ランダム効果モデル

Statistical model

計量経済学において、ランダム効果モデル（分散成分モデルとも呼ばれる）は、モデル効果がランダム変数である統計モデルです。これは階層的線型モデルの一種であり、分析対象となるデータは異なる母集団の階層から抽出されており、母集団間の差異はその階層構造に関連していると仮定します。ランダム効果モデルは混合モデルの特殊なケースです。

これを生物統計学の定義^{[1] [2] [3] [4] [5]}と比較すると、生物統計学者は「固定」効果と「ランダム」効果をそれぞれ母集団平均効果と被験者固有の効果（後者は一般的に未知の潜在変数であると想定されている）を指すために使用します。

定性的な記述

ランダム効果モデルは、異質性が時間経過にわたって一定であり、独立変数と相関していない場合、観察されない異質性をコントロールするのに役立ちます。この定数は、差分をとることでモデルの時間不変の要素が除去されるため、縦断的データから差分化によって除去できます。^[6]

個人固有の効果については、ランダム効果仮定と固定効果仮定という2つの一般的な仮定を立てることができます。ランダム効果仮定は、個人の観察されない異質性が独立変数と相関していないというものです。固定効果仮定は、個人固有の効果が独立変数と相関しているというものです。^[6]

ランダム効果仮定が成り立つ場合、ランダム効果推定量は固定効果モデルより も効率的です。

簡単な例

ある大国の数千校の中から大規模な小学校が無作為に選ばれると仮定します。また、選ばれた各学校で同じ年齢の生徒が無作為に選ばれると仮定します。標準適性検査の点数を確認します。を第-学校の第-生徒の点数とします。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y_{ij}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$

この変数をモデル化する簡単な方法は

${\displaystyle Y_{ij}=\mu +U_{i}+W_{ij},\,}$

は母集団全体の平均テスト点です ${\displaystyle \mu }$

このモデルには、学校固有のランダム効果があります。これは、学校の平均点と国全体の平均点の差を測定します。項は個人固有のランダム効果、つまり、 -番目の生徒の点数から-番目の学校の平均点までの偏差です。 ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle W_{ij}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$

このモデルは、異なるグループ間の点数の差を捉える追加の説明変数を含めることで拡張できます。例えば、

${\displaystyle Y_{ij}=\mu +\beta _{1}\mathrm {Sex} _{ij}+\beta _{2}\mathrm {ParentsEduc} _{ij}+U_{i}+W_{ij},\,}$

は2値ダミー変数で、例えば、子供の両親の平均教育レベルを記録します。これは、性別と親の教育という固定効果項を導入しているため、純粋なランダム効果モデルではなく、混合モデルです。 ${\displaystyle \mathrm {Sex} _{ij}}$ ${\displaystyle \mathrm {ParentsEduc} _{ij}}$

分散成分

の分散は、それぞれ-番目の学校の分散と-番目の学校の分散の合計です。 ${\displaystyle Y_{ij}}$ ${\displaystyle \tau ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle W_{ij}}$

とします

${\displaystyle {\overline {Y}}_{i\bullet }={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}Y_{ij}}$

を、-番目の学校のすべての点数ではなく、ランダムサンプルに含まれる-番目の学校の点数の平均とします。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\overline {Y}}_{\bullet \bullet }={\frac {1}{mn}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}Y_{ij}}$

を全体の平均とします

とします

${\displaystyle SSW=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(Y_{ij}-{\overline {Y}}_{i\bullet })^{2}\,}$

${\displaystyle SSB=n\sum _{i=1}^{m}({\overline {Y}}_{i\bullet }-{\overline {Y}}_{\bullet \bullet })^{2}\,}$

それぞれ、グループ内の差異による平方和とグループ間の差異による平方和とします。すると、次のことが示されます^[要出典]

${\displaystyle {\frac {1}{m(n-1)}}E(SSW)=\sigma ^{2}}$

と

${\displaystyle {\frac {1}{(m-1)n}}E(SSB)={\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\tau ^{2}.}$

これらの「期待平均二乗」は、 「分散成分」の推定の基礎として使用できます。 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \tau ^{2}}$

このパラメータは級内相関係数とも呼ばれます ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

周辺尤度

ランダム効果モデルでは、周辺尤度が重要です。^[7]

応用

実際に使用されているランダム効果モデルには、保険契約のビュールマンモデルや、小地域推定に使用されるフェイ・ヘリオットモデルなどがあります。

参照

• ビュールマンモデル
• 階層的線形モデリング
• 固定効果
• MINQUE
• 共分散推定
• 条件付き分散
• パネル分析

参考文献

• Baltagi, Badi H. (2008). Econometric Analysis of Panel Data (4th ed.). New York, NY: Wiley. pp.  17– 22. ISBN 978-0-470-51886-1。
• Hsiao, Cheng (2003).パネルデータ分析（第2版）. ニューヨーク、ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局. pp. 73–92. ISBN 0-521-52271-4。
• Wooldridge, Jeffrey M. (2002).クロスセクションとパネルデータの計量分析. ケンブリッジ、マサチューセッツ州：MIT出版局. pp. 257–265. ISBN 0-262-23219-7。
• ゴメス、ディランGE（2022年1月20日）「混合効果モデルにおいて、グループ化因子の水準が5つ未満の場合、固定効果とランダム効果のどちらを使用すべきか？」PeerJ.10e12794.doi : 10.7717 / peerj.12794.PMC8784019.PMID35116198 .  

参考文献

1. ディグル、ピーター・J.、ヒーガーティ、パトリック、リアン、クンイー、ゼガー、スコット・L. (2002). 『縦断的データ分析（第2版）』オックスフォード大学出版局. pp. 169–171. ISBN 0-19-852484-6。
2. フィッツモーリス、ギャレット・M.、レアード、ナン・M.、ウェア、ジェームズ・H. (2004). 『応用縦断的分析』ホーボーケン：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp.  326– 328. ISBN 0-471-21487-6。
3. Laird, Nan M.; Ware, James H. (1982). 「縦断的データのためのランダム効果モデル」. Biometrics . 38 (4): 963– 974. doi :10.2307/2529876. JSTOR  2529876. PMID  7168798.
4. Gardiner, Joseph C.; Luo, Zhehui; Roman, Lee Anne (2009). 「固定効果、ランダム効果、GEE：違いは何か？」. Statistics in Medicine . 28 (2): 221– 239. doi :10.1002/sim.3478. PMID  19012297
5. Gomes, Dylan GE (2022年1月20日). 「混合効果モデルにおいて、グループ化因子の水準が5つ未満の場合、固定効果とランダム効果のどちらを使用すべきか？」. PeerJ . 10 e12794 . doi : 10.7717/peerj.12794 . PMC 8784019. PMID  35116198. 
6. Wooldridge, Jeffrey (2010).クロスセクションデータとパネルデータの計量分析（第2版）. マサチューセッツ州ケンブリッジ：MIT出版. p. 252. ISBN 978-0-262-23258-6 OCLC  627701062
7. Hedeker, D., Gibbons, R. D. (2006). Longitudinal Data Analysis. Deutschland: Wiley. 163ページ https://books.google.com/books?id=f9p9iIgzQSQC&pg=PA163

外部リンク

• 固定効果モデルとランダム効果モデル
• メタ分析の実施方法：固定効果モデルとランダム効果モデル

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