対数凸関数

Function whose composition with the logarithm is convex

数学において、関数 fが対数凸関数または超凸関数^[1]であるとは、対数とfとの合成がそれ自体凸関数である場合を言う。 ${\displaystyle {\log }\circ f}$

意味

X を実ベクトル空間の凸部分集合とし、f​​ : X → R を非負値を取る関数とする。 このとき、fは以下の式で表される。

• が凸であれば対数的に凸であり、 ${\displaystyle {\log }\circ f}$
• が厳密に凸である場合、厳密に対数的に凸です。 ${\displaystyle {\log }\circ f}$

ここではと解釈します。 ${\displaystyle \log 0}$ ${\displaystyle -\infty }$

明示的には、すべてのx ₁、x ₂ ∈ Xとすべてのt ∈ [0, 1]に対して、次の2つの同値な条件が成り立つ場合のみ、fは対数的に凸です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}),\\f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.\end{aligned}}}$

同様に、上記の2つの式において、すべてのt∈ (0,1)に対して厳密な不等式が成り立つ場合のみ、 fは厳密に対数的に凸である。

上記の定義ではf がゼロになることが許されていますが、fが対数的に凸でXのどこでも消える場合、 f はXの内部のどこでも消えます。

同等の条件

f が区間I ⊆ R上で定義された微分可能関数である場合、fが対数的に凸であるためには、 I内のすべてのxとyに対して次の条件が成り立つ必要があります。

${\displaystyle \log f(x)\geq \log f(y)+{\frac {f'(y)}{f(y)}}(x-y).}$

これは、xとyがIにあり、x > yであるときはいつでも、

${\displaystyle \left({\frac {f(x)}{f(y)}}\right)^{\frac {1}{x-y}}\geq \exp \left({\frac {f'(y)}{f(y)}}\right).}$

さらに、これらの不等式が常に厳密である場合に限り、 fは厳密に対数的に凸です。

fが2回微分可能ならば、 I内の任意のxに対して、fが対数的に凸であるための必要十分条件は、

${\displaystyle f''(x)f(x)\geq f'(x)^{2}.}$

不等式が常に厳密であれば、f は厳密に対数的に凸です。しかし、その逆は偽です。つまり、fが厳密に対数的に凸であり、あるxに対して が成り立つ可能性があります。例えば、であれば、fは厳密に対数的に凸ですが、 となります。 ${\displaystyle f''(x)f(x)=f'(x)^{2}}$ ${\displaystyle f(x)=\exp(x^{4})}$ ${\displaystyle f''(0)f(0)=0=f'(0)^{2}}$

さらに、が対数的に凸であるためには、 がすべての に対して凸である必要があります。^{[2] [3]} ${\displaystyle f\colon I\to (0,\infty )}$ ${\displaystyle e^{\alpha x}f(x)}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$

十分な条件

が対数的に凸であり、が非負の実数である場合、は対数的に凸です。 ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ ${\displaystyle f_{1}^{w_{1}}\cdots f_{n}^{w_{n}}}$

が対数凸関数の族である場合、 は対数凸です。 ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle g=\sup _{i\in I}f_{i}}$

が凸であり、対数的に凸かつ非減少である場合、は対数的に凸です。 ${\displaystyle f\colon X\to I\subseteq \mathbf {R} }$ ${\displaystyle g\colon I\to \mathbf {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle g\circ f}$

プロパティ

対数的に凸な関数fは、増加凸関数と定義により凸である関数との合成であるため、凸関数である。しかし、対数的に凸であることは、凸であることよりも厳密に強い性質である。例えば、2乗関数は凸であるが、その対数は凸ではない。したがって、2乗関数は対数的に凸ではない。 ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \log \circ f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle \log f(x)=2\log |x|}$

例

• ${\displaystyle f(x)=\exp(|x|^{p})}$は、 のとき対数的に凸であり、 のとき厳密に対数的に凸です。 ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle p>1}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{p}}}}$は、すべての ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle p>0.}$
• オイラーのガンマ関数は、正の実数に限定した場合、厳密に対数的に凸である。実際、ボーア・モレルプの定理によれば、この性質は、階乗関数の実引数への可能な拡張の中で、オイラーのガンマ関数を特徴付けるのに用いることができる。

参照

• 対数凹関数

注記

1. Kingman, JFC 1961. 正行列の凸性．Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.
2. モンテル 1928.
3. NiculescuPersson 2006、p. 70.

参考文献

• ジョン・B・コンウェイ著『一変数複素関数I』第2版、シュプリンガー・フェアラーク、1995年、ISBN 0-387-90328-3。
• 「凸性、対数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ニクレスク、コンスタンティン、ペルソン、ラース＝エリック（2006年）、凸関数とその応用 - 現代的アプローチ（第1版）、シュプリンガー、doi :10.1007/0-387-31077-0、ISBN 978-0-387-24300-9、ISSN  1613-5237。

• モンテル、ポール( 1928)、「凸面と関数の調和」、Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (フランス語)、7 : 29–60。

この記事にはPlanetMathの対数凸関数の資料が組み込まれており、これはCreative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされています。

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