多項プロビット

統計学および計量経済学において、多項式プロビットモデルは、従属変数が複数のカテゴリーに該当する場合に用いられるプロビットモデルの一般化です。そのため、多クラス分類の一手法として、多項式ロジットモデルの代替として用いられます。多変量プロビットモデルは、複数の独立変数の相関する2値結果をモデル化するために使用されます。多変量プロビットモデルと混同しないように注意してください。

一般仕様

サイズm （選択肢はm個）のカテゴリ分布から多元選択を行った結果の観測値系列Y _i（i = 1... n）があると仮定します。各観測値Y _iには、説明変数（独立変数、予測変数、特徴量などとも呼ばれる）のk個の観測値x _1,i , ..., x _k,iの集合が存在します。以下に例を示します。

• 観察される結果は、同様の症状を伴う一連の稀な疾患について、「疾患 A に罹患している、疾患 B に罹患している、疾患 C に罹患している、いずれの疾患にも罹患していない」などであり、説明変数は、関連があると考えられる患者の特性（性別、人種、年齢、血圧、体格指数、さまざまな症状の有無など）である可能性があります。
• 観察される結果は、多者間選挙における特定の政党または候補者に対する人々の投票であり、説明変数は各人の人口統計学的特性（性別、人種、年齢、収入など）です。

多項式プロビットモデルは、関連する説明変数を与えられた場合に、観察されない多元配置試験の起こり得る結果を予測するために使用できる統計モデルです。このモデルは、異なる説明変数が異なる結果に及ぼす相対的な影響を説明しようとします。

正式には、結果Y _iはカテゴリ分布データとして記述され、観測値i の各結果値hは、当該観測値 i に関連付けられた説明変数の値によって決定されるため、当該観測値iに固有の観測されない確率p _i,hで発生する。つまり、

${\displaystyle Y_{i}|x_{1,i},\ldots ,x_{k,i}\ \sim \operatorname {Categorical} (p_{i,1},\ldots ,p_{i,m}),{\text{ for }}i=1,\dots ,n}$

または同等

${\displaystyle \Pr[Y_{i}=h|x_{1,i},\ldots ,x_{k,i}]=p_{i,h},{\text{ for }}i=1,\dots ,n,}$

hのm個の可能な値のそれぞれについて。

潜在変数モデル

多項プロビットは潜在変数モデルの観点から記述されることが多い。

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{i}^{1\ast }&={\boldsymbol {\beta }}_{1}\cdot \mathbf {X} _{i}+\varepsilon _{1}\,\\Y_{i}^{2\ast }&={\boldsymbol {\beta }}_{2}\cdot \mathbf {X} _{i}+\varepsilon _{2}\,\\\ldots &\ldots \\Y_{i}^{m\ast }&={\boldsymbol {\beta }}_{m}\cdot \mathbf {X} _{i}+\varepsilon _{m}\,\\\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\sim {\mathcal {N}}(0,{\boldsymbol {\Sigma }})}$

それから

${\displaystyle Y_{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}Y_{i}^{1\ast }>Y_{i}^{2\ast },\ldots ,Y_{i}^{m\ast }\\2&{\text{if }}Y_{i}^{2\ast }>Y_{i}^{1\ast },Y_{i}^{3\ast },\ldots ,Y_{i}^{m\ast }\\\ldots &\ldots \\m&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

つまり、

${\displaystyle Y_{i}=\arg \max _{h=1}^{m}Y_{i}^{h\ast }}$

このモデルでは、エラー変数間の任意の相関関係が許容されるため、無関係な選択肢の独立性が必ずしも尊重されるわけではないことに注意してください。

が単位行列（相関や異分散がない）の場合、モデルは独立プロビットと呼ばれます。 ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$

推定

方程式の推定方法の詳細については、「プロビット モデル」の記事を参照してください。

参考文献

• グリーン、ウィリアム・H. (2012).計量経済分析（第7版）. ボストン: ピアソン・エデュケーション. pp.  810– 811. ISBN 978-0-273-75356-8。

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