マトリックスユニット

数学における概念

線形代数において、行列単位とは、値が1である非零の要素が1つだけある行列のことである。 ^{[1] [2]} i行j列 目に1がある行列単位は と表記される。例えば、i = 1、j = 2の3行3列の行列単位は である。ベクトル単位は標準的な単位ベクトルである。 ${\displaystyle E_{ij}}$ $${\displaystyle E_{12}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$

単一エントリ行列は、必ずしも値が 1 である必要はなく、任意の値の 0 以外のエントリが 1 つだけある行列に対して行列単位を一般化します。

プロパティ

m行n列の行列単位の集合は、 m行n列の行列空間の基底となる。^[2]

同じ正方形の2つの行列単位の積は、クロネッカーのデルタである関係式を満たす。^[2] ${\displaystyle n\times n}$ $${\displaystyle E_{ij}E_{kl}=\delta _{jk}E_{il},}$$ ${\displaystyle \delta _{jk}}$

環R上のスカラー n行n列行列の群は、R上の n 行 n 列行列の集合における n 行n列行列単位の部分集合の中心化子である。^[2]

行列単位の行列ノルム（同じ 2 つのベクトル ノルムによって誘導される）は 1 に等しくなります。

他の行列と乗算すると、任意の位置の特定の行または列が分離されます。例えば、任意の3行3列の行列Aの場合：^[3]

${\displaystyle E_{23}A=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\0&0&0\end{matrix}}\right].}$

${\displaystyle AE_{23}=\left[{\begin{matrix}0&0&a_{12}\\0&0&a_{22}\\0&0&a_{32}\end{matrix}}\right].}$

参考文献

1. アルティン、マイケル.代数学. プレンティス・ホール. p. 9.
2. Lam, Tsit-Yuen (1999). 「第17章 行列環」.モジュールと環に関する講義.数学大学院テキスト. 第189巻. Springer Science+Business Media . pp.  461– 479.
3. Marcel Blattner (2009). 「Bランク：トップN推薦アルゴリズム」. arXiv : 0908.2741 [physics.data-an].

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