混合ポアソン分布

Compound probability distribution

混合ポアソン分布
表記	${\displaystyle \operatorname {Pois} (\lambda )\,{\underset {\lambda }{\wedge }}\,\pi (\lambda )}$
パラメータ	${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$
サポート	${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$
PMF	${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda }$
平均	${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda }$
分散	${\displaystyle \int _{0}^{\infty }(\lambda +(\lambda -\mu _{\pi })^{2})\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda }$
歪度	${\displaystyle \left(\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}\right)^{-3/2}\,\left[\int _{0}^{\infty }\left[{\left(\lambda -\mu _{\pi }\right)}^{3}+3{\left(\lambda -\mu _{\pi }\right)}^{2}\right]\pi (\lambda )\,d\lambda +\mu _{\pi }\right]}$
MGF	${\displaystyle M_{\pi }(e^{t}-1)}$、MGFはπ ${\displaystyle M_{\pi }}$
CF	${\displaystyle M_{\pi }(e^{it}-1)}$
PGF	${\displaystyle M_{\pi }(z-1)}$

混合ポアソン分布は、確率論における単変量離散確率分布である。これは、確率変数の条件付き分布が、率パラメータの値を与えられたときにポアソン分布となると仮定し、率パラメータ自体も確率変数とみなすことによって得られる。したがって、これは複合確率分布の特殊なケースである。混合ポアソン分布は、保険数理において請求件数の分布に対する一般的なアプローチとして用いられ、疫学モデルとしても研究されている。^[1]複合ポアソン分布や複合ポアソン過程と混同しないように注意する必要がある。^[2]

意味

確率変数 Xが密度π（λ ）の混合ポアソン分布を満たす場合、その確率分布は^[3]

$${\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda .}$$

ポアソン分布の確率を_qλ ( k )とすると、

$${\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda .}$$

プロパティ

• 分散は常に期待値よりも大きくなります。この性質は過分散と呼ばれます。これは、平均と分散が等しいポアソン分布とは対照的です。
• 実際には、ガンマ分布、対数正規分布、逆ガウス分布の密度のみが、 π ( λ ) の密度としてほとんど用いられます。ガンマ分布の密度を選択した場合、負の二項分布が得られるため、これはポアソンガンマ分布とも呼ばれます。

以下では、密度の期待値を、密度の分散を とします。 ${\displaystyle \mu _{\pi }=\int _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,}$ ${\displaystyle \pi (\lambda )\,}$ ${\displaystyle \sigma _{\pi }^{2}=\int _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{2}\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,}$

期待値

混合ポアソン分布の期待値は

$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu _{\pi }.}$$

分散

分散については[ ^3]

$${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}.}$$

歪度

歪度は次のように表される。

$${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-3/2}\,{\Biggl [}\int _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}.}$$

特性関数

特性関数は次の形をとる。

$${\displaystyle \varphi _{X}(s)=M_{\pi }(e^{is}-1).\,}$$

密度のモーメント生成関数はどこですか。 ${\displaystyle M_{\pi }}$

確率生成関数

確率生成関数については、^[3]

$${\displaystyle m_{X}(s)=M_{\pi }(s-1).\,}$$

モーメント生成関数

混合ポアソン分布のモーメント生成関数は

$${\displaystyle M_{X}(s)=M_{\pi }(e^{s}-1).\,}$$

例

定理-ポアソン分布とガンマ分布に従って分布する速度パラメータを組み合わせると、負の二項分布が得られます。^[3]

証拠

を分布確率変数の密度とします。 ${\displaystyle \pi (\lambda )={\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }}$ ${\displaystyle \operatorname {\Gamma } \left(r,{\frac {p}{1-p}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (X=k)&={\frac {1}{k!}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda }{\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }\,d\lambda \\&={\frac {p^{r}(1-p)^{-r}}{\Gamma (r)k!}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k+r-1}e^{-\lambda {\frac {1}{1-p}}}\,d\lambda \\&={\frac {p^{r}(1-p)^{-r}}{\Gamma (r)k!}}(1-p)^{k+r}\underbrace {\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k+r-1}e^{-\lambda }\,d\lambda } _{=\Gamma (r+k)}\\&={\frac {\Gamma (r+k)}{\Gamma (r)k!}}(1-p)^{k}p^{r}\end{aligned}}}$

したがって、 ${\displaystyle X\sim \operatorname {NegB} (r,p).}$

定理—指数分布に従って分布する速度パラメータとポアソン分布を組み合わせると、幾何分布が生成されます。

証拠

分布する確率変数の密度をk回積分 すると次の式が得られる。 ${\displaystyle \pi (\lambda )={\frac {1}{\beta }}e^{-{\frac {\lambda }{\beta }}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} \left({\frac {1}{\beta }}\right)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (X=k)&={\frac {1}{k!}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda }{\frac {1}{\beta }}e^{-{\frac {\lambda }{\beta }}}\,d\lambda \\&={\frac {1}{k!\beta }}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda \left({\frac {1+\beta }{\beta }}\right)}\,d\lambda \\&={\frac {1}{k!\beta }}\cdot k!\left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda \left({\frac {1+\beta }{\beta }}\right)}\,d\lambda \\&=\left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle X\sim \operatorname {Geo\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)} .}$

混合ポアソン分布の表

混合分布	混合ポアソン分布[4]
ディラック	ポアソン
ガンマ、アーラン	負の二項分布
指数関数	幾何学的な
逆ガウス分布	シシェル
ポアソン	ネイマン
一般化逆ガウス分布	ポアソン一般化逆ガウス分布
一般化ガンマ	ポアソン一般化ガンマ
一般化パレート	ポアソン一般化パレート
逆ガンマ	ポアソン逆ガンマ
対数正規分布	ポアソン対数正規分布
ロマックス	ポアソン・ロマックス
パレート	ポアソン・パレート
ピアソンの分布族	ポアソン・ピアソン族
切り捨て正規分布	ポアソン切断正規分布
制服	ポアソン一様分布
シフトガンマ	デラポルト
特定のパラメータ値を持つベータ	ユール

参考文献

1. Willmot, Gordon E.; Lin, X. Sheldon (2001)、「混合ポアソン分布」、保険適用における複合分布のLundberg近似、統計講義ノート、第156巻、ニューヨーク、NY：Springer New York、pp.  37– 49、doi：10.1007/978-1-4613-0111-0_3、ISBN 978-0-387-95135-5、 2022年7月8日取得
2. Willmot, Gord (1986). 「混合複合ポアソン分布」. ASTIN Bulletin . 16 (S1): S59 – S79 . doi : 10.1017/S051503610001165X . ISSN  0515-0361.
3. Willmot, Gord (2014-08-29). 「混合複合ポアソン分布」. Astin Bulletin . 16 : 5–7 . doi : 10.1017/S051503610001165X . S2CID  17737506.
4. Karlis, Dimitris; Xekalaki, Evdokia (2005). 「混合ポアソン分布」 .国際統計評論. 73 (1): 35– 58. doi :10.1111/j.1751-5823.2005.tb00250.x. ISSN  0306-7734. JSTOR  25472639. S2CID  53637483.

さらに読む

• グランデル、ジャン（1997年）『混合ポアソン過程』ロンドン：チャップマン＆ホール、ISBN 0-412-78700-8。
• ブリトン、トム (2019).推論機能を備えた確率的疫病モデル. シュプリンガー. doi :10.1007/978-3-030-30900-8.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mixed_Poisson_distribution&oldid=1310926153"