対数分布

Discrete probability distribution

対数
確率質量関数 対数PMFのプロット この関数は整数値でのみ定義されます。接続線は単なる視覚的なガイドです。
累積分布関数 対数CDFのプロット
パラメータ	${\displaystyle 0<p<1}$
サポート	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\ldots \}}$
PMF	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}}}$
CDF	${\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$
平均	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}}$
モード	${\displaystyle 1}$
分散	${\displaystyle -{\frac {p^{2}+p\ln(1-p)}{(1-p)^{2}(\ln(1-p))^{2}}}}$
MGF	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pe^{t})}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}t<-\ln p}$
CF	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pe^{it})}{\ln(1-p)}}}$
PGF	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}|z|<{\frac {1}{p}}}$

確率と統計において、対数分布（対数級数分布または対数級数分布とも呼ばれる）は、マクローリン級数展開から導かれる離散確率分布である。

${\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}$

ここから次の同一性が得られる。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}$

これは、Log( p )分布に従う確率変数の確率質量関数に直接つながります。

${\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}$

k  ≥ 1、0 <  p < 1 の場合です 。上記の恒等式により、分布は適切に正規化されています。

累積分布関数は

${\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$

ここで、Bは不完全ベータ関数です。

Log( p )分布に従う確率変数を合成したポアソン分布は、負の二項分布に従う。言い換えれば、Nがポアソン分布に従う確率変数であり、X _i , i = 1, 2, 3, ...がそれぞれLog( p )分布に従う独立かつ同一分布に従う確率変数の無限列である場合、

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

は負の二項分布に従う。このように、負の二項分布は複合ポアソン分布であることがわかる。

RAフィッシャーは、対数分布を用いて相対的な種の豊富さをモデル化した論文の中で、対数分布について説明しました。^[1]

参照

• ポアソン分布（マクローリン級数からも導出される）

参考文献

1. Fisher, RA; Corbet, AS; Williams, CB (1943). 「動物集団のランダムサンプルにおける種数と個体数の関係」(PDF) . Journal of Animal Ecology . 12 (1): 42– 58. Bibcode :1943JAnEc..12...42F. doi :10.2307/1411. JSTOR  1411. 2011年7月26日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。

さらに読む

• ジョンソン、ノーマン・ロイド、ケンプ、アドリアン・W、コッツ、サミュエル (2005). 「第7章 対数分布とラグランジュ分布」.一変量離散分布（第3版）. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-27246-5。
• Weisstein, Eric W.「対数級数分布」。MathWorld。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Logarithmic_distribution&oldid=1287526588"