Continuous probability distribution
ロジスティック分布 確率密度関数
累積分布関数
パラメータ μ , {\displaystyle \mu ,} 場所 （ 実際 ） 規模 （実際） s > 0 , {\displaystyle s>0,} サポート x ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )} PDF e − ( x − μ ) / s s ( 1 + e − ( x − μ ) / s ) 2 {\displaystyle {\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}} CDF 1 1 + e − ( x − μ ) / s = 1 + tanh x − μ 2 s 2 {\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x-\mu }{2s}}}{2}}} 四分位数 μ + s log ( p 1 − p ) {\displaystyle \mu +s\log \left({\frac {p}{1-p}}\right)} 平均 μ {\displaystyle \mu } 中央値 μ {\displaystyle \mu } モード μ {\displaystyle \mu } 分散 s 2 π 2 3 {\displaystyle {\frac {s^{2}\pi ^{2}}{3}}} 歪度 0 {\displaystyle 0} 過剰尖度 6 / 5 {\displaystyle 6/5} エントロピ ln s + 2 {\displaystyle \ln s+2} MGF e μ t B ( 1 − s t , 1 + s t ) {\displaystyle e^{\mu t}\mathrm {B} (1-st,1+st)} は ベータ関数 である 。 t ∈ ( − 1 / s , 1 / s ) {\displaystyle t\in (-1/s,1/s)} B {\displaystyle \mathrm {B} } CF e i t μ π s t sinh ( π s t ) {\displaystyle e^{it\mu }{\frac {\pi st}{\sinh(\pi st)}}} 予想される不足額 μ + s H ( p ) 1 − p {\displaystyle \mu +{\frac {sH(p)}{1-p}}} ここで 、2進エントロピー関数 [1] H ( p ) {\displaystyle H(p)} H ( p ) = − p ln ( p ) − ( 1 − p ) ln ( 1 − p ) {\displaystyle H(p)=-p\ln(p)-(1-p)\ln(1-p)}
確率論 および 統計学 において 、 ロジスティック分布は 連続確率分布の 一種である 。その 累積分布関数は ロジスティック関数 であり、 ロジスティック回帰 や フィードフォワードニューラルネットワーク に現れる 。形状は 正規分布 に似ているが、裾が重く（ 尖度 が高い）、ロジスティック分布は Tukeyのラムダ分布 の特殊なケースである。
仕様
累積分布関数 ロジスティック分布は 、ロジスティック関数族の一つである 累積分布関数にちなんで名付けられました。ロジスティック分布の累積分布関数は、 双曲線正接 のスケール版でもあります。
F ( x ; μ , s ) = 1 1 + e − ( x − μ ) / s = 1 2 + 1 2 tanh ( x − μ 2 s ) . {\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {tanh} \left({\frac {x-\mu }{2s}}\right).} この式では、 μ は 平均 、 s は標準偏差 に比例する尺度パラメータです 。
確率密度関数 確率 密度関数 は累積分布関数の 偏微分 です。
f ( x ; μ , s ) = ∂ F ( x ; μ , s ) ∂ x = e − ( x − μ ) / s s ( 1 + e − ( x − μ ) / s ) 2 = 1 s ( e ( x − μ ) / ( 2 s ) + e − ( x − μ ) / ( 2 s ) ) 2 = 1 4 s sech 2 ( x − μ 2 s ) . {\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\mu ,s)&={\frac {\partial F(x;\mu ,s)}{\partial x}}={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{s\left(e^{(x-\mu )/(2s)}+e^{-(x-\mu )/(2s)}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{4s}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right).\end{aligned}}} 位置パラメータ μ が0で尺度パラメータ s が1のとき、 ロジスティック分布の 確率密度関数は次のように表される。
f ( x ; 0 , 1 ) = e − x ( 1 + e − x ) 2 = 1 ( e x / 2 + e − x / 2 ) 2 = 1 4 sech 2 ( x 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{(e^{x/2}+e^{-x/2})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{aligned}}} この関数は双曲正割関数 「sech」の2乗で表すことができるため、 sech-square(d)分布 または 双曲正割square(d)分布 と呼ばれることもあります 。 [2]これを 双曲正割分布 と混同しないでください 。
分位関数 ロジスティック分布の逆累積分布関数（分位点関数）は、ロジット関数の一般化です 。 その 導 関数 は 分位点密度関数と呼ばれます。これらは以下のように定義されます。
Q ( p ; μ , s ) = μ + s ln ( p 1 − p ) . {\displaystyle Q(p;\mu ,s)=\mu +s\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right).} Q ′ ( p ; s ) = s p ( 1 − p ) . {\displaystyle Q'(p;s)={\frac {s}{p(1-p)}}.}
代替パラメータ化 ロジスティック分布の別のパラメータ化は、尺度パラメータ を標準偏差 で 表すことによって導出できます。 ここで は です 。 上記の関数の別の形は、かなり単純です。 s {\displaystyle s} σ {\displaystyle \sigma } s = q σ {\displaystyle s\,=\,q\,\sigma } q = 3 / π = 0.551328895 … {\displaystyle q\,=\,{\sqrt {3}}/{\pi }\,=\,0.551328895\ldots }
アプリケーション ロジスティック分布、およびその 累積分布関数 ( ロジット関数 ) と 分位関数 ( ロジット関数 ) の S 字型パターンは、さまざまな分野で広く使用されています。
ロジスティック回帰 最も一般的な応用例の 1 つは ロジスティック回帰 です。ロジスティック回帰は、 標準的な 線型回帰が 連続変数(収入や人口など) のモデル化に使用されるのと同様に、 カテゴリ 従属変数 (はい/いいえの選択肢や 3 つまたは 4 つの可能性の選択など) のモデル化に使用されます。具体的には、ロジスティック回帰モデルは、ロジスティック分布に従う 誤差変数を持つ 潜在変数 モデル として表現できます。この表現は 離散選択 モデルの理論で一般的であり、ロジスティック回帰におけるロジスティック分布は、 プロビット回帰 における 正規分布 と同じ役割を果たします 。実際、ロジスティック分布と正規分布は非常によく似た形をしています。ただし、ロジスティック分布は 裾が重い ため、正規分布を使用する場合と比較して、ロジスティック分布に基づく分析の 堅牢性 が向上することがよくあります。
物理 この分布のPDFは、フェルミ関数 の微分と同じ関数形をとる 。半導体および金属における電子特性の理論において、この微分は、電子輸送への寄与における様々な電子エネルギーの相対的な重みを設定する。分布の「平均」（ フェルミ準位 ）に最も近いエネルギー準位は、温度による多少のぼやけを伴いながらも、電子伝導などの過程を支配的に支配する。 [3] : 34 しかし、 フェルミ・ディラック統計 における関連する 確率 分布は、実際にはフェルミ関数によって与えられる確率係数を持つ単純な ベルヌーイ分布 である。
ロジスティック分布は、連続する速度変化の間のランダムな時間が線形に増加するパラメータを持つ独立した指数分布を持つ電信プロセスによって記述される有限速度減衰ランダム運動の極限分布として生じる。 [4]
水文学 CumFreqを使用して10月の降雨量に累積ロジスティック分布を当てはめました。 分布の当てはめも参照してください。 水文学 において、 長期間の河川流量と降雨量（例えば、30 日分の値と 360 日分の値の合計からなる月間合計と年間合計）の分布は、 中心極限定理 [5] に従ってほぼ正規分布に従うと考えられることが多い。しかし、 正規 分布は 数値近似を必要とする。解析的に解くことができるロジスティック分布は正規分布に似ているため、代わりに使用することができる。青い図は、ほぼ正規分布している順位付けされた 10 月の降雨量にロジスティック分布を当てはめる例を示しており、 二項分布 に基づく90% 信頼区間を示している。降雨量データは、 累積頻度分析 の一部として 位置をプロットする ことによって表される 。
チェスのレーティング 米国 チェス連盟は、 チェスのレーティングを計算する式を正規分布からロジスティック分布に変更しました。Elo レーティング システム (正規分布に基づく) に関する記事を参照してください。
ロジスティック分布は sech 分布 を模倣しますが、それらは Champernowne 分布 の異なるケースです。 もし そうなら 。 X ∼ L o g i s t i c ( μ , s ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Logistic} (\mu ,s)} k X + ℓ ∼ L o g i s t i c ( k μ + ℓ , | k | s ) {\displaystyle kX+\ell \sim \mathrm {Logistic} (k\mu +\ell ,|k|s)} U(0, 1) の 場合 、は ロジット 関数です 。 X ∼ {\displaystyle X\sim } μ + s ⋅ logit ( X ) ∼ L o g i s t i c ( μ , s ) {\displaystyle \mu +s\cdot {\text{logit}}(X)\sim \mathrm {Logistic} (\mu ,s)} logit ( X ) = log X − log ( 1 − X ) {\displaystyle {\text{logit}}(X)=\log X-\log(1-X)} と が 独立に である 場合、 となります 。 X ∼ G u m b e l ( μ X , β ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Gumbel} (\mu _{X},\beta )} Y ∼ G u m b e l ( μ Y , β ) {\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\mu _{Y},\beta )} X − Y ∼ L o g i s t i c ( μ X − μ Y , β ) {\displaystyle X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\mu _{X}-\mu _{Y},\beta )\,} ならば （合計はロジスティック分布では あり ませ ん ） 。 X {\displaystyle X} Y ∼ G u m b e l ( μ , β ) {\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\mu ,\beta )} X + Y ≁ L o g i s t i c ( 2 μ , β ) {\displaystyle X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\mu ,\beta )\,} E ( X + Y ) = 2 μ + 2 β γ ≠ 2 μ = E ( L o g i s t i c ( 2 μ , β ) ) {\displaystyle E(X+Y)=2\mu +2\beta \gamma \neq 2\mu =E\left(\mathrm {Logistic} (2\mu ,\beta )\right)} X ~ Logistic( μ , s )の場合 、 exp( X ) ~ LogLogistic 、 exp( X ) + γ ~ シフトされた log-logistic となります 。 ( α = e μ , β = 1 s ) {\displaystyle \left(\alpha =e^{\mu },\beta ={\frac {1}{s}}\right)} ( α = e μ , β = 1 s , γ ) {\displaystyle \left(\alpha =e^{\mu },\beta ={\frac {1}{s}},\gamma \right)} X が指数関数 ( 1) ならば μ + s log ( e X − 1 ) ∼ Logistic ( μ , s ) . {\displaystyle \mu +s\log(e^{X}-1)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,s).} X 、 Y ~ Exponential(λ) が独立で あれば、 μ + s log ( X Y ) ∼ Logistic ( μ , s ) . {\displaystyle \mu +s\log \left({\frac {X}{Y}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,s).} メタログ 分布は ロジスティック分布の一般化であり、 ロジスティックパラメータとを のべき級数展開に置き換えたものである 。 結果として得られるメタログ分位関数は形状の柔軟性が高く、単純な閉形式を持ち、線形最小二乗法でデータに適合させることができる。 p {\displaystyle p} μ {\displaystyle \mu } σ {\displaystyle \sigma }
派生
高次モーメント n次中心モーメントは 、 分位関数で表すことができます。
E [ ( X − μ ) n ] = ∫ − ∞ ∞ ( x − μ ) n d F ( x ) = ∫ 0 1 ( Q ( p ) − μ ) n d p = s n ∫ 0 1 [ ln ( p 1 − p ) ] n d p . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]&=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}\,dF(x)\\&=\int _{0}^{1}{\big (}Q(p)-\mu {\big )}^{n}\,dp=s^{n}\int _{0}^{1}\left[\ln \!\left({\frac {p}{1-p}}\right)\right]^{n}\,dp.\end{aligned}}} この積分はよく知られており [6] 、 ベルヌーイ数 で表すことができます 。
E [ ( X − μ ) n ] = s n π n ( 2 n − 2 ) ⋅ | B n | . {\displaystyle \operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]=s^{n}\pi ^{n}(2^{n}-2)\cdot |B_{n}|.}
参照
注記 ^ Norton, Matthew; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2019). 「共通確率分布のCVaRとbPOEの計算とポートフォリオ最適化および密度推定への応用」 (PDF) . Annals of Operations Research . 299 ( 1– 2). Springer: 1281– 1315. arXiv : 1811.11301 . doi :10.1007/s10479-019-03373-1. 2023年3月1日時点のオリジナル (PDF) からのアーカイブ。 2023 年2月27日 閲覧 。 ^ ジョンソン、コッツ、バラクリシュナン（1995年、116ページ）。 ^ デイヴィス、ジョン・H. (1998). 『低次元半導体の物理学：入門』 ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9780521484916 。 ^ A. Di Crescenzo, B. Martinucci (2010)「ロジスティック定常分布を伴う減衰電信ランダムプロセス」、 J. Appl. Prob. 、vol. 47、pp. 84–96。 ^ Ritzema, HP編 (1994). 頻度分析と回帰分析. 第6章: 排水の原理と応用, 出版物16, 国際土地改良研究所 (ILRI), ワーゲニンゲン, オランダ. pp. 175–224. ISBN 90-70754-33-9 。 ^ OEIS : A001896
参考文献 ウィキメディア コモンズには、物流 に関連するメディアがあります 。
John S. deCani & Robert A. Stine (1986). 「ロジスティック分布の情報行列の導出に関する注記」. The American Statistician . 40 (3). American Statistical Association: 220–222 . doi :10.2307/2684541. JSTOR 2684541. N., Balakrishnan (1992). 『物流ハンドブック 』 マルセル・デッカー, ニューヨーク. ISBN 0-8247-8587-8 。 Johnson, NL; Kotz, S.; N., Balakrishnan (1995). 連続一変量分布 . 第2巻（第2版）. ISBN 0-471-58494-0 。
離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\mu ,s)&={\frac {\partial F(x;\mu ,s)}{\partial x}}={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{s\left(e^{(x-\mu )/(2s)}+e^{-(x-\mu )/(2s)}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{4s}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e31e043c8e9382d5a3e9cfe957b7274a00a0ccb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{(e^{x/2}+e^{-x/2})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754aa5c354f6af79cac3f2942b7d423cb0545ca0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]&=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}\,dF(x)\\&=\int _{0}^{1}{\big (}Q(p)-\mu {\big )}^{n}\,dp=s^{n}\int _{0}^{1}\left[\ln \!\left({\frac {p}{1-p}}\right)\right]^{n}\,dp.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13fbb4b93932c1c8b46305452c4285326774aeec)
![{\displaystyle \operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]=s^{n}\pi ^{n}(2^{n}-2)\cdot |B_{n}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c3b6137df258b36cca0d6122cf65db40447a51)
