ミンコフスキー距離

pth累乗を使ったベクトル距離

ミンコフスキー距離またはミンコフスキー計量は、ノルムベクトル空間における計量であり、ユークリッド距離とマンハッタン距離の両方の一般化と見なすことができます。数学者ヘルマン・ミンコフスキーにちなんで名付けられました。

チェス盤上の3-4-5三角形（キング、アント、ワジールで表現）の斜辺におけるチェビシェフ距離、ユークリッド距離、タクシーキャブ/マンハッタン距離の比較。ワジールはルークのように動きますが、一度に1マスしか動きません。

意味

2 点間のミンコフスキー距離(は整数)は次のように定義されます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}){\text{ and }}Y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$$ $${\displaystyle D\left(X,Y\right)={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}.}$$

ミンコフスキー距離は、ミンコフスキー不等式 の結果として計量である。[ 1 ]と^の間の距離が であるが、点がこれらの点の両方から の距離にある場合、これは三角不等式に反するため、は計量ではない。しかし、 の指数を除去するだけで、これらの値に対する計量を得ることができる。結果として得られる計量もFノルムである。 ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle p<1,}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle 2^{1/p}>2,}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p<1}$ ${\displaystyle 1/p.}$

ミンコフスキー距離は通常1または2で使用され、それぞれマンハッタン距離とユークリッド距離に対応します。^[2]無限大に達する極限の場合、チェビシェフ距離が得られます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \lim _{p\to \infty }{{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}}=\max _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.}$$

同様に、負の無限大に到達する場合は次のようになります。 ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}}=\min _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.}$$

ミンコフスキー距離は、成分ごとの差の累乗平均の倍数として見ることもできる。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q.}$

次の図は、さまざまな値の単位円（すべての点が中心から単位距離にある距離関数のレベルセット）を示しています。 ${\displaystyle p}$

アプリケーション

ミンコフスキー計量は、機械学習とAIの分野で非常に有用です。^[要出典]多くの一般的な機械学習アルゴリズムは、前述のような特定の距離指標を用いて、2つのデータポイントの類似性を比較します。分析対象となるデータの性質に応じて、様々な指標を使用できます。ミンコフスキー計量は、複数のデータポイントベクトル間のサイズの類似性を判断したい数値データセットに最も有用です。

参照

• 一般化平均 – 与えられた数値のn乗の算術平均のN乗根
• ${\displaystyle L^{p}}$空間 – 有限次元pノルム空間を一般化する関数空間
• ノルム（数学）  - ベクトル空間における長さ
• ${\displaystyle p}$-ノルム – 有限次元pノルム空間を一般化する関数空間リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ

参考文献

1. Şuhubi, Erdoğan S. (2003)、「第5章 計量空間」、関数解析、Springer Netherlands、pp.  261– 356、doi :10.1007/978-94-017-0141-9_5、ISBN 9789401701419
2. Zezula, Pavel; Amato, Giuseppe; Dohnal, Vlastislav; Batko, Michal (2006)、「第1章 メトリック空間検索の基礎、第3.1節 ミンコフスキー距離」、類似度検索：メトリック空間アプローチ、データベースシステムの進歩、Springer、p. 10、doi :10.1007/0-387-29151-2、ISBN 9780387291512

外部リンク

• 2D および 3D における異なる p ノルムの単位球 (wolfram.com)
• wolfram.com の異なる p-ノルムにおける単位ノルムベクトル
• C++ でのシンプルな IEEE 754 実装
• NPM JavaScript パッケージ/モジュール

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