数学において、 マルコフオドメーターは 位相力学系 の一種である 。H .ダイ の定理によれば、 すべての エルゴード的 非特異変換はマルコフ オドメーターと軌道同値であるので、マルコフオドメーターはエルゴード理論 、特に 力学系の軌道理論 において基本的な役割を果たす。 [1]
このようなシステムの基本的な例は「非特異オドメーター」である。これは、 離散空間 の 積空間 上に定義される加法 位相群 であり、 （ここで ） で定義される加法によって誘導される。この群は、 力学系 の構造を付与することができ 、その結果、 保存力学系 が得られる。 x ↦ x + 1 _ {\displaystyle x\mapsto x+{\underline {1}}} 1 _ := ( 1 , 0 , 0 , … ) {\displaystyle {\underline {1}}:=(1,0,0,\dots )}
「マルコフオドメーター」と呼ばれる一般的な形式は、 ブラッテリ・ヴェルシック図 を通じて構築することができ、対応する変換とともに ブラッテリ・ヴェルシック・コンパクト 空間を定義することができます。
非特異オドメーター 特異でないオドメーターにはいくつかの種類が定義できる。 [2]これらは 加算機
と呼ばれることもある 。 [3] 最も単純なものは ベルヌーイ過程 で表される。これは、ここでは で表さ れる2つの記号で表されるすべての無限文字列の集合であり、 積位相を持つ。この定義は、 積空間 上で定義されるより一般的なオドメーターに自然に拡張される。 Ω = { 0 , 1 } N {\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}
Ω = ∏ n ∈ N ( Z / k n Z ) {\displaystyle \Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }\left(\mathbb {Z} /k_{n}\mathbb {Z} \right)} 整数の列に対して、 それぞれ ( k n ) {\displaystyle (k_{n})} k n ≥ 2. {\displaystyle k_{n}\geq 2.}
すべての の 走行距離計は、 二項走行距離計 、 フォン・ノイマン・角谷加算機 、または 二項加算機 と呼ばれます 。 k n = 2 {\displaystyle k_{n}=2} n {\displaystyle n}
すべての加算機の位相エントロピーはゼロである。 [ 3 ] 位相エントロピーがゼロの区間の連続写像は、周期軌道を除いた位相不変推移集合への作用に限定した場合、加算機と位相共役で ある 。 [ 3 ]
二項式オドメーター 二項オドメーターを マッピングによる 区間交換変換 として視覚化する T {\displaystyle T} ( x 1 , x 2 , ⋯ ) ↦ ∑ n = 1 ∞ x n 2 n . {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )\mapsto \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}.} 二項オドメーターは2回繰り返される。つまり T 2 . {\displaystyle T^{2}.} 二項オドメーターを3回繰り返すと、 T 3 . {\displaystyle T^{3}.} 二項式オドメーターは4回繰り返される。つまり T 4 . {\displaystyle T^{4}.} 2つの記号で表される弦における無限弦全体の集合は、 円筒集合 によって生成される 自然な位相 、 すなわち積位相を 持つ 。この積位相はボレルシグマ 代数 に拡張される。 その代数を で表す。個々の点 は で表す。 Ω = { 0 , 1 } N {\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} x ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega } x = ( x 1 , x 2 , x 3 , ⋯ ) . {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ).}
ベルヌーイ過程には通常、測度 の集合、つまり と で与えられるベルヌーイ測度が備わっており 、 とは 独立な 何かが存在します 。 の値は特殊で、 を コンパクト アーベル群 と見なした ときの ハール測度 の特殊ケースに対応します 。ベルヌーイ測度は、 2 進整数 上の 2 進測度と同じでは ない ことに注意してください。正式には、 は 2 進整数の基本空間でもありますが、2 進整数には p 進計量という 計量が備わっており、ここで使用した積位相とは異なる 計量位相 が誘導されます。 μ p ( x n = 1 ) = p {\displaystyle \mu _{p}(x_{n}=1)=p} μ p ( x n = 0 ) = 1 − p {\displaystyle \mu _{p}(x_{n}=0)=1-p} 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} n {\displaystyle n} p = 1 / 2 {\displaystyle p=1/2} Ω {\displaystyle \Omega } Ω {\displaystyle \Omega }
この空間 に は、キャリービットを伴う座標加算として定義される加算を付与することができる。つまり、各座標について 、 Ω {\displaystyle \Omega } ( x + y ) n = x n + y n + ε n mod 2 {\displaystyle (x+y)_{n}=x_{n}+y_{n}+\varepsilon _{n}\,{\bmod {\,}}2} ε 0 = 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}=0}
ε n = { 0 x n − 1 + y n − 1 < 2 1 x n − 1 + y n − 1 = 2 {\displaystyle \varepsilon _{n}={\begin{cases}0&x_{n-1}+y_{n-1}<2\\1&x_{n-1}+y_{n-1}=2\end{cases}}} 帰納的に。1ずつ増加するものは、（二項） オドメーター と呼ばれます。これは、 によって与えられる 変換です。これは 、それが「転がる」ときの様子から オドメーター と呼ばれます。 は変換 です。 そして は-測定 可能 、つまり すべての に対して となることに 注意してください。 T : Ω → Ω {\displaystyle T:\Omega \to \Omega } T ( x ) = x + 1 _ {\displaystyle T(x)=x+{\underline {1}}} 1 _ := ( 1 , 0 , 0 , … ) {\displaystyle {\underline {1}}:=(1,0,0,\dots )} T {\displaystyle T} T ( 1 , … , 1 , 0 , x k + 1 , x k + 2 , … ) = ( 0 , … , 0 , 1 , x k + 1 , x k + 2 , … ) {\displaystyle T\left(1,\dots ,1,0,x_{k+1},x_{k+2},\dots \right)=\left(0,\dots ,0,1,x_{k+1},x_{k+2},\dots \right)} T − 1 ( 0 , 0 , ⋯ ) = ( 1 , 1 , ⋯ ) {\displaystyle T^{-1}(0,0,\cdots )=(1,1,\cdots )} T {\displaystyle T} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} T − 1 ( σ ) ∈ B {\displaystyle T^{-1}(\sigma )\in {\mathcal {B}}} σ ∈ B . {\displaystyle \sigma \in {\mathcal {B}}.}
変換は 任意の に対して 非特異で ある。 が与えられたとき、 が のときのみ 成立するとき、 可測変換は 非特異であることを思い出す 。この場合、 T {\displaystyle T} μ p {\displaystyle \mu _{p}} τ : Ω → Ω {\displaystyle \tau :\Omega \to \Omega } σ ∈ B {\displaystyle \sigma \in {\mathcal {B}}} μ ( τ − 1 σ ) = 0 {\displaystyle \mu (\tau ^{-1}\sigma )=0} μ ( σ ) = 0 {\displaystyle \mu (\sigma )=0}
d μ p ∘ T d μ p = ( 1 − p p ) φ {\displaystyle {\frac {d\mu _{p}\circ T}{d\mu _{p}}}=\left({\frac {1-p}{p}}\right)^{\varphi }} ここで 。したがって は に関して特異ではない 。 φ ( x ) = min { n ∈ N ∣ x n = 0 } − 2 {\displaystyle \varphi (x)=\min \left\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}=0\right\}-2} T {\displaystyle T} μ p {\displaystyle \mu _{p}}
この変換は エルゴード的で ある 。これは、任意の自然数 に対して、 の軌道が の集合 となることから導かれる 。 これ は また 、 非原子空間 におけるすべての可逆なエルゴード的非特異変換が保存的であることから、が 保存的で あることを意味する 。 T {\displaystyle T} x ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega } n {\displaystyle n} x {\displaystyle x} T 0 , T 1 , ⋯ , T 2 n − 1 {\displaystyle T^{0},T^{1},\cdots ,T^{2^{n}-1}} { 0 , 1 } n {\displaystyle \{0,1\}^{n}} T {\displaystyle T}
の特殊なケースでは 、 は 測度保存力学系 であることに注意してください 。 p = 1 / 2 {\displaystyle p=1/2} ( Ω , B , μ 1 / 2 , T ) {\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {B}},\mu _{1/2},T\right)}
整数オドメーター 同様の構成により、離散空間 のあらゆる 積 に対してこのような体系を定義することができる 。一般に、
Ω = ∏ n ∈ N A n {\displaystyle \Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }A_{n}} に対して整数 で表せる。積位相は、 上の 積ボレルシグマ代数に自然に拡張される 。 上の 積測度 は、上の 何らかの測度が与えられた 場合に慣例的に定義される 。対応する写像は、 によって定義される。 A n = Z / m n Z = { 0 , 1 , … , m n − 1 } {\displaystyle A_{n}=\mathbb {Z} /m_{n}\mathbb {Z} =\{0,1,\dots ,m_{n}-1\}} m n ≥ 2 {\displaystyle m_{n}\geq 2} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} Ω {\displaystyle \Omega } B {\displaystyle {\mathcal {B}}} μ = ∏ n ∈ N μ n , {\displaystyle \textstyle \mu =\prod _{n\in \mathbb {N} }\mu _{n},} μ n {\displaystyle \mu _{n}} A n {\displaystyle A_{n}}
T ( x 1 , … , x k , x k + 1 , x k + 2 , … ) = ( 0 , … , 0 , x k + 1 , x k + 1 , x k + 2 , … ) {\displaystyle T(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},x_{k+2},\dots )=(0,\dots ,0,x_{k}+1,x_{k+1},x_{k+2},\dots )} ここで は の最小の指数です 。これも位相群です。 k {\displaystyle k} x k ≠ m k − 1 {\displaystyle x_{k}\neq m_{k}-1}
この特別なケースは 、空間上で定義される オルンスタインオドメーターである。
Ω = ( Z / 2 Z ) × ( Z / 3 Z ) × ( Z / 4 Z ) × ⋯ {\displaystyle \Omega =\left(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \right)\times \cdots } 測定値は
μ n ( j ) = { 1 / 2 if j = 0 1 / 2 ( n + 1 ) if j ≠ 0 {\displaystyle \mu _{n}(j)={\begin{cases}1/2&{\mbox{ if }}j=0\\1/2(n+1)&{\mbox{ if }}j\neq 0\\\end{cases}}}
砂山モデル 保守的なオドメーターと密接に関連する概念として、 アーベル砂山モデル があります。このモデルは、上で構築された有限群の有向線列を、 頂点と辺の無向グラフに置き換えます。各頂点には、その 頂点 の 次数 を持つ 有限群を配置します。遷移関数は グラフラプラシアン によって定義されます 。つまり、任意の頂点を1ずつ増加させることができます。最大の群要素を増加（つまり0に戻るように増加）すると、隣接する各頂点も1ずつ増加します。 ( V , E ) {\displaystyle (V,E)} v ∈ V {\displaystyle v\in V} Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } n = d e g ( v ) {\displaystyle n=deg(v)} v {\displaystyle v}
サンドパイルモデルは、上記の保守的なオドメーターの定義とは3つの点で異なります。まず、一般的に、開始頂点として特定される唯一の頂点は存在しません。一方、上記の定義では最初の頂点が開始頂点であり、遷移関数によって増分されます。次に、サンドパイルモデルは一般的に無向辺を使用するため、オドメーターの折り返しはあらゆる方向に再分配されます。3つ目の違いは、サンドパイルモデルは通常、無限グラフ上には設定されず、「シンク」と呼ばれる特別な頂点が1つだけ選択され、このシンクがすべての増分を吸収し、折り返しを行わないことです。シンクは、無限グラフの無限部分を切り取ってシンクに置き換えることと同等です。あるいは、その終端点以降のすべての変化を無視することと同等です。
マルコフオドメーター を順序付き ブラッテリ・ヴェルシック図 とすると、は （素和） の形式の頂点の集合上に構成され 、はシングルトンであり、は （素和）の辺の集合上に存在する。 B = ( V , E ) {\displaystyle B=(V,E)} ∐ n ∈ N V ( n ) {\displaystyle \textstyle \coprod _{n\in \mathbb {N} }V^{(n)}} V 0 {\displaystyle V^{0}} ∐ n ∈ N E ( n ) {\displaystyle \textstyle \coprod _{n\in \mathbb {N} }E^{(n)}}
この図には、ソース射影写像 と値域射影写像が含まれています 。 が 比較可能であるのは の場合のみであると仮定します 。 s n : E ( n ) → V ( n − 1 ) {\displaystyle s_{n}:E^{(n)}\to V^{(n-1)}} r n : E ( n ) → V ( n ) {\displaystyle r_{n}:E^{(n)}\to V^{(n)}} e , e ′ ∈ E ( n ) {\displaystyle e,e'\in E^{(n)}} r n ( e ) = r n ( e ′ ) {\displaystyle r_{n}(e)=r_{n}(e')}
このような図式について、積位相 を備えた 積空間を考える 。「ブラッテリ・ヴェルシック・コンパクト」を無限経路の部分空間として定義する。 E := ∏ n ∈ N E ( n ) {\displaystyle \textstyle E:=\prod _{n\in \mathbb {N} }E^{(n)}}
X B := { x = ( x n ) n ∈ N ∈ E ∣ x n ∈ E ( n ) and r ( x n ) = s ( x n + 1 ) } {\displaystyle X_{B}:=\left\{x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in E\mid x_{n}\in E^{(n)}{\text{ and }}r(x_{n})=s(x_{n+1})\right\}} それぞれが最大となる 無限経路が1つだけ存在し 、同様に無限経路 も1つだけ存在すると 仮定する 。 を で定義し 、任意の に対して を定義する。 ここで はが最大とならない 最初の添え字であり 、したがって は がすべて最大となる の唯一の経路であり、 は の次の添え字であるとする 。すると は の 同相写像 となる 。 x max = ( x n ) n ∈ N {\displaystyle x_{\max }=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} x n {\displaystyle x_{n}} x min {\displaystyle x_{\text{min}}} T B : X B → X B {\displaystyle T_{B}:X_{B}\to X_{B}} T ( x max ) = x min {\displaystyle T(x_{\max })=x_{\min }} x = ( x n ) n ∈ N ≠ x max {\displaystyle x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\neq x_{\max }} T B ( x 1 , … , x k , x k + 1 , … ) = ( y 1 , … , y k , x k + 1 , … ) {\displaystyle T_{B}(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots )=(y_{1},\dots ,y_{k},x_{k+1},\dots )} k {\displaystyle k} x k {\displaystyle x_{k}} ( y 1 , … , y k ) {\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{k})} y 1 , … , y k − 1 {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{k-1}} y k {\displaystyle y_{k}} x k {\displaystyle x_{k}} T B {\displaystyle T_{B}} X B {\displaystyle X_{B}}
が である確率行列 の列であるとし 、 が であるとき、かつ であるとき のみ とする 。 の円筒上の「マルコフ測度」を によって定義する 。 このシステムは 「マルコフオドメータ」と呼ばれる。 P = ( P ( 1 ) , P ( 2 ) , … ) {\displaystyle P=\left(P^{(1)},P^{(2)},\dots \right)} P ( n ) = ( p ( v , e ) ∈ V n − 1 × E ( n ) ( n ) ) {\displaystyle P^{(n)}=\left(p_{(v,e)\in V^{n-1}\times E^{(}n)}^{(n)}\right)} p v , e ( n ) > 0 {\displaystyle p_{v,e}^{(n)}>0} v = s n ( e ) {\displaystyle v=s_{n}(e)} X B {\displaystyle X_{B}} μ P ( [ e 1 , … , e n ] ) = p s 1 ( e 1 ) , e 1 ( 1 ) ⋯ p s n ( e n ) , e n ( n ) {\displaystyle \mu _{P}([e_{1},\dots ,e_{n}])=p_{s_{1}(e_{1}),e_{1}}^{(1)}\cdots p_{s_{n}(e_{n}),e_{n}}^{(n)}} ( X B , B , μ P , T B ) {\displaystyle \left(X_{B},{\mathcal {B}},\mu _{P},T_{B}\right)}
非特異オドメーターは、すべてがシングルトンであるマルコフオドメーターであることが示されます 。 V ( n ) {\displaystyle V^{(n)}}
参照
参考文献 ^ Dooley, AH; Hamachi, T. (2003). 「非特異動的システム、ブラッテリ図、マルコフオドメーター」. Israel Journal of Mathematics . 138 : 93–123 . doi : 10.1007/BF02783421 . ^ Danilenko, Alexander I.; Silva, Cesar E. (2011). 「エルゴード理論：非特異変換」. Meyers, Robert A. (編). 『 複雑系と動的システムの数学』 . Springer. arXiv : 0803.2424 . doi : 10.1007/978-1-4614-1806-1_22 . ^ abc Nicol, Matthew; Petersen, Karl (2009). 「エルゴード理論：基本的な例と構成」 (PDF) . 複雑系科学百科事典 . Springer. doi :10.1007/978-0-387-30440-3_177. ISBN 978-0-387-30440-3 。
さらに読む アーロンソン, J. (1997). 無限エルゴード理論入門 . 数学概論とモノグラフ. 第50巻. アメリカ数学会 . pp. 25– 32. ISBN 9781470412814 。 ドゥーリー, アンソニー H. (2003). 「マルコフオドメーター」. ベズグリ, セルゲイ; コリャダ, セルゲイ (編). 力学系とエルゴード理論の話題. 力学系とエルゴード理論に関する国際会議および米国・ウクライナワークショップ（ウクライナ、カツィヴェリ、2000年8月21日～30日）で発表されたサーベイ論文およびミニコース. ロンドン数学協会講演ノートシリーズ第310巻. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局 . pp. 60～ 80. ISBN 0-521-53365-1 . Zbl 1063.37005。 
![{\displaystyle \mu _{P}([e_{1},\dots ,e_{n}])=p_{s_{1}(e_{1}),e_{1}}^{(1)}\cdots p_{s_{n}(e_{n}),e_{n}}^{(n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f66102ba1b29e0542b6d1c9de33126ef2be1e99)
