ロンドン方程式

Electromagnetic equations describing superconductors

物質が超伝導臨界温度を下回ると、物質内の磁場はマイスナー効果によって放出されます。ロンドン方程式はこの効果を定量的に説明します。

1935年にフリッツ・ロンドンとハインツ・ロンドン兄弟によって開発されたロンドン方程式[ ^1]は、超伝導体における超伝導電流とその内部および周囲の電磁場との関係を示す構成関係である。オームの法則は通常の導体における最も単純な構成関係であるのに対し、ロンドン方程式は超伝導現象を最も簡潔かつ有意義に記述するものであり、このテーマに関する現代の入門書のほとんどがロンドン方程式に基づいている。^{[2] [3] [4]}この方程式の大きな利点は、マイスナー効果^{[5]を説明できることである。}マイスナー効果とは、物質が超伝導閾値を超えると、内部の磁場を指数関数的に放出する現象である。

説明

測定可能なフィールドで表現されるロンドン方程式は 2 つあります。

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} _{\rm {s}}}{\partial t}}={\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {E} ,\qquad \mathbf {\nabla } \times \mathbf {j} _{\rm {s}}=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} .}$

ここでは（超伝導）電流密度、EとBはそれぞれ超伝導体内の電場と磁場、 電子または陽子の電荷、 電子の質量、 超伝導キャリアの数密度 と緩く関連した現象定数です。 ^[6] ${\displaystyle {\mathbf {j} }_{\rm {s}}}$ ${\displaystyle e\,}$ ${\displaystyle m\,}$ ${\displaystyle n_{\rm {s}}\,}$

この2つの方程式は、特定のベクトルポテンシャルを「ロンドンゲージ」に固定することで、 1つの「ロンドン方程式」 ^{[6] [7]}にまとめることができ、次の式が得られる。 ^[8] ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}}$

${\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{\rm {s}}.}$

ロンドンゲージでは、ベクトルポテンシャルは以下の要件に従い、電流密度として解釈できることが保証される。^[9]

• ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} _{\rm {s}}=0,}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}=0}$超伝導バルクでは、
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=0,}$ここで、超伝導体の表面の法線ベクトルです。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

最初の要件はクーロンゲージ条件としても知られ、連続方程式から予想されるように超伝導電子密度が一定となる。2番目の要件は、超伝導電流が表面付近を流れるという事実と矛盾しない。3番目の要件は、表面に超伝導電子が蓄積されないことを保証する。これらの要件はゲージの自由度をすべて排除し、ベクトルポテンシャルを一意に決定する。ロンドン方程式は、任意のゲージ^[10]を用いて、単に を定義することによって記述することもできる。ここではスカラー関数、 は任意のゲージをロンドンゲージにシフトさせるゲージの変化である。ベクトルポテンシャルの式は、空間的にゆっくりと変化する磁場に対しても成立する。^[4] ${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {s}}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}=(\mathbf {A} +\nabla \phi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \nabla \phi }$

ロンドンの浸透深度

ロンドン方程式の2番目をアンペールの法則を適用して操作すると、^[11]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} }$、

これを磁場のヘルムホルツ方程式に変換することができます。

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}\mathbf {B} }$

ここでラプラシアン固有値の逆数は、

${\displaystyle \lambda _{\rm {s}}\equiv {\sqrt {\frac {m}{\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}}}}$

は、外部磁場が指数関数的に抑制される特性長さスケールです。これはロンドン侵入深度と呼ばれ、典型的な値は 50 ～ 500 nmです。 ${\displaystyle \lambda _{\rm {s}}}$

例えば、自由空間内の超伝導体を考えてみましょう。超伝導体の外側の磁場は、Z方向に超伝導境界面と平行な一定値です。x軸が境界面に対して垂直であれば、超伝導体内の解は次のように示されます。

${\displaystyle B_{z}(x)=B_{0}e^{-x/\lambda _{\rm {s}}}.\,}$

ここから、ロンドン侵入の深さの物理的な意味がおそらく最も簡単に理解できるでしょう。

根拠

当初の議論

上記の式は正式に導出できないことに注意する必要があるが、^[12]ロンドン兄弟は理論の構築において、ある種の直感的な論理に従った。驚くほど幅広い組成範囲の物質は、電流が電場に比例するというオームの法則にほぼ従って振舞う。しかし、超伝導体ではそのような線形関係はあり得ない。なぜなら、ほぼ定義上、超伝導体中の電子は全く抵抗なく流れるからである。この目的のために、ロンドン兄弟は電子を、均一な外部電場の影響下にある自由電子のように想像した。ローレンツ力の法則によれば、

${\displaystyle \mathbf {F} =m{\dot {\mathbf {v} }}=-e\mathbf {E} -e\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$

これらの電子は均一な力を受けるはずであり、したがって実際には均一に加速するはずである。超伝導体中の電子が電界によって駆動されていると仮定すると、電流密度の定義によれば、 ${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}=-n_{\rm {s}}e\mathbf {v} _{\rm {s}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} _{s}}{\partial t}}=-n_{\rm {s}}e{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}={\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {E} }$

これは最初のロンドン方程式です。2番目の方程式を得るには、最初のロンドン方程式の回転を取り、ファラデーの法則を適用します。

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$、

取得する

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {j} _{\rm {s}}+{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} \right)=0.}$

現状では、この方程式は定数解と指数関数的に減少する解の両方を許容します。ロンドン夫妻はマイスナー効果から、定数でゼロでない解は物理的に成り立たないことを認識したため、上記の式の時間微分がゼロになるだけでなく、括弧内の式も必ずゼロになるという仮定を立てました。

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {j} _{\rm {s}}+{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} =0}$

これは、第2のロンドン方程式と （「ロンドンゲージ」を選択することで固定されるゲージ変換を除いて）磁場が次のように定義されるので、 ${\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle B=\nabla \times A_{\rm {s}}.}$

さらに、アンペールの法則によれば、次のことが言えます。 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \times \mu _{0}\mathbf {j} _{\rm {s}}=-{\frac {\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} .}$

一方、 なので となり、磁場の空間分布は に従うことがわかります。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\nabla ^{2}\mathbf {B} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}\mathbf {B} }$

侵入深さは である。1次元の場合、このようなヘルムホルツ方程式の解の形は次のようになる。 ${\displaystyle \lambda _{\rm {s}}={\sqrt {\frac {m}{\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}}}}$ ${\displaystyle B_{z}(x)=B_{0}e^{-x/\lambda _{\rm {s}}}.\,}$

超伝導体内では磁場が指数関数的に減少し、マイスナー効果をよく説明できます。磁場分布を考慮すると、アンペールの法則を再び用いることで、超伝導電流が 超伝導体の表面付近にも流れていることが分かります。これは、物理的な電流として解釈するための要件から予想される通りです。 ${\displaystyle (x>0)}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}}$

上記の論理は超伝導体にも当てはまりますが、完全導体にも同様の議論が成り立ちます。しかし、超伝導体と完全導体を区別する重要な事実の一つは、完全導体は に対してマイスナー効果を示さないことです。実際、この仮定は完全導体には当てはまりません。代わりに、時間微分は保持されなければならず、単純に除去することはできません。この結果、（場ではなく）場の時間微分は次式に従います。 ${\displaystyle T<T_{c}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {j} _{\rm {s}}+{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

の場合、完全導体の深部では超伝導体のようにではなく、が存在します。したがって、完全導体内部の磁束が消滅するかどうかは、初期条件（ゼロ磁場冷却されているかどうか）に依存します。 ${\displaystyle T<T_{c}}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {B} }}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {B} =0}$

標準的な運動量論

ロンドン方程式を他の方法で正当化することも可能です。^{[13] [14]}電流密度は次式に従って定義されます。

${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}=-n_{\rm {s}}e\mathbf {v} _{\rm {s}}.}$

この表現を古典的な記述から量子力学的な記述に移すには、値とをそれらの演算子の期待値に置き換える必要があります。速度演算子 ${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\rm {s}}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\rm {s}}={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {p} +e\mathbf {A} _{\rm {s}}\right)}$

はゲージ不変な運動量演算子を粒子質量mで割ることによって定義される。^[15]電子電荷としてを用いていることに注意する。そして、この置き換えを上の式に代入することができる。しかし、超伝導の微視的理論からの重要な仮定は、系の超伝導状態が基底状態であり、ブロッホの定理^[16]によれば、 そのような状態では正準運動量pはゼロであるということである。したがって、 ${\displaystyle -e}$

${\displaystyle \mathbf {j} =-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{\rm {s}},}$

これは上記の 2 番目の定式によるロンドン方程式です。

参考文献

1. ロンドン, F. ;ロンドン, H. (1935). 「超伝導体の電磁方程式」. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 149 (866): 71. Bibcode :1935RSPSA.149...71L. doi : 10.1098/rspa.1935.0048 .
2. マイケル・ティンカム (1996). 『超伝導入門』 マグロウヒル. ISBN 0-07-064878-6。
3. ニール・アシュクロフト、デイヴィッド・マーミン(1976).固体物理学. サンダース大学. p. 738. ISBN 0-03-083993-9。
4. Charles Kittel (2005).固体物理学入門（第8版）. Wiley. ISBN 0-471-41526-X。
5. マイズナー、W. R. オクセンフェルド (1933)。 「Ein neuer Effekt bei Eintritt der Supraleitfähigkeit」。ナトゥールヴィッセンシャフテン。21 (44): 787。ビブコード:1933NW....21....787M。土井：10.1007/BF01504252。S2CID  37842752。
6. James F. Annett (2004). 『超伝導、超流体、凝縮体』オックスフォード、p. 58. ISBN 0-19-850756-9。
7. ジョン・デイビッド・ジャクソン (1999).古典電気力学. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 604. ISBN 0-19-850756-9。
8. ロンドン、F. (1948年9月1日). 「超伝導の分子理論の問題について」 .フィジカル・レビュー. 74 (5): 562– 573. Bibcode :1948PhRv...74..562L. doi :10.1103/PhysRev.74.562.
9. マイケル・ティンカム (1996).超伝導入門. マグロウヒル. p. 6. ISBN 0-07-064878-6。
10. Bardeen, J. (1951年2月1日). 「ロンドンの超伝導理論へのアプローチにおけるゲージの選択」 . Physical Review . 81 (3): 469– 470. Bibcode :1951PhRv...81..469B. doi :10.1103/PhysRev.81.469.2.
11. (電場は時間に対してゆっくりとしか変化しないと仮定されており、項はすでにcの係数によって抑制されているため、変位は無視されます。)
12. マイケル・ティンカム (1996).超伝導入門. マグロウヒル. p. 5. ISBN 0-07-064878-6。
13. ジョン・デイビッド・ジャクソン (1999).古典電気力学. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp. 603–604. ISBN 0-19-850756-9。
14. マイケル・ティンカム (1996). 『超伝導入門』 マグロウヒル. pp. 5–6. ISBN 0-07-064878-6。
15. LD LandauとEM Lifshitz (1977).量子力学-非相対論的理論. Butterworth-Heinemann. pp.  455– 458. ISBN 0-7506-3539-8。
16. Tinkham p.5：「この定理は有名であるにもかかわらず、未発表のようです。」

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