測定可能な空間

Basic object in measure theory; set and a sigma-algebra

数学において、可測空間またはボレル空間^[1]は測度論における基本的な対象である。これは集合と、測定対象となる部分集合を定義するσ-代数から構成される。

σ代数は、長さ、面積、体積といった直感的な概念を空間内の「点」の集合として捉え、一般化します。しかし、空間の領域はσ代数の要素です。なぜなら、直感的な測度は通常、点に対して定義されていないからです。σ代数はまた、領域に期待される関係性、すなわち、ある領域は他の領域の交差、他の領域の和集合、あるいは別の領域を除いた空間として定義できることも捉えています。 ${\displaystyle X}$

意味

集合とσ-代数を考えます。この組は可測空間と呼ばれます。^[2]の元は可測空間内の可測集合と呼ばれます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

測度空間とは対照的に、測定可能な空間には測度は必要ないことに注意してください。

例

集合を見てください。の可能な-代数の一つは です。すると は可測空間です。 の可能な-代数は の冪集合です。これを用いると、集合上の2つ目の可測空間は で与えられます。 $${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}=\{X,\varnothing \}.}$$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}_{1}\right)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}={\mathcal {P}}(X).}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}_{2}\right).}$

一般的な測定可能な空間

が有限または可算無限である場合、 -代数はほとんどの場合、上の冪集合となるので、これは測定可能な空間につながる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(X).}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X)).}$

が位相空間である場合、-代数は最も一般的にはボレル-代数であるので、これは実数のようなすべての位相空間に共通する測定可能な空間につながる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}(X).}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

ボレル空間の曖昧さ

ボレル空間という用語は、様々な種類の測定可能な空間を指すために使用される。

• 測定可能な空間であれば、それは上で定義された測定可能な空間と同義である^[1]
• 実数の測定可能な部分集合にボレル同型な測定可能な空間（これもボレル代数を用いる）^[3] ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$上の集合の族 ${\displaystyle \Omega }$ v t e
必ず真である ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ か、または次の条件を満たしている: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	監督 ​ ${\displaystyle \,\supseteq }$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle B\setminus A}$	${\displaystyle \Omega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	FIP
πシステム
セミリング										一度もない
半代数 （半体）										一度もない
モノトーンクラス						場合にのみ ${\displaystyle A_{i}\searrow }$	場合にのみ ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$
𝜆システム （ディンキンシステム）				場合にのみ ${\displaystyle A\subseteq B}$			またはそれらが互いに素である場合のみ ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$			一度もない
リング（順序理論）
環（測度論）										一度もない
δ環										一度もない
𝜎リング										一度もない
代数学（分野）										一度もない
𝜎代数 （𝜎体）										一度もない
フィルター
適切なフィルター				一度もない	一度もない				一度もない
プレフィルター （フィルターベース）
フィルターサブベース
オープントポロジー							（任意であっても） ${\displaystyle \cup }$			一度もない
閉じたトポロジ						（任意であっても） ${\displaystyle \cap }$				一度もない
必ず真である ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ か、または次の条件を満たしている: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	下向き ​	有限 交差	有限 結合	相対的な 補語	補完 する ${\displaystyle \Omega }$	可算 交差点	可算和 集合	含む ${\displaystyle \Omega }$	含む ${\displaystyle \varnothing }$	有限 交差 特性
さらに、半環とはπ系であり、その補集合はπ系における有限な素集合の和集合に等しい。半代数はπ系であり、その補集合はπ系における有限な素集合の和集合に等しい。半環はπ系であり、その補集合はπ系における任意の元であり、 ${\displaystyle B\setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \Omega \setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$

参照

• ボレル集合 – 数学的集合のクラス
• 測定可能な関数 – 数学関数の一種
• 測定 – 質量、長さ、面積、体積の一般化
• 標準ボレル空間 – 位相幾何学における数学的構成
• 測定可能な空間のカテゴリ

参考文献

1. Sazonov, VV (2001) [1994]、「測定可能空間」、数学百科事典、EMSプレス
2. クレンケ、アヒム (2008).確率論. ベルリン: シュプリンガー. p. 18. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6。
3. カレンバーグ、オラフ(2017).ランダム測定、理論と応用. 確率理論と確率モデル. 第77巻. スイス: シュプリンガー. p. 15. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3。

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