ムーア行列

Concept in mathematics

線型代数学において、ムーア行列はEH Moore  (1896)によって導入され、有限体上で定義された行列である。これが正方行列の場合、その行列式はムーア行列式と呼ばれる（これは四元数エルミート行列 のムーア行列式とは無関係である）。ムーア行列は、その列にフロベニウス自己同型の累乗を順に適用していく（最初の列はフロベニウス自己同型の0次乗で始まる）ため、すべての添え字iとjについてm × n行列または となる（一部の著者は上記の行列の転置行列を使用している）。 $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{1}^{q}&\dots &\alpha _{1}^{q^{n-1}}\\\alpha _{2}&\alpha _{2}^{q}&\dots &\alpha _{2}^{q^{n-1}}\\\alpha _{3}&\alpha _{3}^{q}&\dots &\alpha _{3}^{q^{n-1}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{m}&\alpha _{m}^{q}&\dots &\alpha _{m}^{q^{n-1}}\\\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle M_{i,j}=\alpha _{i}^{q^{j-1}}}$$

正方ムーア行列（ m = n ）のムーア行列式は次のように表すことができます。

$${\displaystyle \det(V)=\prod _{\mathbf {c} }\left(c_{1}\alpha _{1}+\cdots +c_{n}\alpha _{n}\right),}$$

ここでcは方向ベクトルの完全な集合を通り、最後の非ゼロの要素が1に等しくなるように指定される。すなわち、

$${\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i\leq n}\prod _{c_{1},\dots ,c_{i-1}}\left(c_{1}\alpha _{1}+\cdots +c_{i-1}\alpha _{i-1}+\alpha _{i}\right).}$$

特に、ムーア行列式が零となるのは、左列の要素がq位の有限体上で線型従属関係にある場合に限られます。したがって、これは多関数のロンスキ行列式に類似しています。

ディクソンは、有限体上の一般線型群のモジュラー不変量を見つける際にムーア行列式を使用しました。

参照

• 交互行列
• ヴァンデルモンド行列
• ヴァンデルモンド行列式
• 行列のリスト

参考文献

• ディクソン、レナード・ユージン（1958）[1901]、マグナス、ウィルヘルム（編）、線形群：ガロア体理論の解説付き、ドーバー・フェニックス・エディションズ、ドーバー・パブリケーションズ、ISBN 978-0-486-49548-4、MR  0104735、OCLC  52335047 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• デイヴィッド・ゴス(1996). 「1. 加法多項式」.関数体算術の基本構造. シュプリンガー. pp.  1– 33. doi :10.1007/978-3-642-61480-4_1. ISBN 3-540-63541-6。
• ムーア, EH (1896)、「フェルマーの定理の2倍の一般化」アメリカ数学会報、2 (7): 189– 199、doi : 10.1090/S0002-9904-1896-00337-2、JFM  27.0139.05

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