \right]}}{\Phi \left[{\frac {\ln k_{2}-\mu }{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln k_{1}-\mu }{\sigma }}\right]}}\end{aligned}}}$$

代替パラメータ化

またはによる特徴付けに加えて、対数正規分布をパラメータ化する方法は複数あります。確率分布の知識ベースおよびオントロジーであるProbOnto ^{[22] [23]}は、そのような形式を7つ挙げています。 ${\displaystyle \mu ,\sigma }$ ${\displaystyle \mu ^{*},\sigma ^{*}}$

対数正規分布のパラメータ化の概要。

• LogNormal1( μ , σ )は、平均μと標準偏差σであり、両方とも対数スケール上にあります^[24] $${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$$
• LogNormal2( μ , υ ) (平均μと分散υ、両方とも対数スケール) $${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {v}})={\frac {1}{x{\sqrt {v}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2v}}\right]}$$
• LogNormal3( m , σ )（自然尺度上の中央値m 、対数尺度上の標準偏差σ ^{） [24]} $${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\sigma ^{2}}}\right]}$$
• LogNormal4( m ,cv)（中央値m、変動係数cv、いずれも自然尺度） $${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {cv}})={\frac {1}{x{\sqrt {\ln(cv^{2}+1)}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln(cv^{2}+1)}}\right]}$$
• LogNormal5( μ , τ )、平均μと精度τ、両方とも対数スケール^[25] $${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\tau }})={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}{\frac {1}{x}}\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}(\ln x-\mu )^{2}\right]}$$
• LogNormal6( m , σ _g )の中央値mと幾何標準偏差σ _gはともに自然尺度である^[26] $${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma _{g}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi }}\,\ln \sigma _{g}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln ^{2}(\sigma _{g})}}\right]}$$
• LogNormal7( μ _N , σ _N )の平均値μ _Nと標準偏差σ _Nはいずれも自然スケール上にあります^[27] $${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu _{N}}},{\boldsymbol {\sigma _{N}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \ln \left(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}\right)}}}}\exp \left[-{\frac {\left(\ln x-\ln {\frac {\mu _{N}}{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}}\right)^{2}}{2\ln \left(1+{\frac {\sigma _{N}^{2}}{\mu _{N}^{2}}}\right)}}\right]}$$

再パラメータ化の例

^{2つの異なる最適設計ツール、例えばPFIM [28]}とPopED ^[29]を用いてモデルを実行したい状況を考えてみましょう。前者はLN2、後者はLN7のパラメータ化をサポートしています。したがって、再パラメータ化が必要です。そうしないと、2つのツールは異なる結果を生成します。

遷移については次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \operatorname {LN2} (\mu ,v)\to \operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})}$ ${\textstyle \mu _{N}=\exp(\mu +v/2)}$ ${\textstyle \sigma _{N}=\exp(\mu +v/2){\sqrt {\exp(v)-1}}}$

遷移については次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})\to \operatorname {LN2} (\mu ,v)}$ ${\textstyle \mu =\ln \mu _{N}-{\frac {1}{2}}v}$ ${\textstyle v=\ln(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})}$

残りの再パラメータ化の式はすべて、プロジェクトのウェブサイトの仕様書に記載されています。^[30]

多重、相互、力

• 定数による乗算:の場合、 ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle aX\sim \operatorname {Lognormal} (\mu +\ln a,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle a>0.}$
• 逆数: もし、 ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Lognormal} (-\mu ,\sigma ^{2}).}$
• 力:ならば、 ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle X^{a}\sim \operatorname {Lognormal} (a\mu ,a^{2}\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle a\neq 0.}$

独立した対数正規分布の確率変数の乗算と除算

2 つの独立した対数正規変数およびを乗算 [除算] すると、積 [比] は再び対数正規となり、パラメータは[ ]およびとなります( ) 。 ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{1}-\mu _{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$

より一般的には、独立で対数正規分布に従う変数であれば、 ${\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle Y=\prod _{j=1}^{n}X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} {\Big (}\sum _{j=1}^{n}\mu _{j},\sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{2}{\Big )}.}$

乗法中心極限定理

独立かつ同一に分布する正の確率変数の幾何平均または乗法平均は、 が有限であると仮定すると、に対して、近似的にパラメータおよびを持つ対数正規分布を示します。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\ln X_{i}]}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {var} [\ln X_{i}]/n}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

実際、確率変数は必ずしも同一分布に従う必要はありません。 の分布がすべて有限分散を持ち、中心極限定理の様々な変種の他の条件を満たしていれば十分です。 ${\displaystyle \ln X_{i}}$

これは一般にジブラの法則として知られています。

対数正規分布の裾の重さ

対数正規分布が真のヘビーテール分布と言えるかどうかは、依然として議論の的となっている。主な理由は、例えば特定のパレート分布とは異なり、対数正規分布の分散は常に有限であるという点である。しかしながら、最近の研究では、ロビンソン非標準分析を用いて、分散が無限大の対数正規分布を作成できることが示されている。^[31]

他の

対数正規分布から生じるデータセットは対称的なローレンツ曲線を持つ（ローレンツ非対称係数も参照）。^[32]

この分布の調和平均、幾何平均、算術平均は関連しており、 ^[33]その関係は次のように与えられる 。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}.}$$

対数正規分布は無限に割り切れるが^[34] 、簡単に導き出せるような安定した分布ではない。 ^[35]

関連ディストリビューション

• が正規分布である場合、 ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \exp(X)\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}).}$
• が対数正規分布する場合、 は正規確率変数です。 ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \ln X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$
• を、変化する可能性のあるパラメータおよびパラメータを持つ独立した対数正規分布に従う変数とし、をとする。 の分布は閉じた形式表現を持たないが、右裾において別の対数正規分布で合理的に近似することができる。^[36] 0 近傍におけるその確率密度関数は^[35]で特徴付けられており、どの対数正規分布にも類似していない。LF Fenton による（ただし、以前は R.I. Wilkinson によって述べられ、Marlow ^[37]によって数学的に正当化された）一般的な近似は、別の対数正規分布の平均と分散を一致させることによって得られる。すべてが同じ分散パラメータ を持つ場合、これらの式は次のように簡略化される。 ${\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle Y=\sum _{j=1}^{n}X_{j}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[{\frac {\sum _{j}e^{2\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}}\left(e^{\sigma _{j}^{2}}-1\right)}{{\left(\sum _{j}e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\right)}^{2}}}+1\right],\\[1ex]\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum _{j}e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\right]-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle \sigma _{j}=\sigma }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right){\frac {\sum _{j}e^{2\mu _{j}}}{{\left(\sum _{j}e^{\mu _{j}}\right)}^{2}}}+1\right],\\[1ex]\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum _{j}e^{\mu _{j}}\right]+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$$

より正確な近似値を求めるには、モンテカルロ法を用いて累積分布関数、pdf、右裾を推定することができる。^{[38] [39]}相関対数正規分布に従う確率変数の合計のcdfとpdfもモンテカルロシミュレーションで近似することができる。^[40]

• の場合には、サポート を持つ3パラメータ対数正規分布に従うと言われます。^[41] 、。 ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle X+c}$ ${\displaystyle x\in (c,+\infty )}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X+c]=\operatorname {E} [X]+c}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [X+c]=\operatorname {Var} [X]}$
• 対数正規分布は、半有界ジョンソンSU分布の特殊なケースである。^[42]
• の場合には、(鈴木分布)。 ${\displaystyle X\mid Y\sim \operatorname {Rayleigh} (Y)}$ ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle X\sim \operatorname {Suzuki} (\mu ,\sigma )}$
• 対数正規分布の代わりとなる、より基本的な関数^{[43]で表すことができる分布は、} CDFの近似値を得るためのロジスティック分布に基づいて得られる。これは対数ロジスティック分布である。 $${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\left[\left({\frac {e^{\mu }}{x}}\right)^{\pi /(\sigma {\sqrt {3}})}+1\right]^{-1}.}$$

統計的推論

パラメータの推定

最大尤度推定量

対数正規分布のパラメータμとσの最大尤度推定値を決定するには、正規分布の場合と同じ手順を用いることができる。ただし、 は正規分布の密度関数である。したがって、対数尤度関数は $${\displaystyle L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\varphi _{\mu ,\sigma }(\ln x_{i}),}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ $${\displaystyle \ell (\mu ,\sigma \mid x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-\sum _{i}\ln x_{i}+\ell _{N}(\mu ,\sigma \mid \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).}$$

最初の項はμとσに関して一定であるため、対数尤度関数 とは、同じ と で最大値に達します。したがって、観測値 に対する最大尤度推定値は、正規分布の推定値と同一です。 ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell _{N}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})}$ $${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i}\ln x_{i}}{n}},\qquad {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{i}{\left(\ln x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)}^{2}}{n}}.}$$

有限のnの場合、 の推定値は不偏ですが、 の推定値は偏りがあります。正規分布の場合と同様に、 の不偏推定値は、の式において分母n をn −1に置き換えることで得られます。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$

このことから、xの期待値のMLEは次のようになる。^[44] ${\displaystyle {\widehat {\theta }}_{\text{MLE}}={\widehat {\operatorname {E} [X]}}_{\text{MLE}}=e^{{\hat {\mu }}+{{\hat {\sigma }}^{2}}/{2}}}$

モーメント法

個々の値が入手できないが、標本の平均と標準偏差sが入手できる場合は、モーメント法を用いることができる。対応するパラメータは、およびの期待値と分散を求める方程式を解くことで得られる以下の式によって決定される。[ ^45] ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [X]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\ln {\frac {\bar {x}}{\sqrt {1+{\widehat {\sigma }}^{2}/{\bar {x}}^{2}}}},\\[1ex]\sigma ^{2}&=\ln \left(1+{{\widehat {\sigma }}^{2}}/{\bar {x}}^{2}\right).\end{aligned}}}$$

その他の推定値

他にも、フィニーのUMVUE推定量^[46] 、 「近似最小平均二乗誤差推定量」、「近似不偏推定量」、「ミニマックス推定量」^[47] 、 「条件付き平均二乗誤差推定量」^[48]などのバリエーションが存在する。^{[49] [50]}

区間推定

対数正規分布データを分析する際に区間推定値を取得する最も効率的な方法は、正規分布に基づくよく知られた方法を対数変換されたデータに適用し、必要に応じて結果を逆変換することです。

予測区間

基本的な例として予測区間が挙げられます。正規分布の場合、予測区間には確率（または大きな標本）の約3分の2（68%）が含まれ、95%が含まれます。したがって、対数正規分布の場合、 ${\displaystyle [\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]}$ ${\displaystyle [\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]}$

• ${\displaystyle [\mu ^{*}/\sigma ^{*},\mu ^{*}\cdot \sigma ^{*}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/\sigma ^{*}]}$2/3を含み、
• ${\displaystyle [\mu ^{*}/(\sigma ^{*})^{2},\mu ^{*}\cdot (\sigma ^{*})^{2}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/(\sigma ^{*})^{2}]}$確率の95%が含まれます。推定パラメータを使用すると、これらの区間にはほぼ同じ割合のデータが含まれるはずです。

信頼区間e ^μ

この原理を用いると、の信頼区間は となる。ここでは標準誤差、qは自由度n-1のt分布の97.5%四分位数である。逆変換により、 （中央値） の信頼区間は次のように表される。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [{\widehat {\mu }}\pm q\cdot {\widehat {\mathop {se} }}]}$ ${\displaystyle \mathop {se} ={\widehat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}=e^{\mu }}$ $${\displaystyle [{\widehat {\mu }}^{*}{}^{\times }\!\!/(\operatorname {sem} ^{*})^{q}]}$$ ${\displaystyle \operatorname {sem} ^{*}=({\widehat {\sigma }}^{*})^{1/{\sqrt {n}}}}$

信頼区間元）​

文献では、（対数正規分布の平均）の信頼区間を計算するためのいくつかの選択肢が議論されており、ブートストラップ法をはじめとする様々な手法が挙げられます。^{[51] [52]} ${\displaystyle \mu }$

コックス法^[a]は推定値を代入することを提案している。 $${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i}\ln x_{i}}{n}},\qquad S^{2}={\frac {\sum _{i}\left(\ln x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}{n-1}}}$$

これらを使用して、次のようにおおよその信頼区間を構築します。 ${\displaystyle \mathrm {CI} (\operatorname {E} (X)):\exp \left({\hat {\mu }}+{\frac {S^{2}}{2}}\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}+{\frac {S^{4}}{2(n-1)}}}}\right)}$

[証拠]

であることが分かっています。また、はパラメータを持つ正規分布です。 ${\displaystyle \operatorname {E} (X)=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mu }}\sim N\left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\right)}$

${\displaystyle S^{2}}$はカイ2乗分布を持ち、これは近似的に正規分布（CLT経由）し、パラメータは です。したがって、です。 ${\displaystyle S^{2}{\dot {\sim }}N\left(\sigma ^{2},{\frac {2\sigma ^{4}}{n-1}}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {S^{2}}{2}}{\dot {\sim }}N\left({\frac {\sigma ^{2}}{2}},{\frac {\sigma ^{4}}{2(n-1)}}\right)}$

標本平均と分散は独立しており、正規分布する変数の合計も正規 であるため、次の式が得られます。上記に基づいて、 の標準信頼区間は(ピボタル量を使用して) 次のように構築できます。また、信頼区間は単調変換に対して保持されるため、次の式が得られます。 ${\displaystyle {\widehat {\mu }}+{\frac {S^{2}}{2}}{\dot {\sim }}N\left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}},{\frac {\sigma ^{2}}{n}}+{\frac {\sigma ^{4}}{2(n-1)}}\right)}$ ${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mu }}+{\frac {S^{2}}{2}}\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}+{\frac {S^{4}}{2(n-1)}}}}}$ ${\displaystyle \mathrm {CI} \left(\operatorname {E} [X]=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\right):\exp \left({\hat {\mu }}+{\frac {S^{2}}{2}}\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}+{\frac {S^{4}}{2(n-1)}}}}\right)}$

ご要望どおりです。

オルソン（2005）は、を に置き換えた「修正コックス法」を提案した。これは、小さなサンプルサイズに対してより良いカバレッジ結果をもたらすと思われる。^{[51] ：セクション3.4} ${\displaystyle z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}}$ ${\displaystyle t_{n-1,1-{\frac {\alpha }{2}}}}$

2つの対数正規分布を比較するための信頼区間

2つの対数正規分布の比較は、例えばA/Bテストにおける処置群と対照群の比較など、しばしば興味深い問題となります。パラメータが と で、サンプルサイズがそれぞれ と である2つの独立した対数正規分布のサンプルがあります。 ${\displaystyle (\mu _{1},\sigma _{1}^{2})}$ ${\displaystyle (\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$

2 つの中央値の比較は、それぞれのログを取得し、単純な信頼区間を構築してそれを指数スケールに戻すことで簡単に行うことができます。

$${\displaystyle \mathrm {CI} (e^{\mu _{1}-\mu _{2}}):\exp \left({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n}}}}\right)}$$

これらのCIは、疫​​学において相対リスクとオッズ比のCIを計算するためによく使用されます。^{[55]ここで行われる方法は、2つの近似的に正規分布（例えば、RRのp} ₁とp ₂ ）があり、それらの比率を計算するというものです。^[b]

しかし、2つの標本の期待値（平均値）の比も興味深いかもしれませんが、その算出にはさらなる作業が必要です。その平均値の比は以下のとおりです。

$${\displaystyle {\frac {\operatorname {E} (X_{1})}{\operatorname {E} (X_{2})}}={\frac {e^{\mu _{1}+\sigma _{1}^{2}/2}}{e^{\mu _{2}+\sigma _{2}^{2}/2}}}=e^{(\mu _{1}-\mu _{2})+{\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}^{2}-\sigma _{2}^{2}\right)}}$$

これらの各パラメータに推定値をプラグインすると、対数正規分布も生成されます。つまり、上で説明した Cox 法をこのユースケースに同様に使用できます。

$${\displaystyle \mathrm {CI} \left({\frac {\operatorname {E} (X_{1})}{\operatorname {E} (X_{2})}}={\frac {e^{\mu _{1}+\sigma _{1}^{2}/2}}{e^{\mu _{2}+\sigma _{2}^{2}/2}}}\right):\exp \left(\left({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}+{\tfrac {1}{2}}S_{1}^{2}-{\tfrac {1}{2}}S_{2}^{2}\right)\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {S_{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {S_{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}}}\right)}$$

[証拠]

この比率の信頼区間を構築するには、まず が正規分布に従い、 と はどちらもカイ二乗分布に従い、これが近似的に正規分布している ( CLTにより、関連パラメータを使用) ことに留意します。 ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}^{2}}$ ${\displaystyle S_{2}^{2}}$

これはつまり $${\displaystyle ({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}+{\frac {1}{2}}S_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}S_{2}^{2})\sim N\left((\mu _{1}-\mu _{2})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}^{2}-\sigma _{2}^{2}),{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {\sigma _{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {\sigma _{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}\right)}$$

上記に基づいて、標準信頼区間は（ピボタル量を使用して）次のように構築できます。また、信頼区間は単調変換に対して保持されるため、次のようになります。 ${\displaystyle ({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}+{\frac {1}{2}}S_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}S_{2}^{2})\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {S_{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {S_{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}}}}$ ${\displaystyle CI\left({\frac {\operatorname {E} (X_{1})}{\operatorname {E} (X_{2})}}={\frac {e^{\mu _{1}+{\frac {\sigma _{1}^{2}}{2}}}}{e^{\mu _{2}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{2}}}}}\right):e^{\left(({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}+{\frac {1}{2}}S_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}S_{2}^{2})\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {S_{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {S_{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}}}\right)}}$

ご要望どおりです。

2つの期待値の比率にMLEを単純に使用して比率推定値を作成すると、一貫性はあるものの偏りのある点推定値が得られることに注意する価値がある（比率の推定値は対数正規分布であるという事実を使用する）：^{[c] [引用が必要]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[{\frac {{\widehat {\operatorname {E} }}(X_{1})}{{\widehat {\operatorname {E} }}(X_{2})}}\right]&=\operatorname {E} \left[\exp \left(\left({\widehat {\mu }}_{1}-{\widehat {\mu }}_{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(S_{1}^{2}-S_{2}^{2}\right)\right)\right]\\&\approx \exp \left[{(\mu _{1}-\mu _{2})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}^{2}-\sigma _{2}^{2})+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {\sigma _{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {\sigma _{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}\right)}\right]\end{aligned}}}$$

自由パラメータを固定するエントロピーの極値原理σ

応用においては、決定すべきパラメータである。生産と散逸が均衡する成長過程においては、シャノンエントロピーの極限原理を用いると^[56] ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\sqrt {6}}}}$$

この値は、対数正規分布の変曲点と最大点の間のスケーリング関係を与えるために使用できます。^[56]この関係は自然対数の底によって決定され、最小表面エネルギー原理と幾何学的な類似性を示します。これらのスケーリング関係は、多くの成長プロセス（伝染病の蔓延、液滴の飛散、人口増加、浴槽渦の旋回速度、言語特性の分布、乱流の速度プロファイルなど）を予測するのに役立ちます。例えば、このような対数正規関数は、液滴衝突時に二次的に生成される液滴のサイズ^[57]や伝染病の蔓延とよく一致します。^[58] ${\displaystyle e=2.718\ldots }$ ${\displaystyle \sigma }$

この値はドレイク方程式の確率解を与えるために使用されます。^[59] ${\textstyle \sigma =1{\big /}{\sqrt {6}}}$

発生と応用

対数正規分布は自然現象の記述において重要です。多くの自然成長過程は、対数スケールで加算される多数の小さなパーセンテージ変化の蓄積によって駆動されます。適切な規則性条件下では、結果として生じる累積変化の分布は、上記の「乗法中心極限定理」のセクションで述べたように、対数正規分布によって次第によく近似されます。これは、企業のために定式化したロバート・ジブラ（1904–1980）にちなんで、ジブラの法則としても知られています。 ^[60]これらの小さな変化の蓄積率が時間の経過とともに変化しない場合、成長はサイズとは無関係になります。この仮定が真実でなくても、時間の経過とともに成長するもののどの年齢においても、サイズ分布は対数正規分布になる傾向があります。^[要出典]したがって、健康な個人の測定値の基準範囲は、平均値を中心とした対称分布を仮定するよりも、対数正規分布を仮定することによってより正確に推定されます。^[要出典]

二つ目の根拠は、基本的な自然法則が正の変数の乗算と除算を示唆するという観察に基づいています。例としては、質量と距離を結果として生じる力と結びつける単純な万有引力の法則や、抽出物と生成物の濃度を結びつける溶液中の化学物質の平衡濃度の式などが挙げられます。これらのケースでは、関係する変数が対数正規分布に従うと仮定することで、整合的なモデルが得られます。

具体的な例は以下の節に示す。^[61]には、地質学、生物学、医学、食品、生態学などの分野における対数正規分布のレビューと表が掲載されている。^[62]は、神経科学における対数正規分布に関するレビュー記事で、参考文献が注釈付きで掲載されている。

人間の行動

• インターネットのディスカッションフォーラムに投稿されたコメントの長さは対数正規分布に従う。^[63]
• ユーザーのオンライン記事（ジョーク、ニュースなど）への滞在時間は対数正規分布に従う。^[64]
• チェスのゲームの長さは対数正規分布に従う傾向がある。^[65]
• 標準刺激と一致する音響比較刺激の開始持続時間は対数正規分布に従う。^[18]

生物学と医学

• 生体組織の大きさの測定（長さ、皮膚面積、重量）。^[66]
• 病気の潜伏期間^[67]
• バナナの葉の斑点の直径、大麦のうどんこ病。^[61]
• 2003年のSARSのような非常に感染力の強い伝染病の場合、公的介入による制御政策が関与すると、エントロピーを仮定し、標準偏差をエントロピー生成の最大速度の原理によって決定すると、入院症例数は自由パラメータのない対数正規分布を満たすことが示されている。 [ ^68]
• 生物標本の不活性な付属肢（毛、爪、爪、歯）の成長方向の長さ。^[要出典]
• 任意のゲノム領域の正規化された RNA-Seq リードカウントは、対数正規分布によって十分に近似できます。
• PacBioシーケンシングのリード長は対数正規分布に従う。^[69]
• 特定の生理学的測定、例えば成人の血圧（男性と女性の集団に分けた後）など。^[70]
• Cmax _、消失半減期、消失速度定数などのいくつかの薬物動態変数。^[71]
• 神経科学において、ニューロン集団全体の発火率分布は、しばしば近似的に対数正規分布を示す。これは最初に大脳皮質と線条体で観察され^[72]、その後海馬と嗅内皮質^[73]、そして脳の他の部位でも観察された^{[62] [74]} 。また、固有ゲイン分布とシナプス荷重分布も対数正規分布を示す^[75]。
• 大脳皮質のニューロン密度は、神経発達中の細胞分裂過程のノイズによるものである。^[76]
• 手術室管理では、手術時間の分布が重要です。
• 生細胞の細胞骨格における破壊の雪崩の大きさは対数正規分布を示し、癌細胞では健康細胞よりも著しく大きい。^[77]

化学

• 粒子サイズ分布とモル質量分布。
• 鉱物中の希少元素の濃度。^[78]
• アイスクリームの結晶の直径、マヨネーズの油滴、ココアプレスケーキの孔。^[61]

年間最大日降水量に近似した累積対数正規分布。分布の近似を参照。

物理科学

• 水文学では、対数正規分布は、日降雨量や河川流量の月間および年間の最大値などの変数の極端な値を分析するために使用されます。^[79]
  • 右の図は、年間最大日降水量の順位付けに対数正規分布を当てはめた例を示しており、二項分布に基づく90%信頼区間も表示しています。^[80]
  • 降雨量データは、累積頻度分析の一部として位置をプロットすることによって表されます。
• 海洋物理学において、真冬の南大西洋における氷山の大きさは対数正規分布に従うことが分かっています。1986年にFSポーラーシュテルンが目視とレーダーで測定した氷山の大きさは、荒波による波の作用によって屈曲し、砕けることで決まると考えられていました。^[81]
• 大気科学では、対数正規分布（または複数の対数正規関数を組み合わせた分布）は、火山灰から雲や雨、空気中の微生物まで、さまざまな種類の粒子のサイズと濃度の測定値とモデルの両方を特徴付けるために使用されてきました。^{[82] [83] [84] [85]}対数正規分布は厳密に経験的なものであるため、火山灰などの粒子のサイズ分布を制御するプロセスをよりよく理解するために、より物理に基づいた分布が採用されています。^[86]

社会科学と人口統計学

• 経済学では、人口の97～99%の所得が対数正規分布しているという証拠がある。 ^[87]（高所得者の所得分布はパレート分布に従う）。^[88]
• 所得分布が標準偏差 の対数正規分布に従う場合、所得の不平等を評価するために一般的に使用されるジニ係数 は、次のように計算できます。ここで は誤差関数です。これは、 であり、は標準正規分布の累積分布関数であるためです。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G=\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma }{2}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ ${\displaystyle G=2\Phi {\left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)}-1}$ ${\displaystyle \Phi (x)}$
• ファイナンス、特にブラック・ショールズ・モデルでは、為替レート、価格指数、株価指数の対数の変化は正規分布であると仮定されている^[89]（これらの変数は単利ではなく複利のように振舞うため、乗法的である）。しかし、ブノワ・マンデルブロなどの数学者の中には、重い裾を持つ対数レヴィ分布の方が、特に株式市場の暴落の分析にはより適切なモデルであると主張している者もいる^[90]。確かに、株価分布は典型的には厚い裾を示している^[91]。株式市場の暴落時の変化の厚い裾の分布は、中心極限定理の仮定を無効にする。
• 科学計量学では、ジャーナル論文や特許の引用数は離散対数正規分布に従う。^{[92] [93]}
• 都市規模（人口）はジブラの法則を満たす。^[94]都市規模の成長過程は都市規模に比例し、不変である。したがって、中心極限定理から、都市規模の対数は正規分布する。
• 性的パートナーの数は対数正規分布によって最もよく説明されるようです。^[95]

テクノロジー

• 信頼性分析では、対数正規分布は保守可能なシステムの修復時間をモデル化するためによく使用されます。^[96]
• 無線通信では、「dBやネーパーなどの対数値で表される局所平均電力は、正規分布（ガウス分布）を示す。」^[97]また、大きな建物や丘などによる無線信号のランダムな遮蔽（シャドウイング）は、対数正規分布としてモデル化されることが多い。
• ボールミル粉砕などのランダム衝撃による粉砕によって生成される粒子サイズ分布。^[98]
• 公開されている音声・動画データファイル（MIMEタイプ）のファイルサイズ分布は、5桁以上の対数正規分布に従います。^[99]
• 1999年に収集されたWindows OSを搭載したパーソナルコンピュータ上の1億4000万ファイルのファイルサイズ。^{[100] [63]}
• テキストベースの電子メール（1990年代）とマルチメディアベースの電子メール（2000年代）のサイズ。^[63]
• コンピュータネットワークとインターネットトラフィック分析において、対数正規分布は単位時間あたりのトラフィック量を表す優れた統計モデルとして示されています。これは、実際のインターネットトラフィックの大規模なグループに堅牢な統計的アプローチを適用することで実証されています。この文脈において、対数正規分布は主に2つのユースケースにおいて優れた性能を示しています。(1) トラフィックが所定のレベルを超える時間の割合を予測する（サービスレベル契約またはリンク容量の推定のため）、すなわち帯域幅プロビジョニングに基づくリンクディメンショニング、(2) 95パーセンタイル価格の予測です。^[101]
• 物理試験において、特定の条件下でのアイテムの故障までの時間を測定する場合、データは対数正規分布を使用して分析するのが最適であることが多い。^{[102] [103]}

参照

• 重尾分布
• 対数距離経路損失モデル
• 修正対数正規べき乗分布
• フェードアウト

注記

1. コックス法は、ランド（1971）^[53]で「個人的なコミュニケーション」として引用されており、また、周とガオ（1997）^[54]とオルソン2005 ^{[51]のセクション3.3 でも引用されている。}
2. 問題は、それを直接行う方法がわからないことです。そのため、それらの対数を取得し、デルタ法を使用して、それらの対数自体が（近似的に）正規分布であるとします。 このトリックにより、それらの exp が対数正規分布であると仮定し、その近似を使用して CI を作成できます。 RR の場合、基本分布（つまり、対数を取得する前）の中央値と平均値は実際には同一であることに注意してください（元々は正規分布であり、対数正規分布ではないため）。 たとえば、およびしたがって、対数に基づいて CI を作成してから逆変換すると、 が得られます。 したがって、CI は中央値に対してであると予想されますが、この場合は、実際には元の分布の平均値に対しても になります。つまり、元が対数正規分布であれば、 になると予想されます。 しかし、実際には であることがわかっています。 したがって、得られる近似は（デルタ法の）2 番目のステップにありますが、CI は実際には期待値（中央値だけでなく）に対してです。これは、正規分布を基本分布として出発し、対数を用いて正規分布に近似した後、さらに別の近似値を使用しているためです。つまり、信頼区間（CI）の大部分はデルタ法による近似値です。 ${\displaystyle {\hat {p}}_{1}{\dot {\sim }}N(p_{1},p_{1}(1-p1)/n)}$ ${\displaystyle \ln {\hat {p}}_{1}{\dot {\sim }}N(\ln p_{1},(1-p1)/(p_{1}n))}$ ${\displaystyle CI(p_{1}):e^{\ln {\hat {p}}_{1}\pm (1-{\hat {p}}_{1})/({\hat {p}}_{1}n))}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [{\hat {p}}_{1}]=e^{\ln p_{1}+{\tfrac {1}{2}}(1-p1)/(p_{1}n)}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [{\hat {p}}_{1}]=e^{\ln p_{1}}=p_{1}}$
3. 推定平均値と分散を近似的に正規分布として扱うだけで式を求めることができます。これは、項自体が対数正規分布であることを示しており、期待値を素早く得ることができます。バイアスは、以下の式を用いることで部分的に最小化できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\left[{\frac {\operatorname {E} (X_{1})}{\operatorname {E} (X_{2})}}\right]}}&=\left[{\frac {{\widehat {\operatorname {E} }}(X_{1})}{{\widehat {\operatorname {E} }}(X_{2})}}\right]{\frac {2}{\widehat {\left({\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {\sigma _{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {\sigma _{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}\right)}}}\\&\approx \left[e^{({\widehat {\mu }}_{1}-{\widehat {\mu }}_{2})+{\frac {1}{2}}\left(S_{1}^{2}-S_{2}^{2}\right)}\right]{\frac {2}{{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {S_{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {S_{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}}}\end{aligned}}}$$

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• Holgate, P. (1989). 「対数正規特性関数」. Communications in Statistics – Theory and Methods . 18 (12): 4539– 4548. doi :10.1080/03610928908830173.
• ブルックス、ロバート、コーソン、ドナル、ウェールズ(1994).「原資産がすべて対数正規分布に従う場合のインデックスオプションの価格設定」『先物・オプション研究の進歩』7. SSRN  5735.

外部リンク

• 正規分布は対数正規分布である

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